浙江2024年高考数学模拟试题及答案

1.设集合A={1,2,3},5={》|6〉1},C={1,,2},贝i］（AnB）UC=（）

A.{3}B.{1,2}C.{2,3}D,{1,2,3}

2.若函数〃x）=log〃（x+。）SO,a"）的图象过点（一2,0）和（一1,1），则（）

A.a=2,b=3B.a=3,b=2

C.a=2,b=4D.a=4,b=2

3.已知i是虚数单位，a&R,贝ij"/=1”是“（a+i『=2i”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知2,B为单位向量，若"*忖+同,则,石=（）

A.1iy/3B.1+-\/3C.1-A/3D.y/3-1

5.9）的展开式中£（即分子"的指数和分母人的指数相同'项的系数为（）

A.-15B.15C.-20D.20

6.若直线/与三次函数y=/（x）有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线/（）

A.经过定点B.不经过定点C.斜率为定值D.斜率可为任意实数

7.小张同学将一块棱长为2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体

外接球的体积为（）

A.遥兀B.2y/6nC.3迎nD.9瓜n

8.已知函数"X）=sin0x+coso7r（o>0）,\/加,〃€尺都有1/（〃2）-/（〃）归2,（乙）］,若恰好有4个点

（%,/（%））同在一个圆心在x轴上半径为、)

缶，也、

A.B.

E3i4J

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.在正方体A3CD-4与。］2中，E为棱3片的中点，则下列结论正确的是（）

A.若点P为4G中点，则£尸〃面AC，

B.若点尸为AC中点，则砂〃面ACR

C.若点尸为AC中点，则EP1面AC，

D.若点尸为。C中点，则EP，面AC2

10.已知函数/(%)=sinx+siin（l-x）,f'（x）为的导函数，则下列结论正确的是（)

A./(-%)=/(1+%)B.y(x)+/(^-+x)=O

ID./（%）=/卜+叁

X1/

11.已知双曲线C：彳—一7=1伍〉6〉0）上两点知，N关于尤轴对称，A,2分别为C的左右顶点，若直线

ab

MA和NB交于点P,则（）

A.直线跖4和MB的斜率之积为定值B.直线AM和NB的斜率之积为定值

22

C.点尸在椭圆二+与=1上D.面积的最大值为a匕

a~b~

12.在2X2的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛾蜗从A区域出发，每次跳动都等可能的跳往

相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛾蛾起跳时区域的颜色不

同）.记蛾她第“跳后表格中的不同染色情况种数为。，（第一次跳后有如图四种情况，即囚=4）,则（）

A红黄A红蓝A红红A红红

二黄

红，红C蓝红

A.4=8B.。田〉。“，恒成立

C.蛾蛾能将表格中的三块染成蓝色D.触蛾能将表格中的四块染成黄色

三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分

13.设等比数列｛%｝的公比为4，S,为前w项和，若狷=2,qS2=6,贝1%=

14.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边A。

与键盘所在面的侧边长BO均为32cm,点尸为眼睛所在位置，。为AO的中点，连接尸D,当尸。J.AO时,

27r

称点尸为“黄金视角点”，作PCL3C,垂足C在02的延长线上，当3C=llcm,NAOC=丁时，归。=

P

A

D\

OBC

15.将正整数1〜10由校到大排列1,2,m,10,从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在机前面，

2

一个在加后面的概率为则机=.

16.已知动点P在抛物线＞2=4x上，抛物线焦点为R准线与x轴交于点E,以E,P为焦点的椭圆G和双

曲线c2皆过点p,则椭圆G和双曲线G离心率之比的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.已知｛4｝为等比数列，前〃项和S,,且S2=4,%—1,a2+l,1成等差数列.

(1)求。“和S“；

(2)若2s求数列也｝的前〃项和力

18.如图，在四棱锥尸—ABC£＞中，朋1,平面ABCD,AD//BC,ADLCD,N是线段尸C的中点，

AD=CD=sjl,BC=142.

Cl)求点N到平面PAB的距离；.

(2)若二面角N—A。-P的余弦值为逅，求四棱锥P-A8CD体积的大小.

3

Sm

19.在△ABC中，已知tanB=-------.

3-cosA

(1)若tanB='，求sinA的值；

3

(2)已知中线AM交BC于Af,角平分线AN交BC于N,且AM=2,MN=1,求△ABC的面积.

22

20：已知点A(0,2)在椭圆C:j+T^=l(a〉l)上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为M,N.

CI(1—1

(1)求椭圆C的方程;

（2）求直线MN经过的定点坐标.

21.（本题12分）为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛.下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的

200场比赛的胜负与先后手列联表（不记平局，单位：场）.最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三

胜，没有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交换先后手.已知甲先手胜乙的概率为工后手胜乙的概

3

率为一•

3

先后手胜负合计

胜负

先手6040100

后手4060100

合计100100200

（1）依据a=0.01的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联?

（2）在甲第一局失败的的条件下，求甲最终获胜的概率.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.0500.0100.001

P(k>k0)

3.8416.63510.828

ex1i----

22：已知函数/（%）=---------ax-y/l+x,其中且

a2

（1）当a=l时，求曲线y=/（x）在（0J（0））处的切线方程.

（2）若对任意1,+8）,都有恒成立，求实数a的取值范围.

1.D

解析：5=k|«>1}=卜|%>1},A^B={2.3},(An5)UC={l,2,3},故选D.

2.A

解析:/(X)=log/%+8)过点(―2,0)的2=3,/(%)=log/x+3)过点(—1,1)得〃=2,故选A

3.B

解析：/_i+2〃i=2i,得。=1,所以“二二『是"(〃+i)2=2i”的必要不充分条件，故选B

4.C

解析：|s-P|2=|a+P|2=1+1+25-^,展B=i—5又"qvi故选c

5.B

Lamr

解析：通项公式1川=Cd-由二可得—=6——，故厂=4,系数为C：=15,故选B

bm2

6.A

解析：设这三个交点的坐标分别为(a,/(a)),(c,/(c))由题意可得2A=a+c,由于三次函数

y=〃x)的图像是中心对称图形，由为=a+c可知，(。"仅))为"X)对称中心，即直线/经过定点一一

三次函数的对称中心故选A.

7.C

解析：设正四面体的棱长为〃，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，

即吃四面体二石"。3=2.2=喔方体，所以。=24,又因为正四面体外接球的半径R=

4

生史=9[逅/=3辰,故选C.

球3314J

8.C

解析：/(%)=sincox+cos①兀=夜sin(aa+£].因为\/加,“€尺都有|/(间一/(〃)|<2，(%,)|,所以

-23

个点在圆内，可得八,'J，解得士乃<万,

这4个点为的最值点由恰好有4,k可,〔泞4

选C.

9.AC

解析：

如图，取A2中点M,31G中点N,连接EM,EN,MN,则显然有平面EMN〃平面AC',则只需点P在

平面EMN上，就有EP〃面AC，，所以，当点尸为用G中点时，有EP〃面AC',A正确，B错误；

当点尸为AC中点，则EPLAC,EPID^P,则面AC2,C正确；D错误；

故选AC

10.ACD

解析：

由已知得r(x)=cosx-cos(l-x)

f(-x)=sin(-x)+sin(1+x)=/(1+x),A正确:

/(x)+于(兀+x)=sin%+sin(1-x)+sin(»-x)+sin(l一7一x)=2sinxH0,B错误;

=cosg—cosg=0=/

I,C正确;

n

f'(x)=cosx-cos(l-x)=sinx+—+sin1-x---=/%+—,D正确:

222

故选ACD

11.ABC

2-222

解析：设点A1(zn,〃)，N(m,-n)，则有="—7T=lnm2_a2=a_n_t所以直线M4和MB的斜率之积

a~b~

IR

kMAkMB='~」~A正确;

m+am-am2-a2a~

ri-n-n2b'十市

直线MA和N3的斜率之积化3即8=--22),B正确;

m-\-am-am-aa

b222

x+亳~=1上，C正确;

因为直线MA和N3交于点尸，由椭圆第三定义及mr/：依rD=--不2，可知点尸在椭圆f2

aa

由C可知△PA3面积的SW。。，当点P在，y轴时取得最大值，但此时直线力,尸3与双曲线渐近线平行,

与双曲线仅有一个交点，不存在点M,N故取不到最大值，D错误；

故选ABC

12.AC

解析：当“=2时，对第一个表格，往左跳，区域染成蓝色，或往下跳，区域染成蓝色，两种情况，其他表格

亦如此，故。2=4x2=8,A正确;

表格最多不超过34=81种不同的染色情况，故不可能区用〉为恒成立，B错误;

红蓝红蓝

红红红党黄黄

所以C正确;

所以c正确;

因此三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D错

误.

故选：AC.

13.8

解析：qS{=qaA=2,qS2=q(ax+aA=qax+qa2=2+qa^=6,得眄=4,于是q=&=^^=2,

a.qa,

%=qq，=2x=8答案：8.

14.25g

n।32

解析:过。作0M_LOC交DP于M,过M作“交PC于C,则ZOOM=NPMN=

=2573.答案:25VL

于是闸吟+君

15.4或7

解析：由题意Ci『5=2n=2-11机+28=o,解得加=4或7.

Go5

故答案为：4或7.

16.(0,3-272]

PF

1-

IPE

解析:由题意椭圆C和双曲线C2离心率之比员=至=4=PE—0/

-%Q%PE+PF\~PF

1+

pi

\pp

令/=,设尸(m,一)(m>0),则〃2=4一,因为£1(—1,0),F(-1,O),

所以"牝二三”厂匕

PF^(m+iy+n2Vm-+m+1

n、,4m4m1

因为―--------<,-----------

m-+6m+l2jm2*1+6加2

所以/N业，故员=三=二一一—1=3—2血，又旦〉0,所以且e(0,3—20]

2ql+l/+l]J2e?e?'」

~T

故答案为：倒,3-20].

17.

(1)解析：

因为％—1,a2+l,4一1成等差数列，所以2(%+1)=%+%—2,X52=4,即%+%=4,

4(1+4)=4fa=1

可列出方程彳):、，解得1，

%(1+/_21)=4[<?=3

_1-3"_3n-l

所以a〃=3"T,

-1-3-2

(2)解析：

。二=2p______M

由由)得a”=3"，所以"

nB+1n+1

SnSn+l(3-l)(3-l)U"-l3-lJ

J___---…______M=2p---'

3-132-l32-l33-l3"-l3n+1-lJ(3—13n+1-lJ3,!+1-l

18.

a)解析:

J?

因为A§2=AC2+BC2—2AC3C-=4+8—8=4,

2

CAIAB

所以3c2=AC2+A§2,所以CALAP、=。4，平面482,

ABC\AP=A

所以点C到平面B4B的距离d°=C4=2,又因为BN是线段PC的中点，所以点N到平面E4B的距离

d=—CA=2.

N2

(2)解法一：

建立如图空间直角坐标系，则尸(0,0,2〃)，C(0,2,0),N(0,l,h),A(0,0,0),D(-l,l,0),A2V=(0,l,A),

——■/、/、\AN-n.=y+hz=Q一(1)

AD=(—l,l,0),%=(x,y,z),所以一」-=々=1』,-7,

[AD-=-x+y=0kh)

又因为OC,平面APD,则和=灰=。,1,0),所以汹•=告*=——=

3hl-H至J

解法二：

如图，作NO垂直AC于O,取A。中点M,连结MO,MN,

易知NOMN是二面角N-AD-尸的余角，

所以Rt^NOM中，sinZNOM=^-=—=>NO=1,

V23

V

所以尸4=2NO=2,所以％ABCD=1-3-2=2.

r-ADCLz3

19.

isin

(1)角军析1：•:一=--------=^>3sinA=3-cosAcosA=3-3sinA

33-cosA

/.sin2A+(3—3sinA)?=1=>5sin2A—9sinA+4=0sinA=1或1

stnsin/A

(2)角军析1：------=-----------=^>sinAcosB+sinBcosA=3sinBsinC=3sinBc=3b

cos83-cosA

S/\ABNBNc-sinZBAN.BNBM+1。…。“

又；.——=-----------=3——=-------=3nBM=2na=4

S&ABNNCb-sinZCANNCBM-1

4+4—9〃24+4一扇o

又cosNAMB+cosZAMC=0=>---------+--------=0n/=—

2-2-22-2-25

b2+c1=—+9-—=16=tz2=>ABAC=—

552

.c1,3,23812

△ABC22255

20.

Q41*2«

（1）解析1：由题意得：-^+――=ln/=5...c：上+2L=i

«2a2-l54

（2）解析1：若两条弦分别与龙与，y与平行，此时直线MN中x与，故定点在x与上.否则设过右焦点的直

线记为x=（y>+l：交椭圆于两点（七,%）,（%2，%），

则x=<y+l,4.4炉+5/=20n（4/+5）>2+8/y-16=0

St—4-t.—4/5

“1=可+』

4/+5

4

日工.55/74/

=二=门'%=耳==

X=

若=XN，解得/=±1，1MN'^

4f4f

%-%5/+4+4/+5—2L15（“1

否则^MN

2

XM-XN5t55（Z-1）"kMN9l

5/+44/+5

5俨_15

y+

故IMN:X=山4?"+5

5仁-1）

4/5_20/+25=3中直线过定点

其中:4/2+5+4Z2+5-9（4/2+5）

9t

21.

(1)解析：

2

X=20℃600-160°)=8>6635故可以认为五子棋先后手与胜负有关联.

100-100-100-100

(2)解析：

设事件A：甲第一局失败；事件B：第一局甲先手；事件C：甲获胜

-1_121

:.P(B)=P(B)=_；P(A)=P(AI5)+P(A5)=---+--

3~2

分两种情况讨论：

甲第一局先手且失败，但最终获胜：

£11211

共4局比赛：

23333-8/

£11r22J_11J_J_22^21_9_1

共5局比赛:<3-3-3+33'3+3-3,3j

2,-3~927~27

甲第一局后手且失败：,但最终获胜：

19212_4_

共4局比赛：----

23333-81

................12<1122222ir111124

共5局比赛：--•>--•——.—.—।—•—

23(333333333,1392781

1144124

故甲在第一局失败的情况下获胜的概率尸(AC)=—+—=—=——.

812781818127

综上尸加)=皆吟

22.

解析：

(1)由题意知，当。=1时，f'(x)=ex----------/，

2

又因为y(o)=o,r(o)=o，

即得曲线y=在(0J(0))处的切线方程为y=0.

(2)法一：

因为/(0)=1—120n0<a«l,

a

又因为r(x)=J—：。—r(。)=!一£_:，

a22V1+X。22

所以r(O)随。增大而减小，当0=1时，/,(0)=1----=0,

下证充分性：

由e，2x+ln/(x)2土■-丝-Jl+x,xe[-l,+oo),

令"Vl+xG[0,+oo)n%=r一1,

/11

设g(%)=-----cit^H—a—t>/20,

a22

Iaa

则g'⑺=2t—l=0,所以、=-2—―

a22-a2

---ci

a

2

由——a€[1,+00)n办£(0,1]，

a

所以g0)在(O/o)单调递减，在&,+8)单调递增

2

Ia2a