2024年江苏省决胜新高考高三年级下册4月大联考数学试卷含详解

决胜新高考一一2024届高三年级大联考

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含单选题（1~8）多选题9~12,填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题

（第17~22题，共70分）.本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写

在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.

3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.

4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚.

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量°,石满足带I人代研2力）=一18,则a与6的夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.若复数z=cos6+isine,则|z—2+2i|的最大值是（）

A2V2-IB.2V2+IC.V2+1D.20+3

3.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：

7,12,12,20,20+尤,31；乙队：8,9,10+y,19,25,28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y的值

为（）

A3B.4C.5D.6

4.已知占+2为=4,%+1。82%2=4,则为+々的值为（）

A.2B.3C.4D.5

5.若35近。+4＜：05。=5,则+1=()

11

A-7B.7C.-D.一一

77

6.经过抛物线C:/=4x焦点尸的直线与C交于A,3两点，与抛物线C的准线交于点P,若A尸，AP,

成等差数列，则|AB|=（）

816

A.2A/3B.2^/6C.-D.—

33

7.贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲

线.三次函数/(X)的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞尔曲线，其中A,。在/(尤)的图象上，/(%)

在点A,。处的切线分别过点B,C.若4(0,0),,C(2,2),D(l,0),则〃尤)=()

A.5x3-4x2-xB.3x3-3x

C.3x3-4x2+xD-3x3-2x2-x

8.已知函数/(x)=f—8x,且点P(x,y)满足/(x)+/(—y)W32,/(y)W0,若记点P构成的图形为Q,

则Q的面积是()

A.等一16函B.等+16石

C.64兀-166D.64兀+16百

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若—2)=+qX+++〃2012°,贝U()

A.a。=1。24B.4=1

C.%9=10D.%+/+%++%9=—512

10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被

淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛

选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标J服从正态分布

N(5.40,0.052),现从中随机抽取/个，这M个芯片中恰有m个的质量指标J位于区间(5.35,5.55),则下列说

法正确的是()(若4~N(〃,b2),尸(〃一b<jV〃+b)=0.6826,尸(〃-3b<JW〃+3a)=0.9974)

A.P(B|A)>P(B)

B.P(A|B)<P(A|B)

CP(5.35<^<5.55)-0.84

D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53

11.若正实数满足12。+》=。》，则()

A.b>12

B.有序数对(。㈤,力eN*)有6个

c.a+/?的最小值是12+4有

D.a2+b2-2a-24b+121>0

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应位置上.

12.将函数/(x)=sin(2x+0)图象上的每个点的横坐标变为原来的g倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平

7T

移一个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的。的值_____.

6

13.己知定义在R上的“X)满足＞0,且对于任意的x,yeR,有/■(x+y)+/(x)/(y)=4处，则

/(0)=

14.已知一个顶点为「，底面中心为。的圆锥的体积为9兀，该圆锥的顶点p和底面圆周均在球a上.若圆锥的高

为3,则球。的半径为；球a的体积的最小值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，已知正方体ABCD—的棱长为3,E,尸分别是5。，。，的中点，又是4线上一

点，且比0〃平面EE&.

(1)求上见；

(2)求直线EC】与平面EE4所成角的正弦值.

16.已知函数/(x)=alnx+f+3在％=1处的切线经过原点.

(1)判断函数了(尤)的单调性；

(2)求证：函数/(%)的图象与直线y=5%有且只有一个交点.

ACAD

17.在ABC中，点。在A8边上，且满足--=----.

BCBD

(1)求证：ZACD=/BCD；

(2)若tanA+tanB+6tanAtaiijB-6=0，CD=2,求」WC的面积的最小值.

18.如图，已知正方体ABC。-A4Goi顶点处有一质点。，点。每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移

动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点。的初始位置位

于点A处，记点Q移动n次后仍在底面A3CD上的概率为P„.

（2）①求证：数列是等比数歹！J；

②求£(4).

«=1

19.已知椭圆C:£+5=l（a>6>0）的左右顶点分别为A,B,且“，|[，卜<£|，（1』），（2，0）四

个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段尸3的中点.

[yj3

（1）若且PB与。用■的斜率的乘积为--,求，上钻的面积；

44

（2）若动点。满足求最大值.

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数学

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量5满足忖=1,W=2吃“2a叫=-18,则a与6的夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积公式求出。力=-3,进而由夹角余弦公式求出答案

【详解】“2a叫=2。为-z/=2a0-12=-18,故。为=一3，

/\a.b_3y/3

则cos@b）=口用=m=-了，所以a与6的夹角等于150°.

故选：D

2.^MSz=cos6>+isin（9,则|z—2+2i|的最大值是（）

A.272-1B.20+1C.V2+1D.20+3

【答案】B

【分析】利用复数的几何意义结合圆上一点与定点距离的关系计算即可.

【详解】由题意可知z=cos8+isin。在复平面中对应的点P（cos8,sin。）为以原点为圆心的单位圆上一点，

而％=2-2i在复平面中对应的点不妨设为4（2,-2）,

所以|z-2+2i|=|冏,

易知|"归归0|+1=2拒+1.

故选：B

3.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队:

7,12,12,20,20+%,31；乙队：8,9,10+y,19,25,28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y的值

为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】利用中位数与平均数的求法计算即可.

【详解】由得分数据知：甲乙两队的中位数为亘型=i6=i°+^+19=3；

22

甲乙两队的总得分相等，

为7+12+12+20+20+x+31=8+9+13+19+25+28nx=0,

所以x+y=3.

故选：A

4.已知X]+2*=4,x2+log2x2=4,则为+々的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用函数/(x)=x+2£的单调性结合指数对数的转化可得玉=1。82々，再计算即可.

【详解】令“力=%+2，,显然函数〃x)=x+2x为R上单调递增函数，

1OS

又〃％)=石+2为=4,/(Iog2x2)=log2x2+2^=4,

所以石=log2/=>石+%2=4.

故选：C

5.若3sinc+4cos。=5,则tan[a+：]=()

11

A.—7B.7C.—D.----

77

【答案】B

【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.

,、辛胸、h/f3sina+4cosa=5(3sin«+4cos«)29tan2«+24tana+16

【详解】因为<，,=>-——-------1-=25=----------------------------，

sina+cosa-\sina+cosatana+1

整理得16tan?畿-24tana+9=(4tana—3)2=0,

3

所以tana=一,

4

31

.।1—I-1

tana+1A

又tan[a+；----------=------=7.

1-tancif]_?

~4

故选：B

6.经过抛物线C:/=4x焦点尸的直线与C交于A,8两点，与抛物线C的准线交于点P,若A尸，AP,

所成等差数列，贝()

A.2出B.2加C.—D.—

【答案】D

【分析】根据等差中项得到21Api=|A同+忸4=|4到，设直线方程为丁=左(尤-1),联立抛物线方程，得到两根

之和，两根之积，由焦点弦弦长公式得至1」仙固=玉+々+2=4+《，表达出|AP|=J1+在(药+1),得到方

程，求出儿=211+J-/，结合两根之和，两根之积，求出左2=3,得到答案.

1k2

【详解】由题意得21M=n同+卜耳=区耳,b(1,0),抛物线的准线方程为x=—1,

因为过抛物线C:V=4x焦点R的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，

所以直线的斜率存在且不为0,设直线方程为y=k(x-1),

与C:=4x联立得左2无~—(2左2+4)x+=0,

/\?\2k2+4

设4(菁,%)，5(%,%)，显然为马〉。，则占+%=——;—，石々=1，

K

故4+《=2A/17F(X1+1),解得％=-1=2川+£-/,

_2k2+4_3k2+4-2^11+k2

2=1/一—%1=P'

又药々=1，故3左2+^每口心仄^一匚］,解得左2=3,

一k2k2

故|A@=4+±=g.

1133

故选：D

7.贝塞尔曲线(Beziercurve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲

线.三次函数“X)的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞尔曲线，其中A,。在〃龙)的图象上，/(%)

在点A,。处的切线分别过点3,C.若4(0,0),5(-1,-1),C(2,2),D(l,o),则〃x)=()

32

A.5x-4X-XB.3X3-3X

C.3尤3—4尤2+%D.3X3-2X2-X

【答案】C

【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.

【详解】设/(%)=01?+碗2+炉+d,则/1％)=3依2+2for+c,

/(0)=d=0

/(l)=〃+Z?+c+d=0a=3

b=一4

］，所以/(%)=3%3一4%2+工

由题意-/⑼―c--kAB,解得’

-1-U

2-0d=Q

f(l)=3a+2b+c==kDC

故选：C.

8.己知函数八%)=——8%,且点P(x,y)满足〃x)+/(—y)W32,f(y)^0,若记点尸构成的图形为Q,

则Q的面积是()

A."166B.驷+16括

33

C.64兀一16如D.64TI+16A/3

【答案】A

【分析】先将图形直观化，可得到区域Q是一个圆的g去掉一个三角形，再分别计算面积即可.

即!(x—4)2+(y+4)2(64

[O<y<8

所以区域Q即为圆(龙—4J+(y+4『<64的内部位于x轴上方的部分，

即该圆的;去掉一个底为8代，高为4的三角形，故5=?—g-86・4=^—16百.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将问题直观化，数形结合方可直接解决问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.右(X2+X—2)=+ClyX+Cl^X~+++”20厂°，贝U()

A.a0—1024B.q=1

C.<7jg=10D.tZj+t/j+tZj++%9=—512

【答案】ACD

【分析】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项.

【详解】对于A,令x=0,则/=(—2)°=1024,故A正确；

对于D,令％=1=>/+%++出。—0,

令X——1=>CLQ—q+—%++。18—49+。20=1024,

两式相减得〃1+。3+。5++〃19=—512,故D正确；

易知(x?+x—2)°=(x-l)10(x+2)10,

而(x—1厂中的常数项为1,含x项为CQcx(—1)9=—10尤，

99

含丁项为C；0xx(-1)=-10x,含一项为?°，

同理(％+2)°中的常数项为1024,含x项为C：0XX(2)9=5120X,

含，项为C；0X9X2=20X9,含储。项为储°，

所以4=1x5120+(—10)x1024=—5120,故B错误；

«19=-10x1+1x20=10,故C正确.

故选：ACD

10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被

淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛

选”，3表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标自服从正态分布

N(5.40,0.052),现从中随机抽取取个，这M个芯片中恰有机个的质量指标J位于区间(5.35,5.55),则下列说

法正确的是()(若。~N(〃,cr2),P(〃-cr<J<〃+cr)=0.6826,P(〃-3b<J<〃+3b)=0.9974)

A.P(B|A)>P(B)

B.P(A|B)<P(A|B)

C.P(5.35<^<5.55)-0.84

D.P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53

【答案】ACD

【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设

“X)=C：x0.8445x0.1615,由函数的单调性判断D.

【详解】对于A,由题意P(同A)>P(3),故A正确；

对于B,由P(A)•P(B|A)>P(A)P(B),则P(AB)>P(A)-P(B),

又P(AB)+P(A§)=P(A).P(B|A)+P(A).P(5|A)=P(A),

于是P(AB)>P(B)-^P(AB)+P(AB)J,即P(AB)—P(AB)P(B)>P(B)P(AB),

P(AB}P(AB)P(AB)P(AB}.../

因此士巴〉」_L,即一^一，则P(A3)>P(A3),故B错误；

P(B)l-P(B)P(B)p(B)v7v'

对于C,P(5.35<。<5.55)=P(5.40-0.05<c<5.40+3x0.05)=尸(〃一b<X<〃+3b)

P(〃一cr<X<〃+b)+P(〃一3(r<X<〃+3cr)0.6826+0.9974„.,,_.

=---------------------------------------------------------------x----------------------=U.oo4,故C正确；

22

对于D,m~0.84),=45)=x0.8445xO.16M-45,

设=C?x0.8445x0.16i,

/(x+1)Ox0.8445x0.16-4x+1

/\=7777TZ-=0.16X〉1,

f(x)C,x0.8445x0.16iX-44

解得x〈詈。52.6,/(53)>/(52),

/(%)Cfx0.8445x0』6i》

由；----r=―----------------------=0.16x--------<1,

/(x-1)CfiX0.8445X0.16"46%—45

3754

解得x>U=53+—,即〃53)>/(54),

77

所以P(m=45)取得最大值时，M估计值为53,故D正确.

故选：ACD.

11.若正实数满足12a+b=ab,则()

A.b>12

B.有序数对⑼(G/EN*)有6个

C.a+Z?的最小值是12+4有

D.a2+b2-2a-24b+121>0

【答案】AB

【分析】对于A,使用条件即可证明人>12；对于B,设〃—l=〃wN*并证明〃整除12,再验证12的全部因子即

可；对于C,直接证明a+Z?>12+4即可否定；对于D,给出a=l+2j§\/?=12+作为反例即可否定.

【详解】对于A,由已知正实数。涉满足12a+Z?=a〃，有〃=或二⑵+:〉—二],

bbb

7ab12a+b12a一〃

b=——二------->——二12,故A正确；

aaa

对于B,由于〃£N*，a>l,故a—1是正整数，设a—1=〃£N*，贝1

19

12="—(12a+8)+12=(a—1)伍—12)=〃。—12),所以5=12+—.

n

而北N*，故〃整除12,得几£{1,2,3,4,6,12}.

验证知ne{1,2,3,4,6,12}时，(a,。)=[1+”,12+都满足条件，

所以符合条件的有序数对(a,耳(aSeN*)有6个，故B正确；

对于C,由于12=ab—(12a+b)+12=(a-l)(匕一12),且a>l,b>12,

从而a+Z?=13+(a—1)+(Z?—12)213+2j(a—l)(Z7—12)=13+26=13+4百>12+4』,

当a=l+2百，6=12+26时，等号成立，故C错误；

对于D,当。=1+26，6=12+26时，有伍-12)=26・26=12,

故就-(12a+Z>)=(a-1)0-12)-12=0,从而12.a+b=ab.

但此时后+廿―2。—24/7+121=(。一1『+(人—12『—24=12+12—24=0,故D错误.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是C选项中对基本不等式的适当运用.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应位置上.

12.将函数/（x）=sin（2x+o）图象上的每个点的横坐标变为原来的g倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平

7T

移一个单位长度，所得的图象关于＞轴对称，写出一个符合条件的。的值_____.

6

7T

【答案】€（答案不唯一）

【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数9的值.

【详解】将函数/（x）=sin（2x+0）图象上的每个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），

再将得到的图象向左平移卷个单位长度，所得的图象对应的解析式为g（x）=sink[+W+0]=sin14x+H

由题意g（x）的图象关于y轴对称，

/I'11J/JI

所以（p——卜kii,kwZ,解得/二左TT---,keZ,令人=0,得"=—.

3266

故答案为：-2（答案不唯一）.

6

13.己知定义在R上的满足/[一；,。，且对于任意的羽yeR,有/（%+y）+/（x）/（y）=4；D，则

〃。）=一•

【答案】-1

【分析】令x=y=0得/（0）=—1或/（0）=0,排除/（0）=0即可.

[详解]在/■（x+y）+/（x）/（y）=4肛中，令x=y=0,有/（0）+[/（0）1=0,解得/（0）=—1或

"0）=0，

若"0）=0,则在/■（》+＞）+/（x）〃y）=4移中，令x=0,有〃y）=0恒成立，但这与；卜。矛

盾，

所以只能/（0）=—1，经检验符合题意.

故答案为：-1.

14.已知一个顶点为P,底面中心为。的圆锥的体积为9兀，该圆锥的顶点P和底面圆周均在球g上.若圆锥的高

为3,则球的半径为；球a的体积的最小值是.

243

【答案】①.3②.」兀

8

【分析】借助锥体体积计算公式，结合圆锥轴截面外接圆半径与球a的半径相同，利用勾股定理计算即可得圆锥的

高、底面半径与球的半径的关系，若圆锥的高为3,代入计算即可得；球。的体积的最小值可借助导数求取.

【详解】设圆锥的高为〃，底面半径为小球a的半径为R,

有-hnr~=9兀，BPhr2=27，

3

由圆锥的顶点p和底面圆周均在球。上,

则圆锥轴截面外接圆半径与球a的半径相同,

-27

n+

有R2=(九一区丫+产，整理得〃2+产_h_hZ1,

''K=------------——I---7

2h2h22h2

327

若/i=3,则氏=己+—^=3；

22x32

令小）1+*小）g9三

,

则当xe(0,3码,/(%)<0,xe(3蚯,+力)时,/(%)>0,

3

2）上单调递减，在（3次,+oo）上单调递增,

故了（“力（3啊=孚+2729次

2x4

3

49^2493X2243

则匕Z—X71X=一X兀X-----=---兀.

013~1~3648

243

故答案为：3；---71.

8

【点睛】关键点点睛：第二个空关键点在于借助导数求取球。।的半径的最小值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，已知正方体ABC。—的棱长为3,E,尸分别是5。，。，的中点，又是人用上一

点，且比0〃平面EE&.

（1）求“A；

（2）求直线EC】与平面EFA1所成角的正弦值.

【答案】（1）1（2）生包

21

【分析】⑴建立适当的空间直角坐标系，引入参数/表示M的位置，求出平面EE4］的一个法向量〃以及肱4,,

由题意小8河=0，由此即可求出参数九进而得解;

（2）求出Eg,结合第一问中求出的"，由向量夹角公式即可得解.

【小问1详解】

如图，以点A为原点，分别以直线AB,AD，A4为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,5（3,0,0）,A（0,0,3），rfo,3,|j,4（3,0,3）,G（3,3,3）,

所以族=［一1|，|］，5=，|，\，3］

设平面EE4］的一个法向量为〃=

’33

由得;;Q,

［EF-n=0—，+%+，=0

［22-2

%=3

取y=i,则，…故〃=（3」,2）.

z=2

设M«,0,3),则=(53,0,3).

因为8M//平面所以〃•3M=3«—3)+2x3=0,

所以f=l,所以MA=L

【小问2详解】

因为EG=1m，i>3],

平面EFA]的一个法向量为〃=(3,1,2),

设直线EC｝与平面EFA,所成角为0，

故.6IEC|MT[；,；3：(3』，2)|45

11因雨、尸21

V44

所以直线EC、与平面EFA1所成角的正弦值为生包.

21

16.已知函数/(x)=alnx+x2+3在1=1处的切线经过原点.

(1)判断函数八%)的单调性；

(2)求证：函数了(%)的图象与直线y=5尤有且只有一个交点.

【答案】⑴/(%)在(0,+“)上单调递增

(2)证明见解析

【分析】(1)先根据题意求出参数。的值，然后求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解；

(2)由题意构造函数g(x)=21nx+f+3-5](尤>0),利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理即可得解.

【小问1详解】

因为/(l)=alnl+l+3=4,所以切点为(1,4).

因为•f(x)=3+2x,所以/'(l)=a+2,

X

所以切线方程为y-4=(a+2)(x-l).

因为切线经过原点，所以0—4=(a+2)(O—1),所以。=2.

9

由定义域为(0,+8),故/'(x)=—+2x>0,

X

所以/(%)在(0,+8)上单调递增.

【小问2详解】

设g(x)=/(%)—5x=21nx+%2+3-5x(x>0),

贝i]g，(X)=2--5X+2=(2x-l)(x-2)

XX

因为当xe[。,；]时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当xe[g,2卜寸，g'(x)<0,g(x)单调递减，

533-81n2

+3——=-21n2+-=<0'

2444

因为g[g]<0,且当xe[g,2卜寸，g(x)单调递减，所以g(2)<g[g)<o

所以当x«0,2)时，g(x)<0,

所以函数g(x)在x«0,2)时没有零点，

所以当x«0,2)时，函数〃力的图象与直线y=5x没有交点.

当xe(2,+a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

又因为g(5)=21n5+3>0,且函数g(x)图象是不间断的,

所以当xe(2,+a)时，函数g(x)有且只有一个零点,

函数/(力的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

综上所述，函数/(%)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

ACAD

17.在ABC中，点。在AB边上，且满足---=----.

BCBD

(1)求证：ZACD=NBCD；

(2)^tanA+tanB+V3tanAtan5-A/3=0>CD=2,求_ABC的面积的最小值.

【答案】(1)证明见解析

⑵4A/3

「位ACADACBCsinZADCsinNBDC

【分析】(1)因为——=—所以由正弦定理可得则可得

BCBDBDsinZACDsinZBCD

sinZACD=sinZBCD,则得ZACD=ZBCD；

（2）由tanA+tanB+GtanAtanB—旧=0，化简可得tan（A+B）=6，则得c=?,

ZACD=ZBCD=^,因为S》BC=5""+5会8,则可得40x50=2（40+5。），再由基本不等式可得

ACxBCN41ACxBC，即ACxBC三16,则得到的面积的最小值.

【小问1详解】

AD，口ACsinNADC

------------，得——=----------

sinZACDADsinZACD

BDBCsinZBDC

在△BCD中，由正弦定理———------------，得zn----=----------

sinZBDCsinZBCDBDsinZBCD

ACADACBC.sinZADCsinZBDC

因为——=——，所以大=二=，所CC以H----------=----------

BCBDADBDsinZACDsinZBCD

因为NADC+N5DC=TI,所以NADC=TI—NfiDC,

所以sinZADC=sin（兀-ZBDC）=sinNBDC,

所以sinZACD=sinZBCD,

又因为—AC。，ZBCDe（O,7i）,且NACD+N5CD<TE,

所以NACD=NBCD.

小问2详解】

因为tanA+tanB+A/3tanAtanB-6=6,

所以tanA+tanB=A/3（1-tanAtanB）,

tanA+tanB

所以tan（A+3）==A/3,

1-tanAtanB

因为0<4+5<兀，所以A+B=g,所以C=7i—（A+3）=T，

71

由（1）知ZACD=N5CD,则ZACD=N3CD=一,

3

因为^AABC~^AACD+CD'

1271171171

所以一xACxBCxsin——=—xACxCDxsin—+—xBCxCDxsin—,

232323

又CD=2,

所以ACxBC=2AC+2BC=2（AC+BC）

因为AC+三2dAexBC，

所以ACx3C=2AC+2BC=2（AC+BC）＞4y/ACxBC,

所以ACxBC三16,当且仅当AC=BC=4时等号成立，

所以—ABC的面积的最小值为工x16x史■=46.

22

18.如图，己知正方体ABC。-AqGR顶点处有一质点Q,点。每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移

动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点。的初始位置位

于点A处，记点。移动九次后仍在底面A3CD上的概率为5.

（1）求鸟;

（2）①求证：数列］与是等比数列；

②求£（/）.

Z=1

【答案】（1）I

（2）①证明见解析;哮（昨|-〔等｝直+中

【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；

（2）根据题意先得出递推关系5匕），再化简变形证明即可得第一小问；结合第一小问求通项

z-p=lxzW+-,利用错位相减法与分组求和法计算即可得第二小问.

122

【小问1详解】

依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面.

2

所以当点。在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为耳，

在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为工,

3

5

22211

又因为《=_，所以Q=_x_+_x_9-

33

【小问2详解】

2111

①证明：因为匕与+§(1_5)=§月+§,

1

所以5+1―5=§匕+§_5=§月

!6

212

又因为6=3,所以q一5=§-=-^0,

26

所以数列]匕-g1是等比数列.

②因为"=%[)

所以匕=%><]£|+1,所以有=1/1

—XI+—.

232

设《

则出)=1X(£|+2X1)+3x[)+

则言的)=lx1)+2x].+3义1)

++*「

7n

所以at的)=1、小…++1X

JZ=1

9nJ

所以祖)

Ji=l2

所以£(力,)=]3+2〃

z=l今4

1n

-+—

又因为£工n2+n.

22n-----

i=l224

所以2:1

19.己知椭圆C：1+《=l（a>b>0）的左右顶点分别为A,B,且［1，|］，［1，一（］，（U），（2,0）四

个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段尸3的中点.

（1）若OM=V，且PB与ON的斜率的乘积为-一，求，上钻