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文档简介
2023-2024学年上海市高一年级下学期
5月月考数学试卷
2024.5
一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个
空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
1.已知集合A=[—3,4],6=(0,5),则AB=.
2.己知扇形的半径为2,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.
3.不等式立2..0的解集为.
2-x
4.函数y=tan的最小正周期为.
5.在平行四边形ABCD中,石为3C边上靠近点3的三等分点,AE=AAB+pAD,则的值为.
(1+(3—z)-
6.己知复数z=-----1:乙,为虚数单位,若z的模为20,实数”的值为______.
(1-2/)
7.方程log?(9'-4)=x+1的解x=.
8.已知复数z满足|z-1+2“=1,i为虚数单位,则|z|的最小值为.
9.若函数y=恸一3|-加-1有且仅有2个零点,则实数m的取值范围是.
10.已知点4(3,4),将。4绕坐标原点。逆时针方向旋转;至。8,再将。8延长至OC,使OC=2O8,
则点C的坐标为.
11.已知正AABC的边长为2,ZVLBC所在平面内有一动点尸,满足同=1,则AP-BP的最小值为.
12.函数y=6sin2%+2$皿尤+4&©05》的最大值为.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一
个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.方程V—6x+a=0的一个根为x=3+i,其中i为虚数单位,则实数”的值为()
A.-10B.10C.6D.8
14.已知y=/(x)是定义在R上的偶函数,且当xw(-oo,0)时,"x)=f—/+1,则当xe(0,+8)时,
小)=()
A.x2—e*+1B.x2+e"+1C.—e"+1D.—x~+e'—1
1
15.已知0>0,顺次连接函数=J^sin69x(G>0)与g(x)=J^cos3r的任意三个相邻的交点都构成一
个等腰直角三角形,则切=()
717T一7T冗
A.—B.—C.—D.—
8642
---___---TT-2
16.己知a,。,e是平面向量,且e是单位向量,若非零向量。与e的夹角为一,向量b满足》-4e2+3=0,
4
则,一目+,一’的最小值是()
A.y/s—2B.—1C.2D.y[5
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤
17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知向量。与6的夹角为?,且W=2,W=3
(1)求囚―2@的值
(2)若(a+Z〃)_La,求实数k的值
18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知复数4=a+4i,Z2=4+3i,i为虚数单位,其中。是实数
(1)若五是实数,求。的值
Z2
(2)若复数4云在复平面内对应的点在第二象限,求。的取值范围。
2
19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
设AA8C三个内角A、B>。所对的边分别为a、b、c,已知。=工,acosA=bcosB.
3
(1)求角3的大小;
(2)如图,在AABC内取一点P,使得依=2,过点P分别作直线B4、3C的垂线BW、PN,垂足分别是
M、N.设NPB4=a,求四边形的面积的最大值及此时a的值.
20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题8分,第3小题6分)
在平面直角坐标系xQy中,以天轴的正半轴为始边作锐角a和钝角/,它们的终边分别与单位圆交于
4(%,凶),3(%2,%)两点
3
(1)当%二W时’求cos2a的值
(2)当y=,y2=时,求角。+尸的值
(3)当y=Q时,记角e=求满足等式
sin0sin0sin0sin0
-----------------4---------------------------+------------------------+-----------=6的所有1的值
cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。
3
21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知函数y=若对于任意的实数/(a),/(。),/(。)都能构成三角形的三条边长,
则称函数y=/(x)为。上的“完美三角形函数”
(1)记y=/(x)在。上的最大值、最小值分别为〃%)皿,/(%".,试判断是
“y=/(x)为。上的“完美三角形函数"”的什么条件?不需要证明
(2)设向量利=(2后sinx,2cos=(J5cosx,Acosx),若函数g(x)=,〃・“一k+l为0,y上的''完美
三角形函数”,求实数%的取值范围;
(3)已知函数〃(x)=cosx为[0,。](。为正的实常数)上的“完美三角形函数”。函数〃(x)=cosx,xe[0,。]
的图像上,是否存在不同的三个点A,民C,它们在以x轴为实轴,y轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别
为zi,z2,z3,满足ReZ]+Rez3=2Rez2,且Imz〕+Imz3=V3Imz,?若存在,请求出相应的复数zx,z2,z3,
若不存在,请说明理由。
2023-2024学年上海市高一年级下学期
5月月考数学试卷参考答案
一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个
空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
1.已知集合A=|-3,4],8=(0,5),则AB=.
【答案】(0,4]
【解析】An6=(0,4]
2.已知扇形的半径为2,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为.
【答案】4
【解析】根据扇形的弧长公式可得/=ar=2x2=4,
根据扇形的面积公式可得S='x2*4=4.
2
3.不等式上2..0的解集为.
2-x
4
【答案】[—3,2)
【解析】S..0,即言“。,
2-x
则(x+3)(x—2),,0且x-2/0,解得T,x<2,
故不等式的解集为[—3,2)
4.函数y=tan](■-的最小正周期为.
7T
【答案】-
2
TT7T
【解析】T=LF=—
-22
5.在平行四边形A8CD中,E为8c边上靠近点B的三等分点,AE=AAB+^AD,则初的值为.
【答案】-
3
【解析】如图,在平行四边形ABCD中,E为边上靠近点8的三等分点,
AE=AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,S.AE=AAB+pAD,
根据平面向量基本定理得,2=l,〃=g
(l+miV(3-z)-
6.已知复数z=^----为虚数单位,若z的模为20,实数机的值为________________.
(1-2/)-
【答案】±3
|z|=20,.'.|z|=20
(1+〃”)3(3-i)1-3m2+3mi-m3
【解析】.•."]=207.方程
(1-202。-2炉
=>;«=±3
v
log3(9-4)=%+l^^x=.
【答案】logs4
5
【解析】log,(9'-4)=x+l.
.-.9v-4=3'+,
.,.(3*)2—”-4=0,
3V=4x=log,4,或3*=-l(舍)
8.已知复数z满足|z-l+2i|=l,i为虚数单位,则|z|的最小值为.
【答案】V5-1
【解析】复数z满足|z-l+2i|=l,则复平面内,复数z对应的点在以(1,-2)为圆心,以1为半径的圆上,
如图:
则|z|的最小值为b-1
9.若函数y=2'—3]一加一1有且仅有2个零点,则实数m的取值范围是.
【答案】(一1,2)
【解析】由题意知有|2'—3|=m+1两个交点
函数的图像如图所示
则0v〃2+1<3=>—1v机v2
10.已知点A(3,4),将Q4绕坐标原点。逆时针方向旋转;至OB,再将OB延长至OC,使OC=2OB,
则点C的坐标为.
【答案】(3-46,4+3百)
43
【解析】设。4的终边对应的角为a,sina=—,cosa=—,则的终边对应的角为
55
6
cr+—B=5cosa+—,5sina+—=
3II3;I3jJ
℃=208=(3-40,4+3百)
11.己知正AA6C的边长为2,A46c所在平面内有一动点P,满足「尸卜1,则ARBP的最小值为
【答案】[3-273,0]
【解析】以C为坐标原点,C4为x轴,过C与C4垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,
C(0,0),A(2,0),5(l,6),P(cosa,sina)(aG冗
0,
3
/.AP-BP=(cosa-2,sina).(cosa-1,sina-G)
=cos2a-3cosa+2+sin2a-Gsina
=3-2Gsin(a+3
八)]乃「42乃].(乃、<3,
a£0,一,.\aH—G-,—,sinccH—G—,1
L3j3133」I3JL2
3一2&sin(a+?)e[3—2百,o]
12.函数y=Gsin2x+2sinx+4百cosx的最大值为.
17
【答案】—
2
【解析】
7
y=百sin2%+2sinx+473cosx
=2>/3sinxcosx+25/3cosx+2sinx+2\/3cosx
=26cosx(1+sinx)+2&inx+百cosx)
/岳2+sinx[+4s
I2JmI3)
=_21s、i•nf^x+吟jif+4)si•n[rx+§吟
17
+4
T
当x=2版■+工(AwZ)时上式等号成立
6
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一
个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.方程/-6彳+。=0的一个根为x=3+i,其中i为虚数单位,则实数。的值为()
A.-10B.10C.6D.8
【答案】B
【解析】方程f-6x+“=0的一个根为x=3+i,
程d_6x+a=0的另一个根为3-Z,
故选:B.
14.已知y=/(x)是定义在R上的偶函数,且当x«—8,0)时,/(x)=f_e*+l,则当xw(0,+8)时,
〃x)=()
A.x2—e*+1B.+e,+1C.x?—e'+1D.—x-+e'—1
【答案】C
【解析】设x〉0,则T<0,则/(x)=/(—x)=x2-e-'+l
故选C
15.已知0>0,顺次连接函数/(x)=与g(x)=J^cosmr的任意三个相邻的交点都构成一
个等腰直角三角形,则。=()
717171ir
A.—B.—C.—D.一
8642
【答案】D
【解析】如图所示,在函数/(%)=遥sins(G>0)与g(x)=J^coss的交点中,
8
\AC\=T=—,
co
令&sin力工=遍coscox,即tanmx=1,
不妨取0X1=,cox2=?,
^\AC\=X-X,=—,
2CD
因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形,
101rr
则上|AC|=2,即|AC|===4,
2a)
所以。=工.
2
故选:D.
---TT-2
16.已知a,0,e是平面向量,且e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为工,向量b满足。-4e2+3=0,
4
则,一目+,一4的最小值是()
A.y/s-2B.5/5-1C.2D.,^5
【答案】B
【解析】b-4e-b+3=0=Z/-4e-b+3e2=0n(b-e)-(b-3e)=0,;.(b-e)_L(0-3e)
设OA=e,O8=b,OC=a,以。为原点,。4的方向为x轴正方向,建立如图所示的坐标系
由伍一@_1_0_3a,得点6在以0(2,0)为圆心,以1为半径的圆上
又非零向量。与e的夹角为7,设a的起点为原点,则a的终点在不含端点0的两条射线y=±x(x>0)±,
设C(x,-x)
9
卜—囚+卜―e卜的最小值为i
|cZ)|+1Ac|=J(尤-'1)-+『+-2)~+x~=-2x+1+,2x「-4x+4
表示点(x,0)到和(1,1)的距离之和的最小值的0倍
则最小值为&+(g+l)=也
故选B
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤
17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
己知向量。与B的夹角为三,且忖=2,什=3
(1)求加一2H的值
(2)若(。+攵求实数女的值
_4
【答案】(1)6;(2)一一
3
【解析】
(2)^a+kb^La,:.[a+kb^-a=0=>|a|+ka-b-0=>22+^x2x3xcosy=0
4
:.k=—
3
io
18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知复数4=a+4i,Z2=4+3i,i为虚数单位,其中。是实数
7
(1)若二•是实数,求4的值
Z2
(2)若复数4公在复平面内对应的点在第二象限,求a的取值范围。
【答案】⑴y:(2)(-00,-3)
【解析】
Z]a+4/(a+4i)(4—3i)4a+12+(16—3a)i
z24+3/(4+3/)(4-3z)25
因为与7是实数,则16—3。=0,,a=1廿6
z23
(2)Z0=(a+4i)(4—3i)=4a—3ai+16i+12=(4a+12)+(16—3a)i
a<—3
—4a+12<0
因为复数Z1Z2在复平面内对应的点在第二象限,则j]6_3a〉0=><16na<—3
a<——
I3
19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
设AABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知C=工,acosA=bcosB.
3
(1)求角3的大小:
(2)如图,在AABC内取一点P,使得P3=2,过点P分别作直线54、的垂线PM、PN,垂足分别是
M.N.设“R4=a,求四边形的面积的最大值及此时a的值.
【答案】(1)(2)a=工时,四边形RM&V的面积取得最大值百.
36
【解析】
(1)由acosA=〃cos3及正弦定理可得:sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,
又Aw(0,7r),Bw(0/),
11
.•.有A=B或A+8=C,
2
又:C/,得A+3=红,与4+8=工矛盾,
332
A=8,
3
(2)由题设,得在RtAPMB中,PM=PBsinZPBM=2sina,
在RtAPNB中,PN=PBsmZPBN=PB-sin(y-NPBA)=2sin(^-a),ae(0,。),
^VWtiPMBN=S&WBP+S"BN
=-BMMP+-BNPN
22
1__1_.7L、_7T、
=x2cosax2sina+—x2cos(----a)x2sin(-----a)
2233
=sin2a+sin2(y-a)
/7zl①G•O'
=V3(—cos2a+—sin2a)
二石sin(2a+为,
6
a£(0,)»
/.2a+-e(—,—),从而有sin(2a+K)£([,1],
66662
即Gsin(2a+—)e(—,x/3],
62
20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题8分,第3小题6分)
在平面直角坐标系中,以无轴的正半轴为始边作锐角a和钝角夕,它们的终边分别与单位圆交于
两点
3
(1)当X]=g时,求cos"的值
12
(2)当弘=¥,%=常。时,求角a+夕的值
(3)当时,记角夕=,。。€/?),求满足等式
―.里+一」叽+」in"卡包应=G的所有,的值
cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。
rdI
【答案】(I)—--;(2)—:(3)/=3%+上或r=6Z+2(ZeZ)
2542''
【解析】
7
(1)由题意知%=-,^=y,sina=—,cosa=cos2a=cos2a-sin2a=
25
3>/io275Vio
⑵-y=—,y------x,=---------
210,5IF
・•・sin”更sin加还,:心"毡,c°s£=一巫
510510
/.sin(a+^)=sin<7cos/?+sin/?cosa------X
5
0va<—,—<夕<7i、—<</+/?<—
力3兀
:.a+/3=-j
1]JI
(3)当y=一时、sina=—,故a=—
1226
sin0sin0sin0sin6
------------------------1--------------------------1------------------------1-----------
cos4。cos3。cos36cos26cos2。cos6cos。
sin(4。-3。)sin(3。一2。)sin(26-6)sin6
cos46cos3。cos36cos2。cos26cos6cos。
=(tan40-tan3。)+(tan30-tan28)+(tan2。-tan6)+tan0
=tan40
LL74mFT
所以tan----=y/3
6
故F=Z»+?(AGZ),从而f=?Z+g(A€Z)
由tan46=由,知cos26wO,cos。wO
由cos36w0,得---。根乃+一即,工2帆+1(帆£2)
62
31
故/=/%+耳且/02加+1Z)
13
即f=3左+g或f=6Z+2(keZ)
21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知函数y=/(x),xe。,若对于任意的实数伍ceD,/(«),f(b),f(c)都能构成三角形的三条边长,
则称函数y=/(x)为。上的“完美三角形函数”
⑴记"在。上的最大值、最小值分别为〃%),/(%).,试判断“2f(x).>f(x)”是
“y=/(x)为。上的“完美三角形函数"”的什么条件?不需要证明
(2)设向量/〃=(2ksinx,2cosx),”=(Gcosx,kcosx),若函数g(x)=〃?•〃一女+1为0,y上的''完美
三角形函数”,求实数人的取值范围;
⑶已知函数〃(x)=cosx为[0,句(。为正的实常数)上的“完美三角形函数二函数〃(x)=
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