2024年山东省济宁市任城区中考数学一模试卷+答案解析

2024年山东省济宁市任城区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.如果在检测一批足球时，随机抽取了4个

足球进行检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，最接

近标准的是（）

2.今天是父亲节，小东同学准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装的主视图如图所示,

则该礼物的外包装不可能是（）

A.长方体B.正方体C.圆柱D.三棱锥

3.卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场.世界杯之后，将

有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，

170000这个数用科学记数法表示为（）

A.（）.17X1（户B.1.7Xl（rC.17.10*D.1,7X1（户

4.下列运算正确的是（）

A.B.（J+=a，

C.|«-5『二/+产D.”『二/

5.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形/8C,其中」3b

\li（-47，ii（'，则高/。约为I结果取整数，参考数据:

sin370,60-caBSFaUN），）

A.15cmB.16cmC.18cmD.20cm

6.中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问

人与车各几何.译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人

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共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车，则下列符合题意的方程

是()

A."+2"9B.J-

3232

C.31(/-21-2ti-ftD.3(。+2)=2r/-!•

7.如图，EF、CD是•。的两条直径，/是劣弧市的中点，若.」」，则

NCLM的度数是()

A.

B.

C.53

D.,

8.如图，在；-I/*'中，"VD-MT,40=3,-LBD=DEEC

点厂是边的中点，则〃/•()

55

A.B.C.2D.1

I2

9.如图，矩形/OC3的两边。C,CU分别位于x轴，y轴上，点8的坐标为

","5),。是48边上的一点，将」沿直线。。翻折，使/点恰好

落在对角线。2上的点E处，若点E在反比例函数“，⑴的图象上，

X

则人值为()

A.：；

B.)

C.12

D.K

10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中*一组同心圆的圆心为坐标原点。，它们的半径分别为1,2,3,…，

按照“加1”依次递增；一组平行线，％,/「人，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1,其中人

与y轴重合.若半径为2的圆与L在第一象限内交于点八，半径为3的圆与在第一象限内交于点八…，半

径为“，1的圆与1在第一象限内交于点儿，则点八的坐标为1〃为正整数鼠)

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到某班40位

同学每天睡眠时间I单位：小时।如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

12.分解因式：.；/-2U_.

13.若关于x的一元二次方程G1L,---。有一个根是/1,则。的值为.

14.图1是第七届国际数学教育大会的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.

作菱形CDER使点。，瓦尸分别在边OCOBBC上，过点E作EHL48于点当A8BC>Z.BCK.小，

15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算

1小「，时，如图，在〃中,"'一,“，_必”,延长C3使

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1H）-AH，连接/D,得」）—1T，所以「，“「，-、:L类比这

3

种方法，计算的值为.

三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.।本小题6分I

先化简，再求值：H'I其中。从I,0,1,2中取一个合适的数代入求值.

。一1。・一a

17.।本小题7分।

高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以启智增慧，拓展视野.为了解学生寒假阅读情况，开学初学

校进行了问卷调查，并对部分学生假期2W天।的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅

读的总时间为“小时阅读总时间分为四个类别：,//12t-2li,Ci2l<t-,

/儿，,巾“，将分类结果制成两幅统计图I尚不完整根据以上信息，回答下列问题：

M请补全条形统计图；

②扇形统计图中。的值为,圆心角，的度数为;

.L若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？

U政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”

竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率.

18.।本小题7分।

如图，在中，ZC=9（F>AC12.

"请用无刻度的直尺和圆规在边3c上求作一点。，使得点。到边/C的距离相等I保留作图痕迹,

不写作法）；

」在II，所作的图形中，过点。作〃/1/；于点£.

①求证：4£=4C；

②若CO=A，S-AHD-30,求BE的长.

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c

19.।本小题8分I

某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价

比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元.

1求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？

「甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过

2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最

大利润为多少元?

20.本小题8分I

如图，48是•”的直径，E为•。上的一点，,尸的平分线交•。于点C,过点。的直线交加的延长

线于点P交的延长线于点/).且」’1-CBD.

求证：PC为,”的切线;

(2)若尸C=2/56()，PB-12-求•”的半径及8。的长.

21.।本小题9分)

【问题情境】：如图1,点£为正方形内一点，'E_2，Hli,Alliyi,将直角三角形

A8E绕点/逆时针方向旋转，।度I”•，＞-171点2、E的对应点分别为点*、/

【问题解决】：

I，如图2,在旋转的过程中，点厅落在了/。上，求此时一打的长；

⑵若c_!M，如图3,得到.1/"此时与。重合),延长8E交8'£于点尸,

①试判断四边形b的形状，并说明理由；

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②连接CE,求CE的长；

,I在直角三角形N3E绕点/逆时针方向旋转过程中，直接写出线段「广.长度的取值范围.

图2图3

已知抛物线”-自+，山与X轴交于却2.Ill,两点，与y轴交于点C（）.-；我

求抛物线的表达式;

」如图1,在对称轴上是否存在点。，使,〃是以2C为直角边的直角三角形？若存在，请求出点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

，，如图2,点P在直线下方的抛物线上，连接/P交2c于点当I'：；最大时，请直接写出点P的坐

AM

标.

图2

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意可得各数的绝对值分别为：_>；,“i，Iu,「,，

,0r>I<1'2；31,

・最接近标准的是

故选：B

根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可.

本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：根据主视图可知，只有。选项不可能.

故选：/».

根据主视图即可判断出答案.

本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图的定义是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：l；ni..I,7山

故选：B

科学记数法的表示形式为W的形式，其中1W，〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值山时，〃是正数；当原数

的绝对值,1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“•1H的形式，其中1<|u|-10,〃为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：，「…..:,,1;/错误；

.r•.I/1;B错误；

|*i-6|*=•2〃/,;C错误；

(a5)*=D正确；

故选：”

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根据同底数幕的乘法法则，完全平方公式，幕的乘方公式进行运算即可；

本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幕的乘法，幕的乘方和积的乘方，完全平方公式是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：,ABACrAD1BC>

ill)}H('

2'r

在HrI"/，中，.37，

,AD=HD-tan27=2(»x0.75:sI5|nn),

〔高AD约为15c%,

故选：A

先利用等腰三角形的三线合一性质可得』，，…，然后在RtI“。中，利用锐角三角函数的定义进行

解答即可.

本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解:由题意可得，3(w—21=2y+9.

故选：「

根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量

关系，列出方程.

7.【答案】C

【解析】解：如下图，连接CM,

.1是劣弧市的中点,

即弧弧E4,

DOA

•/Z.EOD=32

第8页，共22页

一，IX>]I()\j|SII-11)1)71,

onox.

1

ODAZ().\n21MI-./UMIS3,

即NCD4=5T.

故选：(

首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得.〃(八一71，再根据等腰三角形”等

边对等角”的性质求解即可.

本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并

灵活运用是解题关键.

8.【答案】A

【解析】解：<AI)，Al)I,U,I,

/><,\i-b'\：1•I

■,DE=EC，DE+EC=DC=5>

1)1：-1：('-AE-»

1H)点厂是45边的中点，

-1…5

・,.DF=-AE=二.

24

故选：A.

先在直角(\D中利用勾股定理求出1)(5,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出

1/最后利用三角形的中位线定理求出“/'.1/.\

224

本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定

理与性质是解题的关键.

9.【答案】C

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【解析】解：过E点作EF_LOC于日

由条件可知：（）£OA（7/"'，G，H~TH2>»-.

*3

所以EF3,OF=4,

则E点坐标为（t3）

设反比例函数的解析式是“，'

X

则有A=-|X：｛=-12

故选：（,.

此题要求反比例函数的解析式，只需求得点£的坐标.根据点2的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据

锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解.

主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式.本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合

应用知识的能力.

10.【答案】B

【解析】解：连接（〃,，，八、/‘、，'与x轴分别交于$、1、，，如图所示:

在HrNMi-中，(J.%=!,(>/,(2，

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.10一\。片'at；-\2-'-I--v3>

同理：I/'\小三」一一；，ii/1,V>3-\］，……，

•/'的坐标为II.\」「，4的坐标为I?\：「，H的坐标为|，\7”........,

…按照此规律可得点〃的坐标是\t1<1”「一即-

故选：/),

连，〃1，(〃"(〃1，/、1>,/」与X轴分别交于I、1、X，在的(),1|八中，("：=I,an2,

由勾股定理得出、(“>()A；、.|，同理：,1/；-、疗，A”,v7>……，得出"的坐标为

(1.V3).月的坐标为12.、-“，儿的坐标为13.、，，……，得出规律，即可得出结果.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关

键.

11.【答案］

【解析】解：【1小时

10

即该班级学生每天的平均睡眠时间是1小时.

故答案为：。】

根据加权平均数的公式计算即可.

本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键.

12.【答案】5"+2)"-2)

【解析】【分析】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

先提取公因式5,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】

解：；「

5|r*-Il,

・5"+2)(r-2).

故答案为",L,

13.【答案】1

第H页，共22页

【解析】解：把I代入5“一)，得

〃一1♦M〃—

解得：〃।二1,〃二1,

n1八)，

故答案是：1.

把/I代入已知方程，列出关于。的新方程，通过解新方程求得〃的值即可.

本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程.

14.【答案】v2

【解析】解：；四边形CDEF是菱形，1)12.

(n/)/('In2，1/〃/，(nii,

上-9n,一〃(“._：”)，

(>i>-3〃।，<)/\,(/>/.八3，

(()-CD-DO-6,

-：，，=“=\3/JC=3v3>

一I'Hi>

.1()vO/rVPviT-!)3\2，

ZBEf=r£BOC=30，

in'

2

EHLAB，

iHOh

H.\O,

EHBE

OA=OB'

EHC

••初一荻

EH二、2，

故答案为：v2

根据菱形的性质得到，1/./.■/1!-1,<Im,<i>//,根据直角三角形的性质得到

第12页，共22页

<>/)2!>Ei.oi\：\i)i人t，求得「(，(1)>no，,，根据勾股定理和相似三角形的性质

即可得到结论.

本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质

是解题的关键.

15.【答案】、曰_J

【解析】解：如图，在等腰直角「中，/C,延长C2至点D,使得.“D，则，"D

CD-CB+BD-CB+W-1-v2>

tan22.5。=tanD=1w二一尸一By/2—1.

CDl+收(1+y/2)(l-V2)

故答案为：y/2-l.

在等腰直角中，「'hl,延长C3至点。，使得.131"),则,〃⑺"设.1(1，求

出CD,可得结论.

本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用

特殊直角三角形解决问题.

16.【答案】解：。

a—1a~—a

a—1—1a(a―1)

a-1(吁2尸

a-2a(a—1)

a-1(a—21

/Z-2

1-II,iiJ■H,

axil,1,2,

第13页，共22页

一n可以为1，

当“I时，原式

-1-23

【解析】先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法，再从1,0,1,2中取一个使得原分式有意义的

值代入化简后的式子计算即可.

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

17.【答案】20144

【解析】解：1I本次抽样的学生人数为：6：W，W.人，，

，,组的人数为：•皿3:人，，

补全条形统计图如下：

四种类别的人数条形统计图

Til组所占的百分比为：〃,13.w.11川,，一,,

,a-20，

圆心角/的度数为：>1-IH,..U.IIIII,

故答案为：20,I11；

I3I2IMMIx(20'(♦3II'<)=KMNK名),

答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名;

L画树状图如下：

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，

.恰好选中甲和乙的概率为；-1.

126

I，由D组的人数和百分比即可求出样本容量，即可解决问题；

⑵由/组的人数即可求出/组所占的百分比，再由”人|乘以C组所占的百分比即可求出对应的圆心角度

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数；

I3i由该校学生人数乘以寒假阅读的总时间少于24小时的学生所占的百分比即可；

1，画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法以及扇形统计图和频数分布直方图等知识.树状图法与列表法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比

18.【答案】I解：如图，作.的平分线，交3C于点。，

则点D到边/C的距离相等，

即点。为所求.

£DEA=9（r.

由（1）知，点。到边48,4c的距离相等,

即DC=OE，

AD-W，

lit...k/>|:t1/ihiii.,,

AE=AC.

②解：由①知，.1/U-12，1'l>lI

s>>I"/”\I>•I.ill,

।।22

AB=15，

:.BE=AB-AE=15-12=3.

【解析】作1的平分线，交2C于点。，则点。即为所求.

(2)①根据全等三角形的判定证明Rt7，如：”.刀，即可得.{('

②由①知，一A「=12，［0=/)E=l根据、,〃月可得=15,再由

BEAB可得答案.

第15页，共22页

本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、全等三

角形的判定与性质是解答本题的关键.

19.【答案】解：h设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，

根据题意得：｛20r：30tf.QOQ，

解得：

答：甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元；

j设购进甲类拼图加盒，则购进乙类拼图盒，

的珀时生/曰fn,u2HHI

根据题意得：<.、，

11/….|H,JIH.…2/1III

解得：加，,心

设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为卬元，则『2~1-ITutf•|IK-10112110-".'I,

即，IMH।>

JII,

，，随加的增大而增大，

，当mM）时,w取得最大值,最大值2-in-lenoIGSH

答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元.

【解析】小设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，根据“甲类拼图每盒进价比乙类拼图

多5元，购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒时，总费用为600元”，可得出关于x,y的二元一次方程组,

解之即可得出结论；

会设购进甲类拼图加盒，则购进乙类拼图口心小，盒，利用进货总价=进货单价进货数量，结合进货

总价不低于2100元且不超过2200元，可得出关于加的一元一次不等式组，解之可得出加的取值范围，设

购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每盒的销售利润:•销售数量，可得出

校关于用的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：川找准

等量关系，正确列出二元一次方程组；T根据各数量之间的关系，找出w关于%的函数关系式.

20.【答案】11）证明:连接OC,则OC

ZOC.4

鼠4/"「的平分线交•。于点C,厂』

.・・£AUC-\

PB

AO

第16页，共22页

rci

"(A=乙w,

；是•()的直径，

.U11'hf,

AXP一(”.1，，(1i(M(.\H(",

，.-oc是©o的半径,且『cioc,

..八「为•。的切线.

I，解：设•”的半径为r,则。「—一r，一2r，

P(2\?/?()-PH12-

PC2v2r，/'i12)'，

r('i/"“，/'p,

PCPA

I,LiPC'

PC*PB-PA，

八"，'r?iI?•」，,，,

解得1.•>,।j--fh不符合题意，舍去1,

「可(JIi,r\IJ:-

I'O-/'I-(M-"；一”，

(Hl；\li<<■

,-.(X'l/liD,

D-()(/''…

UDOC.„31

闻一回…/9=3’

in/]ri;'•1,

33

•()的半径长为3,的长为1

【解析】“,连接。C,则.〔IO4C,由\UC「〃/),.」，1一J'〃〃，得.八「I\H1,

由N2是，的直径，得.XB.ar，贝"0(71•一)「1ZOAC+乙48c■做T,即可证

明尸。为•”的切线；

」设•”的半径为%贝*圮*=。4_8。=r，AB=2r，PlA?「，/'.I-12-2,，可证明

第17页，共22页

△PC.As△/，〃「，得;;j则(2«r)2=—lb「，求得，：，，贝1JOT=CM=3，尸4=6,

PO-9，再证明("'〃"，则/D=NOCP-MF，所以黑=喘=、i"/'一；，则〃"—l.

此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、相似三角

形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

21.【答案】解：il1/2,BE；，."。W，

.XB\"尸•8尾v2**2v5>

•四边形/皿是正方形，

BC-W-2v5--1"，川，

1C、2八"2\15

由旋转的性质得：」"I/:

：CB'-AC-AU'-2vK»2v5；

(2)①四边形/r'是正方形，理由如下：

由旋转的性质得：人£AF，./M-a90>，,1/7),1/7/90*.

.Z.AEF1X0,DK------------------T\C

，四边形.AEFE'是矩形，F/X/

四边形.1—7”是正方形;

②过点C作「(；1/"：.于点G,如图3所示:

Z.CBG+Z.BCG=Z.CBG+Z.4BE=90

ZBCG=/ABE，

在和',\!：1中,

Z.BGC=Z.AEB

£BCG=.AKI,

BC=AB

「/*’（；g1.1.1、।,

BEI，B（；-.IE-2

BE-BG=A-2=2

7coi+EC?-/P+22■2瓜

第18页，共22页

；.直角三角形A8E绕点/逆时针方向旋转八度I”，一卜”点8、E的对应点分别为点/『、/,

.■.当c时，，与£重合，（/“最短八

当落在G4的延长线上时，I；1/」，＜「最长\（,1/2%in-_＞，

一线段（7「长度的取值范围是人；＜7,2\10+2.

【解析】N由勾股定理得.1"人］，再由正方形的性质得K21/；八E，然后由旋转的性质得

AV\1'.八1，即可求解；

」①由旋转的性质得.“f=AE，NEAE-s-flOP,LAED■ZAEH＞Mi＞再证四边形AEFE'是

矩形，即可得出结论；

②过点C作CG_LB£于点G,ffiABCG^ABE（AAS）,得r（7=B£=4，BG=AE=2＞贝!J

EG_BE-H（；-2,再由勾股定理求解即可；

l；h当〃”时，产与£重合，（/最短=八；；当尸落在。