2024年中考数学二轮题型突破阅读理解及定义型问题 （训练）

题型十阅读理解及定义型问题（专题训练）

1.（2023.湖南岳阳.统考中考真题）若一个点的坐标满足信,2人），我们将这样的点定义为“倍

值点”.若关于x的二次函数y=（r+l）/+（t+2）x+s（sj为常数，rw-i）总有两个不同

的倍值点，则，的取值范围是（）

A.sv—1B.5<0C.0<5<1D.-1<5<0

【答案】D

【分析】利用“倍值点”的定义得到方程（f+1卜2+氏+S=0,则方程的A>0,可得

r-由s-4s>0,利用对于任意的实数,总成立，可得不等式的判别式小于0,解不等式可得

出$的取值范围.

【详解】解：由“倍值点”的定义可得：2x=（r+l）f+（/+2）x+s,

整理得，（/+1）/+江+5=。

.••关于x的二次函数y=G+l）f+U+2）x+s（sJ为常数，r沪-1）总有两个不同的倍值点，

A——4（r+l）s=—4-ts—4s>0,

:对于任意实数S总成立，

整理得，16?+165<0,

s?+s<0,

5（5+1）<0,

.卜<。fs>0

"[5+1>0'或js+l<0'

卜<0

当Ic时，解得-l<s<0,

[s+l>0

fs>0

当，八时，此不等式组无解,

[5+1<0

-1<5<0,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次

函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键.

2.（2021•甘肃武威市•中考真题）对于任意的有理数如果满足幺+?=@土白，那

232+3

么我们称这一对数。力为“相随数对”，记为（。力）.若（根,〃）是“相随数对”，则

3m+2[3m+(2w—1)]=()

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】

先根据新定义，可得9m+4n=0,将整式3m+2[3加+（2〃—1）]去括号合并同类项化简得

9m+4n-2,然后整体代入计算即可.

【详解】

解：•.•（〃&〃）是“相随数对”，

mnm+n

—I——---,

232+3

整理得9m+4n=0,

3m+2[3m+（2ra—1）]=3m+6m+4w—2=9/n+477—2=—2.

故选择A.

【点睛】

本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对,

找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键.

a(a<b)

3.（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：min{a,人}=<若函数

b(a>b)'

y=min（x+l,—x2+2x+3）,则该函数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可.

【详解】

令y=min(a,b),

当x+14—%2+2x+3时，即—2V0时，y=x+1,

令.=工2—%—2,则w与x轴的交点坐标为(2,0),(-1,0),

...当wWO时，一1W%W2,

j=x+1(―1WXW2),

,；y随x的增大而增大，

当x=2时，y最大=3；

当工+1>—/+2%+3时，即%2一％一2>0时，y=-x2+2x+3,

令x—2，则w与x轴的交点坐标为(2,0),(-1,0),

.,.当w>0时，*>2或1<—1,

••_y=—%2+2x+3(x>2或x<—1),

y=-x2+2x+3的对称轴为x=l,

...当x>2时，y随x的增大而减小，

,当x=2时，y=-x2+2x+3=3,

.,.当x>2时,y<3；

当x<—l,y随x的增大而增大，

...当x=T时，y=-%2+2x+3=0；

.,.当％<—1时，y<0；

综上，y=min(x+l,-x2+2%+3)的最大值为3.

故选C.

【点睛】

本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解.

4.(内蒙古通辽市2021年中考数学真题)定义：一次函数丁=6«+人的特征数为［①4，

3

若一次函数y=-2x+根的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=--的图象交于

x

A,B两点，且点A,B关于原点对称，则一次函数y=-2x+机的特征数是()

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

【答案】D

【分析】

3

先求出平移后的直线解析式为y^-2x+m+3,根据与反比例函数y=—-的图象交于A,

x

B两点，且点A,B关于原点对称，得到直线y=-2%+m+3经过原点，从而求出m,根据

特征数的定义即可求解.

【详解】

解:由题意得一次函数y=-2X+%的图象向上平移3个单位长度后解析式为

y=-2x+m+3,

3

•.•直线y=—2x+%+3与反比例函数y=——的图象交于A,B两点，且点A,B关于原点

x

对称，

.,.点A,B,0在同一直线上,

/.直线y=~2x+m+3经过原点，

m+S=O,

m=-3,

...一次函数y=-2x+m的解析式为y=-2x-3,

...一次函数y=-2x+m的特征数是[-2,-3].

故选：D

【点睛】

本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较

强，根据点A,B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键.

a,a>b

5.(2021•广西来宾市•中考真题)定义一种运算：a*b=,则不等式

b,a<b

(2x+l)*(2—x)>3的解集是()

A.x>l或x<LB.-1<%<-C.x>l或x<-lD.或

333

【答案】C

【分析】

根据新定义运算规则，分别从2x+122-%和2x+1<2-x两种情况列出关于x的不等式,

求解后即可得出结论.

【详解】

解：由题意得，当2x+122-x时，

即尤21时，（2%+1）*（2—幻=2%+1,

3

贝U2x+l>3,

解得x>1,

...此时原不等式的解集为x>1：

当2x+l<2-x时，

即工<工时，（2%+1）*（2_工）=2_》，

3

则2-x>3,

解得x<—1,

...此时原不等式的解集为x<-1;

综上所述，不等式（2x+l）*（2—x）>3的解集是X>1或X<—1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式.

6.（2021•湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数冽，“，P,4,有

在”,同=〃M+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：

[2,3怦[4,5]=2x5+3x4=22.若关于x的方程[炉+i,可※设―2匕可=0有两个实数

根，则左的取值范围是（）

A.k<—且左w0B.k<—C.k<—且左w0D.k>—

4444

【答案】C

【分析】

按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方

面入手，即可解决.

【详解】

解：V[x2+l,x]/[5%k,k]=0,

左（尤2+l）+（5-2左）x=0.

整理得，+（5—2%）x+左=0.

•••方程有两个实数根，

.•.判别式仑0且左w0.

由，20得，（5—2左『一4左2»0,

解得，上Wg.

4

，k的取值范围是左W上且左wO.

4

故选：C

【点睛】

本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是

解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题

的关键.此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视.

7.（山东省荷泽市2021年中考数学真题）定义：[a,上c]为二次函数y=ax2+bx+c（a^Q）

的特征数，下面给出特征数为上〃,1—加,2—的二次函数的一些结论：①当机=1时，函

数图象的对称轴是＞轴；②当机=2时，函数图象过原点；③当加＞0时，函数有最小值;

④如果加＜0,当％〉工时，＞随工的增大而减小，其中所有正确结论的序号是.

2

【答案】①②③.

【分析】

利用二次函数的性质根据特征数上”,1-机,2-m],以及加的取值，逐一代入函数关系式，

然判断后即可确定正确的答案.

【详解】

解：当机=1时，

把根=1代入可得特征数为[1,0,1]

a=l96=0,c=1,

・•・函数解析式为y=%2+i,函数图象的对称轴是y轴，故①正确；

当机=2时，

把加=2代入［加,1一根,2-根］,可得特征数为［2,-1,0］

:•a=2,b=—l,c=0,

・••函数解析式为y=2——%,

当x=0时，y=0,函数图象过原点，故②正确；

函数）=+（l-m）x+（2-m）

当相＞0时,函数）=22+（1一加卜+（2一间图像开口向上，有最小值，故③正确；

当机＜0时,函数了=小2+0—旬工+但一加）图像开口向下，

r-i小l-mm-1111

对称轴为：^=-——=——

2m2m22m2

.♦.X〉,时，X可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，

2

故④错误；

综上所述，正确的是①②③，

故答案是：①②③.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质

是解题的关键.

8.（2023・湖北随州・统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关,灯分为“亮”和“不亮”

两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”.现

有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2

的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100

个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次•问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开

关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有__________盏.

【答案】10

【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”,

确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解.

【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不

亮”；

因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1,4,9,16,25,

36,49,64,81,100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；

故答案为：10.

【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关

键.

9.(广西贵港市2021年中考数学真题)我们规定：若：=(&%)工=(.%)，则

09=网与+必%・例如。=(1,3),人=(2,4)，则菽=1x2+3x4=2+12=14,已知

a=(x+l,x—1)/=(x—3,4)，且一2领k3,则少的最大值是--------

【答案】8

【分析】

根据平面向量的新定义运算法则，列出关于4的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即

可.

【详解】

解：根据题意知：=(尤+1)(尤一3)+4(x-l)=(尤+1)2-8.

因为—2WxW3,

所以当x=3时，。力=(3+1)2-8=8.

即的最大值是8.

故答案是：8.

【点睛】

本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值.

10.(2023・重庆•统考中考真题)如果一个四位自然数丽的各数位上的数字互不相等且均

不为。，满足瓦-添=不，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129,•••41-12=29,

...4129是“递减数”；又如：四位数5324,：53-32=21片24,,5324不是“递减数”.若一

个“递减数”为百攻，则这个数为;若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数

而与后三个数字组成的三位数两的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是

【答案】4312；8165

【分析】根据递减数的定义进行求解即可.

【详解】解：：崩是递减数，

••.10a+3-31=12,

〃=4,

，这个数为4312；

故答案为：4312

•••一个“递减数”的前三个数字组成的三位数正与后三个数字组成的三位数后的和能被9

整除，

10fl+Z?-10Z?-c=10c+/7,

abc+bed=100。+10。+c+100。+10c+d，

abc+bed=100<7+10Z?+c+100Z?+10a+&-10Z?—c=110<7+101Z?，

•：110a+101b^99（a+b）+lla+2b,能被9整除，

.,•lkz+26能被9整除，

•••各数位上的数字互不相等且均不为0,

.=lfa—2{a=3fa=4]〃=5fa=6ftz=7fez=8

^[b=^[b=7'[b=6'[b=5"[b=4，[b=3"[b=2，[b=l'

..•最大的递减数，

・・a=8,b=1,

10x8-9xl-c=10c+J,即：llc+d=ll,

最大取6,此时d=5,

・•・这个最大的递减数为8165.

故答案为：8165.

【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用.理解并掌握递减数的定义，是解题

的关键.

11.(2023・四川乐山・统考中考真题)定义：若无，y满足f=4'+钉/=4x+f且xwyG为

常数)，则称点为“和谐点”.

⑴若p(3,m)是“和谐点”，贝*=.

(2)若双曲线>=七(-3<%<-1)存在“和谐点”，则上的取值范围为.

X

【答案】-7；3<%<4

【分析】(1)根据“和谐点”的定义得到32=4m+f,/=4x3+r,整理得至I]>+4加一21=0,

解得州=-7,牲=3(不合题意，舍去)，即可得到答案；

(2)设点(a/)为双曲线>=勺-3(尤<-1)上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到

(a—b)(a+b+4)=0,由4b得至！|a+6+4=0,贝[|6=—a—4,由6="(-3<a<-1)进一步

得到左=-(a+2y+4,且-3<a<-1,根据二次函数的图象和性质即可得到左的取值范围.

【详解】解：(1)若尸⑶〃。是“和谐点”，则32=4m+r,病=4x3+r,

贝!J32-4m=t,m2-12=t,

32—4m=m2—12,

BPm2+4m—21=0,解得肛=—7,%=3(不合题意，舍去)，

m=—7,

故答案为：-7

(2)设点(。力)为双曲线y=勺一3<尤<一1)上的“和谐点”，

k

••a?=4b+1,Z?2-4Q+1b——(—3<a<—1),

9a

22

即a-4b=b-4aJ

.,*(a+Z?)(a—Z?)+4(a—Z?)=0,

则(a—人)(〃+〃+4)=0,

Va1b,

••a+b+4=0.

即6=—a—4,

k

：6=—(-3<a<-l),

a

..k=ab=a(—a—4)=—a2—4a=—(a+2)~+4,Ji—3<a<—1>

对抛物线左=一(4+2丫+4来说，

V-l<0,

，开口向下，

当。=一1时，氏=-(-1+2丫+4=3,

当。=一3时，々=-(-3+2)2+4=3,

:对称轴为a=-2,—3<。<一1,

•,.当。=-2时，左取最大值为4,

”的取值范围为3<%<4,

故答案为：3<k<4

【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练

掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键.

12.(2021•湖北中考真题)对于任意实数a、b,定义一种运算：a®b^a2+b2-ab，

若—1)=3,则x的值为.

【答案】—1或2

【分析】

根据新定义的运算得到x0(x-l)=无2+(%—I)?—M尤—1)=3,整理并求解一元二次方程

即可.

【详解】

解：根据新定义内容可得：%®(X-1)=X2+(X-1)2-X(X-1)=3,

整理可得x?—%—2=0,

解得罚=一1,&=2,

故答案为：-1或2.

【点睛】

本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键.

13.（2023・重庆•统考中考真题）对于一个四位自然数M,若它的千位数字比个位数字多6,

百位数字比十位数字多2,则称M为“天真数”.如：四位数7311,：7-1=6,3-1=2,

.•.7311是“天真数”；四位数8421,：8-1x6,8421不是“天真数”，则最小的“天真数”

为;一个“天真数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,

记P（M）=3（a+6）+c+d,。（⑷=。一5,若凉才能被10整除，则满足条件的M的最大

值为.

【答案】6200；9313

［分析］根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到c+d=（a+b）-8,

P（M）4（a+Z?）-8P（M）

进而丁号=△——,若M最大，只需千位数字a取最大，即。=9,再根据三岛能

Q（M）a-5Q（M）

被10整除求得b=3,进而可求解.

【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；

根据题意，a-d=6,b-c=2,6<a<9,2<b<9,则c+d=（。+匕）一8,

P（M）=3（a+b）+c+d=4（a+b）-8,

P（M）_4（a+Z?）-8

若M最大，只需千位数字。取最大，即a=9,

.尸（⑷4（9+。）-8

9-5-，

P（M}

标能被10整除，

b=3,

满足条件的M的最大值为9313,

故答案为:6200,9313.

【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新

定义是解答的关键.

14.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形.根据

规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角

线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0,1）,

（0,-1）,P是二次函数丫=:（的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=-1

4

于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是.（填序号）

【答案】①④

【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平

行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对

角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此

不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ满足MN〃PQ,设P（m,0）（m>0）,：PM=

J机2+（；病—i）2=（m2+],pQ=；疗—（―]）=；病+],:.PM=PQ,故四边形PMNQ是

广义菱形.综上所述正确的是①④.

15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征

值”.若等腰AABC中，/A=80°,则它的特征值k=.

Q1

【答案】2或二.

54

QQQ

【解析】当/A是顶角时，底角是50°,贝Uk二——=—：当/A是底角时，则底角是20°,

505

,2014……871

k=---=—,故答案为：一或一.

80454

16.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M

的内部,或在图形M上,且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

4-

3-

Ar^-----------

1-

/fl\

-4-3-2-1O\234%

8TC

-2-C

-3-

-4-

图①图②

⑴如图①，矩形ABC。的顶点坐标分别是4（一1,2）,B（-l,-1）,C（3-1）,0（3,2）,在点

M2（2,2）,M（3,3）中，是矩形“梦之点”的是；

（2）点G（2,2）是反比例函数％=g图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之

点”H的坐标是，直线GH的解析式是必=.当%>上时，尤的取

值范围是.

1Q

（3）如图②，已知点A,8是抛物线>=-5/+》+不上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，

连接AC,AB,BC,判断ABC的形状，并说明理由.

【答案】（1）M.M2

（2）”（-2,-2）,%=x,x<-2或0<x<2

（3）ASC是直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；

（2）把G（2,2）代入求出解析式，再求与丫=》的交点即为最后根据函数图象判

断当%>当时，x的取值范围；

（3）根据“梦之点”的定义求出点A,8的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC,AB,

BC,即可判断二ABC的形状.

【详解】（1）:矩形A3CD的顶点坐标分别是A（—L2）,C（3,-l）,D（3,2）,

矩形ABCD“梦之点”（x,y）满足—1<x<3,-l<y<2,

.•.点必（1,1）,%（2,2）是矩形相a>“梦之点”，点也（3,3）不是矩形4友心“梦之点”，

故答案为：M2.

（2）•/点G（2,2）是反比例函数％图象上的一个“梦之点”，

.•.把G（2,2）代入X=：得左=4,

Ji=x->

.一梦之点”的横坐标和纵坐标相等，

“梦之点”都在直线y=无上，

_4

x=2x=-2

联立解得I或

y=_2'

H(-2,-2),

直线的解析式是％=x,

函数图象如图:

由图可得，当月>%时，尤的取值范围是x<—2或0<x<2；

故答案为：H(-2,-2),y2=x,%<-2或0<x<2；

(3)ABC是直角三角形，理由如下:

io

・・,点A,3是抛物线y=-5/+X+2上的，，梦之点，，,

129

y=—x+XH—x=3x——3

联立〈22,解得或

y=-3'

y=x

；.A(3,3),5(-3,-3),

•尸一Ld+x+2=_L(尤一炉+5

'222V'

顶点C(l,5),

：.AC2=(3-l)2+(3-5)2=8,AB2=(-3-3)2+(-3-3了=72,BC~=(-3-1)2+(-3-5)2=80,

BC2=AC2+AB2,

.ASC是直角三角形.

【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形

性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键.

17.阅读下面的材料：

如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意xi,X2,

(1)若X《X2,都有f(X1)<f(x2),则称f(x)是增函数；

(2)若X《X2,都有f(Xi)>f(x2),则称f(x)是减函数.

例题：证明函数f(x)=—(x>0)是减函数.

X

证明：设0〈x《X2,

X

66_6X2-6xx_6(2—xj

f(xi)-f(x2)

%X2再入2%工2

V0<Xi<x2>.*.x2-Xi>0,XiX2>0.

6(X9-x)

~~->0,即f(xD-f(x2)>0.

xvx2

.*.f(xi)>f(X2),・••函数f(x)=—(x>0)是减函数.

X

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数f(x)=\+x(x<0),

1

f(一1)=(T)=°，f(一2)=^7+(-2)=-

(1)计算：f(-3)二,f(-4)=；

(2)猜想：函数f(x)=—+x(x<0)是__________函数(填“增”或“减”)；

(3)请仿照例题证明你的猜想.

【答案】(1)--,-—；(2)增；(3)见解析.

916

【解析】(1)*.,f(x)=—+x(x<0),

4上2663

故答案为：—--，~—；

916

(2)V-4<-3,f(-4)>f(-3),

函数f(x)='r+x(x<0)是增函数，

x

故答案为：增；

(3)设xi〈X2<0,

11X.+X,

+XX

'."f(X1)-f(x2)=~l---2~2-(X1-X2)(1-一广二)

X]无2%%2

+

*.,xi<x2<0,/.Xi-x2<0,Xix2<0,

/.f(Xi)-f(x2)<0,f(Xi)<f(x2),

函数f(x)='r+x(x<0)是增函数.

X

【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答.

18.(2023・湖南张家界•统考中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为。，a+4b,a+2扬，a+3扬的正方形面积分别记为4，S?,S3,邑.

贝”2-5]=(4+而2一片

=[(a+y[b)+a]•[(a+扬)-a]

=(2。+6).扬

=6+2a^/F

例如：当o=l,6=3时，S「S[=3+2也

根据以上材料解答下列问题：

(1)当a=l,%=3时，S3—邑=,64—63=；

⑵当。=1,3=3时，把边长为a+〃场的正方形面积记作臬+],其中”是正整数，从(1)

中的计算结果，你能猜出S5”等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当。=1,6=3时,令4=邑-5],马=邑—$2，(=$4-S3,…,/„=Sn+1-Sn,且

T=ti+t1+ti++Z50,求T的值.

【答案】⑴9+2石，15+26

⑵猜想结论：S向—S,=6，L3+2百，证明见解析

(3)7500+100^

【分析】(1)根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；

(2)根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；

(3)结合题意利用(2)中结论求解即可.

【详解】(1)解：S3—邑=(〃+2扬)2—(〃+指彳

—Q?+Aciy[b+4b-(〃2+^cty/b+b)

=a2+4a&+4b-a2-2a>/b-b

=2a&+3b

当a=l,〃=3时，

原式=26+9；

54-53=(6i+3断了—(a+2断了

=a2+6a\fb+9b—(a2+4a>fb+4Z?)

—a2+GctyJb+9b-Q?-A-ci^b-4b

=2ayfb+5b

当a=l,Z?=3时，

原式=20+15；

(2)猜想结论：Sn+l-Sn=6n-3+2y/3

22

证明：Sn+l-s„=(1+riy/3)-[1+(«-1)A^]

=[2+(2/2-1)A/3]XV3

=3(2力-1)+2』

=6〃-3+2^/3；

(3)T=tx+12+13++t50

=S2-S]+S3-S2+S4-S3++S5i-S5Q

=S51

二(1+50百)2-1

=7500+10073.

【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键.

19.（2022•四川凉山）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的两个根为xx,则xi+x=-一，

u22a

c

X1X=—

2a

材料2：已知一元二次方程x2—x—1=0的两个实数根分别为m,n,求芯口+山南的值.

解：・・•一元二次方程X?—x—1=0的两个实数根分别为m,n,

.*.m+n=1,mn=—1,

贝!jn）2n+nin2=nin（m+n）=—1X1=—1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程2x?—3x—l=0的两个根为Xi,X2,则Xi+x2=；xix2

（2）类比应用：已知一元二次方程2（—3x—1=0的两根分别为m、n,求己+竺的值.

mn

⑶思维拓展：已知实数s、t满足2sJ3s—1=0,2t*2—33t—1=0,且sWt,求工-1的值.

st

Q11Q

【答案】（1）］；一万⑵一~3（3）或一行i

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关

系先求出"7+〃=；3,机〃=-1；，然后将r上i+r'n进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系

22mn

3111

先求出s+，=7，st=--,然后求出s-1的值，然后将---进行变形求解即可.

225t

【解析】（1）解：•・,一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为X1，X2,

b-33c1工心田生生31

••西+%=一-=一-丁二7，xrx2=-=---故答案为：-；

a22a222

⑵•・•一元二次方程2x-3x-l=0的两根分别为m、n,

b—33c1

..m+n=——=-----=—,mn=—=——,

a22a2

、，20—2x］」］

22

.nm_m+n［m+n）-2mn（2）12J=_12

***===i一~2

mnmnmn_1

~2

(3)・.・实数$、t满足2s2—3s—1=0,2t-3t-l=0,

・・・s、t可以看作方程2x-3x-l=0的两个根，

b-3_3

s+t=——

aT-2

（，-S）2=«+s）2-4s/_

历

=姮或一=姮时，」1

当”s=

222s

2

而

71711t—s1-1的值为如或-炳.

当好S=时,2Tn,综上分析可知,

2sst1s

2

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根

与系数的关系求出"S=姮或r-s=-短，是解答本题的关键.

22

20.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为嬴，易知嬴

=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如而=100a+10b+c.

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若2x+x3=45,则x=；

②若7y-y8=26,则y=；

③若丽+求=屈，贝2;

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数嬴的个位数字与十位数字，可得到一个新数病，则嬴+病一

定能被__________整除，mn~nm一定能被__________整除，mn,nm~nin一■定能被

__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极

大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要

求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大

的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325,

则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后

一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;

②设任选的三位数为而(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.

【答案】(1)①2.②4.③7.(2)11；9；10.

【解析】(1)①：Tn”=10m+n,

,若方+百=45，则10X2+x+10x+3=45，

x=2,

故答案为：2.

②若石-同=26,贝iJ10X7+y-(10y+8)=26,

解得y=4,

故答案为：4.

③由次=100a+10b+c,及四位数的类似公式得

若丽+泰二面，则100t+10X9+3+100)<5+10t+8=1000Xl+100X3+10t+l,

.,.100t=700,

；.t=7,

故答案为：7.

(2)Vmn+nm=10m+n+10n+m=llm+lln=ll(m+n),

，则mn+nm一"定能被11整除，

mn~nm=10m+n-(lOn+m)=9m-9n=9(m-n),

mn~nm~~定能被9整除.

mn,nm-mn=(lOm+n)(lOn+m)-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10(10mn+m2+n2)

mn*nm~mn-■定能被10整除.

故答案为：11;9;10.

(3)①若选的数为325,则用532-235=297,以下按照上述规则继续计算，

972-279=693,

963-369=594,

954-459=495,

954-459=495,…

故答案为：495.

②当任选的三位数为赤时，第一次运算后得：100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c),

结果为99的倍数，由于a>b>c,故a2b+12c+2,

Aa-c^2,又92a>cN0,

.*.a-cW9,

.*.a-c=2,3,4,5,6,7,8,9,

・•・第一次运算后可能得到：198,297,396,495,594,693,792,891,

再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981-189=792,972-279=693,963-369=594,954-459-495,954-459=495…,

故都可以得到该黑洞数495.

【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异,

总体中等难度略大.

21.(2023•山西・统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读

并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形A8CD中，点瓦分别是边D4的中点，

顺次连接瓦EG,",得到的四边形EFGH是平行四边形.

图1

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFG〃被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(点汾2g因〃尸诂"包654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关

系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接AC,分别交于点尸,。，过点。作。01AC于点交房于

点、N.

分别为的中点，：.HG//AC,HG=^AC.1)

图2

/.—=—.*/DG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

•••四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，即H尸〃GQ.

VHG//AC,即HG〃PQ,

.••四边形"PQG是平行四边形.(依据2)S毋=

••1SAADC=^ACDM=HGDM,sHPQC=^s^c.同理，…

任务：

(1)填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABC。及它的瓦里尼翁平行四边形所GH,

使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)

(3)在图1中，分别连接AC,5D得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形跳G〃的周长与对角

线AC,8D长度的关系，并证明你的结论.

图3

【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）;

平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）

（2）答案不唯一，见解析

（3）平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与8。长度的和，见解析

【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；

（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；

（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，

即可得她结论.

【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一

半）

平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）

（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩

形均可.例如：如图即为所求

（3）瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长等于四边形A3CD的两条对角线AC与8D长度的

和，

证明如下：：点瓦尸,G,H分别是边AB,BC,CD,的中点，

/.EF^AC,GH^AC.

：.EF+GH^AC.

同理硝+依=%>.

，四边形EFGH的周长=EF+G"+EH+