河南省信阳市信阳某中学2024届高三年级下册4月二模数学试题

河南省信阳市信阳高级中学2024届高三下学期4月二模数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合A={x|3x2-16xV0},B={x|y=ln(5x-2)},则AB=()

1B.1,5/6

A.<x—<xW—

、23

Jx|0<x<-1jf,2J6

>D.<1x—<xW—

[53

一ZAJ

2.若复数z的实部大于0,且z(z+l)=彳，则2=()

A.l-2iB.-l-2iC.-l+2iD.l+2i

3.设/，〃为两条不同的直线，。,力是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若〃/%/〃月，贝!Ja〃/?B.若allBJIla,贝U〃4

C.若II/n,nua,则〃/&D.若/_L©/_L£,则。

4.已知数列｛〃“｝满足：%=。9=40,且数列卜仿为等差数列，则为oo=()

A.10B.40C.100D.103

_1+tan190°2cos70°(、

3.3------------------=()

1-tan370sin40

A.tan20°B.tan70°C.-tan10°D.-tan40°

6.设平面向量a=(l,0),b=(-1,/)，若(a©=G，e),则平面向量c可能是()

A.#>a+bB.a+bC.2a—bD-2a+b

7.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正

月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事

务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()

A.792种B.1440种C.1728种D.1800种

YI

8.若不等式61-〃氏-2〃-320对VxeR恒成立，其中加力0,则一的取值范围为(

m

In3eIn3e

A.-00,-----------B.-----,+oo

22

In3e

F

二、多选题

9.已知位于第一象限的点（。力）在曲线:+；=1上，贝IJ（

A.(o-l)(&-l)=-lB.ab>4

C.a+4b<9

10.高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是

正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得。分.小明对其中的一道题

完全不会，该题有两个选项正确的概率是1■，记X为小明随机选择I个选项的得分，记y为

小明随机选择2个选项的得分.则

A.p(x=o)>p(y=o)B.P(X=2)>P(y=2)

C.E(X)>E(y)D.D(X)>D(y)

11.已知抛物线C：y2=2»（p>0）的焦点为几点M,N在抛物线c上，则（）

MF33

A.若三点共线，且存="则直线MN的倾斜角的余弦值为土，

B.若”,N,尸三点共线，且直线的倾斜角为45。，贝UOAW的面积为正p2

2

C.若点4（4,4）在抛物线C上，且异于点A,AM±AN,则点到直线y=T

的距离之积为定值

D.若点A（2,2）在抛物线C上，且异于点A,kAM+kAN=0,其中心”>1,则

"

IsinNFMN-sin乙FNMI<工2

2323

12.已知(ax-1)(2X-I)-a0+axx+a2x+a3x++的丁.若%+q+%+/+,+%=0,

13.已知等边,.ABC的外接圆。的面积为36万，动点M在圆。上，若MAMB+MBWCW/l，

试卷第2页，共4页

则实数4的取值范围为

14.已知数列｛%｝中，％=1,且2。“+1,若存在正整数〃，使得

(%+2)(。.+2+])<。成立，则实数，的取值范围为.

四、解答题

15.某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓

慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液,

现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化

天数X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

(1)观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作

物高度y关于天数尤的线性回归方程3=嬴+&(其中4卷用分数表示)；

(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm,请根据(1)中的结果预测第22

天该作物的高度的残差.

J(x,.-J)(y,.-y)10

参考公式：B-----------------力=9-宸.参考数据：2^=710.

元『t

Z=1

16.在1ABe中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且sin5+sinC=>/3sinAsinC+sinAcosC.

A

⑴求tan,；

⑵若〃+2指=6+c,求jABC面积的最小值.

17.如图，在斜三棱柱ABC-中，平面平面ACFD,AB1BC,四边形ACFD是

JT

边长为2的菱形，ND4c=§,BC=1,M,N分别为AC,DE的中点.

(1)证明：BCLMN.

(2)求直线MN与平面BCD所成角的正弦值.

18.已知函数/(x)=ln(l+x)-&.

⑴求曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程；

⑵若xe(-l,2,讨论曲线y=/(x)与曲线y=-2cosx的交点个数.

22

19.已知椭圆C：=+3=1(。>6>0)短轴长为2,左、右焦点分别为耳，F2,过点尸2的

ab

直线/与椭圆C交于两点，其中M,N分别在X轴上方和下方，MP=PF1,NQ=QF\,

直线PF2与直线MO交于点。，直线QF2与直线NO交于点G2.

(1)若G1的坐标为,求椭圆C的方程;

⑵在(1)的条件下，过点F?并垂直于龙轴的直线交C于点8,椭圆上不同的两点A,D满

足国川，|&3|,|乙q成等差数列.求弦的中垂线的纵截距的取值范围；

⑶若4sMNG2<3SNFfii<5SMN%，求实数a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合A,根据对数函数的定义域确定集合B,再根

据集合的交集运算得结果.

【详解】因为集合4=卜肉2-16xW0}={x|0Wx4g},8={x[y=ln(5x-2)}=1x|x)|},

则A3=1x[g<xW.

故选：D.

2.D

【分析】设2=。+历,a>0力eR,再根据复数的乘法和除法运算结合复数相等的定义求出

a,匕即可得解.

【详解】设2=。+历,a>0力eR,

20

代入z(z+l)=3+.,得a?+Z?2+a—6i=6—2i,

解得：o=1,&=2,

所以z=l+2九

故选：D.

3.D

【分析】对于A,a与夕还可能相交；对于B,还有可能/u尸；对于C,还有可能/ua；

对于D,用反证法可证命题正确.

【详解】对于A,若〃/%〃/，则a〃6或a与/相交.故A不正确；

对于B,若a〃尸，〃/a,则〃/尸或/u〃.故B不正确；

对于C,若则〃/&或/ua.故C不正确；

对于D,若,则a//尸，命题正确，证明如下：

如图：

假设a与夕不平行，则必相交，设々(3=m,

答案第1页，共18页

设直线/与。和夕分别交于点AB,在加上取一点连AM、BM,

因为/_La,AMua,所以/_LAA/,

因为/_L/7,BMuB,所以/_L5M,

又直线/、直线AM、直线在同一平面内，所以这与=M相矛盾，

故假设不成立，所以a〃a故D正确.

故选：D

4.D

【分析】设数歹耳分4,｝的公差为d,借助等差数列的性质可计算出d,即可得10%。。，即可

得解.

【详解】设数列｛而“｝的公差为d,则4=卷=10,

故lO/oo=4+99d=1030,所以6oo=103.

故选：D.

5.A

【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算,

即可求解.

1sinlO

1+-------

1+tanl902cos701+tanlO2sin20coslO2sin20

【详解】由

1-tan370sin401-tanlOsin40sinlO2sin20cos20

1-----------

coslO

coslO+sinlO1+sin20

tan20-

cos210-sin210cos20cos20cos20

故选：A.

6.D

【分析】根据题意位,。=,,(?)利用向量的夹角公式可推出(2a-0).c=0,确定2a-6的坐

标，求得每个选项中向量的坐标，一一计算验证(2a-匕).c=0是否成立，即可求得答案.

【详解】由题意|a|=1,|4|=J1+3=2,

因为〈a,c〉=(b,c),所以cos〈a,c〉=cos(/?,c),

所以

|a|-|c|屹卜⑻

答案第2页，共18页

所以2a-c=b，所以(2a-6>c=0,

由题意2a—6=(3,—\/3),

对于A,若c=#>a+b=(y/3-1,A/3),

贝U(2a_))-c=3x(6一l)+(_g)x若=3有一6片0,故A错误；

对于B,若c=。+方=(0,百)，

贝!!(2a-6).c=3x0+(—g)xg=—3w0,故B错误；

对于C,若c=2a-6=(3,-g),

贝！I(2。一万)•c=3x3+(->/3)x(一后=12^0,故C错误；

对于D,若C=2a+b=(1,6),

则(2a-0).c=3xl+(-g)xg=0,故D正确，

故选：D

7.B

【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情

况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.

【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有C；C：种排法，

再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有C[C：C；种排法，

所以一共有C；C；C；C：C；=720种排法；

当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有A：种排法，

不考虑甲两天不能连排的情况，有或C；C；种排法，

其中甲两天连排的排法有5C；C；种，故初三到初八的值班安排有C：CjC；-5C；C；种排法，

所以一共有A；-5C：C；)=720种排法；

综上可知共有720+720=1440种不同排法.

故选：B.

8.A

答案第3页，共18页

【分析】先讨论加的范围，当"2>0时，利用导数求最值，根据最小值大于等于。可得

3

2n<-mlnm-3,然后将二元化一元，令g(/n)=-lnm——,利用导数求最值可解.

m

【详解】令e"T-5-2〃-3=0,BPex-1=mx+2n+3,

当根v0时，由函数y=e'T与y=m+2〃+3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为

(%,%),

则当x<%o时，exT<znr+2〃+3,BPex~l—mx—2n—3<0>不满足题意;

当用〉0时，令/(x)=e"T—如一2〃一3,贝U/'(%)=e"T—徵，

令/'(%)=°，则x=ln机+1,因为/'(x)=e"T-机单调递增，

所以当九vln机+1时，/(%)<0,/(力单调递减，

当光>lnm+1时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

所以x=lnm+l时，/(%)有最小值/(1口加+1)=—机In根一2〃一3,

又e'T—如一2〃一320对VXER恒成立，

所以一mln/n—2〃一3之0,BP2n<—mlnm—3,

2n3

所以一<-Inm-----,当且仅当2〃=一加111机一3时等号成立.

mm

令g(相)=—In加一』，则g'(m)=「+==3丁,

mmmm

当0<m<3时，gr(m)>0,g(m)单调递增，

当相>3时，gr(m)<0,g(m)单调递减，

所以当根=3时，(m)=-ln3-l=-ln3e,

所以34-ln3e,即34—用，当且仅当机=3,时等号成立,

mm22

答案第4页，共18页

所以己的取值范围为-双.

m12.

故选：A

【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用利〃

的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.

9.BD

【分析】对A：计算后代换即可得；对B、C：借助基本不等式即可得；对D：借助消元法

用》表示。后，借助二次函数的性质即可得.

【详解】由题意可得工+；=1,且a〉0,b>0,

ab

对A：由即〃+/?=〃/?,故(〃一1)仅一1)="一(〃+3+1=1,故A错误；

对B：1=4+工'2.回=3，当且仅当〃=b=2时，等号成立，即ab>22=4,故B正

abNaby/ab

确；

对C：“+4z.67=/(a+4叱+#1+44+4b/+片a5c+2_匕14b.a厂9_,

当且仅当4竺Z?=：a时，等号成立，故c错误;

ab

对D：由工+工=1,故故

ababb

故D正确.

故选：BD.

10.BC

【分析】先求出x,y的分布列，可判断A,B；再由数学期望和方差公式求出E(x),E(y),

o(x),D(y)可判断c,D.

【详解】X为小明随机选择1个选项的得分，所以X=0,2,

则X的分布列为:

X02

答案第5页，共18页

35

P

88

由此可得（）；（）二5\5_15

EX=2xg=,OX=xh2x-=—,

84।816

Y为小明随机选择2个选项的得分，所以F=0,2,6,

则y的分布列

Y026

21

P

3412

由止匕可得E（y）=2x：+6x*=l,

21121

D(y)=(0-l)2x-+(2-l)2x-+(6-l)2x——=——|——+衿

1234

所以尸(x=o)(尸(y=o),尸(x=2)>尸(y=2),E(x)>E(y),D(x)<D(y).

故选：BC.

11.BCD

【分析】分别设定抛物线C和直线MN的方程，设N（w，K）,联立求得关于点

3

坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A,=-转化为A=_2

%4

求解即可；选项B,5OMiv=1x|x|y2-y1|,求解即可；选项C,求得点的坐标，进

而求得点M，N到直线y=T的距离，求解即可；选项D,设点尸到直线的距离为d,

11

可得|sinZFMN-sinNFNM\=d回「两,求解即可.

【详解】对A,设抛物线C：y2=2px,设直线肱V：x=fy+^（^O）,

y2=2px

设〃(外,%),(,联立<

Nx2,y2)p，

i十，

12

贝l|y-2pty-p-=0,yl+y2=2pt,yly2=-p

答案第6页，共18页

MF3V,313

2

由于存=“可得五=一"代入上式得：-y2=^pt--yl=-p,

解得：产=4，且直线班的斜率为1，

48t

sincy

设直线MN的倾斜角为a,则tan2a=48,且sin2a+cos2a=1,tana=-------

cosa

则cos2[=*,解得cosa=土;，故A错误；

对B,设抛物线C：/=2Px,且直线MN的倾斜角为45。，

设直线脑V：x=y+1,

y2=2px

设M（%，X）,N（x2,y2）,联立，n,

I2

贝!Jy2-lpy-p2=0,%+%=2P，%%=~P2，

sOMN=；x^x|%-MI=gj（2p）2-4（-p2）=#p2,故B正确；

对c,由于点A（4,4）在抛物线c上，此时抛物线C：y2=4x,

设加（%,yj,N（w，%）,

设直线AM：x-4=（y-4）（rw0）,

y2=4JC

联立//八

x-4=Z（y-4）

贝力2—4。+16（”1）=0,解得％=4（舍去，此时重合）或%=4"4,

则点M到直线y=T的距离为回+4|=囹,

14

同理可得，因为4Vf_L4V,则N到直线y=-4的距离为4・一=-,

—tt

4

故所求距离之积为"•一=16,故C正确；

t

对D,由于点4（2,2）在抛物线C上，此时抛物线C：丁=2尤，

设直线AM：y-2=Z（x-2）,

与抛物线方程联立可得ky2-2y+4-4k=0,

答案第7页，共18页

则加-2=J4—竺46，贝|加=?土-?k产，用此替换可得后=一三二，

KKK

,r_2_1

人」XM~XN%VNVM+'N2，

T-T

E.21-n2-2k2(l+n2+2左

Mv-7,--------,NATW-------,

k2kk2k

\7\7

2-2kIF2(l-k}2~\11

7

故直线MN：y-——=x-\2,即y=—9+2—1,

k2k2k

12-2k1

则点尸到直线MN的距离72—一5产-4/、，

a=-------j=------W)

[1

而|sinZFMN-sinZFNM\=d

\FM\但N|

即|sinZFMN-sinNFNM\=d------------------=d

1

X++-

+2N24

I./ZTA-r•/万入「入川5"2—4I32k3

sin/FMN-sin/FNM=——---------------------

12加k2125左4-24左2+16

16

得卜inNFMN-sinZFNM\=

忑25F-24+1465%一j+16

4

令t=5k——>1,

k

故即〃“如如昨翁九溪•卡.

t

|sinZFMN-sinZFNM\<.—==

yj5I16,585>

当且仅当f=4时等号成立，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：若点A在抛物线C上，且",N异于点A,K«+KN=。，则直线MN的

斜率为定值，且该定值为A处切线斜率的相反数.

12.38

答案第8页，共18页

【分析】借助赋值法可得。，结合二项式定理计算即可得解.

【详解】令x=l,则有(a—1)-=%+%+°2+/+&+=。，即。=1,

即有(X-1)2(2x-1)3,则a,=C2C；•(-1)2+(-C；)•2?.C；•(-1)+1・23=38.

故答案为：38.

13.[72,+oo)

【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长A8,取线段AC的

中点N,取线段2N的中点P,根据向量的线性运算及数量积的运算性可得

212___

MAMB+MBMC=2MBMN^MBMN=MP--BN，再由三角形三边关系列不等式得

4

结论.

【详解】依题意，设.ABC的外接圆的半径为R,贝|兀叱=36兀，故R=6,

AD

在等边ABC中由正弦定理得一^=12,则&2=66；

sin60

取线段AC的中点N,连接BN,则BN=EA8=9,

2

取线段BN的中点尸，连接3P,则。在线段3N上，且ON=gBN=3,所以

93

OP=NP—ON=——3=—,

22

222(

则=1-MP2<(MO+OP)2=6+|32=2—,

225SI

故MB，MNW-----------=36,贝UX272.

44

故答案为：［72,+“).

【分析】构造数列先计算为，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.

答案第9页，共18页

【详解】由2a向+%=[-g]=2"%的+2%=(-!)",令c“=2%”，

若〃为奇数，贝U卜M+。"二1-C,T=-2,

〔C“+4T=1

若〃为偶数，则f，，+1*°”=1=%+「*=2,

[c“+%=T

即｛%｝奇数项与偶数项分别成以2,-2为公差的等差数列,

易知216=2,2出+4=—万=>22a?=—3,

孚，”为奇数

n+1,〃为奇数

所以。〃二则%

〃为偶数

-n-1,为偶数

、

右...〃为奇数,贝1」（4+或,X）/（。用+或,+1）=f|下n+一1+1一斤n7V-亍〃+丁2+八行n+下1

=卜+:1|/一击）＜。有解，即——＜，＜一，

由指数函数的单调性可知-:＜/＜、；

...、,,E、i„I」,\/,、（H+1nVn+2n+1

右，为偶数，则（4+"）（%+1+。,+1）=|--+?+-^T+t-^F

击）＜°有解,即一/

由指数函数的单调性可知弓

[-],j满足题意.

综上t£

故答案为:

【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指

数函数的单调性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可.

2026

15.(1)7=一x-i-----

333

⑵-0.7cm.

【分析】（1）根据表格数据利用公式求出金花即可求解.

（2）将x=22代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.

答案第10页，共18页

-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10入

【详解】（1）依题意,x—=5.5,

10

-——1+1+2+3+3+4+4+4—

y=l0+---------------------------------=12,

10

1010

』（士一天）回一刃卒以一1网71。一10x5.5x1220

£（%-寸寸_107385-10x5.5?33

1=1Z=1

人201126主人匕匚-rnii击及+工口，人2026

a=12----x—=—,故所求回归直线万程为>=获彳+飞-.

（2）由（1）可知，当x=22时，y=—x22+—=22cm,

-333

故所求残差为21.3-22=-0.7cm.

16.⑴3

3

（2）3A/3

【分析】（1）借助两角和的正弦公式及辅助角公式对所给式子化简即可得;

（2）借助余弦定理与基本不等式计算即可得.

【详解】（1）由sirLB=sin（7i—A—C）=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA,

故有sinAcosC+sinCcosA+sinC=yfisinAsinC+sinAcosC,

即sinCcosA+sinC=-^sinAsinC,又sinCH0,

故cosA+1=gsinA,BP=~2,由人式。，71）,

故=即A=g,tan—=tan—=—；

663263

（2）由余弦定理可得"-b2+c2-2bccosA-b2+c2-be,

由a+2有=6+c,故/=（b+c-2⑹°=（Z?+c）2-4®6+c）+12,

即b2+c2-bc^（b+c）2-4^3（b+c）+12,

整理可得4百伍+c）=36c+12,故b+c=3b：,2±2版,

当且仅当6=c时，等号成立，即初c-8^•痴+1220,

即3儿_8』.痴+12=0（6.痴一2）（若.疵_6）20,

答案第11页，共18页

4

即bcW-或bc>12,

3

当时，4^/3(Z?+c)=3bc+12<16,即W4f,

与〃+2G=b+c矛盾，故舍去，

故历之12,则SL"csinA炒!12?—38，

c222

即.ABC面积的最小值为3K.

17.(1)证明见解析

W

【分析】(1)根据题干，先证明DW2平面ABC,从而得到DWLBC,又因为AB13C,

再得到3C1平面NMD,进而得到BC_LMV；

(2)在点8建立空间直角坐标系，求出直线MN与平面BCD中各点的坐标，再利用线面夹

角公式代入求解即可得到.

【详解】(1)证明：如图，连接DM.

IT

因为四边形ACED是边长为2的菱形，ZDAC=~,

所以△ADC为等边三角形，则O01AC.

又平面ABC1平面ACFD,平面ABCc平面ACFD=AC,ZM/u平面ACFD,

所以ZMf上平面ABC,

因为BCu平面ABC,所以£)A/_L3C.

因为AB1BC,所以r>E_L3C.

因为血平面NMD,所以平面M0D.

又MNu平面MWD,所以BC_LMN.

(2)如图，过B作JDM的平行线为z轴，结合(1)知z轴，BA,3C两两垂直.故可建立如

图所示的空间直角坐标系，

答案第12页，共18页

则3(0,0,0),C(l,0,0),Mg,冬0,D：，#，也，A(0,道,0),

则8力=彳,誓6,BC=(1,0,0),BA=(0,^,0).

(22J

设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),

:x+%+屈=0,

nBD=0,

则

nBC=0,

x=0,

取y=2,得z=—l,则〃=(O,2,T).

因为N为DE的中点，所以DN=-;ED=-；BA=

I2J

T，有

又DM=倒,0,-@.所以MN=DN—DM=

MN-n-2A/34

cosMN,n

则\MN\\n\

设直线脑V与平面BCD所成的角为，，贝!|sin。=|cosAfiV,“=g，

4

即直线MN与平面BCD所成角的正弦值为不

3

18.(l)y=-x-l；

(2)2.

【分析】(1)求导，即可根据点斜式求解方程，

(2)求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性,

结合最值求解.

答案第13页，共18页

【详解】(依题意，尸(司=市+二一3

1)J故;(0)=5,

L+X2(1+X)2

而〃0)=-1,故所求切线方程为y+l=]x,BPy=1x-l.

(2)号In(1+兀)—/=-2cosx,故^In(1+x)+2cos%—/.=0,

V1+xvl+x

令g(x)=In(1+x)+2cosx——2-—,

A/1+X

11x_311、_3

g'(x)=^-------2sinx+—(l+x)2,令"(％)=g'(尤)=^-----2sim:+—(l+x)]

13、一」

h'(x)—---------2—2cos%—(l+x)2

(l+x)40

/-Jl5

①当时，cosx>0,(l+x)2>0,(1+x)2>o,

，//'(%)<0,，/2(%)在[-：1，9上为减函数，即g'(x)在(T，9上为减函数,

111-1111

Xg,(O)=l+->O,g,(l)=——2sinl+--22<——2-sinl+-<l-2x-=0,

.•・g'(x)在(o,l)上有唯一的零点,设为％,即g'(飞)=0(0</<1).

；.g(x)在(-1,飞)上为增函数，在(尤0,上为减函数.

，g(x)在(-1,不)上有且只有一个零点，在［。,鼻上无零点；

(7T5兀11、—3,、

②当X0匕，7时，^r(x)<j--1+-(1+x)-2<0,g(x)单调递减,

又只卜。川=削-石-

4131+n<ln4-3<0，

「.g(x)在(|■年内恰有一零点;

5兀13--

③当时，小尸诉-28sx-R+X)2为增函数,

答案第14页，共18页

.•・g'(x)单调递增，又g'(兀)>0,g'[N~J<0,所以存在唯一/■，兀J,g〈Xo)=O,

当xe仔时，g<x)<O,g(x)递减；当xe(xo,7r)时，g<x)>O,g(x)递增，

.•.g(x)在引内无零点.综上所述，曲线y=〃x)与曲线>=-2cosx的交点个数为2.

【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数

求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新

的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两

种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数

往往是解题的关键.

19.⑴[+9=1；

【分析】(1)由椭圆的性质可得6=1,再由两中线的交点为重心和重心的性质得到点〃[1,句，

代入椭圆方程可得。即可；

(2)由等差中项的性质得到帆A|+优。=2优用=石，再由弦长公式得到％+%=乎=2厮,

然后分当AB斜率存在时由点差法得到心°=-四，再由点斜式写出弦的中垂线方程，当

4%

x=0时，得至！jAy=-个；当斜率不存在时，此时A。：x=4,Ay=O；最后得到范围；

112

(3)解法一：根据重心性质及面积公式得2”忸=3(，+$2),S_NFfii=-Sl+-S2,再结合

答案第15页，共18页

已知不等式条件解不等式组可得Me-2,-4

,然后直曲联立得到

必L2」

&+及=一产7-2e，g,_2]；转化为0«¥44,=>(8/一9片4/对任意的/恒成立,

%Xt2+a2L2Jt2+a22['

解不等式即可；解法二：根据重心的性质可得再由几何图形的面积关系结合

三角形的面积公式得到5峭［=桂-F；5"性=；4%-%）,后同解法一.

【详解】（1）依题意，6=1,故椭圆C：W+y2=l；

a

易知点j为△叫心的重心，则次=3两故小J，

114a/

代入椭圆方程得3+：=1n/=；...椭圆c的方程为竺+y2=1；

a2434

（2）

•：\F2A\,\F2B\,怩。I成等差数列,..•.|耳4|+怩q=2优同=如.

设A(&yJ,A。中点/（飞,%）.

由弦长公式

122班4

64占一亍%+3

X1-T

•••…手f

同理内必=手一；9,代入可得%+%=孚=2%,

答案第16页，共18页

3%；21

/+%=1

两式作差可得-1储

①当AB斜率存在时＜才-货XX

殂+£=i41％+为11-2

1472

3273

/0),

；.弦AD的中垂线方程为y-%

当x=0时，勺^一号，即AO的中垂线的纵截距.

•••M］。,为在椭圆c内，.♦.；+)；；＜1,得一乎＜为＜乎，且为*0.

②当A8斜率不存在时，此时