2024年新高考艺体生冲刺复习-平面向量（解析版）

考点09平面向量

本节概要

知识点一向量的有关概念

知识点二向量的线性运算

知识点三数乘

—知识点

，知识点四平面向量的坐标运算

知识点五平面向量的数量积

平

面J知识点六向量数量积的运算律

向

量

厂考点一概念的辨析

考点二平面向量的基本定理(线性运算)

一考点-一考点三共线定理

考点四坐标运算

考点五数量积

知识讲解

一.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模).

⑵零向量：长度为o的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(没有方向上的规定)

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：G与任一向量平行或共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二.向量的线性运算

(一)加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

a+h

b

a

三角形法则

2.平行四边形法则：起点相同连对角

a

平行四边形法则

3.运算律

1111

交换律：a+b=b+a

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(二)减法

1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减

三角形法则

2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减

三.数乘：求实数7与向量;的积的运算

1111111

1.数乘：|Aa|=|R|a|,当2>0时，；la与a的方向相同；当k0时，2a与a的方向相反；当丸=0时，2a=

0

2.运算律

11tititit

(1)Mpa)=(九u)a(2)(X+|i)a=Xa+)ia(3)X(a+b)=Xa+?.b

3.向量共线定理

向量L与非零向量;共线的充要条件是有且只有一个实数人使得

4.平面向量基本定理

如果：，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量;，有且只有一对实数九,

1ou.o(_■

心，使a=力速1+弱02.其中，不共线的向量e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

四.平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘及向量的模

1

设a=（xi，yi）,6=（尤2，J2），则

111111________

a+b=（xi+x2，9+竺），a—b=（xi—%2,9一"），Aa=（Zxi，2yi）,|a|=y|xl+yl.

2.向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A（xi,yi）,Bg以），则屈=（X2—XI,刃一yi）,|A^|=yj（X2—xi）2+（y2~y1）2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=（xi,州），b=（x2f及），其中a#）.a,b共线＜=^1,2—%2%=。.

4.向量的夹角

（1）已知两个非零向量a和b,作况=a,ob=b,则NA05就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是

[0,71]

xix2+yiy2

（2）夹角cos3=yjxl+yiyjjd+yl

5.向量在平面几何中的应用

问题类型公式表示

1111111

线平行、点共线等问题a〃b=a=丸1）71”一%2%=0,其中a=（xi，州），b=。2,竺），a#0

1111111

a_Lboa-b=0Gi%2+yiy2=0，其中a=O，y。，b=（x2，/），且。，b为非

垂直问题

零向量

，b111

夹角问题COS6—温a为向量a,。的夹角），其中a,b为非零向量

长度问题|a|=迎=4元2+,2,其中a=Q,j）,a为非零向量

五.平面向量的数量积

设两个非零向量；，b的夹角为6,则数量向.cos9叫做；与i的数量积（或内积），

定义

记作ab

|a|cos3叫做向量a在i方向上的投影，

投影

|i|cos。叫做向量1在a方向上的投影

几何意义数量积；•%等于;的长度।；।与i在;的方向上的投影।bicose的乘积

如图，在邛:面内任取一点。，作丽=a,而=b,过点M作直线ON的垂线，垂

111

bb

足为Ml，L川西就是向量。在向量占上的投影向量，记为西=4---

投影向量1)b

4

*

°bM\N

六.向量数量积的运算律

1111

(l)ab=ba.

iiiiiiii

(2)(Aa)-b=4(ab)=a(Ab)=2ab.

iiiiii

(3)(a+b)-c=ac+bc

典例剖析

考点一概念的辨析

【例1-1](2023,新疆)下列说法正确的是()

A.若卜|<W，贝!Ja<bB.若a,6互为相反向量，贝!Ja+6=0

C.空间中两平行向量相等D.在四边形ABC。中，AB-AD=DB

【答案】D

【解析】对于A,向量不可以比较大小，所以A错误；

对于B,若a,b互为相反向量，则a+b=0，故B错误；

对于C,两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；

对于D,四边形ABCD中，AB-AD=DB，故D正确.

故选：D

【例1-2](2023•安徽阜阳)下列命题中错误的有()

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是长度相等且方向相反的向量

C.同向，且忖>||,贝必>b

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

【答案】C

【解析】根据向量的概念，可知A、B正确；

对于C项，向量不能比较大小，故C错误；

对于D项，根据平行向量以及相等向量的概念，可知D正确.故选：C.

【变式】

1.（2023•辽宁沈阳）（多选）下列命题中正确的是（）

A.单位向量的模都相等

B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大

D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

【答案】AD

【解析】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1,故A正确；

根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；

向量不能够比较大小，故C错误；

根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.

故选：AD.

2.（2023•安徽阜阳）（多选）给出下列命题，其中叙述错误的命题为（）

A.向量AB的长度与向量54的长度相等

B.向量a与方平行，则a与b的方向相同或相反

C.忖+忖=|a-6|oa与方方向相反

D.若非零向量£与非零向量方的方向相同或相反，则a+石与a,6之一的方向相同

【答案】BCD

【解析】对于A,向量A8与向量BA的长度都为线段AB长度，所以其长度相等，A正确；

对于B,当“=0时，不成立，故B错误；

对于C,当£与。之一为零向量时，不成立，故C错误；

对于D,a+b=6时，a+6方向是任意的，与a,6的方向都不相同；

故选：BCD

3.（2023•河南省）（多选）下列结论不正确的是（）

A.单位向量都相等

B.对于任意a,b,必有卜+6尼卜|+忖

C.若a〃6，则一定存在实数％,使a=/L6

D.若。.6=0，贝Ua=。或万=0

【答案】ACD

【解析】对于A,单位向量的模长相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A错误；

对于B,任意£,6根据向量加法的几何意义知,+qW,+W，当且仅当a、b共线同向时取B正确;

对于C,若。〃人不一定存在实数几，使a=26，如awO且〃=0时，命题不成立，C错误；

对于D,若.心=卜帆cos6>=。，则0=0或6=0或°_1b，®D错误.

故选：ACD

考点二平面向量的基本定理（线性运算）

【例2-1］（2022•全国•课时练习）化简（1）（AB-CD）-（AC-BD）

（2）OA-OD+AD;

⑶AB+DA+BD-BC-CA.

【答案】（1）0;（2）0;（3）AB-

【解析】（1）方法一（统一成加法）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-AC-CD+BD

=AB+BD+DC+CA=AD+DA=O

、,一,—UULuimuui

万法二（利用QA—OB=5A）：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-CD-AC+BD

=AB-AC-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=O

UULUUU1UUU1UUUUUIU1

⑵OA-OD+AD=DA+AD=0-

（3）AB+DA+BD-BC-CA=AB+DA+AC+BD-BC

=AB+DC+CD=AB

【例2-2］（2024•四川自贡•统考一模）如图所示的ABC中，点。是线段2C上靠近B的三等分点，点E是

线段A3的中点，则£>E=（）

3663

C.--AB--ACD.--AB+-AC

6363

【答案】B

【解析】DE=DB+BE=-CB--AB=-^AB-AC^--AB=--AB--AC.i^'B

323263

【例2-3］（2023•广东汕头•校考一模）在平行四边形A3CD中，G为ABC的重心，满足

AG=xAB+yAD（x,yeR）,则x+2y=（）

45

A.—B.—C.0D.—1

33

【答案】A

【解析】如图，设AC与8D相交于点。，G为，ABC的重心,

可得。为30的中点，BG=2GO,

所以AG=A0+0G=40+108=40+工08=工画+40”画-4））=248+工皿

362、,6、'33

,91214

因为AG=xAB+yAZ）（%,y£R）,所以％=§,y=,，则x+2y=耳+2*耳=§.故选：A.

【变式】

1.(2023•云南大理•统考一模)在ABC中，AB=3AD，贝!)8=()

111uumUULTiUUKunr

A.AB——ACB.AB+-ACC.-AB-ACD.-AB+AC

3333

【答案】C

【解析】回A2=3A£＞，^\CD=AD-AC=^AB-AC,故选：C.

2.（2023•辽宁）在.ABC中，CM=3MB，AN+CN=0,贝I（）

1327

A.MN=-AC+-ABB.MN=-AB+-AC

4436

13

C.MN=-AC--ABD.MN=-AC——AB

6344

【答案】D

【解析】因为CM=3MB，AN+CN=b，

所以M是位于BC上的靠近点5的四等分点，N为AC的中点，如下图所示:

N

所以肱V=A/V—AMnLAe—AB—BMuLAe—AB—LBC=-AC-AB--^AC-AB^=-AC--AB.

224244*4

故选：D

3.（2023・河南校联考模拟预测）在平行四边形ABC。中，点E满足皮）=4BE，CE=+〃5c（%〃£R）,

则沏=（）

333

A.——B.——C.D.1

16816

【答案】A

【解析】因为BO=48E，则C£>-CB=4（CE-CB）,

131313

整理得CE=—CD+—CB=—BA——BC,可得；［=—,〃=——，

故选：A.

4.（2023•山东德州,德州市第一中学校联考模拟预测）已知ABC,点。在线段BC上（不包括端点），向量

12

AD-xAB+yAC,一+一的最小值为（）

xy

A.272B.2V2+2

C.20+3D.26+2

【答案】C

【解析】ABC,点O在线段3C上（不包括端点），

故存在力,使得BD=2BC，即4。一A3=；L4C-九42，即AD=；L4C+（1-X）AB,

因为向量AD=xA8+yAC,所以y=2,x=l-X,

可得尤+y=i，

x>0,y>0,由基本不等式得

12

—+—=（污1+y）=l+2+^+乎3+2^|^=2拒+3,

%y

当且仅当>="«,即y=2-应,尤=应-1时等号成立.故选：C.

考点三共线定理

【例3-1］（2023•上海长宁•统考一模）设向量。=（1,-2）力=（-1,加），若两人则心=.

【答案】2

【解析】因为。配，则lxw=（-2）x（-l）,解得,〃=2.故答案为：2.

umn/T1、

【例3-2】（2023北京）已知〃、b为不共线的向量，AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3^a-b）,贝！J（）

A.AB,C三点共线B.AC,。三点共线

C.AB,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】C

【解析】因为4、b为不共线的向量，所以〃、人可以作为一组基底，

对于A：AB=a+5b，BC=-2a+Sb,若存在实数，使得AB=而，

则a+56=d-2a+昉），所以，方程组无解，所以与BC不共线，故A、B、C三点不共线，即A

错误；

对于B：因为AB=q+5b，BC=-2a+8b>所以AC=42+20=。+56+卜2。+助）=-。+136,

同理可以说明不存在实数乙使得AC=fCQ，即AC与CD不共线，故A、C、D三点不共线，即B错误；

uum/T

对于C：因为8C=-2a+8b，CD=3^a-bj,

所以B£）=BC+C£）=-2a+86+3（a-6）=a+56,

又AB=a+5b=BD，所以故A、B、。三点共线，即C正确；

uum,r

对于D：BC=-2a+Sb>CD=3\a-by

同理可以说明不存在实数乙使得2C=fC£）,即8c与CD不共线，故8、C、。三点不共线，即D错误；

故选：C

【变式】

1.（2023•北京・统考模拟预测）已知向量。=（孤1）,6=（3,祖+2）.若ab,则利=.

【答案】1或-3

【解析】因为向量。=（加,1）,b=（3,m+2）,ab,

所以有机(〃?+2)=1X3=>7〃=1,或加=一3,

故答案为：1或-3

2.（2023・海南•校联考模拟预测）已知向量OA=（3,-4）,OB=（6,-3）,OC=（5-m,-3-m）,若点A,B,

C三点共线，则实数机=.

【答案】1/0.5

【解析】AB=OB-OA=（3,\）,AC=OC-OA=（2-m,l-m）,

311

因为点A,B,C三点共线，所以:;一=--,解得加=不

2-m1-m2

故答案为：y.

3.（2022•四川成都）已知向量Z与b为一组基底，若MO+4日与a+2K平行，则实数根=.

【答案】2

【解析】因为向量a与B为一组基底，所以£与B不共线.

又因为ma+46与a+26平行，

所以侬z+43=,a+2B"eR,即加"太=%+2高，

m=A

因为a与6不共线，所以解得m=2,A=29

22=4

所以实数用的值为2.

故答案为：2.

4.（2023•云南红河•校考模拟预测）已知华々是两个不共线的非零向量，若2耳-6与e共线“£R），

贝打=.

【答案】—/0.5

【解析】因为2q—02与e；-fe；共线。eR）,所以2q-e；=X（e；-招?），

又q,e；是两个不共线的非零向量，所以2=4-l=X・（T）,所以/=；,

故答案为：

5(2022•浙江)已知e；,e；为不共线的两个单位向量，若-e?与q+&2平行，则4的值为

_昱

【答案】--

【解析】因为百e「e；与q+2e；平行，所以存在实数〃，使得与+儿4=-e?),即

(1-//卜］+(几+〃)02=0,

又q,e；为不共线，所以卜「为：。，解得I

-卜+〃=0上

I3

考点四坐标运算

【例4-1】(2023•福建宁德)(多选)设向量。匕=(2,0),则下列说法正确的是()

A.|<7-Z?|=|«|B.(a-b^//aC.(a-b^VaD..在方上的投影向量为(1,0)

【答案】ACD

【解析】由题意可知a=(L-l),6=(2,0),Sfc|a|=V2,a-/7=(-l,-l),...|a-&|=7(-l)2+(-l)2=^,A正确;

因为(T)x(T)-(T)xl=2/0,故(a-b),a不平行，B错误;

因为(―l)xl+(-l)x(-l)=0,故c正确；

由于a/=lx2+(—l)x0=2,向=2,

故a在6上的投影向量为公-2=2•%S=(L0)，D正确,

⑸网22

故选：ACD

［例4-2］(2023•山东滨州•统考二模)(多选)已知向量&=。,帆)，人=(2,Y),则下列说法正确的是()

A.若林+U=Ji6,则772=5B.若amb,贝U7〃=一2

C.若a上b,则根=TD.若m=1,则向量a,8的夹角为钝角

【答案】BD

【解析】解：对于A,因为d=(L〃2),b=（2,T）,所以a+b=（3,〃z—4）,\a+b\=^9+（/n-4）~=-\/10,解

得m=5或m=3,故A错误;

对于B,因为。团4）,所以2m=-4,解得加=一2,故B正确；

r11

对于C,因为a_Z,〃，所以a=2—=0，解得m=彳，故C错误；

2

对于D,当机=1时，a=（1,1）,］力=2-4=-2<0,又因为此时a，b不共线，所以向量a,6的夹角为钝

角，故D正确.

故选：BD.

【变式】

1.（2023•湖南•校联考二模）（多选）已知向量。=（2,-1）,忖=2,，"=（1,2）,则（）

A.aA.CB.|a|=|c|C.6=（4,-2）D.b=a+c

【答案】AB

【解析】因为a-C=（2,-l）-（l,2）=0,所以a'c,则A正确；卜卜卜卜君，则B正确；

因为“/人所以设b=2a=〃2,-l）=（2ZT）,因为欠=2卜|=2石，

所以J（2㈤?+（T）2=2右,解得2=±2,所以。=（4,-2）或6=（T,2）,故C错误；

a+c=（3』）wb,故D错误.故选：AB

2.（2023•山西•校联考模拟预测）（多选）设向量a=（退,-1）,6=（0,2）,贝I」（）

A.|a|=|^|B.a与b的夹角为不

C.（2a+6）与》共线D.（2a+6）_L6

【答案】AD

【解析】因为a=（省,T），6=（0,2）,所以M=^/^斤=2,恸=2,故A正确；

因为1=（省,-1）,方=（0,2）,所以cos«&=||w=*总

97r

因为两向量夹角的范围为［0,可，所以a与b的夹角为甘，故B错误；

因为a=（g,—l）,6=（0,2）,所以2a+6=2（点-1）+（0,2）=（2g,0）,

又匕=（0,2）,所以仅a+6）/=0,所以（2a+b），6,所以（2a+b）与B不共线，故C错误，D正确.

故选：AD.

3.(2023•广东广州•统考三模)(多选)已知向量4=(1,2),8=(-2,1),则()

A.(«-Z?)±(«+b)B.(a-b)ll{a+b)

C.\a-b\=\a+b\D.在〃上的投影向量是〃

【答案】AC

【解析】因为"b=(3,l),a+b=(-l,3),

所以(。-6)-(a+。)=3x(-1)+1x3=0,(a-。)_L(a+b),故A正确;

因为3x3-lx(-l)=1020,故B错误;

\a-b\=A/10,\a+b\=V10,故C正确；

因为j=(-3T)在a上的投影向量是竺谓&徐=春莹=F，故D错误.

故选：AC.

4.(2023・福建泉州・统考模拟预测)(多选)已知向量2=(®1),6=(cos6,sin6),则下列说法正确的是(

A.若，则a_LbB.若a/lb，则。=?

36

C.4/的最大值为2D.卜川的取值范围是[1,3]

【答案】ACD

【解析】对于A：当0=4■时，b=(cos?,sinf]=,

止匕时=+5xl=0,故〃工人，即A正确；

对于B：若〃〃力，则cow—V5sin^，所以tan。=所以e=q+E,k£Z,故B错误；

对于C：=V3cos^+sin^=2^^-cos^+^-sin^=2sin+ye[-2,2],故C正确；

对于D：因为a=(百』)，Z?=(cos<9,sin6>),所以忖=+俨=2,忖=Jcos"O+sii?6=1,

所以,=A/J-2a.Z?+『=JH_2〃心+愀

=j-4sin,+£|,因为sin"牛[-1』，所以5-4sin,+小[1,9],所以…4,3],故D正确;

故选：ACD

考点五数量积

【例5-1］（2023•全国•统考高考真题）已知向量。=（3,1）/=（2,2）,贝|cos（a+b,a-6〉=)

1

ARV17r>n2-

A.b.-------C.U.-------

171755

【答案】B

【解析】因为a=(3,1)力=(2,2),所以a+〃=(5,3),a-6=(l,-l),

贝40+0=5/?万=取，,_@=足1=忘，(a+6).(a-6)=5xl+3x(-l)=2,

/、[a+b\\a-b\?J17

所以cos(a+"a-〃)=------n——1-=~^7一月

'/卜+耳卜-4v34xV217

故选：B.

【例5-2］（2023•北京・统考高考真题）已知向量〃，］满足乙+万=（2,3）曾一万=（一2,1）,则|&『一|万『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量近,5满足。+5=(2,3),&—〃=(—2,1),所以|a|2—|切2=(a+».3—»=2x(—2)+3xl=—l.

故选：B

【例5-3】（2022•全国•统考高考真题）已知向量a,b满足|a|=l,|切=6,|a-2b|=3,则（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】S\a-2b|2=|a|2-4a-b+4\b^,XE|a|=l,\b\=>/3,\a-2b|=3,

回9=1—4a-6+4x3=13—，回。-6=1故选：C.

【例5-4](2023•全国•模拟预测)已知。=(L-2),力=(私1),若a，(a+6),则向量&在。上的投影向量为

()

A.(-3,1)B.(U)C.1;』)D.(-1,2)

【答案】B

【解析】〃=(1,-2),b=(m,l)f：.d+b=(l+m,-V),

a±(a+b),:.a-(a+b)-l+m+2-Q,解得机=-3,b=(-3,1),

3」

・，.向量a在方上的投影向量为2~2.故选：B.

【变式】

1.（2023•四川成都・统考一模）已知向量4=卜1,g）,6=（2,0）,则cos（d,b）=（）

小1

ABC.——D

2-I2-4

【答案】C

(-1)x2+若xO]_

【解析】因为。=卜1,6）,6=（2,0）,所以

W1芾2.

(-l)2+(^j2X722+02

故选：C.

2.（2023•四川凉山•统考一模）已知平面向量a,b满足卜-26|=1,a.6=1，则k+26卜(

A.6B.272C.3D.2不

【答案】C

【解析】因为卜-2+1,°/=1，所以卜+2可I=〃2+4a,b+4Z?2=Q2—4。,b+4b2+Set,b=\ct—2bI+Set,b=9,

即。+2b=3.故选：C

3.（2023•全国•高三校联考阶段练习）设平面向量2=（1,3）,出1=2,且用=炳,则（2a+b）（a-。）=（）

A.1B.14D.710

【答案】B

【解析】因为。=（1,3）,所以同=质,又|b|=2,则|4一口2=02-24/+匕2=14一2°2=10,所以0.6=2,

贝1」（2。+6）（。-6）=2合一。力一方2=20—2—4=14,故选：B.

4.（2023,广东冻莞市东华高级中学校联考一模）已知。=（L3）,6=（2,5）,则向量a在向量b上的投影向

量为（）

348524

A.B.C.D.

29?293,3

【答案】B

a-b2+1517

【解析】因为。=(L3),6=(2,5),则向量d在向量万上的数量投影为府=耳赤=7为，

17b171

所以向量。在向量b上的投影向量为而*耐=7五x回

5.(2023・全国•校联考模拟预测)已知非零向量a与b满足|a|=21b|,若|a+2b|=|a+b|,则cos(a,6)=()

【答案】B

【解析】因为|a+2b|=|a+》|,所以|肝+4出|2+4入5=|即2+|歼+2苕％,

所以3S『+2a力=0,而⑷=2|〃|,所以3|。『+4|112cosm/〉=0,

所以cos(a,Z?)=—一.

故选：B

6.(2023•全国•模拟预测)己知平面向量d,6满足。=(1,2),g-2°|=6且(b-2a)J_a,则|5|=()

C.75

【答案】B

【解析】设b=(x,y),因为|b-2a|=6\Z?-2a=(x,j)-(2,4)=(x-2,j-4),

所以J(x-2)2+(y-4>=6,即(x-2y+(y-4)2=5①.

又因为S-2a)_La,所以(。一2a>a=0,

即(尤一2)xl+(y—4)x2=0,即无一2=—2(_y—4)(2).

Ix=0x=4

联立①②可得〈或

y=5J=3

所以b=(0,5)或》=(4,3),所以|b|=5.

故选：B

巩固基础

ab

1.（2023•北京大兴•校考三模）设”，6是非零向量，"R=W"是"。=6"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

ab

【解析】由口=恸表示单位向量相等，则。涉同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=b,

ab

由a=b表示b同向且模相等，则口=W，

ab

所以"R=W"是:=的必要而不充分条件•

故选：B

2.（2023•湖南长沙・雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（）

A.若ab,则&与6的方向相同或者相反

ab

B.若a,b为非零向量，且时=可，则。与b共线

C.若“b,则存在唯一的实数4使得d=4。

D.若4，是两个单位向量,且忖一匐=1.则忸+匐=应

【答案】B

【解析】对于A,当°=0时，a与。的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；

abab

对于B,a,b为非零向量，时表示与a方向相同的单位向量，M表示与石方向相同的单位相同，由于同=卜，

所以a与。共线，所以该选项正确；

对于C,当6=0，&为非零向量时，X不存在，所以该选项错误；

对于D,由忖一匐=1得1+1—2e/e；=l,;.2e/e2=l,所以0+e?卜+e?）2=Jl+l+2q=8所以该

选项错误.故选：B.

3.(2023•陕西商洛)已知。为团ABC所在平面内一点，AD=2AB>E为AC边的中点，贝！|()

A.DE=AC-2ABB.DE=2AB-AC

C.DE=-AC-2ABD.DE^-AC-AB

22

【答案】C

【解析】由题意可知OE=ZM+AE=-2A8+；AC,

故选：C.

4.(2023下•云南大理•高二云南省下关第一中学校考期中)如图，在平行四边形ABC。中，E是对角线AC

上靠近点C的三等分点，点F在BE上且为中点，^AF=xAB+yAD,则x+y=()

【答案】A

【解析】点尸在8E上且为中点，且E是对角线AC上靠近点C的三等分点，

则AF=AB+BF=AB+-BE=AB+-AE--AB=-AB+-AE=-AB+-X-AC=-AB+-(AB+AD]

2222222323、'

5—17

——ABH—ADx+y=-,故选：A.

636

5.(2023,江苏•统考模拟预测)在；ABC中，AD=2D8，点P在C。上，5.AP=mAC+^AB(meR),则〃『=

【答案】D

3

【解析】因为AO=2O5，所以ABu'AD,

1131

所以AP=MAC+—AB=MAC+—X—AD=^AC+—AO,

3322

又P,C,。三点共线，所以机+g=l,得〃2=(

故选：D.

6.(2022•全国•统考高考真题)在.ABC中，点。在边A8上，BD=2DA,记C4=wC0=〃，则C5=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3zz

【答案】B

【解析】因为点。在边AB上，BD=2DA,所以8。=2%，即O)-CB=2(C4-C£»),

所以CB=3CD-2CA=3〃-2m=-2m+3n.

故选：B.

7.(2023•全国•统考高考真题)已知向量a=(l,1),6=(1,-1),若(。+树，(“+〃6),则()

A.%+//=1B.%+4=-1

C.A//=1D.2//=-1

【答案】D

【解析】因为a=(1,1),〃=(1,—1),所以a+=(1+4,1—4),a+jub=(1+//,1—,

由(a+2Z?)_L(a+4。)可得，(4+2今(〃+46)=0,

即(1+4)(1+〃)+(1_4)(1_〃)=0,整理得：沏=7.

故选：D.

8.(2022•全国•统考高考真题)已知向量。=(3,4),办=(1,0),c=a+m，若v〃,c>=<"c>,贝打=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3Z+163+Z

【解析】c=(3+t,4)cos(a,c)=cos0,c),即解得故选:C

5kl=W=5,

9.(2023•全国,模拟预测)平面向量。=。,-2)/=(2,m)，若(j//6，则,-司=()

A.6B.2C.75D.76

【答案】C

【解析】因为a//6，所以lx机=-2义2,解得〃=zY,所以a-6=(-1,2),所以卜-可=6.

故选：C.

10.(2023•全国•模拟预测)已知。=(1,0),b=(m,l),若。乂。-6),则向量d在方上的投影向量为()

A.---B.(1,1)

\7

D.

【答案】C

【解析】由a=。,0)、Z?=(m,l),则a—b=(l-八一1),

由a_L(a—〃)，则有1x(1—机)+0x(—1)=0,解得a=1,

a-b1V2

即办=(1,1),则a在〃上的投影为

W~y/]+i~2'

1

11

a-b

十-

2-2-

则向量。在Z?上的投影向量为分

故选：C.

IL(2023•全国•模拟预测)向量d=(l,2),b=(-2,-l),那么向量a-b在a上的投影向量为()

B.□

3

D.

5

【答案】A

【解析】因为&=(1,2),b=(-2,-l),所以。-少=(3,3),贝必一/,在a上的投影向量的模为

/「.(a-b\-aQQA/S9\/5a(918A

cosia"b=\|J=2="贝0-b在a上的投影向量为三一「=匕，三.