山西省晋中市2024届高三年级下册5月高考适应训练考试数学试卷(含答案)

山西省晋中市2024届高三下学期5月高考适应训练考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.复数上乜在复平面内对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={0,L2,3},5={xeN|V—5x+420}则AB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,l}D.{1,2,3}

3.下列函数中既是奇函数，又在（0,+8）上单调递减的是（）

A./(X)=2HB./(x)=V

lux,x>0,

C.f(x)=xD"(x)=<

-In(-%),%<0

4.已知圆+4x+2y+l=0,过圆C外一点尸作两条夹角为g的直线分别与圆

C相交，当所得的弦长均为2时，|CP|=（）

A.2B.273C.4D.3V2

5.如图，16颗黑色围棋子构成4x4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以

围成不同的三角形的个数为（两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角

A.576B.528C.520D.516

兀兀..c3

6.已知,sina+sinp=--,cosa-cos/?=5-则5111(0+0=()

B小

A.BC.-D.--

2222

JT

7.已知三棱锥尸—ABC中，PA=PB=4,PC=1,/APB=ZAPC=/BPC=—,M,

3

N,T分别为棱A3,AC,P3的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为()

A.472B.4百C.5拒D.2V13

22

8.已知双曲线C:/方=1(。〉0力〉0)的左焦点为R过点R且斜率为g的直线与C

的两条渐近线分别交于点“，N且M,N分别位于第二、三象限，若吗=!，则C

\NF\2

的离心率为()

A.逅B.正C.叵D.V3

233

二、多项选择题

9.下列有关回归分析的结论中，正确的有()

A.在样本数据a，y)(i=L2,3,.,10)中，根据最小二乘法求得线性回归方程为

y=3x-l,去除一个样本点(为乂)后，得到的新线性回归方程一定会发生改变

B.具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为「那么「越大，x,y之间的线性相关程

度越强

C.若散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数R2=1

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

10.已知函数/(%)的定义域为R满足/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),且

〃0)w—1,/(1)>-1,则下列说法正确的是()

A./(0)=0为非奇非偶函数

C.若/(1)=1,则”4)=15口./(九)>—1对任意.?4*恒成立

11.在正四棱台ABC。-46Gq中，43=24月=4则下列说法正确的是()

A.若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为加

B.若正四棱台的各顶点均在一个半径为M的球面上，则该棱台的体积为28a

C.若侧棱长为百，M为棱与G的中点，P为线段上的动点(不含端点)，则

不可能成立

D.若侧棱长为百，。为棱5用的中点，过直线C|Q且与直线与。平行的平面将棱台分

割成体积不等的两部分，则其中较小部分的体积为4

三、填空题

22

12.已知椭圆C:芯+/=1(。〉人〉0)的左、右焦点分别为耳，耳，C上一点P满足

\PF]=\PF2\=\PFi+PF2\=2,则4月/户=.

13.下面给出一个“三角形数阵”：

X

2

12

136

24816

该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从

第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为％,第2

行的数由左至右依次为的，%依次类推，则400=______..

14.已知函数f⑻=|acose+Z?sinq+|asin。-/2cos的最大值为4四,则满足条件b>e"

的整数。的个数为.

四、解答题

15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c已知b?+c?+60=".

(I)求tanA；

(II)若)=(8+l)c,在边BC上(不含端点)存在点。使得AD=1,求。的取值范

围.

16.已知函数/(X)=；三+ax,«eR.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)若函数g(x)=/(x)+21nx存在两个极值点，求实数a的取值范围.

17.如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=瓜,ECLED且EC=ED=6,ABH

平面CDE,AEH平面BCD,AE±CD.

(I)证明：平面ABE_L平面CDE；

(H)若点A到直线CD的距离为2a,R为棱AE的中点，求平面与平面BCD

夹角的余弦值.

18.甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1

枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选

中的概率均为上当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1

2

分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏.已知每轮掷骰子的结果相互独立.

(I)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率；

(II)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积

分，第一次由甲掷.当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分.甲、乙分别在

5~25分之间选一个整数分数(含5分和25分)，且两人所选的分数不同，当两人累

计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏.记两人累计积分之和为n的

概率为P(〃).

(i)证明：｛P(”+l)—P(")｝为等比数列.

(ii)甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由

19.在平面直角坐标系xOy中，已知点P为动点,以线段为直径的圆与

y轴相切.

(I)求动点P的轨迹r的方程.

(II)已知点A(L2),问：在r上是否存在点3,C,使得△ABC为等边三角形？若

不存在，请说明理由；若存在，请说明这样的点3,C有几组(不必说明点3,C的坐

标).

参考答案

1.答案：A

解析：l±i=2+3i,其在复平面内对应的点为（士」位于第一象限.

2-i55（55）

2.答案：C

解析：因为3=5%+420}={xwN|或x24},所以AB={O,1}.

3.答案：C

解析：根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象，可知C正确

4.答案：B

解析：由题可知，圆C的半径为2.当直线被圆截得的弦长为2时，弦心距为6,结合

对称性，可得|CP|=2g.

5.答案：D

解析：可以图成Cl-IOC：-4C；=516个不同的三角形

6.答案：B

解析：两式平方后再相加，2+2（sin6Zsin/?-coscrcos/?）=3,所以

cos（a+/）=一；,由％,得a+^金［一兀兀］,所以°+/=一日或g又

3

sma+smj3=-—<-1,所以a,，€—-^-,0所以a+,=,sin(c)f+/?)=~~~~

7.答案：C

解析：t己PA=〃，PB=b,PC=c,贝lJPM=；(a+b),

77V=5(a+c)-g/?=g(a+c—6),a・b=8,a-c=29/7・c=2则

PMTN=；(a+Z?)・；(a+c-Z?)=；(Q2-/?2+^.c+Z?-cj=l,|PM|=g'(a+.J-?+,

网=；J（“+j）2后+C1+1}1+2a-c—2a-b—2c-b=

乙乙2

PMTN1回

设直线PM与NT所成的角为6,则cos。二

717~51~

I网•同一2逝X---------

2

sin，="1。2,所以tand=5V^.

8.答案：B

解析：设。为坐标原点.由”=工，得巨皿=L又两渐近线关于x轴对称，所以

|而|2SOFN2

出4=工.令=则NM0O=空—e,NFN。=巴—4由正弦定理得即

|NO|233

解得tan，=#,,bA/3

\MO\|NO|+故_=J,

a3

所以C的离心率e=

a

9.答案：CD

解析：对于A若去除的点恰好在原回归直线上，则去除该点后，回归方程不会发生改

变，故A错误；

对于B,H越接近于1,则x,y之间的线性相关程度越强，故B错误；

对于C,若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则变量与变量之间满足线性

函数关系，决定系数收=1,故C正确；

对于D,在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟

合精度越高，故D正确.

10.答案：ACD

解析：对于A,令尤=y=o,W/(0)+[/(0)]2=0,解得/(0)=0或/(0)=-1,

又“0)0—1,所以"0)=0,故A正确；

对于B,令/(司=0,满足题意，显然/("=0既是奇函数，又是偶函数，故B错

误；

对于C,令x=y=l,M/(2)=[/(l)]2+2/(l)=3,令x=y=2,得

/(4)=[/(2)]2+2/(2)=32+2x3=15,故C正确;

对于D,由〃x+y)=〃x)/(y)+〃x)+〃y)，得

/(x+y)+l=[f(x)+l][/(y)+l],令y=l,得4%+1)+1=[/(力+1]"(1)+1],因

为了⑴>—1,所以/⑴+1>0,累乘得〃x)+l=[/⑴+邛，xeN*所以

/(x)+l>0,/(X)>-1故D正确.

11.答案：ACD

解析：对于A,如图(1),设H,G,I,K分别为棱用G，A。，AD,的中点，

当正四棱台存在内切球时，球的大圆。为等腰梯形HG/K的内切圆，根据切线长定

理，可知G/=里+至=3,此时，正四棱台侧面的高为3,侧棱长为M，故A正

22

确；

图⑴

对于B当正四棱台的外接球半径为加时，其上、下底面均为球的截面圆对应的内接

正方形，截面圆的半径分别为0,2夜因为0<丽，20〈碗故截面圆均为外接

球的小圆，因此符合要求的楼台有2个，故B错误；

对于C当侧棱长为g,正四棱台的高为1,取棱G2的中点连N接MN,DN设MN

与AC交于点。一则P为线段3M上的动点时，直线。尸在平面3DNM内，根据正四

棱台的性质，可知ACL8。，假设DPLAC(P与3不重合)，则必有A。，平面

(历、

BDNM,建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则Q(0,0,0),0]-—,0,1,

12,

/rr\

A(后,0,1)，C(-2A/2,0,0),AC=(-3^,0,-1),。2。1=—苧，°」则

4。。2。；=2/0,即4。与QO]不垂直，故AC_L平面3DW不成立，故假设不成

立，故C正确;

图（2）

对于D,当侧棱长为由时，正四棱台的高为1,根据条件可作出符合题意的截面

QQSTP,如图（3）所示，截面下方的多面体体积V=%_CEF-%.BES-匕3"根据截面

性质，可以得出S,T,P分别为楼A3,AD,的中点，且BE=DF=2,故

%m=Hx6x6xl=6,同理可得％西人36,所以丫言，根据棱台的体

积公式，可得正四棱台的体积为生，所以截面上方多面体的体积为4,故较小部分的

3

体积为4,故D正确.

图（3）

12.答案:6

解析：设C的半焦距为c（c>0）.由===可知尸是C的短轴端

点，所以，制=。=2,|四+班卜2人=2得。=百，所以

2

FlF^F1P=F1F^FlO=2c=6（。为坐标原点）.

13.答案：1792

解析：由题意，每一行的项数构成通项公式为2=〃的等差数列，则前〃行的项数和

为华D,由当tDwioo,“eN*得“W13.前13行共91项，所以为。为第14行的

第9项.由题可知第14行第1项为7,所以q0o=7x2'=1792.

14.答案：5

解析：

|(2cos0+Z?sin+1asm0-Z?cos0\=y]a2+b2|cos(8—0)+《a2+/卜in(8—0)

=J/+/.(icos(g—o)|+lsin(8_,其中tan夕，而

Ra2+廿[cos(e—°)+sin(e—e)]=^2a2+2b2.sin<yj2a2+2b2当且仅当

夕一0+：=]+2左兀，左EZ时等号成立，故

(|tzcos^+Z?sin^|+|asin0-Z?cos^1)^=q2a2+2b?=4^2,得片+/?2=16,点(〃,b)落在

以坐标原点为圆心，4为半径的圆周上，若b〉e。，则点(〃力)落在函数丁=^图象的上

方，验证可知，满足条件的整数。有5个.

15.答案：⑴tanA=-73；(II)]乎,3+6

序q2_211

解析：(I)由已知及余弦定理，得cosA=g°Jz££=」,又Ae(O,兀)，

2bc2bc2

所以A=女，所以tanA=-6.

3

(II)因为b=(6+l)c,由正弦定理得sinB=(百+1卜inC,

(I)知3+C=巴，故。=二—5代入上式，

33

得sinB=(也+1卜in葭-“，化简得(6+3)sinB=(百+3)cosB,

所以tanB=l,又3为锐角，所以3=巴，C=—,

412

当AD=1时，在△ACD中，设NA£>C=6>,则二，生]

(412)

由正弦定理得-吆，故6=网电

sinC.71

ADsin——

12

因为sinC=sin《=”&，所以b=（痛+虚卜in。.

.2K

在△A5C中，由正弦定理得巴=sm''AC=:上=如,

sinB.兀2

bsin—

4

故。=手6=（3+逐卜in。，因为所以singe&,1

所以。的取值范围为（逅,3+6.

16.答案：（I）答案见解析；（II）（^o,-3）

解析：⑴/（%）=三十〃.若"20,则r（x"o恒成立/（%）在R上单调递增

右由〃<o,r（x）=o得x--j-〃或j-〃.

当（—00,—时/'（X）>O,当尤W（—时yr（x）<o,

当X£（V^,+00）时故/（X）在卜8,和+oo）上单调递增,

12

(II)由题意知且(％)=/(%)+21皿=—兀3+以+2111¥(%>0),g'(x)=%2+a+—.

3x

7

根据题意知g'（x）=V+a+3=0在（0,+8）上有2个不等的变号根.

X

由%2+〃+2=0,得一〃=12+2.令力（％）=X2+—,贝Ij//（%）=Ix--^--―—---.

XX-JCJCJC

当（0,1）时，力⑺单调递减,当工«1,+00）时力（X）单调递增,

所以/1（%）喻”=M1）=3，又当1>0且uO时，/z（x）f+8,当尤f卡x）时，

人（力3+8,所以一a43,+oo）,得-3）.故〃的取值范围是（-8,-3）.

17.答案：（I）答案见解析；（H）叵

解析：（I）设平面ABE直线CD=M,连接ME,M3则平面ABE，平面

CDE=ME,平面AB©平面5CD=MB,因为AB〃平面CDE,ABu平面ABE,平

面ABE,平面CDE=ME,所以AB//ME.同理，AEUMB,所以四边形ABWE是平行

四边形.

因为CDLAE,AE〃四B所以CD_LM3,又BC=BD—,所以航为棱CD的中点

在△（?£>£中，EC=ED,MC=MD所以C£）J_ME,CD±AB.

因为ABAE=A,AB,AEu平面ABE,所以CD,平面ABE,

又CDu平面CDE,所以平面ABE，平面CDE.

（II）由（I）可知，CD,平面A3ME,又AMu平面ABWE,所以CDL40,

所以AM=2后.在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=O,得CD=2,

MC=MD=ME=1.

在等腰三角形BCD中，由MC=MD=1,BC=BD=^^BM=非,

在平行四边形ABME中，AE=BM=亚,AB=EM=1,川0=2血由余弦定理得

cosNMEA=—与,所以cosN3ME=半，所以3E=2.因为

叱+叱=2?+/=（可=5“，所以BE,ME,

因为平面平面CDE,平面ABME平面CDE=VE,

所以BE,平面CDE,以E为坐标原点，直线EC,ED,EB分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

E（0,0,0）,C（V2,0,0）,D（0,V2,0）,B（0,0,2）,A一与一与,2

（

卜_________

4'4

7

所以CD=b""0),DB=(0,-V2,2),

rD—1-4-,---4---,1J.

mCD=0口口—A/2%1+-0

设平面BCD的法向量为〃z=a，x，zj,则＜即《

m•DB=0—+22]=0

则即取玉=2,则m=(2,2,0卜设平面AD厂的法向量为〃=(%,%,Z2),

工+也

n-FB=0口口4々+4%+Z2=-n°^Z=1,则〃=卜3&,四,1).

则即《2

ri-DB-0

—\/2y2+2Z2=0

m-n\-372A/W5

设平面BDF与平面BCD的夹角为夕，则cos©=-~--

同虫V10xV2135

即平而回与平面脆夹角的余弦值为缪.

18.答案：(I)上也；(II)答案见解析

1296

解析：(I)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、

2分的概率分别为尸⑼，P(l),P(2)则尸⑼=LP(l)=lx-=-,

2236

「⑵

故经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮

积分均为2分；4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2,1,1；甲掷4轮，每轮积分均为

1分.所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率

289

1296

(ID(i)记“累计积分之和为〃+2”为事件A.，“累计积分之和为〃+1”为事件

An”累计积分之和为九”为事件4,则

21

P(H+2)=P(A,)P(A,+2IA,)+^(A+I)^(AI+2IA+1)=^)x-+P(«+i)x-,

2

KP(«+2)-P(n+l)=-j[P(H+l)-P(H)].

又p（i）=gp（2）=f+|xri,网2）一汽1）=/°，

所以｛p（"+l）-尸⑺｝是首项为：，公比为-|的等比数歹U.

42n—22

（ii）由（i）可得，当〃之2时，尸（"）一尸（〃-1）=§x

2

2

累加可得p（〃）-P（1）=

32n+\

所以1-