高三数学第二章函数复习学案(教师版)

第二章函数第1节函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．【知识梳理】1．函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况．4．熟记对数式的五个运算公式loga(MN)＝logaM＋logaN；logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝eq\f(logbN,logba)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．5．与周期函数有关的结论(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.(3)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称.【典型题型解析】考点一函数及其表示例1(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,lnx)的定义域是 ()A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)答案D解析由函数y＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0,2x，x≤0))，则f(f(eq\f(1,9)))等于 ()A．4 B.eq\f(1,4)C．－4 D．－eq\f(1,4)答案B解析因为eq\f(1,9)>0，所以f(eq\f(1,9))＝log3eq\f(1,9)＝－2，故f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4).(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)求函数值时应注意形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋3，x<4，))则f(log23)等于 ()A．3 B．4 C．16 D．24(2)已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为 ()A．33 B．22 C．13 D．6答案(1)D(2)C解析(1)f(log23)＝f(log23＋3)＝f(log224)＝2log224＝24.(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝logeq\o\al(2,3)x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，因为1≤x≤9，且1≤x2≤9，所以1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，作出图象知，当log3x＝1时，函数y取得最大值13.考点二函数的性质例2(1)(2012·福建)设函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则下列结论错误的是 ()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数答案C解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1}，选项A正确；当x是有理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0，D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确；当x是有理数时，对于任一非零有理数a，x＋a是有理数，且D(x＋a)＝D(x)＝1，当x是无理数时，对于任一非零有理数b，x＋b是无理数，所以D(x＋b)＝D(x)＝0，故D(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确．(2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝－x2，则f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))的值等于________．答案－eq\f(1,4)解析根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,4).所以f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))的值是0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(1,4).函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，则a的取值范围是 ()A．[1,2] B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．(0,2](2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是________．答案(1)C(2)－1解析(1)由题意知a>0，又logeq\f(1,2)a＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(logeq\f(1,2)a)．∵f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因f(x)在[0，＋∞)上递增．∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，选C.(2)依题意得f(0)＝0.当x>0时，f(x)>e0＋a＝a＋1.若函数f(x)在R上是单调函数，则有a＋1≥0，a≥－1，因此实数a的最小值是－1.考点三函数的图象例3(1)(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于 ()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1(2)形如y＝eq\f(b,|x|－a)(a>0，b>0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|图象的交点个数为n，则n＝________.答案(1)D(2)4解析(1)与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.(2)由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝eq\f(1,|x|－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)x≥0且x≠1，,－\f(1,x＋1)x<0且x≠－1，))在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数y＝xln(－x)与y＝xlnx的图象关于 ()A．直线y＝x对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．原点对称(2)函数y＝eq\f(log2|x|,x)的大致图象是 ()(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0.))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0]答案(1)D(2)C(3)D解析(1)若点(m，n)在函数y＝xlnx的图象上，则n＝mlnm，所以－n＝－mln[－(－m)]，可知点(－m，－n)在函数y＝xln(－x)的图象上，而点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，所以函数y＝xlnx与y＝xln(－x)的图象关于原点对称．(2)方法一由于eq\f(log2|－x|,－x)＝－eq\f(log2|x|,x)，所以函数y＝eq\f(log2|x|,x)是奇函数，其图象关于原点对称．当x>0时，对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选C.方法二0<x<1时，y<0；x>1时，根据y＝log2x与y＝x的变化快慢知x→＋∞时，y>0且y→0.故选C.(3)函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.考点四基本初等函数的图象及性质例4(1)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3，则有 ()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b答案(1)C(2)C解析(1)方法一由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．故选C.方法二对a分类讨论：当a>0时，log2a>logeq\f(1,2)a，即log2a>0，∴a>1.当a<0时，logeq\f(1,2)(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，∴－1<a<0，故选C.(2)∵a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(eq\f(1,5))log30.3＝5log33eq\f(1,3)，根据y＝ax且a＝5，知y是增函数．又∵log23.4>log33eq\f(1,3)>1,0<log43.6<1，∴5log23.4>(eq\f(1,5))log30.3>5log43.6，即a>c>b.(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是 ()(2)(2012·天津)已知a＝21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为 ()A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a答案(1)C(2)A解析(1)因为a>0且a≠1，所以f(3)＝a3>0.因为f(3)g(3)<0，所以g(3)<0即loga3<0，所以0<a<1，则指数函数f(x)＝ax单调递减，对数函数单调递减，所以答案选C.(2)利用中间值判断大小．b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a，答案选A.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．提醒：函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象对称轴为x＝0，并非直线x＝a.(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．【当堂达标】1．已知函数f(x)＝e|lnx|－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为 ()答案A解析据已知关系式可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－lnx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x0<x≤1，,elnx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝\f(1,x)x>1，))作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象．2．定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0.则有 ()A．f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B．f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C．f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D．f(0.32)<f(log25)<f(20.3)答案A解析由已知可知f(x)在(－∞，0)上递增，又f(x)为奇函数，故f(x)在(0，＋∞)上递增，∵0.32<20.3<log25.∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25)．3．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内关于x的方程y＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)的根的个数为 ()A．不可能有3个 B．最少有1个，最多有4个C．最少有1个，最多有3个 D．最少有2个，最多有4个答案B解析函数f(x)的图象如图所示：函数g(x)＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1恒过定点(－1,1)，故选B.【点击高考】一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R答案B解析由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数，所以选B.2．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))的值等于 ()A.eq\f(1,lg2) B．－eq\f(1,lg2) C．lg2 D．－lg2答案D解析当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)．又函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以当x<0时，f(x)＝－lg(－x)．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝lgeq\f(1,100)＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))))＝f(－2)＝－lg2.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥1，,x＋c，x<1，))则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当c＝－1时，易知f(x)在R上递增；反之，若f(x)在R上递增，则需有1＋c≤0，即c≤－1.所以“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件．4．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析设a＝log36＝1＋log32＝1＋eq\f(1,log23)，b＝log510＝1＋log52＝1＋eq\f(1,log25)，c＝log714＝1＋log72＝1＋eq\f(1,log27)，显然a>b>c.5．若函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a≤0 C．a≥1 D．a≤1答案A解析当a＝0或者a＝1时，显然，在区间(－∞，0]上为减函数，从而选A.6．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围是 ()A．[－1，eq\f(1,2))B．(－∞，－1]∪(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－1，eq\f(1,2))D．(－∞，－1)∪(eq\f(1,2)，＋∞)答案A解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)<f(m)⇔f(|1－m|)<f(|m|)，又∵当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|1－m|>|m|，,－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，))解得－1≤m<eq\f(1,2).7．(2013·四川)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是 ()答案C解析由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝eq\f(x3,3x－1)的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝eq\f(－13,\f(1,3)－1)＝eq\f(3,2)>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝eq\f(4,5)，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.8．已知直线y＝mx与函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0))的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是 ()A．(eq\r(3)，4) B．(eq\r(2)，＋∞)C．(eq\r(2)，5) D．(eq\r(3)，2eq\r(2))答案B解析作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x>0))的图象，如图所示．直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝eq\f(1,2)x2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx＝eq\f(1,2)x2＋1在x>0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，解得m>eq\r(2).故所求实数m的取值范围是(eq\r(2)，＋∞)．二、填空题9．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．答案－1解析因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.10．(2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.答案－6解析利用函数图象确定单调区间．f(x)＝|2x＋a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x≥－\f(a,2)，,－2x－a，x<－\f(a,2).))作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，∴－eq\f(a,2)＝3，∴a＝－6.11．已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋5，且f(1)＝3，则f(－1)＝________.答案7解析因为f(1)＝3，所以f(1)＝asin1＋b＋5＝3，即asin1＋b＝－2.所以f(－1)＝－asin1－b＋5＝－(－2)＋5＝7.12．已知奇函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx≥0，,ax2＋bxx<0，))给出下列结论：①f(f(1))＝1；②函数y＝f(x)有三个零点；③f(x)的递增区间是[1，＋∞)；④直线x＝1是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；⑤函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．答案①②解析因为f(x)是奇函数，所以x<0时，f(－x)＝x2＋2x，即f(x)＝－x2－2x.可求得a＝－1，b＝－2.即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))①f(f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝1，①正确；②易知f(x)的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x∈(－∞，－1]时，f(x)也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，④错误；⑤奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.13．给出下列四个函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝eq\r(x).当0<x1<x2<1时，使feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)恒成立的函数的序号是________．答案②④解析由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝eq\r(x).14．已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.则所有正确命题的序号为________．答案①②④解析令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据①可得f(x＋4)＝f(x)，可得函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则eq\f(x1＋x2,2)＝－4，即x1＋x2＝－8.故正确命题的序号为①②④.第2节函数与方程及函数的应用【高考考情解读】本节主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．【知识梳理】1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.【典型题型解析】考点一函数的零点例1(1)(2013·重庆)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间 ()A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2xx>0，,2x＋1x≤0，))的零点个数是 ()A．0 B．1 C．2 D．3答案(1)A(2)D解析(1)由于a<b<c，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋0>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ()A．0 B．1 C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案(1)B(2)－1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝eq\f(1,a)＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，∴－1<x0<0，∴n＝－1.考点二与函数有关的自定义问题例2若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“eq\f(1,2)－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是 ()A．1 B．2 C．3 D．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案A解析对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f(x)是“eq\f(1,2)－伴随函数”，则f(x＋eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)f(x)＝0，取x＝0，则f(eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)f(0)＝0，若f(0)，f(eq\f(1,2))任意一个为0，函数f(x)有零点；若f(0)，f(eq\f(1,2))均不为0，则f(0)，f(eq\f(1,2))异号，由零点存在性定理，知f(x)在(0，eq\f(1,2))内存在零点x0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosπxx<0，,log3xx>0，))则f(x)的图象上的“镜像点对”有 ()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对答案C解析依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x0>0)，若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝log3x0，,y0＝cosπ－x0＝cosπx0，))所以log3x0＝cosπx0，即x0是方程log3x＝cosπx的根．在同一个直角坐标系中画出函数y＝log3x与y＝cosπx的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.考点三函数模型及其应用例3省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|eq\f(x,x2＋1)－a|＋2a＋eq\f(2,3)，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，eq\f(1,2)]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．(1)令t＝eq\f(x,x2＋1)，x∈[0,24]，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．解(1)当x＝0时，t＝0；当0<x≤24时，x＋eq\f(1,x)≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))∈(0，eq\f(1,2)]，即t的取值范围是[0，eq\f(1,2)]．(2)当a∈[0，eq\f(1,2)]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)，则g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＋3a＋\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋\f(2,3)，a<t≤\f(1,2).))∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，eq\f(1,2)]上单调递增，且g(0)＝3a＋eq\f(2,3)，g(eq\f(1,2))＝a＋eq\f(7,6)，g(0)－g(eq\f(1,2))＝2(a－eq\f(1,4))．故M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\f(1,2)，0≤a≤\f(1,4)，,g0，\f(1,4)<a≤\f(1,2).))即M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(7,6)，0≤a≤\f(1,4)，,3a＋\f(2,3)，\f(1,4)<a≤\f(1,2).))当0≤a≤eq\f(1,4)时，M(a)＝a＋eq\f(7,6)<2显然成立；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(2,3)≤2，,\f(1,4)<a≤\f(1,2)，))得eq\f(1,4)<a≤eq\f(4,9)，∴当且仅当0≤a≤eq\f(4,9)时，M(a)≤2.故当0≤a≤eq\f(4,9)时不超标，当eq\f(4,9)<a≤eq\f(1,2)时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋2，0<x≤4，,\f(x＋14,2x－2)，x>4，))当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．解(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋80<x≤4，,\f(2x＋28,x－1)x>4.))当0<x≤4时eq\f(x2,4)＋8≥4，显然符合题意．当x>4时eq\f(2x＋28,x－1)≥4，解得4<x≤16.综上0<x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y＝m·f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mx2,16)＋2m0<x≤4，,\f(mx＋14,2x－2)x>4，))得当0<x≤4时，y＝eq\f(mx2,16)＋2m在区间(0,4]上单调递增，即2m<y≤3m；当x>4时，y′＝eq\f(－30m,2x－22)<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即eq\f(7m,4)≤y<3m，综上知，eq\f(7m,4)≤y≤3m，为使4≤y≤10恒成立，只要eq\f(7m,4)≥4且3m≤10即可，即eq\f(16,7)≤m≤eq\f(10,3).所以应该投放的药剂量m的最小值为eq\f(16,7).1．函数与方程(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点．(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反馈,检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．【当堂达标】1．已知函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是 ()A．x0<b B．x0>bC．x0<c D．x0>c答案D解析函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a<b<c，∴f(a)>f(b)>f(c)．又∵f(a)f(b)f(c)<0，则f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，则x0<a，若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则b<x0<c，故x0>c不可能成立，故选D.2．若f(x)＋1＝eq\f(1,fx＋1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是 ()A．[0，eq\f(1,2)) B．[eq\f(1,2)，＋∞)C．[0，eq\f(1,3)) D．(0，eq\f(1,2)]答案D解析根据方程与函数关系．设x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，∴f(x)＝eq\f(1,fx＋1)－1＝eq\f(1,x＋1)－1，∴画出f(x)在(－1,1]上的图象(如右图)，g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x＋1)有两个不同根，即y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则0<m≤eq\f(1,2).

【点击高考】一、选择题1．卖店函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间为 ()A．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，1)C．(1,2) D．(2,3)答案C解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．f(eq\f(1,2))＝log2eq\f(1,2)－eq\f(1,\f(1,2))＝－1－2＝－3<0，f(1)＝log21－eq\f(1,1)＝0－1<0，f(2)＝log22－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>0，f(3)＝log23－eq\f(1,3)>1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>0，即f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零点在区间(1,2)内．2．若函数g(x)＝f(x)－2在(－∞，0)内有零点，则y＝f(x)的图象是 ()答案D解析由f(x)－2＝0，得f(x)＝2，由图象可知，对于A，当f(x)＝2时，x＝0，不成立．对于B，当f(x)＝2时，无解．对于C，当f(x)＝2时，x>0，不成立，所以选D.3．函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)答案C解析因为f′(x)＝2xln2＋eq\f(2,x2)>0，所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 ()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16答案D解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq\f(c,\r(A))＝15， ①所以必有4<A，且eq\f(c,\r(4))＝eq\f(c,2)＝30， ②联立①②解得c＝60，A＝16.5．已知关于x的方程|x2－6x|＝a(a>0)的解集为P，则P中所有元素的和可能是 ()A．3,6,9 B．6,9,12C．9,12,15 D．6,12,15答案B解析令f(x)＝|x2－6x|，作图象如下：知f(x)＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，它与直线y＝a交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于()A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16答案C解析f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.二、填空题7．