浙江省金华市2022-2023学年高二年级上册期末数学试题（含解析）

浙江省金华市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）2022

-2023学年度第一学期期末检测

高二数学试卷

一、选择题（共40分，每小题五分）

L若直线/的方向向量°=（一26）,则直线/的斜率是（）

A.—B.—C.3D.—3

33

2.若曲线C：必+V+2at-4ay=0表示圆，则实数。的取值范围为（）

A.（-2,0）B.（YO,-2）D（0,+OO）

C.[—2,0]D.（―co,—2]u[。,+°O）

3.下列命题中正确的是（）.

A.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana

B.若直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

C.平行于x轴的直线的倾斜角为180

D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90

4.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为e准线为/,则点尸到准线/的距离为（）

A.gB.1C.2D.4

5.圆产+产―6%—2y+l=0被x轴所截得的弦长为（）

A.2aB.20C.4D.4&

6.已知4（—2,0）,5（4,。）两点到直线/:3%—4丁+1=0的距离相等，则。=（）

99

A.2B.-C.2或—8D.2或一

22

7.“直线x+ay—1=0与直线ax—y+l=0相互垂直”是“a=1”的（）

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

8.已知耳、工是椭圆二+与=1（。〉万〉0）的两个焦点，过心的直线与椭圆交于A、8两点，若

ab

忸耳|=3:4:5,则该椭圆的离心率为（）

A.6B.2-上C.D.—

222

二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分.

9.设直线/的方程为x—y+机=0,圆C的方程为炉+产一4x—4y=0,圆。上存在4个点到直线/的距

离为0，则实数加的取值可能为（）

A.-1B.-2C.0D.2

22

10.己知椭圆C：土+匕=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正确的是（）

m9

A.椭圆C的长轴长为6B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的焦距为20D.椭圆C的离心率为¥

22

11.已知椭圆C：L+^=1的左、右焦点分别为耳、居，P为椭圆。上不同于左右顶点的任意一点，则

43

下列说法正确的是（）

A.鸟的周长为8B.△尸4月面积的最大值为有

C.尸耳・尸玛的取值范围为［2,3）D.归国归耳|的取值范围为（3,4］

12.己知边长为2的菱形ABC。］中，ZAZ51C=60°（如图1所示），将..A。。沿对角线AC折起到八4。。

的位置（如图2所示），点尸为棱上任意一点（点尸不与8,。重合），则下列说法正确的是（）

CD

A----------------

图1图:2

A.四面体A8CD体积的最大值为1

则线段P。长度的最小值为理

B.当卡时，。为线段C4上的动点,

2

C.当30=指时，点C到平面R45的距离为2姮

5

D.三棱锥P-ACD的体积与点尸的位置无关

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.己知向量〃=（2,0,1）为平面。的法向量，点4（—1,2,1）在a内，点P（l,2,-2）在a外，则点P到平面

«的距离为.

14.在平面直角坐标系X0Y中，若圆+9=4和圆+y2+4x-4y+4=0关于直线/对称，则直线/的

方程为.

22

15.已知点4（4,0）,6（2,2）是椭圆\+三=1内的两个点，M是椭圆上的动点，贝||阿+|加司的最大

值为.

16.已知点M（0,3）,点M、N关于直线/]：y=l—X对称，若直线，2过点N且与直线4交于点P,若

S^PMN=4，且直线12的倾斜角大于4的倾斜角，则直线/2的斜截式方程为.

四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知平面直角坐标系xQy中，的三个顶点的坐标分别为4（3,2）,B（5,-2）,C（-l,-l）.

（1）若直线/过点C且与直线AB平行，求直线/方程；

（2）求线段BC的垂直平分线方程.

18.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面ABC。，底面ABCD为梯形，AD//BC,AOLAB,且

PB=AB=AD=3,BC^1.

⑴若点P为上一点，且=证明：C/〃平面P45;

（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值.

19.已知圆C过点A（5,—5）,4（—2,2）,A（6,-4）.

⑴求圆C的一般方程；

⑵已知直线/i过点4卜"。）（。＜°）且与直线4：2x-4y+l=0平行，若直线。与圆C相切，求。值以

及直线/1的方程.

20.如图甲，在矩形ABCD中，A8=2AD=2j5,E为线段。。的中点，VADE沿直线AE折起，使得

DC=®如图乙.

（1）求证：平面ADE；

TT

⑵线段A3上是否存在一点〃‘使得平面®与平面DEC所成的角为了？若不存在‘说明理由；若存

在，求出〃点的位置.

21.在①圆心C在直线/:2x—7y+8=0上，8（1,5）是圆。上点；②圆C过直线s:2x+y+4=0和圆

x2+y2+2x-4y-16=0的交点.

这两个条件中任选一个，补充下面问题中，并进行解答.

问题：已知在平面直角坐标系xQy中，圆。过点4（6,0）,且________.

⑴求圆C的标准方程；

⑵求过点A的圆C的切线方程.

22.在平面直角坐标系中，己知两个定点4（0,6）,5（0,3）,曲线C上动点尸满足|K4|=2|?S].

⑴求曲线C方程；

⑵过点。（0,1）任作一条直线与曲线。交于P,Q两点（P,Q不在＞轴上），设E（0,4）,并设直线OP和直

线EQ交于点试证明：点“恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.

2022-2023学年度第一学期期末检测

高二数学试卷

一、选择题（共40分，每小题五分）

1.若直线/的方向向量「=（—、可，则直线/的斜率是（）

A.—B.—C.3D.—3

33

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线的斜率与方向向量的关系可求得直线/的斜率.

【详解】因为直线/的方向向量a=（—2,6）,则直线/的斜率是左=■=—3.

故选：D.

2.若曲线C：必+V+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数。的取值范围为（）

A.（-2,0）B.（73,-2）U（0,+<»）

C.[-2,0]D.（―co,—2]u[。,+°°）

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.

【详解】由x?+y2+2ax-4ay-10a=0,

得（x+a）-+（y-2a了=5«2+10a,

由该曲线表示圆，

可知5a2+10a>0，

解得a>0或a<-2,

故选：B.

3.下列命题中正确的是（）.

A.若直线的倾斜角为a,则直线的斜率为tana

B,若直线的斜率为tane,则此直线的倾斜角为a

C.平行于x轴的直线的倾斜角为180

D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90

【答案】D

【解析】

［分析］根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.

JT

【详解】对于A,当&=一时，直线的斜率不存在，故A不正确；

2

对于B,当&=时，斜率为t,倾斜角为故B不正确；

对于C,平行于无轴的直线的倾斜角为0,故C不正确；

对于D,若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的.

故选：D

4.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线/=2y的焦点为R准线为/,则点P到准线/的距

离为()

A.1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由抛物线的标准方程可知。，即可求解.

【详解】因为抛物线x2=2y,

所以2P=2,即p=l,

所以焦点F到准线/的距离为1,

故选：B

5.圆/+俨―6%—2y+l=。被x轴所截得的弦长为()

A.2A/2B.2石C.4D.4亚

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的弦长公式即可求解.

【详解】/+产一6%—2y+l=0的圆心和半径分别为(3,1),r=3,

因此圆被x轴所截得的弦长为2二产=40，

故选：D

6.已知A(—2,0),5(4,0两点到直线/:3%—4丁+1=0的距离相等，则。=()

99

A.2B.-C.2或—8D.2或一

22

【答案】D

【解析】

【分析】分4-2,0),3(4,a)在/:3%—4y+1=0的同侧和异侧分类讨论求解.

【详解】⑴若A(-2,0),B(4,。)在/:3%—4y+1=0的同侧，

n.,,3Cr..,a39

则上AB所以Z=：，=彳，

=A/4=o42

⑵若A(-2,0),8(4,a)在/:3x—4y+1=0的异侧，

则A(—2,0),B(4,a)的中点］1,£|在直线/:3x—4y+l=0上，

所以4—2a=0解得a—2,

故选:D.

7.“直线x+ay-1=0与直线ar-y+l=0相互垂直”是“。=1”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线垂直，求出。的值，则可判断充分性和必要性.

【详解】因为直线x+@—1=0与直线办—y+l=0相互垂直，

所以lx(a)+ax(-l)=0,

所以aeR.

当a=l时，直线％+分一1=0与直线ta—y+l=0相互垂直，

而当直线%+砂一1=0与直线依一丁+1=0相互垂直时，a=1不一定成立，

所以“直线%+分-1=0与直线ax-y+l=0相互垂直”是“a=l”的必要而不充分条件，

故选:B.

22

8.已知耳、歹2是椭圆・+2=1(。〉人〉0)的两个焦点，过工的直线与椭圆交于A、B

两点，若忸4|=3:4:5,则该椭圆的离心率为()

A@B.2-A/3C.D,交

222

【答案】D

【解析】

【分析】利用勾股定理得出/可人工=90,利用椭圆的定义求得|A耳|、|伤利用勾股

定理可得出关于a、c的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.

【详解】如下图所示，设|4用=3/,则|AB|=4九忸周=5/,所以，4「+|.『=忸用2,

所以，ZF{AF2=90,

由椭圆定义可得+|人到+忸制=12/=4〃，.」=],「J=3/=a,

所以，|AF^=2a—|A7^=a,

所以，△71耳耳为等腰直角三角形，可得|AE『+|A用『=忸入『，...2〃2=402,

所以，该椭圆的离心率为e=£=也.

a2

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的方法如下：

⑴定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、C的值，根据离心率的定义求解离心率e的

值；

（2）齐次式法：由己知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分.

9.设直线/的方程为x-y+机=0,圆C的方程为必+丁2一4%-4丁=0,圆C上存在4个

点到直线/的距离为后，则实数用的取值可能为（）

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】AC

【解析】

【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据题意可知圆心到直线/的距离4＜应，利用点到

直线距离公式可求得加的范围，进而得到结果.

【详解】圆C的方程可化为（x—2『+（y—2『=8,可知圆心C为（2,2）,半径为2挺，

若圆上存在4个点到直线/的距离为V2，则C（2,2）到直线x—y+机=0的距离d＜立,

12—2+I—

即^—解得：—2<m<2,则实数掰的取值可能是-1,0.

V2

故选：AC.

22

10.己知椭圆C：土+匕=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正

m9

确的是（）

A.椭圆C的长轴长为6B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的焦距为2应D.椭圆C的离心率为¥

【答案】ABD

【解析】

【分析】先由题意及椭圆的几何性质求得根=1，从而得到。=3,b=l，c=2血，由此

对选项逐一检验分析即可.

22

【详解】因为椭圆C：土+匕=1的焦点在y轴上，所以。2=9/2=加，

m9

又因为2a=3x26,故/=泌2,即9=9加，故m=1,

对于A,由/=9得I=3,故椭圆。的长轴长为2a=6,故A正确；

对于B,由"=加=1得b=l,故椭圆。的短轴长为2Z?=2,故B正确；

对于C,因为°2=储—/=9—1=8,所以c=2正，故椭圆。的焦距为2c=4夜，故c

错误；

对于D,易知椭圆C的离心率为二=逑，故D正确.

a3

故选：ABD.

22

11.已知椭圆。:上+乙=1的左、右焦点分别为耳、居，P为椭圆。上不同于左右顶点

43

的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.月周长为8B.鸟面积的最大值为6

C.郎・尸耳的取值范围为[2,3）口.|/岑|归6|的取值范围为（3,4]

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知求得。=2,b=6，c=l.又椭圆的定义，即可判断A项；当点P为短

轴顶点时，△「月心的面积最大，即可得到B项；设出点的坐标，表示出根据椭

圆的范围即可得到范围，进而判断C项；由椭圆的定义可得，|历|=4-户耳.

|p^||p^|=-（|p^|-2）2+4,求出1<|/蜀<3时的值域，即可判断D项.

c=l.

对于A项，△用月的周长为归国+归闾+闺司=2a+2c=6,故A项错误；

对于B项，设9（々，兀），％*士2,则Sv?"。=g㈤可|%］，所以当点尸为短轴顶点时，

△PE8的面积最大，最大面积为:x2xg=6,故B项正确；

对于C项，设夕（知儿），-2<x0<2,4（—1,0）,月（1,0）,则出

22

uuuqY2

Pg=（%0—1,%）,则明.尸月=/2+%2_1.因为r:+方v_=1,所以％2=3一寸，

222

所以「周+2>2,又号-<1,所以「6,石=1+2<3，所以6的

取值范围为［2,3）,故C项正确；

对于D项，由|尸制+|尸阊=4可得，|p周=4—归闾，由C知，PF2=（x0-l,y0）,则

UULT271?I,2

2

PF2=(x0-l)-+y0=-(x0-4)-,因为_2</<2,所以］<怛同一<9,所以

1<|尸周<3,同理有1<|尸居|<3.所以归耳归闾=忙耳|（4—|「制）=一（归耳|一2）2+4,

当|尸耳|=2时有最大值4,当忸耳|=1或归耳|=3时,值为3,但是|尸耳|。1且归耳艮3,

所以归国归闾的取值范围为（3,4］,故D项正确.

故选：BCD.

12.已知边长为2的菱形ABCD,中，ZAD.C=60°（如图1所示），将春。。沿对角线AC

折起到八4。。的位置（如图2所示），点P为棱3。上任意一点（点P不与3,。重合），则

下列说法正确的是（）

D

A.四面体ABC。体积的最大值为1

B.当布时，。为线段C4上的动点，则线段P。长度的最小值为逅

2

C.当几时，点C到平面八45的距离为笠5

D.三棱锥P-ACD的体积与点尸的位置无关

【答案】ABC

【解析】

【分析】逐一进行验证，对A,平面ACD,平面ABC时有体积最大，计算即可;对B建系

ACm

计算归1-01判断；对C,计算।\।'।\।即可;对D依据图形判断即可.

m

【详解】如图

设。是AC的中点，根据题意知，0D1AC,OB1AC,OB=OD=6

当折到平面ACD±平面ABC时，四面体ABCD的体积最大，

此时四面体ABCD的最大体积V=-5AABC-OD=-xlx2xV3xV3=l,故A正确；

332

当30=6时，因为032+002=3。2,所以05，。。，

所以。4,0B,0。两两垂直，以。为原点，0A,0B,0。所在直线分别为无，y,z

轴建立如图所示的空间直角坐标系.设尸（。也0-6）,0（。,0,0）,其中—

0<Z?<A/3>|=yja2+b2+^y/3-b^=Ja2+2b-^-，

当。=0,6=当时，「。|取得最小值为£=半，故B正确；

4（1,0,0）,B（0,V3,0）,C（-l,0,0）,D（0,0,V3）,则科=卜1,6,0）,

/*—\UUU1

A。=（一1,0,，3）,AC=（-2,0,0）,设加=（x,y,z）为平面ABZ）的一个法向量，

—X+=0,u/r\

则L，令y=L得机=,所以点C到平面RW（即平面ABD）的距

-%+V3z=0,''

IAC-ZHII-2V3I2J15

离d=故C正确；

同V3+1+15

对于选项。，显然随着点P的移动，该三棱锥的高（点P到平面ACD的距离）发生变化，因

而其体积也发生变化，不是定值，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量〃=（2,0,1）为平面1的法向量，点4（—1,2,1）在a内，点尸（1,2,—2）在a外,

则点P到平面a的距离为.

【答案】—##|A/5

55

【解析】

【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.

【详解】依题意，AP=（2,0,-3）,而平面a的法向量为”=（2,0,1）,

,,小十=\AP-n\|2x2+（-3）xl|也

所cr以点H尸到平面a距禺J~：一-=-------1.

\n\V55

故答案为：—

5

14.在平面直角坐标系x0y中，若圆/+丁=4和圆/+/+4%-4丁+4=0关于直线/

对称，则直线/的方程为.

【答案】％-y+2=0

【解析】

【分析】直线/为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.

【详解】若圆f+V=4和圆f+V+zix—4y+4=0关于直线/对称，

则直线/为两个圆心的中垂线，

必+丁2=4的圆心为。］(0,0),

X?+y2+4x-4y+4=0的圆心为。2(-2,2).

乜2=7,中点为(-M)

可得直线/为y-l=x+l,整理得：x-y+2=0.

故答案为：x-y+2^0.

22

15.已知点4(4,0),8(2,2)是椭圆会+2_=1内的两个点，M是椭圆上的动点，则

|M4|+|加网的最大值为.

【答案】10+2710##2^+10

【解析】

【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.

22

【详解】依题意，椭圆方程为土+乙=1,所以a=5力=3,c=4,

259

所以4(4,0)是椭圆的右焦点，设左焦点为。(-4,0),

根据椭圆的定义可知|M4|+|MB|=2a-\MC\+\MB\=10+|MB|-|MC|,

\MB\-\MC\<\BC\=J(-4-2)2+(0-2)2=2M,

所以的最大值为10+2屈.

故答案为：10+2师

16.已知点“(0,3),点M、N关于直线/i：y=l-X对称，若直线6过点N且与直线/1

交于点P,若SKMN=4,且直线4的倾斜角大于4的倾斜角，则直线,2的斜截式方程

为.

【答案］y=_?x+?

-33

【解析】

【分析】利用两点关于直线的对称性求出点N的坐标，求出1MM以及直线的方程，

设点P&1—。，利用点到直线的距离公式以及5心.=4求出/的值，根据直线右的斜率

的取值范围为(-1,0)得出点P的坐标，进而可求得直线4的方程.

【详解】设点N(a,b),线段MN的中点为容)，直线4的斜率为T,

ab+3

1-------二-----------

22a——2/、

由题意可得<7；解得、，，即点N（—2,1）,

二］0=1

、a

设点直线MN的方程为y=x+3,且|MN|='（0+2）2+（3-以=20，

2|/+1|

点尸到直线MN的距离为4==用+[,

Sm=g|阿M=gx2陵x仞+1|=2,+1|=4,解得，=1或-3.

因为直线乙的倾斜角大于4的倾斜角，且直线乙的斜率为-1，

设直线，2的斜率为左2,则T<&<0.

若/=1时，则点P（1,O）,此时&=甘=—；，合乎题意;

若f=—1时，则点P（—1,2）,k2=^^=l,不合乎题意.

所以，直线4的方程为y=—g（x—1）=—gx+g.

故答案为：y=—-x-\"—.

*33

四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.已知平面直角坐标系xQy中，.A6C的三个顶点的坐标分别为A（3,2）,5（5,-2）,

C（—1,—1）.

（1）若直线/过点C且与直线A8平行，求直线/的方程；

（2）求线段BC的垂直平分线方程.

【答案】⑴2x+y+3=0

（2）12%—2y—27=0

【解析】

【分析】（1）利用直线平行求得&=KB=-2,再利用点斜式即可求得直线/的方程；

⑵先利用中点坐标公式求得8c的中点。［2,-,再利用直线垂直求得匕”=-J=6,

I2jkBC

从而利用点斜式即可求得所求.

【小问1详解】

因为A(3,2),5(5,-2),所以l=二^=—2,

5—J

因为直线/与直线A8平行，所以&=左加=—2,

又因为直线/过点C（—1,—1）,所以直线/为y+l=—2（x+l）,即2x+y+3=0.

【小问2详解】

因为5(5,—2),C(-l-l),

2.I1

所以8c的中点。为，^BC

5+16

,1,

故线段BC的垂直平分线m的斜率为km=--=6,

3

所以直线切为y+,=6（x—2）,即12x—2y—27=0.

18.如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面A3CD,底面A3CD为梯形，ADHBC,

AD_LAB,且尸3=AB=AD=3,3C=1.

⑴若点尸为。。上一点，且刊7=证明："〃平面

（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值.

【答案】⑴见解析⑵!

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）根据空间向量的坐标运算求线面夹角的正弦

值.

【小问1详解】

作切//40交必于点〃，连接

因为所以mZ=J_AD=I,

33

又因为AD/ABC,且BC=1,所以HF//BC,HF=BC,

所以四边形HFCS为平行四边形，所以CF//BH,

平面B45，平面八钻，所以C尸〃平面

【小问2详解】

因为PS，平面ABCD,BC,BA<z平面ABCD,

所以PBLBC,PBLAB,

又因为AD/ABC,AD_L所以3CJ_A3,

则可以以3为坐标原点，建立如图所示的坐标系,

则3(0,0,0),P(0,0,3),0(3,3,0),A(0,3,0),

PD=(3,3,-3),PA=(0,3,-3),BD=(3,3,0),

设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z),

n-PD=3x+3y-3z=0

则令x=L则y=-1,z=0,

n-BD=3x+3y=0

所以〃=(L—1,。),

设直线Q4与平面BPD所成角为。,

,,PA-n3

sin6=cos(PA,n)=--n—

'/PA«3五x收2

19.已知圆C过点A（5,—5）,&（—2,2）,A（6,-4）.

⑴求圆C的一般方程；

（2）己知直线/1过点4（5石,<0）且与直线/2：2x-4y+l=0平行，若直线及与圆C相

切，求。的值以及直线4的方程.

【答案】⑴V+V—4x+2y—20=0；

（2）。=一2;直线/i的方程为2x—4y—100一8=0.

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法设出圆C的一般方程，代入已知点即可求解；

（2）根据⑴的结论及圆的标准方程，利用平行系及直线与圆相切的条件，结合点到直线的距

离公式及点在直线上即可求解.

【小问1详解】

设圆C的一般方程为/+/+6+与+尸=0.

因为A（5,—5）,A（—2,2）,&（6,—4）三点都在圆上，

25+25+5D-5E+F=0

所以14+4—2。+2石+歹=0,解得。=-4,E=2,尸=—20,

36+16+6D-4E+F=0

故圆C的一般方程为公+V—4x+2y—20=0.

【小问2详解】

由（1）知，圆C的标准方程为（尤—2『+（y+=25,

所以圆心C（2,—1）,半径为r=5.

因为直线。与直线4：2x-4y+l=0平行，

所以设直线4的方程为2x—4y+m=0（mwl）,

因为直线/1与圆C相切，

|4+4+zwl

所以圆心。（2,—1）到直线乙的距离为5,即=万+（4/=5'解得根=1。6-8或

m=-10V5-8，

当根=10«—8时，直线。的方程为2x—4y+106—8=0,

又因为点4卜石,。）（。<0）在直线/1上，

所以2x5正一4。+106一8=0，解得a=56一2>0（舍）.

当根=—106—8时，直线4的方程为2x—4y—10J?—8=0,

又因为点A3石,<0）在直线0上，

所以2义5百一4。一106—8=0，解得。=-2,符合题意，

所以a=-2,直线/1的方程为2x—4y—100一8=0.

20.如图甲，在矩形ABCD中，A3=2AD=2j5,E为线段。。的中点，VADE沿直线

AE折起，使得DC=#，如图乙.

(1)求证：BE，平面ADE；

TT

(2)线段A3上是否存在一点〃，使得平面ADE与平面OHC所成的角为一？若不存在，

4

说明理由；若存在，求出H点的位置.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，点H是线段AB的中点

【解析】

【分析】(1)作出辅助线，得到OOLAE,DOLOC,从而得到线面垂直，得到面面垂

直，再由面面垂直的性质得到线面垂直；

⑵建立空间直角坐标系，设出H的坐标«,2-/,0),求出平面的法向量，从而列出方程,

求出/的值，确定8点位置.

【小问1详解】

证明：连接3E,取线段AE中点。，连接。0,0。，

:.D0LAE,D0=l,

在△0EC中，OE=LAE=l,EC=4i,/OEC=h兀,

24

由余弦定理可得：DC?=i+2+2xlx应x《Z=5，

2

:.0C=s[5

在△OOC中，DC2=6=DO2+0C2,

:.DO±OC,

又AEcOC=O,AE,OCu平面ABCE,

..DO,平面ABCE,

又DO<=平面ADE,

平面平面A3CE,

在，ABE中，AE=BE=2,AB=242,

:.BELAE

:平面ADE「］平面ABCE=AE,BEu平面ABCE,

.•.BE，平面ADE.

【小问2详解】

过E作。。的平行线/,以E为原点，E4,EB,/分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

D(l,0,l),C(-l,l,0),A(2,0,0),B(0,2,0),

平面ADE的法向量勺=(0,1,0),

在平面直角坐标系中，直线AB的方程为x+y=2,

设”的坐标为亿2T,0),

则HC=(―-1,0),DC=(-2,1,-1),

设平面。//C的法向量为%=(%,j,z),

%•HC=(),%•DC=0,

所以(—t—1)x+«—1)y-0,—2x+y—z—0,

令y=l+%,则x=%—1,z=3—Z,..%=(%—1,1+E,3—%),

,_,7iv2n,-n1+t

由已知COS—=——=।~Tj—9।=----/二

42kkiJa-i)2+a+i)2+(3-o2

解之得：/=1或9（舍去），

所以点H是线段AB的中点.

21.在①圆心C在直线/：2x—7y+8=0上，8(1,5)是圆。上的点；②圆C过直线

5：2%+丁+4=0和圆/+/+2x-4y—16=0的交点.

这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.

问题：已知在平面直角坐标系xQy中，圆。过点4(6,0),且________.

⑴求圆。的标准方程；

⑵求过点A的圆C的切线方程.

［答案］⑴选①，(x-3)2+(y-2)2=13；选②，(x-l)2+(y-3)2=34.

(2)选①，3x—2y—18=0；选②，5x—3y—30=0.

【解析】

【分析】(1)选①，求出线段A5的垂直平分线所在直线的方程，将其与直线/的方程联立,

求出圆心。的坐标，并求出圆C的半径，即可得出圆C的半径；

选②，设圆C的方程为*+；/+2%—4y—16+/l(2x+y+4)=0,将点A的坐标代入圆C

的方程，求出4的值，即可得出圆。的方程；

(2)选①或选②，求出直线AC的斜率，可得出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线

的方程.

【小问1详解】

解：若选①，直线A5的斜率为心===T，线段A5的中点为加倍,父，

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所以，线段A3的垂直平分线所在直线的方程为y-5=X-］,即y=x-l,

2x-7y+8=0x=

联立可得《,故圆心为C(3,2),

y=x-ly=

圆C的半径为|=J(6-3)2+(0-2)2=屈,

因此，圆C