浙江省宁波市2024届中考模拟冲刺卷数学试题含解析

浙江省宁波市第七中学2024学年中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.若一个正多边形的每个内角为150。，则这个正多边形的边数是（）

A.12B.11C.10D.9

2.如图，右侧立体图形的俯视图是（）

3.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为工，点

3

A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为（）

4.已知关于x的方程一=+a0==工恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（）

x-2xx-2x

A.1B.2C.3D.4

5.对于二次函数4下列说法正确的是（）

A.当x>0,y随x的增大而增大

B.当x=2时，y有最大值一3

C.图像的顶点坐标为（-2,-7）

D.图像与x轴有两个交点

6.在RtAABC中NC=90。，NA、ZB,NC的对边分别为a、b,c,c=3a,tanA的值为（）

1V2

A.-C.V2D.3

34

7.小颖随机抽样调查本校20名女同学所穿运动鞋尺码，并统计如表:

尺码/cm21.522.022.523.023.5

人数24383

学校附近的商店经理根据统计表决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋，商店经理的这一决定应用的统计量是

()

A.平均数B.加权平均数C.众数D.中位数

8.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有

14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()

D

88

8800

800

800

D

第1个图服第2个图形第3个图形第4个图也

A.56B.58C.63

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.一般地，当a、p为任意角时，sin(a+0)与sin(a-p)的值可以用下面的公式求得：sin(a+p)=sina*cosp+cosa»sinp；

sin(a-B)=sina»cosB-cosa,sinB.例如sin90°=sin(60°+30°)=sin60°*cos300+cos600*sin30°=——x^^-+—x—=1.类

2222

似地，可以求得sinl5。的值是

12.比较大小：4历(填入“〉”或"V”号)

13.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1,5,则点C的坐标为

B

cl金

14.分解因式：a?—

15.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31。，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米.（结果

保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601）

16.方程二7=1的解是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查

的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列

问题：

扇颁榴副统十图

（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”

程度的总人数.

18.（8分）为了奖励优秀班集体，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116

元，购买3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元?若学校购买5副乒乓球

拍和3副羽毛球拍,一共应支出多少元？

19.（8分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图，某天我国一艘海

监船巡航到A港口正西方的3处时，发现在5的北偏东60。方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿C4方向

行驶，C点在A港口的北偏东30。方向上，海监船向4港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在。处

成功拦截可疑船只，此时。点与5点的距离为750海里.

(1)求B点到直线CA的距离；

(2)执法船从A到。航行了多少海里？(结果保留根号)

20.(8分)在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹.例如：动点P的坐标满

足(m,m-1),所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x-1的图象.即点P的轨

迹就是直线y=x-1.

(1)若m、n满足等式mn-m=6,贝！|(m,n-1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是；

(2)若点P(x,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹；

1,

(3)若抛物线y=-V上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且*4),设线段MN的中点为Q,求点Q到x轴

4

的最短距离.

21.(8分)(1)计算：(一；)一】+旧-(n-2018)0-4cos30°

3x>4(x-1)

(2)解不等式组：°x-2,并把它的解集在数轴上表示出来.

2-x<------

22.(10分)为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋，投放，其中A类指废电池,过期药品等有

毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料，废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋

垃圾不同类.直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.

23.(12分)我市某学校在“行读石鼓阁”研学活动中，参观了我市中华石鼓园，石鼓阁是宝鸡城市新地标.建筑面积

7200平方米，为我国西北第一高阁.秦汉高台门阙的建筑风格，追求稳定之中的飞扬灵动，深厚之中的巧妙组合，使

景观功能和标志功能融为一体.小亮想知道石鼓阁的高是多少，他和同学李梅对石鼓阁进行测量.测量方案如下：如

图，李梅在小亮和“石鼓阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应

位置为点C,镜子不动，李梅看着镜面上的标记，她来回走动，走到点D时，看到“石鼓阁”顶端点A在镜面中的像与

镜面上的标记重合，这时，测得李梅眼睛与地面的高度ED=1.6米，CD=2.2米，然后，在阳光下，小亮从D点沿DM

方向走了29.4米,此时“石鼓阁”影子与小亮的影子顶端恰好重合,测得小亮身高1.7米，影长FH=3.4米.已知AB±BM,

ED±BM,GF±BM,其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“石鼓阁”

的高AB的长度.

BCDFHM

24.为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,

调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）.

根据上述信息，解答下列各题：

（1）该班级女生人数是,女生收看“两会”新闻次数的中位数是;

（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对

某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生人数；

（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.

统计量平均数（次）中位数（次）众数（次）方差・・・

该班级男生3342・・・

根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解题分析】

根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角=180。-150。=30。,再根据多边形外角和为360

度即可求出边数.

【题目详解】

•.•一个正多边形的每个内角为150°,

，这个正多边形的每个外角=180。-150°=30°,

,这个正多边形的边数=吧=1.

30

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为360度以及正多边形的性质.

2、A

【解题分析】

试题分析：从上边看立体图形得到俯视图即可得右侧立体图形的俯视图是|一|一口，故选A.

考点：简单组合体的三视图.

3、A

【解题分析】

•.•正方形与正方形8EFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为g,

•A。」

••=-9

BG3

VBG=6,

：.AD=BC=29

•:AD〃BG,

:・/\OADs/\OBG,

・0A-1

••=一，

OB3

•0A-1

"2+OA~3'

解得：OA=1,二08=3,

点坐标为：(3,2),

故选A.

4、C

【解题分析】

先将原方程变形，转化为整式方程后得2x?-3x+(3-a)=1①.由于原方程只有一个实数根，因此，方程①的根有两种

情况：(1)方程①有两个相等的实数根，此二等根使x(x-2)(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使x

(x-2)=1,另外一根使x(x-2)针对每一种情况，分别求出a的值及对应的原方程的根.

【题目详解】

去分母，将原方程两边同乘x(x-2),整理得2X2-3X+(3-a)=1.①

方程①的根的情况有两种：

(1)方程①有两个相等的实数根，即4=9-3x2(3-a)=1.

解得a==23.

O

2373

当2=/时，解方程2X2-3X+(--+3)=1,得X1=X2=：.

824

(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为1或2.

(i)当x=l时，代入①式得3-a=l,即a=3.

当a=3时，解方程2x2-3x=l,x(2x-3)=1,xi=l或X2=1.4.

而xi=l是增根，即这时方程①的另一个根是x=L4.它不使分母为零，确是原方程的唯一根.

(ii)当x=2时，代入①式，得2x3-2x3+(3-a)=1,即a=5.

当a=5时，解方程2x2-3x-2=1,xi=2,X2=-；.

xi是增根，故乂=-g为方程的唯一实根；

因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是三23,3,5共3个.

O

故选C.

【题目点拨】

考查了分式方程的解法及增根问题.由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母的一元二次方程，所以要分情况进

行讨论.理解分式方程产生增根的原因及一元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键.

5、B

【解题分析】

11

二次函数y=——x92+x-4=——(%-2)2-3,

-44

所以二次函数的开口向下，当x<2,y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为一，选项B正确；

顶点坐标为(2,-3),选项C错误；

顶点坐标为(2,-3),抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，

故答案选B.

考点：二次函数的性质.

6、B

【解题分析】

根据勾股定理和三角函数即可解答.

【题目详解】

解：已知在RtAABC中NC=90。，NA、ZB,NC的对边分别为a、b、c,c=3a,

设a=x,则c=3x,b=加尤?一九2=2拒x.

即tanA=--j=—=.

2V2x4

故选B.

【题目点拨】

本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键.

7、C

【解题分析】

根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数.

【题目详解】

解：根据商店经理统计表决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋，就说明穿23.0cm的女式运动鞋的最多，

则商店经理的这一决定应用的统计量是这组数据的众数.

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的平均数、中位数、

众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.

8、B

【解题分析】

试题分析：第一个图形的小圆数量=卜2+2=4；第二个图形的小圆数量=2x3+2=8；第三个图形的小圆数量=3x4+2=14；

则第n个图形的小圆数量=n(n+l)+2个，则第七个图形的小圆数量=7x8+2=58个.

考点：规律题

9、C

【解题分析】

利用正方体及其表面展开图的特点解题.

【题目详解】

解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形.

10、A

【解题分析】

解：底面半径为2,底面周长=4兀，侧面积=2'4型4=8兀，故选A.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11A/6-^2

11>-----------------•

4

【解题分析】

试题分析：sinl5°=sin(60°-45°)=sin60°»cos450-cos60°»sin45°=^-X---x—=.故答案为屈一叵.

222244

考点：特殊角的三角函数值；新定义.

12、>

【解题分析】

试题解析：•••丽〈其

••.4<V17.

考点：实数的大小比较.

【题目详解】

请在此输入详解！

13、(-73,1)

【解题分析】

如图作AF_Lx轴于F,CE_Lx轴于E.

•••四边形ABCD是正方形，

/.OA=OC,ZAOC=90°,

VZCOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

/.ZCOE=ZOAF,

在^COE和AOAF中，

NCEO=NARO=90°

<ZCOE=ZOAF,

OC^OA

.,.△COE四△OAF,

/.CE=OF,OE=AF,

VA(1,g),

.\CE=OF=1,OE=AF=6，

.••点c坐标(-5i),

故答案为(Y，i).

点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标

时，需要加上恰当的符号.

14、a{a+b){a—b)

【解题分析】

先提取公因式。，再利用平方差公式分解因式即可.

【题目详解】

a-ab~=a[cr-Z?2)=+/?)(«-/7)

故答案为：a(a+bXa-b).

【题目点拨】

本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题

的关键.

15、6.2

【解题分析】

根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.

【题目详解】

解：在R3ABC中，

VZACB=90°,

/.BC=AB«sinZBAC=12xO.515=6.2（米），

答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.

故答案为：6.2.

【题目点拨】

本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结

合的思想解答.

16、x=3

【解题分析】

去分母得：x-1-2,

解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解，

故答案为3.

【题目点拨】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解.去分母后解出的

结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）60,90；⑵见解析;（3）300人

【解题分析】

（D由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应

扇形的圆心角；

（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；

（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案.

【题目详解】

解：（1）•.•了解很少的有30人，占50%,

•••接受问卷调查的学生共有：304-50%=60（人）；

二扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：x360°=90°

60;

故答案为60,90；

(2)60-15-30-10=5；

补全条形统计图得:

翩前十图

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人.

【题目点拨】

本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的相关知识点.

18、（1）一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元（2）共320元.

【解题分析】

整体分析:

（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，根据“购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3幅

乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元”列方程组求解；（2）由（1）中求出的乒乓球拍和羽毛球拍的单价求解.

解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元,

2x+y=116

由题意得，＜

3x+2y=204*

x=28

解得：

y=60

答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元.

(2)5x28+3x60=320元

答：购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍共320元.

19、（1）3点到直线CA的距离是75海里；（2）执法船从A到O航行了（75-256）海里.

【解题分析】

（1）过点B作交CA的延长线于点77,根据三角函数可求377的长;

(2)根据勾股定理可求OH,在中，根据三角函数可求A",进一步得到A。的长.

【题目详解】

解：(1)过点B作BHYCA交CA的延长线于点H,

ZMBC=60°,

AZCBA=30°,

；NMW=30。，

：.ZBAC^120°,

5c4=180。-ABAC-ZCBA=3Q°,

.,.BH=BCxsinZBCA=150x-=75(海里).

2―

答：5点到直线CA的距离是75海里；

(2),:BD=756海里，BH=75海里，

:.DH=飞BD。-BH。=75(海里)，

VZBAH=180°-N5AC=60。，

BH

在R3A3“中，tanZBAH=——=，

AH

:.AH=25瓜

：.AD=DH-AH=(75-2573)(海里).

答：执法船从A到O航行了(75-25,海里.

【题目点拨】

本题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用-方向角问题.能合理构造直角三角形，并利用方向角求得三角

形内角的大小是解决此题的关键.

20、(1)y=~；(2)y=-x2；(3)点Q到x轴的最短距离为L

x4

【解题分析】

(1)先判断出m(n-1)=6,进而得出结论；

(2)先求出点P到点A的距离和点P到直线y=-1的距离建立方程即可得出结论;

(3)设出点M,N的坐标，进而得出点Q的坐标，利用MN=a,得出16(左？+1)卜？216,即可得出结论.

【题目详解】

(1)设m=x,n-l=y,

Vmn-m=6,

.•.m(n-1)=6,

:.xy=6,

"=9,

X

(m,n-1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是y=9,

x

故答案为：y=—,；

x

(2).•.点P(x,y)到点A(0,1),

...点P(x,y)到点A(0,1)的距离的平方为x?+(y-1)%

•.•点P(x,y)到直线y=-1的距离的平方为(y+1)2,

•.•点P(x,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=-l的」距离相等,

.,.x2+(y-1)2=(y+1)2,

12

(3)设直线MN的解析式为y=kx+b,M(xi,yi),N(x2,yz),

二线段MN的中点为Q的纵坐标为止

2

1,,

/.—x2=kx+b,

4

x2-4kx-4b=0,

/.Xi+X2=4k,xiX2=-4b,

2

:.%+人+仇+b)=g[左+x2)+2b~^=2k+b.

:・MN?=(%—%2)+(%—%)—%2)=("+1)[(再+%2)—4%%2〕，

=16(^2+1)(^2+Z?)>16

1

・・2

.k+b>F+l

=左2+左2+62左2+^_=(左2—1+—122—1=1

242+1Ik2+1)

，点Q到x轴的最短距离为1.

【题目点拨】

此题是二次函数综合题，主要考查了点的轨迹的定义，两点间的距离公式，中点坐标公式公式，根与系数的关系，确

定出16(厂+1)(公+外>16是解本题的关键.

21、(l)-3;(2)2<x<4.

【解题分析】

分析：

(1)代入30。角的余弦函数值，结合零指数塞、负整数指数塞的意义及二次根式的相关运算法则计算即可；

(2)按照解一元一次不等式组的一般步骤解答，并把解集规范的表示到数轴上即可.

(1)原式=(—g]+712-(TT-2018)°-4cos30°

=-3.

3x>4(x-l)@

(2)

2r〈匚x—2②

L3

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x>2,

不等式组的解集为：2Wx<4

不等式组的解集在数轴上表示：

点睛：熟记零指数塞的意义：a°=l(aw0),ap=^-(a/0,0为正整数)即30。角的余弦函数值是本题解题的

0P

关键.

12

22、(1)—(2)—.

33

【解题分析】

(1)根据总共三种，A只有一种可直接求概率；

（2）列出其树状图，然后求出能出现的所有可能，及符合条件的可能，根据概率公式求解即可.

【题目详解】

解：（1）甲投放的垃圾恰好是A类的概率是

⑵列出树状图如图所示：

由图可知，共有18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种.

122

所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）==三.

；1783

2

即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是

23、“石鼓阁”的高AB的长度为56m.

【解题分析】

根据题意得NABC=NEDC=90。，NABM=NGFH=90。，再根据反射定律可知：ZACB=ZECD,贝!ABCs/\EDC,

根据相似三角形的性质可得型，再根据NAHB=NGHF,可证△ABHs/\GFH,同理得必=竺，代入数

BCDCBHFH

值计算即可得出结论.

【题目详解】

由题意可得：ZABC=ZEDC=90°,ZABM=ZGFH=90°,

由反射定律可知：NACB=NECD,

贝山ABC^AEDC,

ABED

BCDC

anAB1.6

BC2.2

,/ZAHB=ZGHF,

.,.△ABH^AGFH