山西省晋中市2024届高三年级下册5月高考适应训练考试 数学 含解析

山西省晋中市2024年5月高考适应训练考试试卷

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，

一、单项选择题：本题共8小题，每小题S分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

）.复数上口在复平面内对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合4={0,1,2,3},8={1€川9—51+420},则408=（）

A.{1}B.{1,2}C.{（）,1}D.{1,2,3}

3.下列函数中既是奇函数，又在（O,X。）上单调递减的是（）

A/(力=州B-f(x)=x3

lrtv,x>0,

c./3=：一犬D./(x)=<

-ln(-x),x<0

■jr

4.已知圆+）3-4x+2y+l=0,过圆C外一点/作两条夹角为9的直线分别与圆C相交，当所得

的弦长均为2时，［C"=（）

A.2B.273C.4D.3点

5.如图，16颗黑色围棋子构成4x4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的

个数为（两个三箱形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形）（）

A.576B.528C.520D.516

3y/3

6.己知。,用£—生1,sina+sin/?=-5，cosa-cos£=3,则sin(a+£)=()

11

A且Bc.-D，-2

2~~r2

TT

7.已知三棱锥P—ABC中，B4=PB=4,PC=1,NA〃B=NAPC=NBPC=—,M,N,7分别为棱

3

AB,AC,PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为()

A.4>/2B.45/3C.5y/2D.2>/T3

22

8.己知双曲线C：十一方=1仅>0,6>0)的左焦点为F,过点F且斜率为6的直线与C的两条渐近线

分别交于点分别位于第二、三象限，若=则C的离心率为()

\NF\2

■762x/3715/-

A.---B.----C.----D.J3

233

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列有关回归分析的结论中，正确的有()

A.在样本数据(%,对。=1,2,3,.，,,1())中，根据最小二乘法求得线性回归方程为$=3x—l,去除一个样

本点(\,)\)后，得到的新线性回归方程一定会发生改变

B,具有相关关系的两个变量的相关系数为八那么，•越大，x.y之间的线性相关程度越强

C.若散点图中的散点均落在一条斜率非o的直线上，则决定系数尿=1

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

10.已知函数的定义域为R,满足/(x+)，)=/(A-)/(.y)+/W+/(),),且/⑴>T

则下列说法正确的是()

A./(())=()B./(X)为非奇非偶函数

C.若/⑴=1,则〃4)=15D./(»>-1时任意161<恒成立

11.在正四棱台—AgGA中，A8=2A4=4,则下列说法正确的是()

A.若正四核台内部存在一个与核台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为Jid

B.若正四棱台的各顶点均在一个半径为加的球面上，则该棱价的体枳为28&

C,若侧楼长为为棱的中点，P为线段3M上的动点（不含端点），则。4。不可能成立

D.若侧棱长为J?，0为棱的中点，过直线GQ且与直线与。平行的平面将棱台分割成体枳不等的两

部分，则其中较小部分的体枳为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.己知椭圆6':「+提=11/>/2〉0）的左、右焦点分别为F；，E，C上一点P满足卜£卜

卜周=|用+朋］=2,则6月由户=.

13.下面给出一个“三角形数阵”：

£

2

12

-36

2

24816

该数阵满足每一列成等差数列，每行的项数由上至下构成公差为】的等差数列，从第3行起，每一行的

数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为由，第2行的数由左至右依次为e,用,依次类推，

则Goo=

14.已知函数/（，）=/cos0+AsinO\+\asinO—Acos4的最大值为4应,则满足条件。〉e"的整数a的个

数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在△A8C中,角A氏C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2+bc=a2.

A

BDC

（I）求tan4；

（II）若。=（C+l卜在边8c上（不含端点）存在点。，使得4。=1,求a的取值范围.

16.（15分）

已知函数/（£）=白"，+ax,aeR

(I)讨论的单调性;

(II)若函数g(x)=/(x)+21nx存在两个极值点，求实数a的取值范围.

17.(15分)

如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=76,EC1ED,REC=ED=下,AB/'J平面CDE,AE口平面

BCD,AE.LCD.

J

(I)证明：平面ABE_L平面COE；

(II)若点A到直线CD的距离为为棱AE的中点，求平面8。6与平面BCD夹角的余弦值.

18.(17分)

甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷I枚骰子I次为一轮，在每

轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为T，当骰子朝上的点数不小于3时，

掷假子的人积2分，否则此人积I分，未掷骰子的人本轮积。分，然后进行下一轮游戏.己知每轮掷骰子

的结果相互独立.

(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率

(II)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷.当

假子期上的点数不小于3时,，积2分，否则积1分.甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数(含5分和

25分)，且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人嬴得游戏.记

两人累计积分之和为〃的概率为P(〃).

(i)证明：｛P(〃+l)—P(〃)｝为等比数列.

(ii)甲选哪个分数乃自己最有利？请说明理由

19.(17分)

在平面直角坐标系旦万中，已知点仞(1,0),P为动点，以线段MP为直径的圆与y轴相切.

(1)求动点P的优迹「的方程.

(II)已知点A(l,2),问：在「上是否存在点8,C使得△A8C为等边三角形？若不存在，请说明理由；

若存在，请说明这样的点8,C有儿组(不必说明点8,C的坐标).

山西省晋中市2024年5月高考适应训练考试试卷

数学(B卷)答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案A

命题意图本题考查复数的运算及几何意义

解析

山=1+3i,其在复平面内对应的点为3］，位于第一象限.

2-i55(55)

2.答案C

命题意图本题考查集合的运算

解析因为6={为€w/一51+420}={1€可戈41或1？4},所以A「8={0,1}.

3.答案C

命题意图本题考查函数的奇偶性和单调性

解析根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象，可知C正确

4.答窠B

命题意图本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系

解析由题可知，圆。的半径为2.当直线被圆截得的弦长为2时，弦心距为出,结合对称性，可得QH=2j5.

5.答案D

命题意图本题考查计数原理

解析可以图成C：6-10C：—4C；=516个不同的三角形

6.答案B

命题意图本题考查三角恒等变换

解析两式平方后再相加，可得2+2(sinasin/?—cosacos〃)=3,所以cos(a+/?)=—：，由

a,0w，得a+Qe［一凡乃］，所以&+/7=一,或用.又

3n,所以a+/?=一与,sin(a+/?)=一亭.

sina+sin/?=一5〈一1,所以a,/?e,。

2

7.答案C

命题意图本题考查向量的线性运算在立体几何中的应用

解析记PA=a,PB=b,PC=c,则尸M=g(〃+〃)，

TN=；(a+c)-；Z?=；(4+c、一〃),〃Z?=8,a・c=2,〃c=2,则

PM-TN=-(a+b)--(a+c-b)=-(a2-Ir+ac+Ac)=1

224

W"卜;Jg+少了=26,卜凶卜3五=—yfa2+c2+b2+2a-c-2a-b-2c-b=

22

sin*亨，所以

设直线PM与NT所成的角为仇则cos0=

ianO=5"

8.答案B

命题意图本题考查双曲线的基本性质

解析设。为坐标原点.由怛｝=」=得工"比=’，又两渐近线关于.1•轴对称，所以吗=1.令

IW2SOFN2\N0\2

NMOFH,则NBWO=2X—d/Mvo=&-0,由正弦定理得即/^一严⑶即

33.(兀•12乃小

sin---Z，JIsin----

U)I30)

附0|_,巾〔1一外_1小出卜6『“防囱、如加+〃273

回陪一可23"3"3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选

对的得部分分，有选错的得0分.

9.答案CD

命题意图本题考查一元线性回归分析中的相关概念

解析对于A若去除的点恰好在原回归直线上，则去除该点后，回归方程不会发生改变，故A错误；

对于B,M越接近于I,则X,），之间的线性相关程度越强，故B错误：

对于C,若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，决定系数

V=1,故C正确；

对于D,在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故D正

确.

10.答案ACD

命题意图本题考查抽象函数

解析对于A,令x=y=0,得/（0）+[40）『=0,，解得/（。）=0或/（0）=-1,

又所以/（0）=0,故A正确;

对于B,令/(x)=0,满足题意，显然〃x)=0既是奇函数，又是偶函数，故B错误:

对于C,令x=)，=1,得/(2)=[/(1)]2+2/(1)=3,令x=)=2,得

/(4)=[/(2)T+2/(2)=32+2x3=15,故C正确；

对于D,由/(x+)-)=/(x)/())+/(x)+/()),,得/(x+)，)+l=[/(x)+l][/()-)+l],令)，=l,得

/(x+l)+]=[/(x)+l][/⑴+l],因为/⑴>_l,所以/⑴+]>O,累乘得

/(x)+l=[/(1)+1T，XWN",所以/(x)+l>OJ(x)>—1,故D正确.

II.答案ACD

命题意图本题考查正四楼台的结构特征

解析对于A,如图(I),设分别为核用G，AR,A。,8c的中点，当正四楼台存在内切球时，

球的大圆。为等腰梯形HG/K的内切圆，根据切线长定理，可知6/=空+1£=3,此时，止四楼台侧面

22

的高为3,侧楂长为加,故A正确；

对于B当止四桂台的外接球半径为加时，其上、下底面均为球的截面圆对应的内接正方形，截面圆的半

径分别为42,2^2,因为必阿26<V10,故截面圆均为外接球的小圆，因此符合要求的楼台有2个，

故B错误；

对于C当侧楼长为G,正四棱台的高为1,取棱的中点连N,接MN,DN,设MN与AG交于点«，则

P为线段8例上的动点时，直线。P在平面8DVM内，根据正四楼台的性质，可知AC」-8O,假设

OPJ,AC(P与8不重合)，则必有ACJ■平面3OMW,建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则

02(0,0,0)01—孝,0,1，4(〃；0,1),。卜2£0,0)，4。=卜3五,0,-1),0四=一1,0,1，则

AC-aa=2#o,即A。与aa不垂直，故人。」一平面8。四例不成立，故假设不成立，故c正确;

对于D,当侧校长为时，正四核台的高为1,根据条件可作出符合题意的截面CQSTP,如图（3）所示，

V

截面下方的多面体体积V=VCI_CEI,-%_皿-P-DFT根据截面性质，可以得出S,T,P分别为楼

AB,A。,DR的中点，且6E=D尸=2,故%「°杯=；x；*6x6x1=6,同理可得VQ_RES=Vp_nrr=g,

所以丫=3，根据棱台的体积公式，可得正四棱台的体积为竺，所以截面上方多面体的体积为4,故较小部

33

分的体积为4,故D正确D.

图⑶

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.答案6

命题意图本题考查椭圆的几何性质

解析设C的半焦距为c（c>0）.由陷|=|叫=阀+叫=2,可知P是C的短轴端点，所以

2

\PF]=a=2业片+2勾=2方=2,得c=JJ,所以片6.丹2=片/F1O=2c=6（0为坐标原点）.

13.答案1792

命题意图本题考查等差数列与等比数列的通项公式

解析由题意，每一行的项数构成通项公式为。“二〃的等差数列，则前〃行的项数和为八——I,由

2

"S100,〃wN•，得"W13.前13行共91项，所以“仙为第14行的第9项.由题可知第14行第1项

为7,所以“欧=7x28=1792.

14.答案5

命题意图本题考查辅助角公式

解析|acose+〃sine|+Ksine-Aos。[=+b2|cos(^-<9)|+-Jo^+b2|sin(0-^)|

=Jc『+Z?2.(lcos(e_9)|+lsin(e_()|)其中tan0=0■，而

5/?7^205(夕,)+.(8-3)]=>/2a2+2〃•(0-9+《卜j2c『+2次当且仅当

2

O-(p+~=^+2k7t,keZ时等号成立，故((6/cos0+/?sin^|+1t/sin0-/?cos6\)llux=y]2a+2lr=4叵,

得/+/=]6,点(“⑼落在以坐标原点为圆心，4为半径的圆周上，若。〉e",则点落在函数y=e*

图象的上方，验证可知，满足条件的整数。有5个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题意图本题考查利用正余弦定理解三角形

解析(I)由已知及余弦定理，得cosA=":+/_匕=心£=_1,又A.(,,乃),

2bc2bc2

27r

所以A=——，所以taiM=-73.

3

(II)因为》=(石+1',由正弦定理得sin8=(JJ+l卜inC,

TT-TT

(I)知8+。=一，故C=一一8,代入上式，

33

得sin8=(>/J+"sin仁一“,化简得(6+3卜由8=(6+3卜058,

所以tan8=l,又8为锐角，所以8=—TT,C=72T.

412

当A£>=1时，在△AC。中，设NAQC=&则岩),

,i,T”.一.前.bsine,,,sin。

由正弦,三理得——=----，故〃=------

ADsinC.乃'

因为5吊。=5亩三=与走,所以〃=(#+&k.夕

.2万

s】n—「

在△ABC中，由正弦定理得g=sin/BAC=_3通

bsinB4心2

4

故”=乎6=(3+4)sjnd,因为6所以sindw,1,

所以。的取值范围为(逅,3+赤.

I2」

16.命题意图本题考查导数在研究函数性质中的应用.

解析U)r(x)=f+..若“NO,则r(x)?o恒成立“X)在R上单调递增

若由a<o,r(x)=o,得工=一\/^或/

当X£(—00,一时/'(x)>0,当Xe(-口7，右7)时/'(x)<0,

当xe(+x)R>jf(.v)>0,故/(x)在(-co,-J^a)和(J-a,+s1上单调递增，

在卜J工,，上单调递减.

12

(II)由题意知g(x)=/(x)+21ru=-x3+ax+21(u(x>0),g'(x)=x?+〃+—.

2

根据题意知g'(x)=f+a+:=0在(0,笆)上有2个不等的变号根.

170772{—1\

由.V2+4+V=0,得一”=f+*.令/心.)=W+*,则加(同=2工_彳=J).

XXXXX

当A-e(0,1)时，//(.v)<0,/?(.v)单调递减，当A-e(1,+8)时〃'(x)>0,/?(.v)单调递增，

所以〃(。血="0)=3,又当X〉。且X—'。时,"(X)―>+8,当X—>48时，/?(.V)—>4-00,所以

-ae(3,+oo),得ae(-co,-3).故a的取值范围是(一》,-3).

17.命题意图本题考查点线面的位置关系及空间向量的应用.

解析(1)设平面48七。直线。力=",连接河七,加8,则平面ABE。平面COE=例区平面ABEQ平面

BCD=MB,因为ABH平面CDE,ABu平面ABE,平面A8E。平面CDE=ME,所以ABHME.同理,

AE//MB,所以四边形A8ME是平行四边形.

因为CD,LAE,AE//MB,所以CDA.MB,又BC=BD=&i，所以M为极CD的中点

在△CQE中，EC=ED,MC=MD,所以CO一LME,CD1.AB.

因为A8AE=A,A8,AEu平面A8E,所以CO_L.平面A8E,

又COu平面CDE,所以平面一L平面CDE.

（II）Hl（I）可知，。。，平面48例£又人加匚平面48时£,所以。。」一/1加,

所以AA7=2J5.在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=JI得CD=2,MC=MD=ME=1.

在等腰三角形BCD中,由MC=MD=1,BC=BD=®得BM=瓜

在平行Bl边形ABME中，AE=BM＜、AB=EM=1,AM=2近,由余弦定理得cosN/WEA=一且,

5

所以cosNBME=¥，所以3七=2.因为8后2+例盾=22+|2=（有丫=8例2,所以8£_LME,

因为平面ABME_1_平面COE,平面A8MEC平面CDE=ME,

所以3E_L平面COE.以E为坐标原点，直线ECEDE8分别为x轴、），轴，z轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

y

E（0,0,0）,C（&,0,0）,0（0,^,0）,8（0,0,2）,Aj—§,-多）+答到

[2

所以CD=（-V2,万0）,08=伍,一夜,2），内6=|孝，孝,斗

/

设平面BCD的法向量为m=（A-.,y.,zJ,则\mCD=°’即＜Si1+&y、-0,

[m-DB=0,-隹X+24=0,

则即取芯=2,则m=（2,2,J2）.设平面BDF的法向量为〃;二（七，）’2*2），

则卜.用=0即停…彳）大2=0,取

马=1,则〃=（一3虚,逝,1）.

[小丽0，L向2+2句=0,

|而不」-3近_VW5

设平面BDF与平面8c。的夹角为6则cos（9=

|/n|-|n||Vl（）XA/JT35

>/105

即平而BDF与平面88夹角的余弦值为

35

18.命题意图本题考查概率综合.

解析(1)甲每轮游戏的积分可能为。分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为

p(o)，p⑴,p⑵，则p(，)=；p⑴⑵=9：=;,

Z23OL33

故经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；4轮

中甲掷3轮，每轮积分分别为2,1,1：甲掷4轮，每轮积分均为1分.所以经过4轮游戏，甲的累计积分

289

为4分的概率~=(2：

©5c唱展1296

(II)(i)记“累计积分之和为〃+2”为事件4+2,“累计积分之和为〃+1”为事件4+1，“累计积分之

和为〃”为事件4,则尸(〃+2)=P(4)尸(4+JAJ+P(A“+J尸(4」4+J=p(〃)*|