河北省保定市九校2024届高三年级下册二模试题 数学 含解析

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足2-zi=l+i,则Z=（）

A.-1-iB.1-iC.1+iD.-1+i

2.已知集合4={%£2|%+1>0},B=[x\x<a},若中有2个元素，则°的取值范围是（）

A.[2,4）B,[1,2）C.[2,4]D,[1.2]

3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：

558860548799985199011011111029112071263412901

13001130921312713268135621362113761138011410114172

14191142921442614468145621462115061156011590119972

估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（）

A.14292B.14359C.14426D.14468

4.若函数y=/（x）-l是定义在R上的奇函数，则/（一1）+/（0）+/（1）=（）

A.3B.2C.-2D.-3

5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备

将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）

6.已知耳，工分别是双曲线C：?—今=10〉0）的左、右焦点，是“双曲线。右支上的一个动点,

且的最小值是8#，则双曲线C的渐近线方程为（）

1

A.y=±—xB.y=鼠工

2

,V2Dy=±X

y=±3x-4

7.已知圆。：炉+：/=1,过点4（2,0）的直线/与圆O交于B,C两点，且45=50，贝U忸Q=

y/6

A.2B.C.桓

~T

8.如图，圆。I和圆。2外切于点p，A,3分别为圆。1和圆Q上的动点，已知圆Q和圆。2的半径都为

1.且PA.P3=—1，则|PA+PB］的最大值为（）

A.2B.4C.272D.273

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.一般地，任意给定一个角tzeR,它的终边OP与单位圆的交点尸的坐标，无论是横坐标尤还是纵坐标

y,都是唯一确定的，所以点尸的横坐标x、纵坐标y都是角a的函数.下面给出这些函数的定义：

①把点尸的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sintz,即，=5也。；

②把点尸横坐标x叫作戊的余弦函数，记作cosa,Epx=costz；

③把点P的纵坐标y的倒数叫作a的余割，记作esca,即工=csca；

④把点尸横坐标X的倒数叫作a的正割，记作seca,即4=seca.

x

下列结论正确的有（）

C.函数〃x)=secx的定义域为<1]工为1+最左eZ>

D.sec2a+sin2cz+csc~a+cos2cr>5

10.如图1,在等腰梯形A6CD中，ABCD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,将四边形AEED沿EE进行折叠，使AO到达A£>'位置，且平面AO'EE,平面5CFE,连

接AB，D'C,如图2,则()

ABELAD'B.平面A£B//平面。'FC

JT

C.多面体AEBCDb为三棱台D直线M与平面所成的角为了

1L--\b,a>b,

11.已知函数函数g(x)="LK21,且左<0,定义运算。(8)b=设函数

，2[a,a<b,

〃(x)=〃x)(8)g(x),则下列命题正确的是()

A./z(x)的最小值为《

B.若刈力在［0,ln2］上单调递增，则上的取值范围为(□,—21n2］

/

C.若M%)=加有4个不同的解，则加的取值范围为l,e

7

D.若/z(x)=m有3个不同的解A,巧，不，则+%=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知厂为抛物线。：丁2=28(2>0)的焦点，点。(1,—2)在抛物线上。，直线尸尸与抛物线C的另一

个交点为A,贝“AF|=.

13.在一ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,若/sinA=6sinC，(«+c)2=18+Z?2,贝!J

ABC的面积为.

14.己知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为1+后，高为100,现有若干个半径为的拒实心球，则

该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.己知数列｛4｝的前〃项和为S",且+

(1)求｛4｝的通项公式；

,)二一,“为奇数，)

⑵若数列也｝满足％=0,4+2，求也｝的前2〃项和心

2"”,“为偶数

16.如图，在四棱锥P—A6CD中，平面PCD内存在一条直线所与A3平行，B4_L平面A3CD,直

线PC与平面A3CD所成的角的正切值为无，PA=BC=2也,CD=2AB=4.

2

(1)证明：四边形A3CD是直角梯形.

(2)若点E满足PE=2ED，求二面角F—跖—5的正弦值.

17.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这

两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设4="抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B=

—?—S2

“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|3)=—,P(B\A)=-,P(B)=—.

363

(1)求尸(A)和尸(人忸).

(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值c=0.005的独立性检验，分析学生期末

统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关,

期末统考中的数学成绩

个性化错题本合计

及格不及格

建立

未建立

合计

(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36左的样本(假设根据

新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的左倍，且新列联表中的数据都

为整数).若要使得依据£=0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定上的最小值

参考公式及数据：/-------------------------,n=a+i)+c+ci

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

18.平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高所在直线的交点)的距离等

于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为，外心为E,。和E关于原点。对

称，4(13,0).

(1)若£(3,0),点8在第二象限，直线轴，求点B的坐标；

(2)若A,D,E三点共线，椭圆T：口Ml(a〉6〉0)与内切，证明:D,£为椭圆T的两

a2白

个隹占

I八、、八、、•

19.已知函数/(x)=〃sinx+xcosx.

(1)若〃=0,求曲线y=/(x)在点(。"(。))处的切线方程;

（2）若XW（Tl,兀），试讨论〃龙）的零点个数.

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足2-zi=l+i,贝I]z=（）

A.-1-iB.1-iC.1+iD.-1+i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.

【详解】因为2—zi=l+i,所以

-i-i2

故选：A

2.已知集合4={%€2卜+1>0},B={x\x<a],若AcB中有2个元素，则。的取值范围是（）

A.[2,4）B,[1,2）C.[2,4]D,[1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】根据A5={0,1}即可求解.

【详解】A=eZ|x+1>0}=|xeZ|x>-lj,

因为中只有2个元素，则AB={0,1},所以lWa<2.

故选：B

3.某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：

558860548799985199011011111029112071263412901

13001130921312713268135621362113761138011410114172

14191142921442614468145621462115061156011590119972

估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为()

A.14292B.14359C.14426D.14468

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得.

【详解】由30x75%=22.5,得样本的第75百分位数为第23个数据，

据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426.

故选：C

4.若函数y=/(x)-l是定义在R上的奇函数，则/(一1)+〃0)+八1)=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可得/(x)+/(—x)=2,进而可得/⑴+/(—1)=2,/(0)=1,即可求解.

【详解】设网力=〃力—1,则/(%)+--力=0,EP/(x)-l+/(-x)-l=0,

即〃X)+〃T)=2,所以+=

因为*0)=〃0)—1=0,所以"0)=1,/(-l)+/(O)+/(l)=2+l=3.

故选：A

5.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备

将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为()

1111

A.-B.—C.—D.一

2346

【答案】B

【解析】

【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是

白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.

【详解】将4个盒子按顺序拆开有A：=24种方法，

若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中,

则前两个盒子都是白球或都是黑球，有A；A；+A；A：=8种情况，

Q1

则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为P=-.

243

故选：B

22

6.已知耳，B分别是双曲线C：?—/=1。＞0）的左、右焦点，是M双曲线C右支上的一个动点,

且打2,,的最小值是8面,则双曲线c的渐近线方程为（）

A.y=-~xB.y=±^2x

「上加D上百

C.y=±---xD.y=±---x

J22

【答案】c

【解析】

【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得至15「_|叫「=4M0,再利用毛22,即可求出

结果；法二：利用双曲线的定义，得到眼耳12TM口=4（4+2眼鸟|）,再利用眼图的取值范围，即可

求出结果.

【详解】解法一：不妨设片月（c,0）,〃伍,兀），且毛22,

则照用「一眼工『=（%+°）2+北一（％—c『+y；=4cx0＞8c,

所以8c=8#，解得c=#，b=近,故双曲线C的渐近线方程为y=±等x.

解法二：眼耳「—眼闻2=（眼用_眼闾）（限用+眼耳|）=4（|5|+园闻）

=4（4+2|MF；|）＞4[4+2（C-2）]=8C,

所以8c=8#，解得c="，b=6,故双曲线C的渐近线方程为＞=±等x.

故选：C.

7.已知圆0:/+丁2=1,过点A（2,0）的直线/与圆。交于B,C两点，且?羽=陇，贝I忸C|=

A.2B.-C.J2D.逅

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件可得5。=工。。=工，结合图形得出COSNCQ4=—COSNOD3=—L,然后根据转化法

224

利用向量积求出向量AC的模即可

【详解】如图，在上。4c中，BD//OC,BD=—0C=—,cosNQD_B=---=—,

22ED4

cosZCOA=-cosZODB=,|Ac|=|OC-(?A|=C>c|2+1-2|(9C|■|(9A|-cosZCOA=76-

所以,q=弓.

故选：D

8.如图，圆a和圆5外切于点p,A,B分别为圆a和圆。2上的动点，已知圆a和圆a的半径都为

1,且PA.P5=—1，则|PA+PB］的最大值为（）

A.2B.4C.272D.273

【答案】D

【解析】

【分析】由PAPB=(^POX+QA).(PO2+O2B)=1,化简得到

A-(92B|=-(<92B-QA)|<|(92B-A|,两边平方化简可得：—1—百WqA-QBW—1+石，由

2

|PA+PB|=|Pt?[+O1A+PO2+化简即可得到答案.

BPO

【详解】PAPB=^POl+aA）•（尸Q+°2）=\'PQ+PO'QB+O.A-PO2+O^AO^B

=-l+PG.（Q3-O1A）+O1AC>2B=-1,

所以RA.中。1.（o^B-o/k\O2B-O^,

2

所以I。]A.a,<|O2B|+-2O]AO2B,即口1A.+1OA.Q5—240,

解得—1—<OiA-O^B<—1+-\/3.

|PA+PB|2PB2=[O]A+C

=|O1+O1A+PO2+O2|=\OX^+\p2B^+2OYA-O2B

=2+2O1A-O2B<2+2X（-1+A/3）=2A/3.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.一般地，任意给定一个角tzeR,它的终边0P与单位圆的交点尸的坐标，无论是横坐标尤还是纵坐标

y,都是唯一确定的，所以点尸的横坐标小纵坐标y都是角戊的函数.下面给出这些函数的定义：

①把点尸的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sintz,即丁=5亩。；

②把点尸的横坐标x叫作a的余弦函数，记作cos。，即关=（：0$1；

_1

③把点尸的纵坐标y的倒数叫作a的余割，记作csca,即一=csca；

y

④把点P的横坐标x的倒数叫作a的正割，记作seca，即l=seca.

x

4

B.COS6Z-SeC6Z=l

C.函数/（x）=secx的定义域为<+左wZ>

D.sec2cif+sin2a+csc26z+cos2a>5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.

5兀—1—后

【详解】CSCT--A正确；

sin——

4

cos。•sec。=cos。---=1,B正确；

cos。

函数/（X）=secx的定义域为［x\xw伍左£z},C错误；

22221114

seco+sina+cscor+cosa=ld----z—H---z—=ld---z-----=l-\------->5,

cosasinasintzcosasin2a

当sin2a=±l时，等号成立，D正确.

故选：ABD.

10.如图1,在等腰梯形A3CD中，ABCD,EF±AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,将四边形AEED沿所进行折叠，使AD到达A。'位置，且平面A'£>'EE_L平面5CFE,连

接AB，D'C,如图2,则（）

图1图2

A.BE±AD'B.平面AEB//平面Z/FC

7T

C.多面体AEBCD'尸为三棱台D,直线AD与平面5CEE所成的角为一

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.由面面垂直得线面垂直再得线线垂直;B.由AE//D'F,BE//CF易得平面AEBH平面D'FC,

C.由棱台的定义可判断；D.确定线面角，计算即可.

G

【详解】

因为平面AD'EE，平面BCFE,平面A7XFE）平面BCFE=E/，BEu平面BCFE,BELEF,

所以3E,平面AO'EE，又因为4力u平面A7XFE,

则5EJ_A。'，故A正确.

因为4£〃〃户，A'E.平面ZXFC,。’/匚平面。伊C，则平面AE//平面。伊C,

又BE〃CF,BEa平面。伊C,CFu平面ZXFC,则平面5E//平面ZXFC,

又因为AEc5E=E，45,5£匚平面4班,

所以平面AEB//平面ZXFC,B正确.

D'F1FC2D'FFC

因为丁=一，—=-,则丁w—匕，所以多面体AEBCO尸不是三棱台，C错误.

AE3EB4A'EEB

延长A。'，斯相交于点G,

因为平面A'D'EE，平面5CFE,平面A7XFE'平面BCFE=EF,A,Eu平面A7XFE，

AE±EF>

所以A'E，平面BCFE,则NAGE为直线AU与平面BCFE所成的角.

D'FGF

因为/'£〃〃户，所以丁-

A'EGF+FE

4石

解得G尸=1,GE=3,则tanZA'G£=——=1,

GE

jr

则NA'GE=—,D正确.

4

故选：ABD.

[I"Ibci〉b

11.已知函数“无）=/+可，函数g（x）=L』*,且左＜0,定义运算。（8）匕=''设函数

Mx）=/（x）⑤g（x）,则下列命题正确的是（）

A.秋%）的最小值为9

B.若可“在[0,ln2]上单调递增，则4的取值范围为（Y,—21n2]

（4M2+当）

C.若M%）=加有4个不同解，则机的取值范围为Le2121

7

D.若/z(x)=m有3个不同的解A,巧，不，则+%=0

【答案】AC

【解析】

1_£

【分析】对A,对上分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B,令6-工*=上6%-5,求出％,

2

根据其单调性得到不等式，解出即可；对C和D结合图象转化为直线丁=机与函数图象交点个数，并结合

函数对称性即可判断.

14

-e2,x>-,

【详解】对A,〃x)=eL=＜e丁之k,且(力=\；2L22

1-x+：k

-e，冗<一.

1_k7inQ

令解得左2-----

23

当-一左＜0时，作出函数/(X)和g(x)的图象，如图1所示.

此时，/z(x)=g(x),显然当X=|■时，g(%L=gkI

图1

当左＜-一，时，作出函数可光)的图象，如图2所示.

Xk1

f()Iaia=f(-)=^g(x)min=g]£|=!，所以g)的最小值为9

综上〃⑴的最小值为A正确.

i_k](L\

对B,令解得x0=5/n2—,e，

若/z(x)在［0,In2］上单调递增，则Xo=g［ln2—gkln2,解得左W—21n2.

因为当—一:〈左＜0时，MX)在［o,+")上单调递增，

/1「21n2、

所以上的取值范围为(yo,-21n2］---,0,B错误.

对CD,若/z(x)=7%有3个不同的解为，巧，W，则结合图象可得

(-2k—x)=——1fln2+3k)或/+々+工3=2义^_左=0,D错误.

X1+X2+X3=2X|+0

22

(一斗n2+迎I

若/z(x)=7%有4个不同的解，则mel,e212J,C正确.

I)

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD选项应结合函数

图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知产为抛物线。：丁=2勿(夕＞0)的焦点，点。(1,—2)在抛物线上。，直线P户与抛物线C的另一

个交点为A,则|AF|=.

【答案】2

【解析】

【分析】将P。,-2)代入抛物线方程，再根据直线。尸与尤轴垂直求解即可.

【详解】由题意可得(―2)2=2pxl,解得p=2,则F(l,0),

又直线尸尸与X轴垂直，A(l,2),\AF\=2.

故答案为：2

13.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/sinA=6sinC，(tz+c)-=18+Z?2,贝!J

^ABC的面积为.

【答案】£1

2

【解析】

【分析】由正弦定理角化边可得ac=6,再结合余弦定理可得cosB,根据三角形面积公式

S/.ABC=’QcsinB即可求解.

【详解】解：因c2sinA=6sinC>由正弦定理可得：ac2=6c，即ac=6,

又(a+c)=18+Z?2,所以a?+02—方2=18—2〃c=6，

,口/+02—/1g

由cosB=-----------=一=>smB=——，

2ac22

所以S4”=—acsinB=,

ABC22

故答案为：述.

2

14.已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为1+后，高为100,现有若干个半径为的后实心球，则

该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.

【答案】49

【解析】

【分析】分析第1个实心球。上的点与第2个实心球。2上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离，依次叠

放，找出规律得到每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2,即可得到答案.

【详解】如图，将第1个实心球。।靠近该圆柱形容器侧面放置，

球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2点；

将第2个实心球。2也靠近该圆柱形容器侧面放置，

过点。1作。/垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为A,

过点。2作垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为8,

设O]AO?B=CAC=BC=^，COI=2,CO：=2,

球。2上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为2+2&.

同理可得球。3上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为4+2夜.

由此规律可得，每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2.

因为48x2+2后<100<49x2+20，

所以该圆柱形容器内最多可以放入49个这种实心球.

故答案为：49

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底

面的最大距离加2,从而得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.己知数列｛叫的前〃项和为S“，且+

（1）求｛。“｝的通项公式；

---"为奇数

⑵若数列｛2｝满足勿=44+2,，求也｝的前2〃项和&.

2册,“为偶数

【答案】（1）%=〃；

【解析】

【分析】（1）根据的关系由：4=Si求解即可;

（2）根据2通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.

【小问1详解】

当〃=1时，％=Si=1.

当时,an=Sn-Sn_1=^n(n+l)-^n(n-l)=n,

当〃=1时，也符合见=〃.

综上，

【小问2详解】

,为奇数,\-(--—L]/为奇数

aa

由勿=jnn+2=2=j2I"n+2J

2",〃为偶数[2',〃为偶数

则J=(4+4+…+耳-1)+(伪+84++4")

1

+22+24+---+22n

2

n4,,+1-4

-----1------

2n+l3

（、nAn+1

故也｝的前2n项和T筋=，—+__-4.

2〃+13

16.如图，在四棱锥尸—A5CD中，平面PCD内存在一条直线石尸与A5平行,PAJ_平面ABCD,直

线PC与平面A3CD所成的角的正切值为走，PA=BC=20CD=2AB

4

2

（1）证明：四边形A3CD直角梯形.

（2）若点E满足PE=2ED，求二面角F—跖—5的正弦值.

【答案】（1）证明见解析;

3A/10

10

【解析】

【分析】(1)根据条件，利用线面平行的判定定理，得到A5//平面PCD,再线面平行的性质定理，得

至UA5//CD,再利用条件得到AC=4,结合A3=2,3c=2石，即可证明结果；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ME的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.

【小问1详解】

因为AB//EF,EFu平面PC。，平面PC。，所以A5//平面PC。，

因为A3u平面A3CD,平面ABCDc平面尸CD=CD,所以A5//CD,

连接AC,因为平面A3CD,所以NPC4是尸C与平面A3CD的夹角，

则tan/PC4=£^=3叵=走，解得AC=4.

ACAC2

因为AB=2，BC=2y/3,所以AB2+3C2=人。2,所以AB/8C.

又ABwCD,所以四边形A3CD是直角梯形.

【小问2详解】

取CD的中点M,连接40,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,26)，D(2A-2,0),C(24,2,0),B(0,2,0),AB=(0,2,0),

PC=(273,2,-2^/3),PD=(2A/3,-2,-2A/3),

由PE=2EO,得E]苧，-*.)■则BE=(竽l?半：

设平面PCD的法向量为〃=(x,y,z),

“•PC=2氐+2y-2心=0,、

则「.广，取x=l,得到y=0,z=l,即〃=

n-PD=2y/3x-2y-2y/3z=0

设平面ABE的一个法向量为m=(%,y,z),

[2)=0

rm-AB=0

则由《，得到《小门102y/3，到x=l,得至!Jy=0,z=-2,

m-BE=0

所以平面ABE的一个法向量为m=(l,0,-2)

设二面角F—跖—5的平面角为凡

故二面角P—叱—5的正弦值为之叵.

10

17.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这

两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设4="抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B=

—?—52

“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|B)=—,P(B\A)=-,—.

363

(1)求P(A)和尸(A⑻.

(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值tz=0.005的独立性检验，分析学生期末

统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关,

期末统考中的数学成绩

个性化错题本合计

及格不及格

建立

未建立

合计

(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36左的样本(假设根据

新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的左倍，且新列联表中的数据都

为整数).若要使得依据£=0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定上的最小值

n(ad-bc)

参考公式及数据：J2=7----一w——“工?--------c‘n=a+b+c+d.

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【答案】(1)P(A)=1,P(A|B)=|

(2)表格见解析，有关；

(3)-

4

【解析】

【分析】(1)利用条件概率公式结合全概率公式即可得到答案；

(2)由(1)所计算的概率即可完成列联表，再由独立性检验的知识即可得到结论;

(3)利用独立性检验的知识可得9左210.828,在结合4左eZ,即可得到答案.

【小问1详解】

—?—5

因为P(A|B)=一,P(B\A)=~,

所以历=1—尸(A|R)=LP(B|A)=1-P(B|A)=-,

36

由于=解得尸伍)=2,所以P(A)=1.

33

P(A)=P(B).P(A|B)+P(B)-P(A|B),解得P(A忸)=1.

【小问2详解】

期末统考中的数学成

个性化错题合

绩

本计

及格不及格

建立20424

未建立4812

合计241236

零假设为“0；期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.

36x(20x8-4x4)2

根据列联表中的数据，经计算得到?2=9>7.879=%政

24x12x12x24

根据小概率值。=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性

化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

【小问3详解】

+b+c+d)(ka♦kd-kb♦kck(a+b+c+d、(ad-bcY,〜口

『(L)(c+州，)(J)=90OM8,解得

左(a+b)•左(c+d)•左(〃+c)•左(b+d)

,10.828

k>----.

9

要使新列联表中的数据都为整数，则需4左eZ.

又因为4/210.828x4合4.8,所以4发的最小值为5,故人的最小值是』

94

18.平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等

于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知A5C的垂心为。，外心为E,。和E关于原点。对

称，4（13,0）.

（1）若E（3,0）,点2在第二象限，直线九轴，求点8的坐标;

22

Xa丁

（2）若A,D,E三点共线，椭圆T：—+7Tl（a〉6〉0）与cABC内切，证明:D,E为椭圆T的两

ab

个I隹八、、占八、、,

【答案】⑴3（—5,6）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴根据垂心以及外心满足的等量关系即可根据忸E|=|A£|,\BF^+\EFf=\AEf,求解，

（2）根据共线以及\AD\=2\EF\可得5=13-2m,进而根据钻,CD满足的垂直关系可得

〃2=（3切—13）（帆+13）,联立直线与椭圆方程，得判别式，化简可得加=（13