贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试题

贵州省贵阳市南明区2023-2024学年高一（下）部分学校6月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（）A．2 B．3 C． D．2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和3．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A． B． C． D．4．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则或与异面5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形（）6．下列说法不正确的是（）A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形B．棱台的各侧棱延长线必交于一点C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形7．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为．则（）A． B． C． D．8．如图，在正方体中，4，E在线段上，则的最小值是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，真命题为（）A．复数为纯虚数的充要条件是B．复数的共轭复数为C．复数的虚部为D．复数，则10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A．一定存在实数，使得成立B．若，那么一定有C．若，那么D．若，那么，，一定相互平行11．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（）A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，平面内一点，满足的最大值是.13．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是．14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.16．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.（1）在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？（2）求的值；（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.17．已知向量．（1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；（2）若向量，且，求向量夹角的余弦值．18．在锐角中，角所对的边分别是．已知，．（1）求角；（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．19．如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点.（1）证明：平面．（2）求异面直线与CD所成角的余弦值.（3）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求的值；若不存出在，说明理由.

答案解析部分1234567891011CBAACCCB,C,DB,C,A,C12．13．14．0.7915．（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，因为为两两互斥事件，由已知得，解得.∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间.（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以所以因为，所以此游戏不公平.16．（1）解：因为月均用水量在内的家庭占，所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.（2）解：由频率分布直方图，可得，则，因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，所以在，则，解得.（3）解：估计这500个家庭的月均用水量的平均值为.17．（1）解：因为，所以．因为，所以（，即，解得，则向量在向量上的投影向量为，其坐标为．（2）解：由题意可得．因为，所以，解得，所以，则．因为，所以．18．（1）解：，，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，，则，，又，（2）解：点是内一动点，，，，，由余弦定理，可得，即，所以，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，；（3）解：，，，即平分，，所以，又，，所以，解得，，则，则，即，即．19．（1）证明：由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形，平面ABC．因为平面ABC，所以.因为△ABC是等边三角形，D为AB的中点，所以.因为，平面，且，所以平面．（2）解：如图，取的中点，连接，.易证，则是异面