2023-2024学年吉安市七校联盟八年级下学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉安市七校联盟八年级下学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共18分）1．（3分）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不等式2x+5＞1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'．若B'C＝2cm，则BC′的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4．（3分）若一次函数y＝（2k+1）x+1﹣k的图象经过第一、二、四三象限，则k的取值范围是（）A．k＞1 B． C．k＜1 D．5．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝2，AB＝3，则△ABC的面积为（）A．2.5 B．3 C．5 D．66．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为6，则点B′的坐标为（）A．（8，﹣4） B．（8，﹣4） C．（8，﹣4） D．（8，﹣4）二、填空题（每题3分，共18分）7．（3分）命题“若ac＜bc，则a＜b”是命题．（填“真”或“假”）8．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（1，3）先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′的坐标是．9．（3分）某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打折．10．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足不等式x﹣y＞0，则m的取值范围是．11．（3分）将一副三角板ABC和DEF如图（1）放置，其中∠ABC＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G[如图（2）]，若BC＝3，则此时线段OG的长度为．12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为．三、解答题（每题6分，共30分）13．（3分）解不等式：5（x+1）≥3x﹣1．14．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E为AC边上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，求证：△ABD是等腰直角三角形．15．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．16．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．17．（6分）如图，直线l1的表达式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．（1）求m的值及直线l2的表达式；（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．18．（6分）将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E．（1）若α＝60°，如图1，连接EC，试判断△ACE的形状，并说明理由；（2）若点D恰好落在BC边上，如图2，且点A，B，E在同一条直线上，∠C＝30°，求∠B的度数．四、解答题（每题8分，共24分）19．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．20．（8分）如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．21．（8分）阅读材料：解分式不等式＜0解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②解①得：无解；解②得：﹣2＜x＜1所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1请仿照上述方法解下列不等式：（1）（2）（x+2）（2x﹣6）＞0．五、解答题（每题9分，共18分）22．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？23．（9分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．六、解答题（共12分24．（12分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是．（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝30°．①若点P为线段AB的“远轴点”，求点P的横坐标t的取值范围；②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当QB+QC最小时，求点Q的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共18分）1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：由2x+5＞1可得2x＞1﹣5，2x＞﹣4，x＞﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．【分析】根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm，即可得到BC′＝BB′+B′C+CC′的长．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A'B'C'，∴BB′＝CC′＝1（cm），∵B'C＝2（cm），∴BC′＝BB′+B′C+CC′＝1+2+1＝4（cm），故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到BB′＝CC′＝1cm是解题的关键．4．【分析】运用一次函数的图象和性质解答即可；【解答】解：∵一次函数y＝（2k+1）x+1﹣k的图象经过第一、二、四三象限，∴，解得：，故选：D．【点评】该题主要考查了一次函数所过象限，解答该题的关键是根据函数图象经过的象限确定一次函数中参数的范围．5．【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝1，再利用三角形面积公式S△ABC＝S△ADB+S△ADC，计算可求解；【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AB＝3，AC＝2，∴S△ABC＝S△ADB+S△ADC＝AB•DE+AC•DF＝×3×1+×2×1＝2.5．故选：A．【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解DF的长是解题的关键．6．【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可．【解答】解：如图，过点A作AT⊥OB于T，过点A′作A′J⊥AT交AT的延长线于J．∵等边三角形△OAB的边长为4，AT⊥OB，∴OT＝BT＝2，AT＝2，∠OAT＝∠OAB＝30°，∴点A坐标为（﹣2，2），B（0，4），∵平移后点A'的横坐标为6，∴JT＝6即AJ＝8，在Rt△AJA′中，JA′＝AJ•tan30°＝8，∴点A向右平移8个单位，再向下平移8个单位可得点A'，∴由此可得，点B'的坐标为（8，﹣4），故选：C．【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．二、填空题（每题3分，共18分）7．【分析】根据不等式的性质3、假命题的概念解答即可．【解答】解：当ac＜bc，c＜0时，a＞b，∴命题“若ac＜bc，则a＜b”是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的真假判断、不等式的性质，掌握假命题的概念、不等式的基本性质3是解题的关键．8．【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，列式计算即可得解．【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，∴1﹣2＝﹣1，3+2＝5，∴点A′的坐标为（﹣1，5）．故答案为：（﹣1，5）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．【分析】设打x折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：设打x折，根据题意得：100（1+50%）•x≥100（1+20%），解得：x≥8，即至多打8折，故答案为：8．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解此题的关键．10．【分析】运用等式的基本性质，①﹣②，得x﹣y＝m﹣5，求解得答案．【解答】解：，①﹣②，得x﹣y＝m﹣5，∴m﹣5＞0，∴m＞5．故答案为：m＞5．【点评】本题考查等式的基本性质，一元一次不等式的求解；理解等式的基本性质是解题的关键．11．【分析】过O作OH⊥AG于H，∠ABC＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，得出∠OGA＝45°，根据30°所对直角边等于斜边的一半得出AC＝2BC＝6，由点O是AC的中点，得出AO＝3，再根据勾股定理即可得OG；【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠FBG＝90°，∵∠F＝∠FGB＝45°，∴∠OGA＝45°，∵∠A＝30°，BC＝3，∴AC＝2BC＝6，∵点O是AC的中点，∴AO＝3，过O作OH⊥AG于H，∴∠AHO＝∠OHG＝90°，∴，∴．故答案为：【点评】该题主要考查了直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握这些知识点并能够熟练运用12．【分析】当P点在BA上，BP＝BE＝6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH＝EH，再计算出∠BPE＝∠BEP＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP＝PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF＝EF＝3，先求出BG＝4，从而得到PF＝4，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6．【解答】解：当P点在BA上，BP＝BE＝6，作BH⊥PE于H，如图1，则PH＝EH，∵∠B＝120°，∴∠BPE＝∠BEP＝30°，在Rt△BEH中，BH＝BE＝3，EH＝BH＝3，∴PE＝2EH＝6；当P点在AD上，BP＝PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF＝EF＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠A＝60°，在Rt△ABG中，AG＝AB＝4，BG＝AG＝4，∴PF＝4，在Rt△PEF中，PE＝＝；当点P在CD上，如图3，EB＝EP＝6，综上所述，PE的长为6或6或．故答案为6或6或．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质．三、解答题（每题6分，共30分）13．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵5（x+1）≥3x﹣1，∴5x+5≥3x﹣1，5x﹣3x≥﹣1﹣5，2x≥﹣6，则x≥﹣3．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．14．【分析】证明Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），得BD＝AD，再由等腰直角三角形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴BD＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．【分析】先求出各个不等式的解集，然后判断其解集的公共部分，再把解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得：3x﹣x＜1+5，2x＜6，x＜3，由②得：3x﹣4≤2（2x﹣1）﹣6，3x﹣4≤4x﹣2﹣6，3x﹣4x≤﹣2﹣6+4，﹣x≤﹣4，x≥4，∴不等式组无解，不等式组的解集在数轴上表示为：【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．16．【分析】已知∠A＝50°，AB＝AC可得∠ABC＝∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC＝∠A，易求∠DBC．【解答】解：∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB＝AD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．即∠DBC的度数是15°．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．【分析】（1）把点C的坐标代入直线l1的解析式求出m的值；根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据图象解答即可．【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，∴2＝2m﹣2，m＝2，∴点C的坐标为（2，2）；∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；（2）由图象可得关于x的不等式2x﹣2＜kx+b的解集为x＜2．【点评】本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与不等式的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用．18．【分析】（1）根据旋转的性质得到AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，然后证明出△ACE是等边三角形；（2）首先根据旋转的性质得到AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，进而得到∠DAB＝∠E+∠ADE＝∠B+30°，然后利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）△ACE是等边三角形，理由如下：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，∴AE＝AC，∠EAC＝α＝60°，∴△ACE是等边三角形；（2）∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到△ADE，∴AD＝AB，∠C＝∠E＝30°，∠B＝∠ADE，∠DAB＝α，∴∠DAB＝∠E+∠ADE＝∠B+30°，∠ADB＝∠B，∵∠B+∠ADB+∠DAB＝180°，∴3∠B+30°＝180°，∴∠B＝50°．【点评】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．四、解答题（每题8分，共24分）19．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△D1E1F1如图所示；（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y＝x或y＝﹣x﹣2．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．20．【分析】（1）要证明BD平分∠ABC，只要证明∠DBC＝∠ABE即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明∠DBC＝∠ABE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得∠C的度数．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角和内角的关系、三角形的内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）把分式不等式转化为不等式（组）即可解决问题．（2）把整式不等式转化为不等式（组）即可解决问题．【解答】解：（1）原不等式可转化为：①或②解①得无解，解②得﹣＜x≤2，所以原不等式的解集是﹣＜x≤2；（2）原不等式可转化为：①或②解①得x＞3，解②得x＜﹣2，所以原不等式的解集是x＞3或x＜﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．五、解答题（每题9分，共18分）22．【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，由题意可得：，解得，答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，33，∴共有四种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；方案二：采购篮球31个，采购足球19个；方案三：采购篮球32个，采购足球18个；方案四：采购篮球33个，采购足球17个．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．23．【分析】（1）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD即可得到结论；（2）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，推出∠ACE＝∠ABD，计算得出CD＝BC＝，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD+∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD，∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，∴BC＝AB＝，CD＝AC+AD＝，∴BC＝CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；解法二：通过计算证明CD＝BC，ED＝EB，可得结论．（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，∴AG＝BC＝，∠GAB＝45°，∴DG＝AG+AD＝，∠DAB＝180°