2024年新高考数学一轮复习-两角和与差的正弦余弦和正切（学生版）

专题26两角和与差的正弦、余弦和正切

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、

正切公式，了解它们的内在联系.

3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公

式不要求记忆).

【考点预测】

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin（q±£）=sinocos£±cos〃sin£.

cos（=cos。cos£±sinasin8.

tan。±tan£

tan（。±£）

1干tan。tan

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sin〃cosa.

cos2Q=cos：t—sir?a=2cos2〃一m—Zsir?a、

2tana

tan2a=一丁、

l—tana

3.函数_f（。）=asina+6cosQ（a,b为常数），可以化为f（吟=［才+）sin（a+

0）（其中tan0=号或f（a）=yja+l}•cos（a—0）（其中tan6=禾

【常用结论】

1.tana+tan£=tan（。±£）（iTtanatan£）.

1+cos2ci—

2.21cos2a

2.降幕公式:cosa=2：sina=---------

3.1+sin2a=(sina+cos^)2,

1—sin2a=(sina-cosa)2,

sinQ+cosa=@sin(a

【方法技巧】

1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用。，£的三角函数表示。±£

的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统

一角和角与角转换的目的.

2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公

式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

3.常用的拆角、配角技巧：2a=(a+£)+(a—£)；a=(a+£)—£=(a—£)+£；

u.+pci—p

£=--———--=（。+2£）—（a+£）；a—£=（a—7）+（%一£）；15°=45

-30。；»JI=了七JI一fTl'等\.

二、【题型归类】

【题型一】和差公式的直接应用

【典例1】已知。£（0,兀），且3cos2a—8cos。=5,则sin。=（）

亚

小21

c

B.D.9

--

333(n\1

【典例2】已知sina=-,a11)tan(n—则tan(a—£)的值为()

221111

A.——B.-C.-D.——

【典例3】已知。仁仔，口)，sina=雪.

(1)求sin(：+的值；

(2)求cosH^—2a)的值.

【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用

【典例1】在中，若tanAtan8=tanJ+tan6+1,则cos。的值为（）

B.f

1

cD1

2-

2

0,贝！Jsin(a+£)=

1

典例

知

31已n2q--

SI3

11

A

3-B.3-

22

C.D.

33

【题型三】三角函数公式中变“角”

【典例1]（多选）若tan[a+S|=24,贝M

亚

A.tana

J.U

C.tan2a=D.tan2a=23

53

【典例2】已知。£都是锐角，cos(。+£)=逐sin(。-£)=:则cos2a=

【题型四】三角函数公式中变“名”

【典例1】求值：1^20°°-Sin100岛「"an5。).

【典例2】求4sin20°+tan20°的值.

三、【培优训练】

【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以xnA

轴非负半轴为始边的锐角a与钝角£的终边与单位圆。分别交于4gZHTV

•x/5\/Mx

8两点，x轴的非负半轴与单位圆。交于点四已知见W=为-，点8\/

的纵坐标是、带历.

⑴求cos(a—B)的值;

(2)求2。一£的值.

JI

【训练二】已知X,片0yLsin(x+p)=2sin(x—y),则x—p的最大值为()

JIJIjiJI

A-B-TC-TD•百

JI

【训练三】已知。一£=豆,tana—tan£=3,则cos(a+£)的值为()

1

2-

Ac.

11

3-D.3-2

【训练四】已知函数/1(x)=sin(x+ej,xdR.

(1)求(一■的值；

⑵若cos夕=1,高，求《2夕一高的值.

【训练五】已知sina+cosa=邛士ae(0,sin(£一~^J=|,6G

⑴求sin2a和tan2a的值；

(2)求cos(a+2£)的值.

【训练六】设a，££[0,兀],且满足sinacos£—cosasin£=1,贝!Jsin(2。一

£)+sin(a—2£)的取值氾围为

四、【强化测试】

【单选题】

1.若sin。=^5cos(2兀一。)，则tan2。=()

A—亚R亚r—亚

332

cos150+sin15°,,,./

2.15。一sin5的值s的r()

cos

A.

3

C.

jcose/,八JI

3.已知而下=3。。$(2"+"),I0\<—,则sin29=()

C逑

L9邛

A/53

4-若.,£都是锐角，且cos0='sin(a+£)q,则cos£=()

77

c.D.

2525

6.则cosx+cos

AV3

•4

C1

•-

E4

知si

A.2B.3

C.4D.5

jiji(5兀、

8.已知a为第二象限角，且tana+tan—=2tanatan77—2,则sin4+工一等于

JL乙J.乙V.U，

)

VTo亚

A.B.

io10

37103^10

D.

1010

【多选题】

9.下面各式中，正确的是（）

JIJIJI

D.COS-=cosg—cos—

10.下列四个选项中，化简正确的是（）

乖一也

A.cos(-15—4

B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(15°-105°)=0

C.cos(ff-35°)cos(25°+a)+sin(。一35°)sin(25°+a)=cos[(a—35°)-(25

-coso

60

1

o0

Dsin4s6cos--

co742

11.已知函数〃数=s：n4x+*cos4;则下列说法正确的是（）

sin2才一33cos2x

A.F（x）的最小正周期为JI

B.『（x）的最大值为2

C.f（x）的值域为（—2,2）

D.F（x）的图象关于（一三，0）对称

12.下列结论正确的是（）

A.sin(a—£)sin(£—7)—cos(a—£)cos(7—£)=-cos(a—7)

3^/15sinx+3y[dcosx=3#sin(x+-^-

B.

XY

C.f{x}=sin-+cos5的最大值为2

D.tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1

【填空题】

13.sin(£)cos(丫-B)—cos(£+a)sin(y)=.

14.已知sin(5+aey>0),贝Ucos(°一彳)的值为.

15.tan25°—tan70°+tan70°tan25°=.

16.已知sin10°+屣os10°=2cos140°,则m=.

【解答题】

17.已矢口aefo,—J,tan4=亍求tan24和sin(口—的值.