2024年嘉兴市高三数学4月二模考试卷附答案解析

2024年嘉兴市高三数学4月二模考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2024.04

考生注意：

L答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的

位置.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答

一律无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合河={x|x<0},N={x]-2<x<4},贝U&M）cN=（）

A.{.r|x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.{x\x<4}D.{尤|04尤<4}

2.已知函数/（x）=cos（0x+9）（（y>O）是奇函数，则夕的值可以是（）

n兀

A.0B.-C.-D.兀

42

3.设zeC,贝物+』=0是z为纯虚数的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.若正数满足尤2-2孙+2=0,则x+y的最小值是（）

A.V6B."C.2A/2D.2

2

5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标

上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）

C.相>半

1

6.已知圆。:。一5）2+（丁+2）2=，&＞0）,4（-6,0）,3（0,8）,若圆C上存在点尸使得F4，尸3,则「的取

值范围为（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,包）

7.6位学生在游乐场游玩A3,C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目

必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A.180种B.210种C.240种D.360种

8.已知定义在（0,+向上的函数“力满足才（x）=（lr）〃x）,且/（1）＞0,则（）

A.B.f（2）＜/（l）＜f[1j

C.咱＜〃2）＜〃1）D.-2）＜/出＜〃1）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组数据L3,5,7,9,其中位数为4，平均数为了，极差为匕，方差为s?.现从中删去某一个数，得

到一组新数据，其中位数为"，平均数为7,极差为〃，方差为』，则下列说法中正确的是（）

A.若删去3,则

B.若删去9,则无

C.无论删去哪个数，均有bNb'

D.若无=3，则S2＜5’2

10.已知角a的顶点与原点重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点A（a,b）（"w0,aw》），定

义：。（。）=华.对于函数/（司=乃（同，则（）

a-b

A.函数的图象关于点g,。卜寸称

B.函数在区间0片]上单调递增

C.将函数/（x）的图象向左平移:个单位长度后得到一个偶函数的图象

D.方程=；在区间[0,可上有两个不同的实数解

11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;

反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线

2

C:y2=2/（p>0）的准线为1,0为坐标原点,在X轴上方有两束平行于无轴的入射光线乙和4,分别经。

上的点人（西,乂）和点网马，力）反射后，再经。上相应的点C和点。反射，最后沿直线4和4射出，且乙与

'之间的距离等于4与，之间的距离.则下列说法中正确的是（）

A.若直线4与准线/相交于点尸，则AOI三点共线

B.若直线4与准线/相交于点尸，则尸产平分/APC

2

C.yxy2=P

7

D.若直线4的方程为>=2。，则cos/AFB=w

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量=卜1,道）,6=（也,-1）*是非零向量，且C与a,6的夹角相等，则c的坐标可

以为.（只需写出一个符合要求的答案）

13.设数列也｝的前"项和为S"，等比数列也｝的前〃项和为T.,若匕=-1也=8b°,（1-叫S“=〃（"+1）&

贝1a„=.

14.在四面体ABC。中，BC=2,ZABC=ZBCD=90,且与CD所成的角为60.若四面体ABCD的

体积为4尤，则它的外接球半径的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，瓦c,已知2cosA-3cos24=3.

⑴求cosA的值；

（2）若ASC为锐角三角形，26=3c,求sinC的值.

16.在如图所示的几何体中，四边形ABC。为平行四边形，平面ABCRBlQD,

BC=2.AB=2PA=2,ZABC=60.

3

(1)证明：平面PCD，平面PAC；

(2)若尸。=20,求平面PC。与平面QC。夹角的余弦值.

17.春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.

某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查,发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流

感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已

知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感

染).

(1)估计该市流感感染率是多少？

(2)根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；

(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.(精确到0.001)

n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)，

P(K2>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

22

18.已知双曲线C：｝■-方=1(。>0,8>0)的虚轴长为4,浙近线方程为y=±2x.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过右焦点F的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于点A8,点又是线段A8的中点，过点尸且与/垂

直的直线/'交直线O暇于点P,点。满足「。=尸4+尸8,求四边形尸面积的最小值.

19.已知集合4=]£2勺044</<<am,at^,定义：当根=/时，把集合A中所有的数从小到大

排列成数列作⑴“｝,数列也⑺“｝的前"项和为SQ)“.例如：f=2时,

4

223

b(2)]=2°+21=3,b⑵2=2°+2=5,Z?(2)3=2*+2=6,以2%=20+2=9,

S(2)4=/2)1+万⑵？+b(2)3+b(2%=23.

(1)写出伙2L伙2)6,并求义2)皿

(2)判断88是否为数列物(3)“}中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由;

(3)若2024是数列作⑺"}中的某一项6年)小，求初“。及S(r0)4的值.

1.D

【分析】由集合的补集和交集运算可得.

【详解】々M={x|x?0},

所以做M)cN={x|0<x<4],

故选：D.

2.C

【分析】根据三角函数的奇偶性可得。=]7T+而，keZ,求解得答案.

【详解】由为奇函数，可得。=]+阮，keZ,

当％=0时，展].

故选：C.

3.B

【分析】根据共轨复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.

【详解】对于复数z,若z+2=0,贝”不一定为纯虚数，可以为0；

反之，若z为纯虚数，贝物+1=0,

所以z+』=0是z为纯虚数的必要非充分条件.

故选：B.

4.A

x1

【分析】根据题意可得＞=利用基本不等式求解.

2x

y1

【详解】由/-2.+2=0可得y=；

2x

x13x1.

xy=x---1——--1—22,—--=V6,

2x2x2x

5

当且仅若斗即X邛时，等号成立.

所以x+y的最小值为

故选：A.

5.D

【分析】设半球半径为「，圆锥高为人再根据圆锥侧面积与体积公式，结合球的表面积与体积公式求

解即可.

【详解】设半球半径为小圆锥高为〃，由题意竺小更=2,解得力=店厂.

2兀产

-7ir2/z,后

故圆锥的体积与半球体的体积的比值为片一=(■=浮.

2/2r2

3

故选：D

6.B

【分析】由9，PB得到点P的轨迹是以A3为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题,

解不等式组即得.

【详解】

如图，由F4_L尸3可知点尸的轨迹是以48为直径的圆，设为圆M,

因4(-6,0),3(0,8),故圆M:(x+3y+(y-4)2=25.

依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.

因C(5,-2),M(-3,4),则|CM|=J(5+3)2+(-2-4)2=10)

由上一5区|。1区5+厂，解得：5<r<15.

故选：B.

7.C

【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可.

6

【详解】若A有2人游玩，则有C；*：C；A；+令A；=15?(86)=210种；

若A有4人游玩，则有C：A；=15?230种；

所以共有240种，

故选：C.

8.D

【分析】将题设条件转化为*不?”=启，从而得到启=he，代>0),进而得到/(x)=已，

利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.

【详解】由矿(%)=(1-*)〃*)变形得一4'(无)

〃无)=X,

“力-矿(x)_X

从而有尸⑺一河’X

/W

Y

所以冗丁•*

1丫

因为所以左;可区〉。，贝1J〃x)=Q

至4="二

J')k2ek2ex

故当。〈龙vl时，当x>1时，/r(x)<0,

所以/(X)在(0,1)上单调递增,在(1,+⑹单调递减,

所以/〃2)<〃1)，

3

又/_L]_〃2)=______L=而e3>2.73a19.7>16,所以£

J[2)>2k限fe22港

所以

故选：D.

由1到得市=he\是解决本题的关键.

【点睛】关键点点睛：利用(ke")=ke",

9.ACD

【分析】根据中位数的定义可判断A选项，根据平均数的定义判断B选项，分类讨论去掉的数据结合极

7

差的定义判断C选项，先判断去掉的数据是什么，然后根据方差的定义判断D.

【详解】A选项，若去掉3,根据中位数的定义，

=5,a'=^-=6

a满足a<",A选项正确;

2

B选项，若删去9,根据平均数的定义,

—1+3+5+7+9~1+3+5+7

x=------------=5,x=----------=4,元>%'，B选项错误;

54

C选项，根据极差的定义，若去掉的数是3,5,7中的一个,

显然去掉前后极差都是9-1=8,满足6=

若去掉1,b'=9-3=6<b=8,若去掉9,b'=l-l=6<b=8,

综上，b>b',C选项正确;

D选项，原数据平均数工=5,去掉一个数后平均数保持不变，即P=5,

则剩下的四个数之和为5x4=20,显然去掉的数只能是5,由方差的定义，

s2=1[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=8,

2222

5^=1[(1-5)+(3-5)+(7-5)+(9-5)]=10,

满足s2<s，2,D选项正确.

故选：ACD

10.AB

【分析】由三角函数定义可得tanx=3,根据题意，可得〃x)=tan\+：j,利用正切函数的性质依次

判断求解各个选项.

1bTi

.,jl+—1,,tan—+tanx/、

【详解】根据题意，tanx=2,===__4-------=tan[尤+一],

。aTJ1-tanx—anJanx(

a4

对于A,由正切函数的性质得keZ,解得

所以函数〃x)的对称中心为keZ,故A正确；

对于B,.1x+Ee与胃由正切函数的性质可知在(若)上单调递增，故B正确;

对于C,将〃x)的图象向左平移;个单位可得〉=tan(x+：+：1=tan(x+3)=Jp为奇函数，故C

错误；

8

7171371

对于D,XG[0,7l],:.x+—e令。=x+—,

445T4

TTTT\/冗

由正切函数y=tana的性质可知在上单调递增，且在；,兀上单调递增，且yW。,

[42)12」

所以方程〃x)=tan[x+(]=g在区间[0,无]上无实数解，故D错误.

故选：AB.

11.ACD

【分析】对人,设直线4。:％=9+§,与抛物线;/=2/联立,可得%+%=20/,%%=-。2,验证脸=心0

得解；对B,假设ZAPF=NCPF，又由抛物线定义得ZCFP=ZCPF，可得ZAPF=ZCFP，即AP〃C厂,

2

这与相和。尸相交于A点矛盾，可判断；对C,结合A选项有y%=-p2,y2y4=-p,根据％%-乂，

运算可得解；对D,可求得点4昆尸的坐标，进而求出E4,用，利用向量夹角公式运算得解.

【详解】对于选项A,因为直线AC经过焦点，设。(无3，%)，。(尤4,%)，直线AC:无=b+~|,

2212

与抛物线y=2Px联立得y-Ipty-p=0,.,.%+%=2pt,yxy3=-p,

所以kp=kAO,

即从。、尸三点共线，故A正确;

对于选项B,假设=又/CFP=/CPF,

所以NAPF=NCFP,所以AP〃CF,这与AP和C/相交于A点矛盾，故B错误；

对于选项C,4与4距离等于4与，4距离，又结合A选项，则==工

所以％%=p2,故C正确；

I

对于选项D,由题意可得，A(2P,2P\BU,^,F^AFA=[^-,2P\,FB=[-^,^\,

9

FA-FB=^^-^+2p--|=^,

同•阀=样2+QP)2-gMJ=誓，

FAFB7

.•.〃7叱阿网=王，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：A选项，判断A、。、尸三点共线，即转化为验证电「=七。，设出直线AC的方程与抛

物线联立，求出点A尸坐标，表示出。尸,。4的斜率判断；B选项，利用反证法，假设=卬,

结合抛物线定义可得AP//CF与条件矛盾；C选项，根据题意可得%-%=%-以，结合A选项的结论

可判断；D选项，求出点A民厂的坐标，进而求出E4,FB,利用向量夹角公式运算.

12.e=(X,X),XHO均可

【分析】设c=(x,y),xRO,y*o,利用向量夹角公式，数量积的坐标运算可求得％=兀得解.

a•cb•c

【详解】设。=(x,y),xwO,y*。，由题意可得RR=WH，

|«|=|^|=2,：,a.c=bc>即(°叫.c=O,

-(1+石)x+(代+1)y=0,解得x=y.

1

c=(x,x),XHO.

故答案为：c=(x,x),xwO均可.

13.In

【分析】根据题意，先求出等比数列色,｝的通项公式和前〃项和《，进而求得S,，再利用项与和的关系

求得通项与.

【详解】设等比数列也,｝的公比为q,

由H=8么，则/=8,解得4=2,又仇=一1,

所以a=-2修，，(代入(1_2")S"=〃(〃+1)7；,

10

解得s〃=〃(〃+i),

当〃=1时，q=S]=2,

当〃之2,〃EN*时，cin=Sn-Sn_l=n(n+l)-n(n-l)=2n,

〃i=2满足上式，所以4=2〃，〃EN*.故答案为：2n.

14.3

【分析】根据题意，将四面体ABCD补形为直三棱柱ABE-FCD,设C£>=x,CP=y,由％必求

得孙=24,在RtDC。2中，勾股定理得R2=i+gz)/2,由余弦定理可得。产=/+,2一孙，结合基本

不等式求解.

【详解】依题意，可将四面体ABCD补形为如图所示的直三棱柱ABE-尸CD,因为A5与8所成的角

为60,

所以/DCF=60°或120,设C£>=x,b=y,外接球半径记为R,

外接球的球心如图点0.

易知AF//平面BCDE,所以点A到平面BCDE的距离等于点F到平面BCDE的距离，

VVBCS

-'-A-BCD=F-BCD=^--CDF=|x2xf1^sin60]=/孙=4/，得孙=24,

33\2)6

DF21

在Rt0c。2中,R2=OC2=OO^+CO^=1+=1+-DF29,

2sinZZ)CF3

在CDF中，由余弦定理得DF2=x2+y2+2盯cos/DCF,

所以当/DCF=60°时，外接球的半径会更小.所以。厂2=炉+,2一孙，

所以=l+1(x2+/-xy)>l+1(2^-xy)=l+1xy=9,所以勺n=3.

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：本题关键是将求四面体A3CD补形为直三棱柱石-/CD,转化为求直三棱柱外

11

接球半径的最小值.

1A.F）

15.（l）cosA=-或cosA=0；（2）------.

39

【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；

（2）解法一，由2b=3c,禾！!用正弦定理边化角得2sinB=3sinC,结合sin（A+C）=sinB和cosA=；,化

简运算并结合平方关系求得答案；

2

解法二，根据条件利用余弦定理可得c=（a,再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.

【详解】（1）由题可得2COSA—3（2COS2A-1）=3,即3cos2A_COSA=0,

解得cosA=1或cosA=0.

（2）解法一：因为28=3c,由正弦定理得2siiiB=3sinC,即2sin（A+C）=3sinC,

BP2sinAcosC+2sinCcosA=3sinC,

因为cosA=g，所以sinA=逑；

33

所以42cosC+—sinC=3sinC,又sin2C+cos2C=L

33

且.ABC为锐角三角形，解得sinC=逑.

9

9c2

解法二：由余弦定理得cos4="+c--'=!,因为力=3c,所以彳+,1,即

3-3?一=39

22

所以c二—〃，所以sin。=—sinA,

33

又cosA=2,所以sinA=2叵，所以sinC=2sinA="&.

3339

16.⑴证明见解析；（2）叵.

31

【分析】（1）法一，先证明CDLAC,再证明CD，平面PAC,利用面面垂直的判定定理得证；法二,

建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PCD和平面PAC的法向量证明；

（2）法一，过C尸作CE,PE分别平行于AP,AC,连结QE,作尸交QC于/点，连结E尸，证

明。说明4EE为平面尸C。与平面。CQ的夹角，求解得答案；法二，建系求出平面。C。和平

面PCQ的法向量，利用向量法求解.

【详解】（1）解法一：BC=2AB=2,XABC=60,

在，ABC中，AC2AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC,BPAC2=l+22-2xlx2x1=3,

12

;.AC=BAB2+AC2=BC2,

ABIAC,又ABUCDnCDLAC,

“_L底面ABCD,CDu底面ABCD,

:.PA±CD,AC,PAu平面PAC且相交于A,

\CD人平面PAC,又CDu平面PCD,

平面PC£>_L平面PAC.

解法二：BC=2.AB,ZABC=60,/.AB±AC.

如图建立空间直角坐标系，尸(0,0,1),A(0,0,0),c(o,A/3,o),r>(-i,5/3,0),

则E4=(0,0,-1),PC=(0,^,-l),Cr)=(-l,0,0),

z、[n.-PA=0fZ=0.，、

设4=(x,y,z)是平面PAC的法向量，贝叶=><r-,可取4=(1,0,0),

nt-PC=0[V3y_z=0

-CD=QJa=0

可取Z=(0,1,有卜

设巧=(a,6,c)是平面PC。的法向量,PC=01®-c=0

所以4•%=0,所以平面PCD，平面PAC.

(2)解法一：在直角梯形AOQP中，因为PA=1,AD=2,PQ=2&,解得QD=3,

过C,P作CE,PE分别平行于AP,AC,连结QE,作PF_LQC交QC于/点，连结所,

AC±CD,AC±QD,。0门。£>=£>且都在面0)。石内，.14。，平面0)。£,

PE//AC,:.PE!_平面CDQE,又QCu平面CDQE,

13

：.PErQC,又PFLQC,尸瓦尸Fu平面尸£F且交于产,

.•.QC_L平面尸£F,又EFu平面PEF,

QC1EF,

NPFE为平面尸C。与平面DCQ的夹角或其补角,

,2_i_Q_in万

在△PC。中，尸C=2,QC=W,尸。=20,cosZCPQ=-------^-==—,

2x2x2V28

.•.sinNCPQ=恒，由等面积法解得尸尸=胆，又PE他,

8M

sinZPFE=—=华cos/PFE=~^=庖

PF屈73131

所以平面尸CQ与平面DCQ夹角的余弦值为回.

31

(2)解法二：在直角梯形A。。尸中，解得。。=3,

如图建立空间直角坐标系，P(0,0,1),C(0,A/3,0),Q(-1,73,3),(-1,73,0),

平面DCQ的法向量为%=AC=(0,0,0),又CQ=(-1,0,3),CP=(0,-石,1),

CQ-n=0—X?+3z2—0

设平面尸CQ的法向量为%=(%,%,Z2),贝卜2即＜

-y/^丫?+Z2=。

CP-n2=0

令%=1,解得％=36,Z?=百，%=(34,1,5/^),

设平面尸C。与平面DCQ夹角为e,

II•囱6回

所以cos。=|cos4,2|

闻♦闻也诉一31

即平面尸C。与平面DCQ夹角的余弦值为叵.

31

17.(1)0.3；

(2)有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关

14

(3)97.6%.

【分析】(1)由感染人数除以总数可得;

n(ad-be?

(2)代入公式片=计算可得;

(a+b)(c+d)(o+c)(b+d)

(3)由条件概率公式和全概率公式计算可得.

【详解】(1)估计流感的感染率P=io。。=0.3.

(2)列联表：

流感情况

疫苗情况合计

患有流感不患有流感

打疫苗220580800

不打疫苗80120200

合计3007001000

n(ad-bc)21000(220xl20-580x80)2

根据列联表，计算长2=»11.9.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)800x200x300x700

因为11.9>10.828,所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.

(3)设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件8为“被检测者确实患有流感”，

由题意得/⑻=。3,尸㈤=。7,尸(45)=0.95,P(A|可=0.01,

P(AB)=P(B)-P(A|B)=0.3x0.95=0.285,

由全概率公式得P(A)=P(B).P(A|B)+P(B)-P(A|5)=0.3x0.95+0.7x0.01=0.292,

P(B\A)=g^=党。97.6%,所以此人真的患有流感的概率是97.6%.

11/11

18.(l)x2-^=l；(2)6百

4

【分析】(1)由双曲线的性质求出即可；

(2)设直线AB:x=〃zy+如，直曲联立，把〃坐标结合韦达定理用43表示出来，利用由。,加,尸三点

共线和心>左旗=-1解得,然后由弦长公式和点到直线的距离表示出四边形的面积

15

Ss年」W+"，令f=4/-1,疗=牛，构造函数求导后分析单调性，得到最

75v（4m2-l）4t

值.

b

【详解】（1）由题意可知6=2,又浙近线方程为＞=±±=±2心所以。=1,

a

2

易知双曲线的标准方程为炉-匕=1.

4

（2）

设4（4％）,5（%2，%），”（%0，%），筋：%=冲+/，联立方程匕冲产得

I4x—y=4

2

（4/-1）/+8#1my+16=0,A=320/-64（W-1）=64（/n+1）,

Hv-A±A4小m匚

且为-2一薪0'"。=〃少。+行

由。”三点共线得/骨痴①，由™得％"T,即段起=-1②,

由①②解得P

由PQ=PA+PB可知，四边形PAQ8是平行四边形，所以与A2B=2S卸=d“|AB|,

,r~7,,r~r87m2+18（疗+］）

―DZ1际》一止N,丽丁河可

8（/+1）32（布+1）’32（疗+1）

所以SpA0=^=^l+m2

|4m2-l|"75'|4m2-l|"Ts,JfW-l

16

令〃，)=任等，则:⑺=3(y/y+5)3”"一"

135

所以/⑺在(0,10)上单调递减，(10,+8)上单调递增，所以/⑺11dli=八10)=宁，

所以同阳)礴=方容=6相，当且仅当7=10，即根=士当时取等号•

【点睛】方法点睛：求双曲线等圆锥曲线内四边形面积时常用韦达定理结合弦长公式表示，求面积的最

值时常构造函数求导分析.

19.(1)仅2)5=10,6(2)6=12,S⑵I。=124；⑵88是数列做3),}的第30项;

(3”。=7,%=329,S&%=427838

【分析】当机=2时，此时A={2q+2%|0Vq<%,q,%eN},由集合新定义中的规则代入计算即可；

根据集合新定义，由88=2$+2&+23,再列举出比它小的项即可；

方法一：由2024=2i°+29+2'+27+2