经济数学微积分 第4版 课件 3-8 定积分的几何应用与经济应用

一、定积分的元素法二、平面图形的面积3.8定积分的几何应用与经济应用三、立体的体积四、定积分在经济中的应用五、小结经济数学——微积分回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo将面积表示为定积分的步骤：（3）求和，得A的近似值（4）取极限，得A的精确值abxyo简化面积元素元素法的一般步骤：2)取微段，表示所要求的量的微元.这个方法通常叫做元素法．二、平面图形的面积第一步:取微段第二步：表示微元第三步：写出面积表达式第二步：表示微元第三步：写出面积表达式X型xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：Y型解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量例2计算由曲线

y2=2x和直线

y=x-4所围成的图形的面积.解两曲线的交点选为积分变量例3计算由曲线

y=x3-6x和

y=x2所围成的图形的面积.于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．思考：积分变量只能选x吗?

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱三、立体的体积（1）1、旋转体的体积圆锥圆台（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线方程为如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积2、平行截面面积已知的立体的体积例5求由曲线所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解：两曲线的交点为两顶点为绕x轴的体积：绕y轴的体积：例6计算椭圆绕x轴旋转而成的立体的体积.解：在x点处平行截面的面积思考：如何求该椭圆绕y轴旋转而成的立体的体积？xyx1、由边际函数求原经济函数2、由变化率求增量四、定积分的经济应用3、由边际函数求最优问题4、资本现值与投资问题5、消费者剩余和生产者剩余1、由边际函数求原经济函数例7已知边际成本为,固定成本为1000,求总成本函数．

解2、由变化率求增量解例8

某工厂生产某商品在时刻的总产量的变化率为（单位∕小时）.

求到这两小时的总产量.已知求原经济函数从a到b的变化值3、由边际函数求最优问题例9某企业生产x吨产品时的边际成本为固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低？解令解得又

，此时平均成本最低.例10假设某产品的边际收入函数为MR(x)=9-x（万台/万元），边际成本函数为MC(x)=4+x/4(万元/万台)，其中产量x以万台为单位（1）试求当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量;（2）当产量为多少时利润最大？（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和利润函数.解（1）

（2）

（3）解得4.资本现值与投资问题

设有A0元货币，若按年利率r作连续复利计算，则t年后的价值为A0ert元；反之，若年后要有货币B0元，则按连续复利计算，现在应有B0e-rt元，称为资本现值（或现值）.

设在时间区间[0,T]内t时刻的收益率（表示单位时间的收益）为f(t)，若按年利率r作连续复利计算，求在[0,T]内获得的总收益的现值W.问题例11某投资公司向一企业投资800万元，年利率为5%，在20年中每年将获得收益200万元，求总收益的现值W，投资所得的净收入R和投资回收期T.解：由得解得由5.消费者剩余和生产者剩余

消费者剩余（ConsumerSurplus），简记为CS,是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额.生产者剩余（ProducerSurplus），简记为PS，是指卖者出售一种物品或服务得到的价格减去卖者的成本.例12已知需求函数P=-Q2-4Q+48，供给函数P=Q2+4Q+6，求（1）供需平衡点；（2）平衡点处的消费者剩余和生产者剩余；（3）当价格为16时的消费者剩余.解：（1）由得平衡点（3,27）解得（2）平衡点处的消费者剩余平衡点处的生产者剩余（3）当P=16时