天津市河东区2024年中考二模数学试题（解析版）

2024年河东区初中毕业生学业考试第二次模拟测试

数学试卷

本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分.第I卷为第1页至第3页，第II

卷为第4页至第8页.试卷满分120分.考试时间100分钟.

答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，

并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷

上无效.考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回.

祝你考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.计算：2一（一3）的结果是（）

A.5B.1C.-1D.-5

【答案】A

【解析】

【分析】把减法化为加法，即可求解。

详解】解：2—（―3）=2+3=5,

故选A.

【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键.

2.估计目的值在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据估算无理数大小的方法解答即可.

【详解】解：：49<57<64,

•••7<历<8，

故选：D.

3.如图是一个由7个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图.

【详解】解：从正面看得到左边有3个小方形，右边有1个小正方形,

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（

A.礼B.贤C.下D.士

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形就叫做轴对称图形；

【详解】解：根据轴对称的定义，只有“士”字符合轴对称的定义，

故选：D.

5.2024年2月27日，国务院新闻办发布会介绍京津冀协同发展十年来有关情况中提到，天津滨海新区改

革开放取得实效，2023年天津港集装箱吞吐量突破了2200万标箱，比2014年增长58%.将2200用科学

记数法可表示为（）

A.22xl06B.2.2xlO3C.2.2xl07D.22x10?

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成oxlO"的形式，其中1<|a|<10,〃为整

数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.

【详解】解:2200=2.2x1（）3,

故选：B.

6.计算cos?45°+tan30°sin60°的值等于（）

A1+百E0+6c

A.------------D.-----------------U.1U.Z

22

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了三角函数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，然后在乘法，最后算加法即可.

【详解】解：cos245°+tan30°sin60°

/耳+也走

12J32

11

=—1—

22

=1,

故选：C.

33x

7.计算/,2/小2的结果正确的是（）

（1）（X-1）

3333

A.——B.----C.-----D.----

x-11-xX+lX+1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，先把分子合并分解因式，然后约分即可得到答案.

33x

【详解】解:

3—3x

3(l-x)

3

二,

1-x

故选：B.

若点4(—3,%),5。,%)，。(2,—2)都在反比例函数丁=人的图象上，则%,为与—2的大小关系是

8.

X

()

A%<%<-2B.%<-2<%C.%<一2<%D.-2<%<当

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知点C的坐标求出反比例函数解析式，利用

解析式求出%、%，最后进行比较即可.

【详解】解：：点。(2,—2)都在反比例函数丁=月的图象上,

X

k=—4<0,

...反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大,

...点5(1,%)在第四象限，为=一4,

4(—3,%)在第二象限，

y2<-2<ylt

故选：C.

.若冉是方程入=。的两个根，则含

938%+7)

7788

A.-B.——C.一D.——

8877

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及己知式子的值，求代数式的值，根据一元二次

方程根与系数的关系得出9=7，占+々=8,然后代入代数式即可得出答案.

【详解】解：巧是方程/一8%+7=0的两个根，

.c7b—8

%[•%2~————/，%+九2二——-----o,

a1a1

_7

,,--------------——,

%!+x28

故选：A.

10.如图，在△AB。中，分别以点8,。为圆心，长为半径作弧，分别交于点E,F,连接即交

BD于点O,连接AO并延长，再以。为圆心，Q4长为半径作弧，交AO延长线于点C,连接CB,

CD,则可以判定四边形ABCD为平行四边形的依据是（）

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.一组对边平行且相等D.对角线互相平分

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的判定，关键是根据线段垂直平分线的作法得出30=0。，进而利用作图得

出Q4=8,利用平行四边形的判定解答即可.

【详解】解：由作图可知，BO=OC,OA=OD,

四边形ABC。是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

故选：D.

11.如图，把一ABC以点A为中心逆时针旋转得到VADE,点3,C的对应点分别是点。，E,且点E在

CD的延长线上，连接30,则下列结论一定正确的是（）

A

A.ZABD=ZADBB.ACBD=ZBDA

C.BD=CDD.AD//BC

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转得性质可得出A3=AD,AC=AE,ZABD=ZADB,

即可得出答案.

【详解】解：A.由旋转可知：AB=AD,：.ZABD=ZADB,故该选项符合题意；

B.与AD不一定平行，...NCBD与不一定相等，故该选项不符合题意；

C.与NDCB不一定相等，.'.B。与CD不一定相等，故该选项不符合题意；

D.由上述过程可知，与AD不一定平行，故该选项不符合题意；

故选：A.

12.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每

星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论：

①设每件涨价x元，则实际卖出（300-10力件；

②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元；

③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价57.5元时利润最大；

其中，正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题.

根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值.

【详解】解：•••每星期可以卖出300件，

又；每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价尤元，

.•.实际卖出（300—10力件.

故①正确；

设降价y元，那么卖出（300+20y）件,

根据题意可得：所获得的利润

=（300+20y）（60-40-y）=-20y2+100y+6000=—20（y—j+6125.

当y=g时，利润最大，售价为：60—2.5=57.5,利润最大为：6125.

故②错误；

设涨价X元，

由题意可得：所获利润=（300—10x）（60—40+%）=—10/+100%+6000=—10（%—5）2+6250

当x=5时，利润最大，售价为：60+5=65,利润最大为：6250.

综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大.

故③错误.

故答案选：B

第n卷

注意事项：

1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）.

2.本卷共13题，共84分.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.一个不透明的袋中装有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别.从中任意摸出1

个球是蓝球的概率为.

4

【答案】一

9

【解析】

【分析】先求出袋子中总的球数，再用蓝球的个数除以总的球数即可.

【详解】解：•••袋子中装有2个红球、3个绿球和4个蓝球，共有2+3+4=9个球，

4

从袋子中任意摸出1个球是蓝球的概率是一，

9

4

故答案为：一.

9

【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有“种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现

机种结果，那么事件A的概率尸（A）=一.

n

14.计算（2+四）（2-拒）的结果为.

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式直接计算即可.

【详解】解：(2+应12—0)=2?—(应『=4—2=2,

故答案为：2.

15.计算：10ab34-(-5aZ?)=.

【答案】—2/.

【解析】

【详解】解：原式=—2/，故答案为—2〃.

16.一次函数y=-x+7”的图象向上平移3个单位后，经过点(1,3)关于原点的对称点，则根的值为

【答案】-7

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数平移以及求关于原点对称的点，先求出(L3)关于原点的对称点(-1,-3),

由平移的性质得出y=—X+W+3,然后把(-1,-3)代入y=—x+m+3即可求出机的值.

【详解】解：点(1,3)关于原点的对称点为：

一次函数y=-x+7”的图象向上平移3个单位后变为：y=-x+m+3,

..•一次函数y=-x+m的图象向上平移3个单位后，经过点(-1,-3),

-3=一(-1)+7〃+3

解得：m=-H

故答案为：-7.

17.如图，E为平行四边形ABCD外一点，且满足NEDC=90。，DE=DC=4,AD=C，

ZDAB=60°.

(I)平行四边形ABC。的面积为；

(II)若点M,N分别在线段AB，CD上，连接MN,当时，连接£7欣，EN,EM+EN

的最小值为.

E

【答案】①.6②.回

【解析】

【分析】(I)过点。作DGLA5于点G.则NAGD=90。，求出NADG,由直角三角形的性质可得出

AG,由勾股定理求出。G,根据平行四边形的面积公式计算即可.

(II)作E关于CD的对称点E,,连接££',NE',把平移到NE"处，连接EE",E'E",过点

E”作匝的延长线与点H,则四边形为平行四边形，DE=DE'，EN=EM,

NE'=NE,证明四边形5cMN为平行四边形，则肱V=BC,由四边形为平行四边形，得出

DH,EH,E'H,由勾股定理求出H£‘，E'E",由EM=NE",EN=E'N可得出

EM+EN=NE"+E'N,最后由当E',E",N三点共线时，EM+EN=NE”+EN=E'E"可求出

EM+EN的最小值.

【详解】解：(I)过点。作OGLA5于点G,

ZADG900-ZDAB=30°,

/.AG=-AD=—,

22

/.DG=^AD2-AG~=-,

2

V四边形ABC。是平行四边形，

AB=CD=4，

3

•1•SABCD=AB-DG=4X-=6.

故答案为：6.

(II)作E关于CD的对称点笈，连接NE',把9/平移到NE”处，连接EE",E'E",过点

E"作石后的延长线与点H,如图，

则四边形儿为平行四边形，DE=DE'=4,E"N=EM,NEfNE,

EE'=DE+DE'=4+4=8,

:四边形ABC。为平行四边形，

.•.ABCD,AD=BC=6，

又,：MN〃:BC,

四边形BCMN为平行四边形,

•••MN=BC=下，

3

由（1）得:DG=-

2

AEG=4+-=—,

22

•/四边形为平行四边形,

11广

DH=EG=—,EE"=MN=6，

2

113

AEH=DH-DE=——4=-,

22

319

E'H=EE'+HE=8+-=—

,:EM=NE",EN=E'N,

EM+EN=NEn+E'N,

当E',E",N三点不共线时，NE"+E'N>E'E",

当E',E",N三点共线时，EM+EN=NE"+E'N=EE"=回，

故答案为：回.

【点睛】本题主要考查了含30。直角三角形的性质，平行四边形的判定以及性质，利用轴对称求最小值以及

勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以3。为直径的圆过格点4B,C.

(1)的面积等于；

(2)若点E,尸为格点，且满足麻，6D,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的切

线CC「并简要说明CG的位置是如何找到的(不要求证明).

(2)见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形的面积、圆的切线的定义、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点,

灵活运用所需知识成为解题的关键.

(1)根据方格可以确定三角形的底和高，然后根据三角形的面积公式计算即可解答；

(2)先确定圆心，然后再根据相似三角形和正切的定义、切线的定义即可解答.

【小问1详解】

解：如图：_ABC的面积为：一仓153=—

22

解:如图，在以A3为对角线的矩形内确定两对角线的交点S,连接CS并延长交格点R；在正上方取

两个小正方形，并确定其中心分别为«,。2,作直线交CS于。，。即为圆心；然后确定格点C.连

接G。，则即为所求；

证明：由图可知：3C=5,AC="+42=5,即5C=AC，

为矩形AKBT的对角线的交点，

AS=BS，

：.CS±AB

•••CS垂直平分AB,

由作图可知：垂直平分5C，

/.直线交CS的交点。为圆心，

设交BC、AC于加，N,

:.CMOsRNO,

.OMCM_2.5_5

,•示—诲―蓝—〒

：,OM=^-MN=-,

126

5

在RtZXCOM中，,OM1,

tanZOCM=---=上一6=一

CM2.53

取格点X,形成RtACXC[,tanZXCQ=^=-=tanZDCM,

XC3

ZXCCj=ZDCM,

VZOCM+ZQC5=90°,

NXCC]+NC[CB=90°,即QC±OC,

：.CG为圆。的切线.

三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

-1J①

19.解不等式组3,请结合题意填空，完成本题的解答.

l-x>-3(2)

(I)解不等式①，得;

(II)解不等式②，得;

(III)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：

II11IIIII»

-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为.

【答案】(I)x>-3；(II)x<4；(IID见解析；(W)-3<%<4

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集：

(I)把未知数的系数化为1，即可得到不等式的解集；

(II)先移项合并，再未知数的系数化为1即可得到不等式的解集；

(III)根据求出每一个不等式的解集，将解集表示在数轴上表示出来；

(IV)根据在数轴上表示出来不等式的解集，从而确定不等式组的解集.

【详解】解：(I)解不等式①，得xN-3,

故答案为：x>-3；

(II)解不等式②，得xW4,

故答案为：%<4；

(III)数轴表示如下所示：

-3-2-1012345

(IV)由数轴可知原不等式组的解集为-3<xW4,

故答案为：—3WxW4.

20.老年人的幸福与我国的幸福指数息息相关，为了了解老龄人口的状况，某社区开展了一次年龄(单

位：岁)调查，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②.

O6162636465词b岁

fflil图②

请根据统计图表中的信息，解答下列问题:

(1)求本次接受调查的老年人人数为.和m的值为

(2)求统计的这组老年人年龄数据的平均数、众数和中位数.

【答案】⑴50,24

(2)这组数据的平均数是63.2,众数是64,中位数64,

【解析】

【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的相关知识，以及平均数、众数和中位数的定义.

(1)根据条形统计图即可计算出总人数，用调查65岁的人数除以总人数即可求出m.

(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可.

【小问1详解】

解：本次接受调查的老年人人数为：9+10+5+14+12=50(人)

%=—xl00%=24%,即加=24,

/7150

故答案为:50,24.

【小问2详解】

观察条形统计图.

1

——x(61x9+62x10+63x5+64x14+65x12)=63.2

50

这组数据的平均数是63.2.

..•在这组数据中，64出现了14次，出现的次数最多,

这组数据的众数是64.

..•把这些数从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的25,26的数都是64,

64+640

则-------=64,

2

...这组数据中位数为64.

21.已知AB是:一。的直径，点C,点。在。上.

(1)如图①，若且C是弧的中点，AD与5C延长线交于点E,求的大小;

(2)如图②，过点。作二。的切线/,若切线/〃A6,且A5=10,BC=6,求弦CD的长.

【答案】(1)60°

⑵7近

【解析】

【分析】(1)连接OC、OD,如图，先根据圆心角、弧、弦的关系，由80=0。得到

ZBOC=ZCOD,再根据平行线的性质得到NBOC=NOCD,接着证明，OCD为等边三角形得到

ZCOD=6Q°,进而得到N6OC=NAOD=60。，然后判断△Q4。和△05。都为等边三角形得到

ZA=ZB=60°,从而得到/E的度数；

(2)连接OD,BD,过2点作明_LCD于X点，根据切线的性质得到。再根据平行线的性质

得到SLAB,即400=90。，利用圆周角定理得到NBCD=45°,根据等腰三角形的性质计算出

BD=5叵，CH=BH=3叵，然后利用勾股定理计算出，最后计算S+DH即可•

【小问1详解】

解：连接OC,OD,如下图

E

：c是弧的中点,

BC=CD，

：.ZBOC=NCOD,

•：CD//AB,

:./BOC=/OCD,

：.ZOCD=ZCOD,

OC=OD,

OC-OD=CD,

08为等边三角形，

ZC0D=60°,

/.ZBOC=ZAO£>=60。，

又=OB=OC,

.•.一OADQOBC都为的等边三角形，

ZA=ZB=60°,

AZE=60°.

【小问2详解】

连接0。，BD，过8点作阳LCD于”点，如图:

:直线/为（。切线,

/.OD±l,

•：I//AB,

：.OD±AB,

：.ZBOD=9U°,

：.ZBCD=-ZBOD=45°,BD=V2(9B=V2x-AB=V2X-X10=5A/2,

222

；.V为纺为等腰直角三角形,

/.CH=BH=—BC=—x6=3sf2,

22

在Rt_3Z血中,

DH=y]BD2-BH?=45可—（3句=472，

CD=CH+DH=3y/2+472=742-

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定

以及性质，切线的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线是解题的关键.

22.如图，/「6是两条南北向的笔直的公路，CD是公路乙上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路乙上

由南向北行驶.已知在A处测得桥头C在北偏东a方向上，继续行驶1500米后到达2处，测得桥头C在

北偏东67。方向上，桥头。在北偏东45。方向上.

（1）求线段A3的长和NCBD的度数；

（2）设两条公路之间的距离AE的长度为x（单位：机）.

①用含有x及a的式子表示线段EC的长；

②若a=37。，求大桥CD的长度（tan67。。2.36,tan37°«0.75,结果保留整数）.

【答案】（1）AB=1500.ZCBD=22°

x

(2)①米②950.31米

tan。

【解析】

【分析】本题主要考查了方向角，平行的性质以及解直角三角形的相关计算.

(1)根据题意可得出A5=1500,ZCB£>=67°-45°=22°.

(2)过点B作BHLCD于H.可得出四边形为矩形，AE=BH,=①由题意得出

AELEC,由平行线的性质可得出NS4C=NACE=a,解直角三角形即可得出

Y

EC=-----.N5CH=67。②由平行的性质可得出/BCH=67。，解尺，求出％,CH,再得出

tana

氏/△由㈤为等腰直角三角形，即可得出==最后根据线段得和差关系求出CD.

【小问1详解】

解：根据题意可得：AB=1500,

ZCB£>=67°-45°=22°;

【小问2详解】

过点B作明，CD于巴

.,.四边形应为矩形,

AAE=BH,AB=EH,

①由题意得：AEVEC,

XBAC—XACE=a,

在RtAEC中，ZACE=a,AE=x,

EC=,

tanatana

x

解石。的长为：——米.

tana

②：lA//12

ZBCH=67°,

在Rt_BHC,

Y

ZBCH=67°，CH=EC-HE=-------1500,

tan37°

AtanZBCH=—,

CH

即tan67°•|--——1500Ux,

Itan37°J

解得：x=1649.07米，

则S=698.76米，

在向BHD^,

•/ZHBD=90°-45°=45°,

BH=DH=AE,

：.CD^DH-CH=950.31,

即求大桥CD的长度为950.31.

23.已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地280km,丙地离甲地420km,一艘游轮从

甲地出发，先用了14h匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了7h到丙地；从丙地进行休整后，

返航回甲地.在返航途中，因天气影响匀速航行了10h后减速，继续匀速航行回到甲地.下面图中尤表示

时间，y表示游轮离甲地的距离.图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系.

（1）①填表:

游轮离开甲地的时间/

10152058

h

游轮离开甲地的距离/

—280——

km

②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______km/h；

③当48WxW78时，请直接写出游轮离甲地的距离j关于时间尤的函数解析式;

(2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为50km/h,求货轮追

上游轮时离甲地的距离是多少？(直接写出结果即可).

-30x+1860（48<x<58）

【答案】(1)①200；360；120；②20；③丁=<

-6x+468（58<%<78）

(2)货轮追上游轮时离甲地距离是400km

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的应用：

(1)①根据图象，用时间X速度=路程即可求解；

②用“路程一时间=速度”即可求解；

③分两种情况：当48WXW58时，当58<xW78时，根据图象求出函数解析式即可求解;

(2)根据题意列出方程可得货轮追上游轮时光=22,再列式计算即可;

能从图象中获取相关信息是解题的关键.

【小问1详解】

解：①游轮离开甲地10h,与甲地的距离为:

10义署=200（km）,

游轮离开甲地20h,与甲地的距离为:

280+（20-16）X4^~^0=360（km）,

游轮离开甲地58h,与甲地的距离为：120km,

故答案为：200；360；120；

答：游轮从乙地到丙地的速度为20km/h,

故答案为：20；

③当48WxW58时，

y=420——-——-（x-48）=-30x+1860,

■58-481）

当58<xW78时，

120

y=120------—（x-58）=-6x+468,

■78-5817

_-30x+1860（48<x<58）

1-6x+468（58<x<78）,

【小问2详解】

由题意得:

50(%-14)=280+4；；-(16),

解得：％=22,

50x(22-14)=400(km),

答：货轮追上游轮时离甲地的距离是400km.

24.将一个正方形纸片。钻C放置在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点4（3,0）,点尸在y轴正半轴上

（点尸不与点O,C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,并与边。4相交于点。，且

NOPQ=30。，点。的对应点。'落在第一象限.设OQ=t.

（1）填空：如图①，当/=1时，NO'QA的大小为，点。'的坐标为

（2）如图②，若折叠后重合部分为五边形，点C的对应点为C',O'Q,OC'分别与边A3,相交

于点。，E,F,试用含有r的式子表示O'E的长，并直接写出/的取值范围；

（3）求折叠后重合部分的面积的最大值，以及相应的/的值（请直接写出结果即可）.

【答案】（1）60°,#j

（2）OE="—25（2<3）

（3）当/=电±2时，折叠后重合部分的面积最大为9-

2

【解析】

【分析】（1）先根据折叠的性质得O'QA=60。，作O'/ZLOA,即可得出QO7/=30。，然后求出071和

OH即可解答；

（2）根据题意先表示QA=3—七再根据QA=gQE,表示QE,然后根据OZ>=O'Q—OZ>表示,

最后在含30。的直角三角形£OZ＞中表示O'E,再求出取值范围即可；

(3)求出不同f时的重合部分的面积表达式，利用函数表达式求出最大面积即可.

【小问1详解】

解：在中，•.•NOPQ=30°,

ZOQP=60°,

由折叠得△OPQaOPQ,

NPQO'=ZOQP=60°,O'Q=OQ=t,

ZO'QA=180°-ZOQP-/PQO'=60°

如图，过点。'作垂足为“，则NQO'〃=30°.

C-------------\B

oQHA；

3

:.QH=^O'Q=^t,Oh[=OQ+QH=T,

O'H=ylo'Q2-QH2=,卜一田邛八

122J

・•・当"1时，°j|，¥I-

【小问2详解】

解：：点4(3,0),

/.OA=3.

又二OQ=t,

/.QA=3—t.

同(1)知O'Q=OQ=心ZD(2A=60°,NO'=NCOQ=90。

:四边形。45c是正方形，

:.ZA=90°,

:.ZQDA^3Q0.

QD=2QA=2(3—t^=6—2t,

:.O'D=O'Q-QD=t-(6-2t)=3t-6.

在RtO'ED中，/EDO,=NQDA=30°,

:.ED=2O'E,0，E=半=8_26,

V3V3

(22J

3

・二当点。'与AB重合时，一z=3,解得：t=2.

2

***t的取值范围是2<I<3.

【小问3详解】

解：设才时的重合部分的面积为S

当0</<6时重叠部分如图①所示，则OQ=f,OP=y/3t>

S=-xOPxOQ=-x/3txt=—t\

22y2

当时如下图所示:

在RtZXOPQ中，ZOPQ=30°,

OP=y/3OQ=#）t,

PC=OP—OC=8—3,

CL==t—A/3,

由折叠易得.尸CL2APCZg二2CZ,

,QPCLFC,LPOQ

■■S=SPO-S—S,=S12sPCL

=goPxOQ_2x；xCPxCL=gxGx”（后_3）«—@=—#/+6-35

当/=2时，S最大为12—5月;

当2</<3时，如下图所示:

,•°-°PO'Q°PC'LuFC'LuEO'D一°POQ40PCL°.EO'D

=+6%—3^/5—go\ExO'D=+6/—3\/5—gx（3%—6）x[y[3t—2A

=-2舟+（6+6@/96

当f=—2=叵2时，S取得最大值9—3百.

2a2

综上所述，当『=且±2时，S取得最大值9-3班.

2

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含30。直角三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形

等知识点.理解重叠图形的变化规律是解题的关键.

25.已知抛物线y=ax?+6x+4（a,b,c为常数）.

（1）若直线/：x=2是抛物线的对称轴，且。=1.

①求抛物线与x轴的交点坐标；

②在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点4（3,3）,若动点尸在直线Q4下方的抛物线上，连结24、

PO,当一OQ4面积最大时，求点尸坐标；

（2）若b=-6a,抛物线过点巩―2,0）,与y轴交于点C,将点B绕点N（0,"）（〃＜（））顺时针旋转（旋

转角小于180。）得到点当点3'恰好落在抛物线上，且满足/仍以'+/3。'=180。时，求〃的值.

【答案】（1）①（2,0）②当一%面积最大时，此时

⑵-16

【解析】

【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另y=