微专题06 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题（六大题型）（解析版）

微专题06妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：问题（系数为1）题型二：问题（系数不为1）题型三：问题题型四：问题题型五：问题题型六：问题【方法技巧与总结】（1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【典型例题】题型一：问题（系数为1）【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．设，，所以，又，所以．故选：．【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，且，而，所以，即，由已知，则，选项D正确.故选：D题型二：问题（系数不为1）【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【变式2-1】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，因为，则，,，又，则，则，则，又，易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B.【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高三统考期末）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设射线上存在为，使，交于，由于，设，，由三点共线可知，所以，则存在最大值1，即在弧（不包括端点）上存在与平行的切线，所以．故答案为题型三：问题【例3】（2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习）如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是【答案】【解析】如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，的取值范围是；当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，的取值范围是，．故答案为：，【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【答案】①④【解析】设，由图可知：且，∴①④正确，故答案为：①④【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为.【答案】【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().题型四：问题【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为【答案】【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，所以，所以，可得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有，即，所以，因为，所以，故答案为：.【变式4-1】（2024·江苏盐城·高一统考期末）在△ABC中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线，于点，，且，(，)，若的最小值为3，则正数的值为.【答案】【解析】在中，点是的三等分点，，，，，，，，三点共线，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为，即，，．故答案为：．【变式4-2】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为.【答案】【解析】依题意，作出图形如下，因为，，，则，所以，因为三点共线，所以，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.题型五：问题【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数，使得.又，所以，又∵，且不共线，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案为：3.【变式5-1】（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为．【答案】/【解析】由，得，即，因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，又因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为.故答案为：．【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选C．题型六：问题【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以，，故的取值范围.

【变式6-1】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则，的最小值为.【答案】2【解析】因为在中，，所以,即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.所以，对比可得.代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为.【答案】【解析】；为边的中点，如图，则：；在线段上；设，；又；；即，且；；时，取最小值．故答案为：．【变式6-3】（2024·山东德州·高三统考期末）在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为.【答案】/【解析】由为边上任意一点，则，，可得，则，即，由，可得，则，故，当时，取得最小值为.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题可设，则，N为AM中点，,又，，.故选：A.2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，因为点D在线段上，所以存在，使得，因为M是线段的中点，所以：，又，所以，，所以.故选：B.3．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点为所在平面内一点，满足，为中点，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图：，点是的重心，点是的中点，，，当点在内（不含边界），，，，，，，，.故选：A4．（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(

)A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，∵E、O、F三点共线，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，当且仅当时取等号，∴．故选：B．5．（2024·江西南昌·高三阶段练习）在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线，于不同两点，若，均为正数，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，由于M、O、N三点共线，可知，由于均为正数，所以，当且仅当，即时取得等号，故选：C二、多选题6．（2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末）在中，点是线段上任意一点，点是线段的中点，若存在使，则的取值可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令且，而，又，则，所以，则，且，故A、C满足，B、D不满足.故选：AC7．（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即，结合选项可知ABC符合，D不符合故选：ABC8．（2024·重庆·高一校联考阶段练习）在中，点满足，当点在线段上（不含点）移动时，记，则（

）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BC【解析】是中点,则,又点在线段上,即三点共线,设,故,.故B对A错.,当且仅当时,即,故C对.在上单调递减，当取最小值，故D错.故答案为：BC9．（2024·湖北武汉·高三校联考期末）在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（

）A． B．C．的最小值为2 D．的最小值为【答案】BD【解析】由得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确.故选：BD.三、填空题10．（2024·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为

【答案】【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时,，∵，∴设，则，当点P为切点时,有最大值,，，∴，，∴.即2x＋2y的最大值为.故答案为：11．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知，，，设，．由，得，，，点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，当时取得最大值4，当时取得最小值．的取值范围是，．故答案为：．12．（2024·四川绵阳·高一统考期末）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是．【答案】【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.则.不妨设.因为，所以，解得：，所以.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.所以当时最大；当时最小.所以的取值范围是.故答案为：.13．（2024·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，由得从而则，易知，故在上单调递增，∴，.故.故答案为：14．（2024·全国·高三专题练习）扇形中，，为上的一个动点，且，其中.（1）的取值范围为；（2）的取值范围为.【答案】【解析】（1）解法一：（等和线）设与相交于点，，，.解法二：（坐标法），，，，，，.解法三：设，，即∴.（2）解法一：（等和线）解法二：，其中先增后减.15．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为【答案】【解析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.16．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是．【答案】【解析】由题可知，，设，则，所以，而，可得：，所以，设，由双钩函数性质可知，在上单调递减，则，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．（2024·高一课时练习）在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．【解析】（1）若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧．理由如下：设，则由，得：，则在直线上有一点，使得，如下图所示：则，即，当时，则与同向，且，由平面共线定理可得，，在直线AB异侧；当时，与反向，如下图所示，且，由平面共线定理可得，，在直线AB同侧．（2）射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动如图所示，阴影部分为点P的运动区域（不含边界），由（1）可知，，在直线同侧，由于，则．过点作交射线于，过点作交射线的延长线于,由平行四边形法则可得，又与方向相同，则，且，与方向相反，则，且，则，故，即实数的取值范围是，当时，此时为中点，过作直线平行与交于，交射线于，则点运动轨迹为线段（不含端点），如下图：