上海市2023-2024学年高一年级下册5月月考试卷(含答案)

2023-2024学年上海市高一年级下学期

5月月考数学试卷

2024.5

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个

空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.已知集合A=[—3,4],6=(0,5),则AB=.

2.己知扇形的半径为2,圆心角为2弧度，则该扇形的面积为.

3.不等式立2..0的解集为.

2-x

4.函数y=tan的最小正周期为.

5.在平行四边形ABCD中，石为3C边上靠近点3的三等分点，AE=AAB+pAD,则的值为.

(1+(3—z)-

6.己知复数z=-----1:乙，为虚数单位，若z的模为20,实数”的值为______.

(1-2/)

7.方程log?(9'-4)=x+1的解x=.

8.已知复数z满足|z-1+2“=1,i为虚数单位，则|z|的最小值为.

9.若函数y=恸一3|-加-1有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是.

10.已知点4(3,4),将。4绕坐标原点。逆时针方向旋转;至。8,再将。8延长至OC,使OC=2O8,

则点C的坐标为.

11.已知正AABC的边长为2,ZVLBC所在平面内有一动点尸，满足同=1,则AP-BP的最小值为.

12.函数y=6sin2%+2$皿尤+4&©05》的最大值为.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一

个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.方程V—6x+a=0的一个根为x=3+i,其中i为虚数单位，则实数”的值为()

A.-10B.10C.6D.8

14.已知y=/(x)是定义在R上的偶函数，且当xw(-oo,0)时，"x)=f—/+1,则当xe(0,+8)时，

小)=()

A.x2—e*+1B.x2+e"+1C.—e"+1D.—x~+e'—1

1

15.已知0>0,顺次连接函数=J^sin69x(G>0)与g(x)=J^cos3r的任意三个相邻的交点都构成一

个等腰直角三角形，则切=()

717T一7T冗

A.—B.—C.—D.—

8642

---___---TT-2

16.己知a,。,e是平面向量，且e是单位向量，若非零向量。与e的夹角为一，向量b满足》-4e2+3=0,

4

则,一目+,一’的最小值是()

A.y/s—2B.—1C.2D.y[5

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必

要的步骤

17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

已知向量。与6的夹角为?，且W=2，W=3

(1)求囚―2@的值

(2)若(a+Z〃)_La,求实数k的值

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

已知复数4=a+4i,Z2=4+3i,i为虚数单位，其中。是实数

(1)若五是实数，求。的值

Z2

(2)若复数4云在复平面内对应的点在第二象限，求。的取值范围。

2

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

设AA8C三个内角A、B＞。所对的边分别为a、b、c,已知。=工，acosA=bcosB.

3

（1）求角3的大小；

（2）如图，在AABC内取一点P,使得依=2,过点P分别作直线B4、3C的垂线BW、PN,垂足分别是

M、N.设NPB4=a,求四边形的面积的最大值及此时a的值.

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）

在平面直角坐标系xQy中，以天轴的正半轴为始边作锐角a和钝角/，它们的终边分别与单位圆交于

4（%,凶）,3（%2，%）两点

3

(1)当％二W时’求cos2a的值

(2)当y=,y2=时，求角。+尸的值

(3)当y=Q时，记角e=求满足等式

sin0sin0sin0sin0

-----------------4---------------------------+------------------------+-----------=6的所有1的值

cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。

3

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

已知函数y=若对于任意的实数/(a),/(。),/(。)都能构成三角形的三条边长，

则称函数y=/(x)为。上的“完美三角形函数”

(1)记y=/(x)在。上的最大值、最小值分别为〃％)皿，/(%".，试判断是

“y=/(x)为。上的“完美三角形函数"”的什么条件？不需要证明

(2)设向量利=(2后sinx,2cos=(J5cosx,Acosx),若函数g(x)=，〃・“一k+l为0,y上的''完美

三角形函数”，求实数％的取值范围；

(3)已知函数〃(x)=cosx为[0,。](。为正的实常数)上的“完美三角形函数”。函数〃(x)=cosx,xe[0,。]

的图像上，是否存在不同的三个点A,民C,它们在以x轴为实轴，y轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别

为zi,z2,z3,满足ReZ]+Rez3=2Rez2,且Imz〕+Imz3=V3Imz,?若存在，请求出相应的复数zx,z2,z3,

若不存在，请说明理由。

2023-2024学年上海市高一年级下学期

5月月考数学试卷参考答案

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个

空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.已知集合A=|-3,4],8=(0,5),则AB=.

【答案】(0,4]

【解析】An6=(0,4]

2.已知扇形的半径为2,圆心角为2弧度，则该扇形的面积为.

【答案】4

【解析】根据扇形的弧长公式可得/=ar=2x2=4,

根据扇形的面积公式可得S='x2*4=4.

2

3.不等式上2..0的解集为.

2-x

4

【答案】[—3,2)

【解析】S..0,即言“。,

2-x

则(x+3)(x—2),,0且x-2/0,解得T,x<2，

故不等式的解集为[—3,2)

4.函数y=tan](■-的最小正周期为.

7T

【答案】-

2

TT7T

【解析】T=LF=—

-22

5.在平行四边形A8CD中，E为8c边上靠近点B的三等分点，AE=AAB+^AD,则初的值为.

【答案】-

3

【解析】如图，在平行四边形ABCD中，E为边上靠近点8的三等分点,

AE=AB+BE=AB+^BC=AB+^AD,S.AE=AAB+pAD,

根据平面向量基本定理得，2=l，〃=g

(l+miV(3-z)-

6.已知复数z=^----为虚数单位,若z的模为20,实数机的值为________________.

(1-2/)-

【答案】±3

|z|=20,.'.|z|=20

(1+〃”)3(3-i)1-3m2+3mi-m3

【解析】.•."]=207.方程

(1-202。-2炉

=>;«=±3

v

log3(9-4)=%+l^^x=.

【答案】logs4

5

【解析】log,(9'-4)=x+l.

.-.9v-4=3'+,

.,.(3*)2—”-4=0,

3V=4x=log,4,或3*=-l（舍）

8.已知复数z满足|z-l+2i|=l,i为虚数单位，则|z|的最小值为.

【答案】V5-1

【解析】复数z满足|z-l+2i|=l,则复平面内，复数z对应的点在以（1,-2）为圆心，以1为半径的圆上,

如图：

则|z|的最小值为b-1

9.若函数y=2'—3]一加一1有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是.

【答案】（一1,2）

【解析】由题意知有|2'—3|=m+1两个交点

函数的图像如图所示

则0v〃2+1<3=>—1v机v2

10.已知点A（3,4）,将Q4绕坐标原点。逆时针方向旋转;至OB,再将OB延长至OC,使OC=2OB,

则点C的坐标为.

【答案】（3-46,4+3百）

43

【解析】设。4的终边对应的角为a,sina=—,cosa=—，则的终边对应的角为

55

6

cr+—B=5cosa+—,5sina+—=

3II3；I3jJ

℃=208=（3-40,4+3百）

11.己知正AA6C的边长为2,A46c所在平面内有一动点P,满足「尸卜1,则ARBP的最小值为

【答案】[3-273,0]

【解析】以C为坐标原点，C4为x轴，过C与C4垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

C（0,0）,A（2,0）,5（l,6）,P（cosa,sina）（aG冗

0,

3

/.AP-BP=(cosa-2,sina).(cosa-1,sina-G)

=cos2a-3cosa+2+sin2a-Gsina

=3-2Gsin(a+3

八)]乃「42乃].(乃、<3,

a£0,一，.\aH—G-,—,sinccH—G—,1

L3j3133」I3JL2

3一2&sin(a+?)e[3—2百,o]

12.函数y=Gsin2x+2sinx+4百cosx的最大值为.

17

【答案】—

2

【解析】

7

y=百sin2%+2sinx+473cosx

=2>/3sinxcosx+25/3cosx+2sinx+2\/3cosx

=26cosx(1+sinx)+2&inx+百cosx)

/岳2+sinx[+4s

I2JmI3)

=_21s、i•nf^x+吟jif+4)si•n[rx+§吟

17

+4

T

当x=2版■+工(AwZ)时上式等号成立

6

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一

个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.方程/-6彳+。=0的一个根为x=3+i,其中i为虚数单位，则实数。的值为()

A.-10B.10C.6D.8

【答案】B

【解析】方程f-6x+“=0的一个根为x=3+i,

程d_6x+a=0的另一个根为3-Z,

故选：B.

14.已知y=/(x)是定义在R上的偶函数，且当x«—8,0)时，/(x)=f_e*+l,则当xw(0,+8)时，

〃x)=()

A.x2—e*+1B.+e，+1C.x?—e'+1D.—x-+e'—1

【答案】C

【解析】设x〉0,则T<0,则/(x)=/(—x)=x2-e-'+l

故选C

15.已知0>0,顺次连接函数/(x)=与g(x)=J^cosmr的任意三个相邻的交点都构成一

个等腰直角三角形，则。=()

717171ir

A.—B.—C.—D.一

8642

【答案】D

【解析】如图所示，在函数/(%)=遥sins(G>0)与g(x)=J^coss的交点中，

8

\AC\=T=—,

co

令&sin力工=遍coscox,即tanmx=1,

不妨取0X1=,cox2=?，

^\AC\=X-X,=—,

2CD

因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形,

101rr

则上|AC|=2,即|AC|===4,

2a)

所以。=工.

2

故选：D.

---TT-2

16.已知a,0,e是平面向量，且e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为工，向量b满足。-4e2+3=0,

4

则,一目+,一4的最小值是()

A.y/s-2B.5/5-1C.2D.,^5

【答案】B

【解析】b-4e-b+3=0=Z/-4e-b+3e2=0n(b-e)-(b-3e)=0,；.(b-e)_L(0-3e)

设OA=e,O8=b,OC=a,以。为原点，。4的方向为x轴正方向，建立如图所示的坐标系

由伍一@_1_0_3a,得点6在以0(2,0)为圆心，以1为半径的圆上

又非零向量。与e的夹角为7，设a的起点为原点，则a的终点在不含端点0的两条射线y=±x(x>0)±,

设C(x,-x)

9

卜—囚+卜―e卜的最小值为i

|cZ)|+1Ac|=J(尤-'1)-+『+-2)~+x~=-2x+1+，2x「-4x+4

表示点(x,0)到和(1,1)的距离之和的最小值的0倍

则最小值为&+(g+l)=也

故选B

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必

要的步骤

17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

己知向量。与B的夹角为三，且忖=2,什=3

(1)求加一2H的值

(2)若(。+攵求实数女的值

_4

【答案】(1)6；(2)一一

3

【解析】

(2)^a+kb^La,：.[a+kb^-a=0=>|a|+ka-b-0=>22+^x2x3xcosy=0

4

:.k=—

3

io

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知复数4=a+4i,Z2=4+3i,i为虚数单位，其中。是实数

7

（1）若二•是实数，求4的值

Z2

（2）若复数4公在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围。

【答案】⑴y:(2)(-00,-3)

【解析】

Z]a+4/(a+4i)(4—3i)4a+12+(16—3a)i

z24+3/(4+3/)(4-3z)25

因为与7是实数，则16—3。=0,，a=1廿6

z23

(2)Z0=(a+4i)(4—3i)=4a—3ai+16i+12=(4a+12)+(16—3a)i

a<—3

—4a+12<0

因为复数Z1Z2在复平面内对应的点在第二象限，则j]6_3a〉0=><16na<—3

a<——

I3

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

设AABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知C=工，acosA=bcosB.

3

（1）求角3的大小:

（2）如图，在AABC内取一点P,使得P3=2,过点P分别作直线54、的垂线PM、PN,垂足分别是

M.N.设“R4=a,求四边形的面积的最大值及此时a的值.

【答案】（1）（2）a=工时，四边形RM&V的面积取得最大值百.

36

【解析】

(1)由acosA=〃cos3及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

又Aw(0,7r),Bw(0/),

11

.•.有A=B或A+8=C,

2

又:C/，得A+3=红，与4+8=工矛盾，

332

A=8,

3

(2)由题设，得在RtAPMB中，PM=PBsinZPBM=2sina,

在RtAPNB中，PN=PBsmZPBN=PB-sin(y-NPBA)=2sin(^-a),ae(0,。)，

^VWtiPMBN=S&WBP+S"BN

=-BMMP+-BNPN

22

1__1_.7L、_7T、

=­x2cosax2sina+—x2cos(----a)x2sin(-----a)

2233

=sin2a+sin2(y-a)

/7zl①G•O'

=V3(—cos2a+—sin2a)

二石sin(2a+为，

6

a£(0,­)»

/.2a+-e(—,—),从而有sin(2a+K)£(［，1］,

66662

即Gsin(2a+—)e(—，x/3］，

62

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分)

在平面直角坐标系中，以无轴的正半轴为始边作锐角a和钝角夕，它们的终边分别与单位圆交于

两点

3

(1)当X]=g时，求cos"的值

12

（2）当弘=¥，%=常。时，求角a+夕的值

（3）当时，记角夕=，。。€/?）,求满足等式

―.里+一」叽+」in"卡包应=G的所有，的值

cos4。cos3。cos3。cos28cos2。cos8cos。

rdI

【答案】(I)—--；(2)—：(3)/=3%+上或r=6Z+2(ZeZ)

2542''

【解析】

7

(1)由题意知%=-,^=y,sina=—,cosa=cos2a=cos2a-sin2a=

25

3>/io275Vio

⑵-y=—,y------x,=---------

210,5IF

・•・sin”更sin加还,:心"毡,c°s£=一巫

510510

/.sin(a+^)=sin<7cos/?+sin/?cosa------X

5

0va<—,—<夕<7i、—<</+/?<—

力3兀

:.a+/3=-j

1]JI

(3)当y=一时、sina=—,故a=—

1226

sin0sin0sin0sin6

------------------------1--------------------------1------------------------1-----------

cos4。cos3。cos36cos26cos2。cos6cos。

sin(4。-3。)sin(3。一2。)sin(26-6)sin6

cos46cos3。cos36cos2。cos26cos6cos。

=(tan40-tan3。)+(tan30-tan28)+(tan2。-tan6)+tan0

=tan40

LL74mFT

所以tan----=y/3

6

故F=Z»+?(AGZ),从而f=?Z+g(A€Z)

由tan46=由，知cos26wO,cos。wO

由cos36w0,得---。根乃+一即，工2帆+1（帆£2）

62

31

故/=/%+耳且/02加+1Z)

13

即f=3左+g或f=6Z+2（keZ）

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

已知函数y=/(x),xe。，若对于任意的实数伍ceD,/(«),f(b),f(c)都能构成三角形的三条边长，

则称函数y=/(x)为。上的“完美三角形函数”

⑴记"在。上的最大值、最小值分别为〃%),/(%).,试判断“2f(x).>f(x)”是

“y=/(x)为。上的“完美三角形函数"”的什么条件？不需要证明

(2)设向量/〃=(2ksinx,2cosx),”=(Gcosx,kcosx),若函数g(x)=〃?•〃一女+1为0,y上的''完美

三角形函数”，求实数人的取值范围；

⑶已知函数〃(x)=cosx为[0,句(。为正的实常数)上的“完美三角形函数二函数〃(x)=