重庆市2023-2024学年高一年级下册3月月考数学模拟试题（含答案）

重庆市2023-2024学年高一下学期3月月考数学模拟试题

本试卷为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合”=｛小=皿｝,集合八卜则加八（）

A.hi｝B.Si）cRD.g

2.“"是2的（）

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知角a的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点

_434_3

A.5B.5C.5D.5

（2+cosx）£

4.函数,）e2x+l的部分图像大致为（）

C.D.

cos夕一sin。71

5.己知cosO+sind，则I4j（）

」1

A.-2B.2C.2D.2

6.等边03c的边长为3,若屈=2反，BF=FD,则%尸卜（）

叵叵叵叵

A.2B.2C.2D.2

2兀5兀

7.已知函数"x）=sin°x（°>0）在区间L3'6」上是增函数，且在区间［。,兀］上恰好取得一

次最大值1,则。的取值范围是（）

A.(04]B.受c.[M]

D.49

(b,a+b)=^\a-b\

满足n

8.已知平面向量"Bg=2,6,则11的最大值为（）

A.4B.272+2C.2g+2D.6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分.

9.已知向量0=（2，1）,5=（-3,1）,则下列说法正确的是（）

（a+b\lla---b

A.V）B.向量。在向量7上的投影向量为2

275

V5c-

C.。与”6的夹角的余弦值为5D.若<A贝M'c

10.已知函数/（、）=然足（8+0）（4>°，。>°，°<夕<兀）的部分图象如图所示，则下列结论正

确的是（）

y=/（x+—）

B.函数’6是偶函数

（―,0）

C.点6是/（X）图象的一个对称中心

D.函数“X）在区间2上单调递增

11.已知对任意角0，/均有公式sin2a+sin2〃=2sin（a+夕）cos（a-⑶设“5c的内角

42，C满足2,面积S满足1<SV2.记。也c分别为

48，C所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（）

siiL4sin5sinC=—2<-^-<2V2

A.8B.SIIL4

C.8W就。16A/2Dbc(b+c)>8

第U卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

±?

12.已知1=（1"）,1（2,-3）,c=（l,x）；（«+0,则同=.

13.如图所示，设°x,0是平面内相交成60。角的两条数轴，耳，分别是与X轴，y轴正

方向同向的单位向量，若向量°尸=啊+W2（x，yeR）,则把有序数对（X/）叫做向量而在坐

标系MV中的坐标,设0M=（°，3）,ON=（4,0）,则而.丽=.

14.重天市育才中学为美化校园将一个半圆形空地改造为一个穿梭花园.如图所示，。为圆心,

0<0<-

半径为1千米，点A、B都在半圆弧上，设NAON=ZAOB=20,其中4.若在花园内

铺设一条参观的线路，由线段附、曲、5/三部分组成，要使参观的线路最长，则夕=—

.（答案请用使用弧度制表示）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

UU_________>/、

15.设向量.=（一43）,08=（21），OC=（x,5）

（1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值;

(2)若砺，灰的夹角为锐角，求实数x的取值范围.

tan5

2cos_z4cosC7—

16.在“8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanA+tanC

(1)求角B；

(2)若匕=2,求a+c的最大值.

17.函数/(X)对任意的实数a,b,都有"。+6)=/(。)+/0)-3,且当》>0时，/(x)>3

⑴求八°)的值;

⑵求证：/(X)是R上的增函数;

(3)解关于实数x的不等式”>9。+/(1-2.尸)>6.

一/3x.3x、rzx.1、

a=(cos——,sin——\b=(cos—,-sin—)-।r।,

18.已知向量2222,函数/(x)=e6-〃?|a+6|+l,

7171

——]

34,77?GR

(1)当机=°时，求"％’的值；

⑵若m=e,求〃x)的最小值；

gW=/W+—xe[-—,—]

⑶是否存在实数m,使函数49,34有四个不同的零点?若存在，求

出m的取值范围；若不存在，说明理由.

19.已知非空实数集S,T满足：任意均有x；任意均有了+1.

(1)直接写出S中所有元素之积的所有可能值；

(2)若T由四个元素组成，且所有元素之和为3,求T；

(3)若SA7非空，且由5个元素组成，求SUT的元素个数的最小值.

1.D

【分析】求出函数的定义域化简集合A,再利用交集的定义求解即得.

[A\B=(—8,一)

【详解】函数了=hx中，x>o,因此"=(0,+8),而集合2,

如8=(0,3

所以2.

故选：D

2.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数判断即可.

兀^J3J37i2K

x=_sinx=—sinx=——x——

【详解】当3时，2,反之，当2时，x可以不取3,如3,有

sinx=——

2,

兀•

x=—sinx=——

所以“3”是2的充分不必要条件.

故选：C

3.D

3

cosa=x=—

【分析】根据三角函数的定义可得5,进而由诱导公式即可求解.

3

cosa—JC—

【详解】根据题意，由三角函数的单位圆定义得：5,

/、3

cos(7i+a)=-cosa=~—

故选：D.

4.D

、(2+cosx)ex

/(zx)=^5__>0

【分析】根据奇偶性排除A,B,再根据e2x+l得到D.

/、（2+cosx）e"

=l__-__

【详解】因为。+1定义域为R,

（2+cosx）

（）

[2+cos-x]e'x（2+cosx）e

"f）=e=/（x）

e-2x+l~~e2x+le2x+l

e2x

所以/(x)为偶函数，关于y轴对称，排除A,B；

八/、(2+cosx)ex

X八2Xc/Gb1~~A2—>0

因为2+cosx>0,e>0,e->0；所以尸+1,故C错误，D正确,

故选：D.

5.A

【分析】由商数关系以及两角差的正切公式即可运算.

cos。一sin。1-tan01

［详解］由题意cos。+sing-l+tan夕一，解得一H,

tan［e—：

所以

故选：A.

6.A

[1

AF=—,-------

【分析】取8c中点°,建立直角坐标系，得到I44人再根据模长的坐标公式

即可求解.

0,2rri4c（i,0

如图，取BC中点0,建立直角坐标系，贝I]Iz）…）7

2D=|^C=|X(|,-^-)=(1,-A/3)

由而=2友，若。（羽团，则

=Q,一后）

所以2得:

一—m、BF

由3尸=如，若尸（见"）,则2222

35出F(10

所以3+/）七,丁得:

故选：A

7.B

【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质结合单调区间及最值情况，列出不等式求解即

得.

~—<（DX<―—--<%<—

【详解】函数"x）=sin0x（0>O）,由22,得2a）2。，即函数在

[-——]

2。'2。上单调递增，

71<271

<

2K5K7171715713

[-----,—------,—]-0<（2?<—

依题意，362。2。，则1206,解得5,

兀5兀

由xe[O,兀],得°xe[O,兀泅，由/口）在[0,兀]上恰好取得一次最大值1,得22,解得

22

一«—

所以。的取值范围是25.

故选：B

8.C

【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求。的最值，利用外接圆数

形结合可求最值.

【详解】设a=OA,b=OB,a+b=OC如图,

AB=b-a

延长°4至O°,使CM=4D,则CQ=45,

由正弦定理，得皿。的外接圆直径=半径R=2,令圆心为G,

一兀22

ZGOD=-"。八八/Z)G=^2+4-2x2x4xcosy=273

显然3,又°G=2，°D=4,由余弦定理得

当点3运动时，点C在圆G上动(除点°，“外)，因此4B=CDWDG+R=2G+2,

所以卜一■的最大值为26+2.

故选：C

9.BD

【分析】根据向量共线的坐标运算法则，可判断A的正误；根据投影向量的求法，可判断B

的正误；根据向量夹角的求法，可判断C的正误；根据向量垂直的坐标运算法则，可判断D

的正误，即可得答案.

【详解】对于A：°+各=(T2),因为Txlw2x2,所以Z+g与2不平行，故A错误;

门-7ba-bb2x(-3)+1717

qcos<a,b>日=-,e=----5------b=—b

—

对于B：向量。-在向量匕£上的投影向量为IbIIbIIbI(3)+12，故

B正确;

对于C：1-坂=(5,0),所以Z与的夹角的余弦值

—7a-(a-b)2x52A/5

cos<a,a­b>=|一卜—1—=--------

q。一同V22+1x55

故C错误;

-"V52石)U=2x且+lx=0__

c=—,----

对于D：若I55)则5(§J,所以£，乙故D正确;

故选：BD

10.AC

【分析】根据给定的函数图象，求出/(X)的解析式，再逐项判断得解.

T=2(—_2L)=兀°=幺.=2

【详解】观察函数图象，4=2,函数/(X)的周期1212,T

f(―)=22x—+^>=—+2ht,A:eZ(P=~/(%)=2sin(2x+-)

X12，则12*2，而0<。(兀，于是3,八，3，

对于A,函数"X)的最小正周期为兀，A正确；

TTITIT2.7TTT

/(%+-)=2sin[2(x+-)+-]=2sin(2x+—)y=f(.x+-)

对于B,6633,函数.6不是偶函数，B错误;

/呼)=

2sin(2x.$=0(―,0)

对于C,,因此点6是一(X)图象的一个对称中心,C正确;

兀c兀「2兀兀15兀

xG[—,0]2XH—G[-------,-]x=------

对于D,当2时，333,而当12时，函数/⑴取得最小值,

因此函数片月在区间2上不单调，D错误.

故选：AC

11.ACD

【分析】根据三角函数诱导公式、题设中的公式、两角和与差的的余弦公式、正弦定理和三

角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明逐一即可得到结论.

,„sin2A+sin(Tl-B+C)=sin(C-A-B')+—

【详解】因为必BC的内角43n,C满足2,

sin2/+sin22?=-sin2C+—

所以2,

sin2N+sin25+sin2C=—

所以2,

所以sin[(Z+5)+(4-3)]+sin[(4+5)—(/—8)]+sin2c=：

、2sin(/+B)cos(Z-3)+sin2C=；

2sinC[cos-5)-cos(Z+3)]=，

从而得：2,

4sinCsin^sin5=-siiL4sin5sinC=—

故2,所以有8,故A正确;

设外接圆的半径为火，

由正弦定理可得si•sin5sinC,

1D2

S=-absinC=27?2siiL4sin5sinC=——叩,2]

所以24

所以Re[2,2也],所以嬴7=2Re[4,4夜],故B错误;

„abc=87?3siiL4sia8sinC=R38,16A/21.十〃

又「、」，故C正确；

因为b+c>a,故」Q+c)>仍c'8,,故口正确.

故选：ACD.

方法点睛：解三角形中，我们可利用正弦定理把与边有的三角函数式转化与角有的代数式,

另外注意利用三个内角和为万来化简与三角形内角有关的三角函数式.

12..

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.

【详解】由，=（L2）,彼=（2,-3）,得。+很=（3,-1）,而3=（1,尤），且

因此3-x=0,解得x=3,即c=0,3）,所以同="+3?=屈

故而

13.6

【分析】根据给定条件，利用定义结合平面向量数量积的定义计算即得.

【详解】依题意，两=3晟两=%，而〈女〉=60。，

所以OM•ON=3e2-4^=12|e2\\e{\cos60°=6

故6

71

14.6

【分析】利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段附、4B、8M表示为sin。的

函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时©的值.

NBMN=-（ZAOB+ZAON）=20

【详解】连接BN,则2、,

半圆的半径尸=1,在RtaMSN中，BM-MNcosABMN-2cos20,

AN=2ONsin-ZAON=2sin6

在等腰AZON中，2,显然48=M4=2sin。，

所以参观路线的长度/=48+N4+A/S=4sin°+2cos28=-dsin?e+4sin°+2,

sin0=te(0,——)t=—

令2,即/=-书9+而+2,当2时/取得最大值，

sin(9=-0<6»<-d=-0=-

此时2,又4,于是6,所以当6时，参观路线最长.

71

故6

15.(1)-6；

(-|,10)U(10,+«))

⑵2

【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.

(2)利用向量夹角的余弦，结合共线向量求解即得.

【详解】⑴向量°/=(一26)，“'=(2/)，℃=(x,5),则/3=(4,-2),/C=(x+2,2),

由A、B、C三点共线，得方〃就，贝|4X2+2(X+2)=°,解得人一6,

所以实数x的取值为-6.

(2)由无KM,1=@,5),得丽.反=2X+5,

由历，区的夹角为锐角，得赤•反>0,且历与反不共线，

J2x+5>05

1x>----

于是〔"1°,解得2且xwlO,

(—~,10)U(10,+co)

所以实数x的取值范围是2

B=-

16.(1)3

(2)4

【分析】⑴化切为弦，结合sin("C)=sin'得到c°s'_5,求出答案;

(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解.

c,「tan5八,Jsin4sinCAsin5

2cos^4cosC=---------------NZCOSHCOSC--------+-------=-------

【详解】(1)taiL4+tanC<cosAcosC)cosB

c,「sinAcosC+sinCcosAsin5sin5

2cos^4cosC-------------------------------=>2sin(Z+C)=

即cosAcosCcos5cos5

由于sin(/+C)=sinB,故c°s"=5,

D_TI

因为8e(0"),所以=i.

a2+c2-b2(a+c)2-2ac-b2

cosB=--------------=-----------------------

(2)由余弦定理得2皿lac

(Q+C)2-2QC-41

即宗=2,故(。+。)2-4=3『

QCW—(Q+C)(Q+C)—44—(Q+C)

因为4，所以4，解得。+。<4,

当且仅当。=。=2时，等号成立，

故a+c的最大值为4.

17.（1）3；

（2）证明见解析；

⑶U（logs5,+oo）

【分析】（1）根据给定条件，赋值计算即得.

（2）利用给定等式，结合增函数的定义推理即得.

（3）利用给定等式，结合（1）（2）的结论，再解指数不等式即得.

【详解】（1）对任意的实数a,b,都有了（"+6）=/（"）+/0）-3,

取a=6=0,则/（0）=/（。）+/（0）-3,所以/1。）=3.

（2）任取实数乱三,且％<工2,则尤2-%>°,由当x>0时，/（X）>3,得人>2-占）>3,

依题意,）=f［xx+（x2-%1）］=/（%1）+/（X2-JC］）-3>/（%1）,

所以函数〃x）是R上的增函数.

（3）由（1）知，〃°）=3,由（2）知，函数〃x）是R上的增函数，

不等式/（5•9一工）+/（I-2•3-加）>6o〃5・9一、）+-2•3一川）-3>3

-x+1-x-x+1

<=>/（5-9^+1-2-3）>/（0）o5-9+1-2-3>0，

因此5・（3-）2-6-3-、+1>0,即（5『-1）（尸-1）>0,解得3%或3T>1,

则X<og31或_x>0,即x<0或X>log35,

所以原不等式的解集是E0）U（logs5,+8）.

3

18.⑴5；

⑵T；

7®,7

-----<m<—

⑶存在，84.

【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求得函数,（X）的解析式，然后求解加=。时

/（-）

6的值即可.

（2）由（1）的解析式，把加=五代入，利用余弦函数性质，结合二次函数性质求出最小值.

（3）令g（x）=°求解cosx的值，据此求得关于加的不等式，求解不等式可得实数加的取值

范围.

一/3x.3x、rzx.1、

a=(cos——,sin——),b=(cos—,-sin—)

【详解】(1)向量22722、

一：/3xx.3x.x.

a+b=(cos——+cos—,sinsin—)

2222,

_「3xx.3x.x,3xx、_「兀兀

a-b=cos——cos——sin——sin—=cost——+—)=cos2xxe——

222222，由34,得cosx>0,

24J(cos+cos立2+(sin£-sin^-)2=j2+2cos2x=2cosx

因止匕/(x)=cos2x-2mcosx+l,当冽=0时，f(^)=cos2x+1,

=cosMl=3

所以32

(2)由(1)知，/(x)=cos2x-2mcosx+l,

r-f(x)=2cos2x-2A/2cosx=2(cosx-------)2-1

当加:行时，2

1।V2

—<COSX<1cosx=——即X—时，/Wmin=-1

当34」时,2,则当2,

,71

X=±—

所以当4时,函数/（X）取得最小值-1.

乙、c2c2(x)=2cos2x_2mcosx+-m2

)则

(3)由(1)知,j(x=2cosx-2mcosx?49

7171

——]

34,

函数y=cosx是偶函数，其图象关于歹轴对称，显然V=cosx在4'4上的图象关于丁轴对

称,

「兀兀i「④nV2八

XE.[,—]COSXG[,1]r[----,1）

当44时，2,当cosx取2内任意一个值时，都有两个不同的x值与

之对应,

4m3m

(2cosx--)(cosx-■^)=0cosx=----cosx=——

由g(x)=0,得'77即7或7,

,3加1

V21<——<1

7

V2,4加1

<——<1

3m7

4m

「兀兀r一w——

XG[----,一]77

由函数34有四个不同的零点，得,解得

Wb机，

84,

24TTTT

g(x)=/(x)+——m2xe[——,—]

所以存在实数m,使函数49,34有四个不同的零点，m的取值范围

逑

是84

19.(1)T或1

-1+石-1-若

<2+V5,2-V5,

2，-2

⑵

(3)18

n

【分析】(1)根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以I'x1-xJ的形式，三个

数为一组出现，从而可得结论；

(2)根据集合T中的元素构成可得集合7中的元素是以的形式，四个数

为一组出现，从而可得结论；

(3)由(1)(2)可得集合J7的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据

sn『得元素个数，可确定SU7的元素个数的最小值.

xT-ox-1