2024年新高考数学一轮复习-导数的概念及运算（学生版）

专题15导数的概念及运算

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.

2.通过函数图象，理解导数的几何意义.

3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

5.能求简单的复合函数（形如/'（ax+力）的导数.

【考点预测】

1.导数的概念

⑴如果当Ax-0时，平均变化率/无限趋近于一个确定的值，即善有极限，则称尸f（x）

在丫=刘处可导，并把这个确定的值叫做？=『（王）在x=刘处的导数（也称瞬时变化率）,记作

hm—[im---------------------

f（xo）或y'|户均,即，（苞）=A，­'A、=A-r.

（2）当x=x。时，/（刘）是一个唯一确定的数，当x变化时，y=f（x）就是x的函数，我们

称它为y=f（x）的导函数（简称导数），记为f（x）（或/）,即f（x）=/=

〃mF（x+Ax）一f（x）

^X

2.导数的几何意义

函数了=*王）在工=司处的导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点尸（刘，广（加）处的切线的斜

率,相应的切线方程为f（Xo）=F（荀）（X—Xo）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f（x）=c（。为常数）f'(x)=0

f^x)=xa((7eQ,。WO)f'(x)=ax~x

f(x)=sinxf'(x)=cosX

f(x)=COSXf'(x)=­sinx

f{x)=d(a>0且aWl)f'(分=a'ln0

广(x)=e+f'(X)=Q

f'(x)=^-

f(x)=logaX(a>0且aWl)

f'(x)=]

f(x)=lnx

X

4.导数的运算法则

若F（x）,g'（x）存在，则有:

[『(x)±g(x)r=f'(X)±g'(X)；

[f(x)g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x);

.f(x)一f'(x)g(x)—f(x)g'(x)

(g(x)WO)；

.g(x).

[c/(x)y=cf'(x).

5.复合函数的定义及其导数

(1)一般地，对于两个函数y=F(u)和〃=g(x),如果通过中间变量〃，y可以表示成X的函

数，那么称这个函数为函数y=F(u)与〃=g(x)的复合函数，记作z=f(g(x)).

⑵复合函数y=F(g(x))的导数和函数y=式。，〃=g(x)的导数间的关系为巾=

yJ•屋，即了对x的导数等于y对〃的导数与u对x的导数的乘积.

【常用结论】

1.V(3代表函数f(x)在X=X。处的导数值；g”是函数值『(X。)的导数，则(巴珀),

=0.

_1f’(x)

(f(x)WO).

f(X)"(X)『

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共

点.

4.函数y=f(x)的导数/(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方

向，其大小I—(x)|反映了变化的快慢，(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

【方法技巧】

1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求

导.

2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

4.求曲线在点尸(刘，㈤处的切线，则表明尸点是切点，只需求出函数在尸处的导数，然后

利用点斜式写出切线方程，若在该点户处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x

~~Xo.

5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标

不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.

6.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)

并解出参数：

⑴切点处的导数是切线的斜率；

(2)切点在切线上，故满足切线方程；

(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.

7.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

二、【题型归类】

【题型一】导数的概念

【典例1】已知函数力(x)=-4.9f+6.5x+10.

(1)计算从x=l到x=l+Ax的平均变化率，其中Ax的值为①2；②1；③0.1；@0.01.

(2)根据(1)中的计算，当Ax越来越小时，函数尔x)在区间［1,1+公制上的平均变化率有

怎样的变化趋势？

【典例2］利用导数的定义求函数f(x)=—f+3x在x=2处的导数.

【典例3］已知f（x）在益处的导数/（刘）=",求下列各式的值:

小、.f（Ao）—f（XLXX）

⑴lnim------------------;

A0乙LXX

/、r.f（Ab+AX）—f（Ao—△X）

（2）lim----------7-------------.

△L0△X

【题型二】导数的运算

【典例1】(多选)下列求导运算正确的是()

4,=_，

InX)xlnx

B.(/eO'=2x+e"

【典例2】函数/1(x)的导函数为(x),若+/(-/sinx,则f(瓦)=.

【典例3】已知函数F(x)=e*sinx+e*cosx,则f(2021)—f(0)等于()

A.e?021cos2021B.e21msin2021

e

C.~D.e

【题型三】求切线方程

9y—1

【典例1】曲线了=一=在点(一1,—3)处的切线方程为

【典例2】已知函数/'(x)=xlnx,若直线，过点(0,-1),并且与曲线y=『(x)相切，则

直线1的方程为.

【典例3】已知曲线尸召+京

(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程;

(2)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(3)求曲线过点P(2,4)的切线方程.

【题型四】求参数的值(范围)

【典例1】直线y="x+l与曲线f(x)=alnx+6相切于点户(1,2),则2a+6等于()

A.4B.3C.2D.1

17

【典例2］已知f(x)=lnx,g(x)=］岁+3+］(欣0),直线/与函数f(x),g(x)的图象都

相切，与/'(x)图象的切点为(1,/(D),则m=.

【典例3】过定点尸(1,e)作曲线y=ae'(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是

【题型五】导数与函数图象

【典例1】已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数尸/(x)的图象如

图所示，则该函数的图象是()

【典例2】已知尸f(x)是可导函数，如图，直线尸府+2是曲线尸f(x)在x=3处的切

线，令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数，则(3)=.

【典例3】已知尸f(x)是可导函数，如图，直线尸府+2是曲线尸f(x)在x=3处的切

线，令g(x)=xf(x),(x)是g(x)的导函数，则g，⑶等于()

A.-1B.0C.2D.4

【题型六】与两曲线的公切线有关的问题

【典例11已知函数f(x)=xlnx,g(x)=V+ax(aeR),直线1与f(x)的图象相切于点

2(1,0),若直线/与g(x)的图象也相切，则a等于()

A.0B.-1C.3D.—1或3

【典例2】若曲线G：尸加(a>0)与曲线处尸e”存在公共切线，则a的取值范围为.

【典例3］若f(x)=lnx与g(x)=x?+ax两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切

线，则a等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

三、【培优训练】

1、巧

【训I练一】若曲线y=］sinZx++cos—在/(荀，珀，B(xz,㈤两点处的切线互相垂直，

则|为一xz|的最小值为()

jiji2Ji

A.-B.-C.D.兀

［训练二］已知曲线G：y=e**®,C：y=x,若恰好存在两条直线71,0与G,G都相切，

则实数m的取值范围是.

【训练三】给出定义：设F(x)是函数尸/"(X)的导函数，产(x)是函数F(x)的导函数，

若方程1•〃(x)=0有实数解刘，则称点(刘，f(加)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)

=5x+4sinx—cosx的"拐点"是〃(刘，f(xo)),则点〃()

A.在直线y=-5x上

B.在直线y=5x上

C.在直线y=—4x上

D.在直线y=4x上

【训练四】已知函数/1(x)=|e'—11,水0,毛>0,函数F(x)的图象在点火不，『(E))和点

BQ,MxJ)处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,"两点，则黑的取值范围是

3

【训练五】已知函数/1(X)=X——.

X

⑴求曲线/"(X)过点(0,—3)的切线方程；

(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线尸x所围成的三角形的面积

为定值，并求此定值.

【训练六】若直线，与曲线C满足下列两个条件：⑴直线/在点尸(刘，为)处与曲线c相切;

(2)曲线C在点尸附近位于直线1的两侧，则称直线/在点尸处“切过”曲线C.下列命题正

确的是(写出所有正确命题的编号).

①直线，：y=0在点尸(0,0)处“切过”曲线ay=x

②直线，：X=—1在点尸(一1,0)处“切过”曲线ay=(x+l)2

③直线,：尸X在点尸(0,0)处“切过”曲线a尸sinx

④直线/：尸x在点尸(0,0)处“切过”曲线a尸tanx

⑤直线，：y=x—1在点尸(1,0)处“切过”曲线C：y=lnx

四、【强化测试】

【单选题】

1.下列求导运算正确的是()

A.(x+号'=1+A

B.(logzx)'=-;一-

xln2

C.(5?'=5.〕og5XD.(xcosx)'=-2xsinx

1---91riv

2.曲线f(x)=-------在点尸(1,f(D)处的切线，的方程为()

X

A.x+y—2=0B.2x+y—3=0

C.3x+y+2=0D.3x+y—4=0

3.已知函数f^x)=(才2+cosx,

则其导函数/1，(x)的图象大致是()

o

4.设点户是曲线尸步一乖叶耳上的任意一点，则曲线在点户处切线的倾斜角。的取值范

围为()

兀5兀ji

A.0,—U丁’“B.飞­,兀

一JIA「2兀5兀

U

“3TJ[—冗

5.已知函数/~(x)可导，贝ijlim'(2+2：；)—’(2)等于()

At-o2△X

A.f'(x)B.f'(2)

C._f(x)D.r(2)

6.如图，p=F(x)是可导函数，直线hy=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)

=xf{x},g'(x)是g(x)的导函数,

A.-1B.0

C.3D.4

7.在等比数列{4}中，a=2,、=4,函数f(x)=x=—&)•(♦—&).....(x—金)，则f(0)

=()

A.26B.29

C.212D.215

8.设曲线Gy=3y-2/-9/+4,在曲线。上一点〃(1,—4)处的切线记为/,则切线/

与曲线。的公共点个数为()

A.1B.2

C.3D.4

【多选题】

9.若函数Hx)的导函数/(x)的图象关于y轴对称，则Ax)的解析式可能为()

A.f{x)=3cosxB.f{x}=x+x

C.f(x)=x+~D.f{x)=ex+x

x

10.已知函数『(x)的图象如图，/(x)是『(x)的导函数，则下列结论正确的是()

A.f(3)>/(2)

B.f(3)</(2)

C.f(3)—f⑵>2(3)

D.y(3)-A2)<r(2)

11.已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在刘使得『(加=f'U),则称刘是f(x)的一

个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()

A.f{x)=xB.f{x)=o~x

C.f{x)=lnxD.f(^x)=tanx

9

12.已知曲线f(x)=-/-/+^-1上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大

于零，则实数3的取值可能为()

109

c--0-2

【填空题】

13.设函数f(x)在(0,+8)内可导，其导函数为F(x),且/1(Inx)=x+lnx,则/''⑴

14.若函数f(x)=x3+&—l)x—1的图象在点(一1,『(一1))处的切线平行于x轴，则2=

,切线方程为.

1Inv

15.已知曲线y=-+——在x=l处的切线1与直线2x+3y=0垂直，则实数a的值为

xa

16.定义方程