2020中考数学二轮专题第03讲-因式分解-【教案】

高效提分源于优学高效提分源于优学官网：第03讲因式分解温故知新一、重点回顾回忆：因式分解的一般方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法课堂导入课题扩展：因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。一、巧拆项在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。二、巧添项

在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。三、巧换元在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。四、展开巧组合

若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。五、巧用主元

对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。知识要点一 知识要点一因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。2、因式分解与整式乘法的关系如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。3、公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。4、确定公因式的方法：确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符号取“—”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。5、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。6、公式法（1）用平方差公式因式分解：（2）用完全平方公式因式分解：（3）因式分解的一般步骤：步骤：①有公因式先提公因式；②没有公因式，可以尝试公式法因式分解；③如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解；④必须分解到最后。典例分析一、因式分解的定义例1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m2﹣n2=（m﹣n）（m+n）C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z【解答】选：B．例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么p+q的值等于31．【解答】（x4+px2+q）÷（x2+2x+5）=x2﹣2x+p﹣1…（12﹣2p）x+q﹣5p+5，∵x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，∴余数中12﹣2p=0，q﹣5p+5=0，解得：p=6，q=25，∴p+q=31．故答案为：31．学霸说学霸说因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；举一反三1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）A．m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3） B．（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6C．x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x D．x2+1=x（x+）【解答】故选A．2、已知多项式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m=﹣18．【解答】设x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=（x+ay+3）（x+by﹣8），∵（x+ay+3）（x+by﹣8）=x2+（a+b）xy+aby2﹣5x+（﹣8a+3b）y﹣24，∴x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=x2+（a+b）xy+aby2﹣5x+（﹣8a+3b）y﹣24，∴，解得，∴m=ab=（﹣2）×9=﹣18．故答案为：﹣18．3、先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得，∴解法二：设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算了取，2×=0，故．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．【解答】设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），取x=1，得1+m+n﹣16=0①，取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，由①、②解得m=﹣5，n=20．二、提公因式法典例分析例1、计算a2（2a）3﹣a（3a+8a4）的结果是（）A．3a2 B．﹣3a C．﹣3a2 D．16a5【解答】故选：C．例2、先化简，再求值：（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．【解答】（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1=2a2b﹣2ab2﹣3a2b+3+2ab2+1=﹣a2b+4当a=1，b=2时，原式=﹣12×2+4=2；（2）原式=（a+b）（2a﹣a﹣b）=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，当a=3，b=5时，原式=32﹣52=﹣16．举一反三1、把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【解答】故选B．2、已知a=3+2，b=3﹣2，则代数式ab2﹣a2b的值是﹣4．【解答】原式=ab（b﹣a）=1×（﹣4）=﹣4．故答案为：﹣4．3、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需用上述方法3次，结果是（x+1）4．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）结果是（x+1）n+1．【解答】（1）上述分解因式：提公因式法，共应用了2次．故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3=（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2]=（1+x）（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）2（1+x）（1+x）=（1+x）4，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需应用上述方法3次，结果是：（x+1）4．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为：（x+1）n+1．公式法补充分组分解法:当被分解的多项式有四项或四项以上时，可以对多项式中的各个单项式适当的分组，然后再利用提公因式法、公式法对其进行分解因式。十字相乘法典例分析例1、把下列各式分解因式（1）；(2）；【解答】(1);(2)例2、分解因式（1）（2）【解答】：∴∴（3）（4）（5）【解答】（3）；（4）；（5）例3、已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】故选D．例4、若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=3．【解答】有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，变形后（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即a2+b2=3，故答案为3．举一反三1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3【解答】故选：B．2、分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36=（a+b﹣6）2．【解答】原式=（a+b﹣6）2．故答案为：（a+b﹣6）23、阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2．【解答】（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．课堂闯关初出茅庐1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【解答】故选：D．2、下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）C．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4=（x+2）2【解答】故选：B．3、将m2（a﹣2）+m（a﹣2）分解因式的结果是（）A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m﹣1） C．m（a﹣2）（m+1） D．m（2﹣a）（m﹣1）【解答】m2（a﹣2）+m（a﹣2）=m（a﹣2）（m+1）．故选：C．4、多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（）A．2xy B．24x2y3 C．﹣2x D．以上都不对【解答】多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3各项的公因式是：﹣2x．故选：C．5、对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1） D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）【解答】故选D6、10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；…；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+…+x102，N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【解答】由题意可得，xn+yn=9，∴yn=（9﹣xn），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．7、由（x﹣2）（x﹣1）=x2﹣3x+2，则x2﹣3x+2分解因式为（x﹣2）（x﹣1）．【解答】∵（x﹣2）（x﹣1）=x2﹣3x+2，∴x2﹣3x+2=（x﹣2）（x﹣1）．故答案为（x﹣2）（x﹣1）．8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为（2a﹣3b）2，则k的值为﹣12．【解答】∵（2a﹣3b）2=4a2﹣12ab+9b2=4a2+kab+9b2，∴k=﹣12．故应填﹣12．9、分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2=3a（a﹣2b）2．【解答】原式=3a（a2﹣4ab+4b2）=3a（a﹣2b）2，故答案为：3a（a﹣2b）210、分解因式：﹣2xy2+8xy﹣8x=﹣2x（y﹣2）2．【解答】﹣2xy2+8xy﹣8x=﹣2x（y2﹣4y+4）=﹣2x（y﹣2）2．故答案为：﹣2x（y﹣2）2．优学学霸1、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4，m=3n，解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．【解答】（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．2、先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．【解答】（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．3、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【解答】（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．考场直播1、【2016春•深圳期末】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．【解答】：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【解答】设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a，∴，解得：a=4，k=20故另一个因式为（x+4），k的值为202、【2015•深圳】因式分解：（1）6xy2﹣9x2y﹣y3（2）（p﹣4）（p+1）+3p．【解答】（1）6xy2﹣9x2y﹣y3=﹣y（y2﹣6xy+9x2）=﹣y（3x﹣y）2；（2））（p﹣4）（p+1）+3p=p2﹣3p﹣4+3p=（p+2）（p﹣2）．套路揭密：套路揭密：（1）掌握因式分解的定义及意义；（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。自我挑战1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy【解答】故选C．2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b）=ma+mb B．a2﹣a=2=a（a﹣1）﹣2C．﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（2a+3b） D．x2﹣=（x﹣）（x+）【解答】故选C3、多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（）A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx【解答】﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx，故选：D．4、多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是（）A．﹣6ab2 B．﹣6ab2c C．﹣ab2 D．﹣6a3b2c【解答】多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是﹣6ab2，故选A5、下列因式分解正确的是（）A．m2+n2=（m+n）（m﹣n） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．a2﹣a=a（a﹣1） D．a2+2a+1=a（a+2）+1【解答】故选：C．6、因式