2023届北京初三5月阶段测试数学试题含解析

2023届北京三十一中初三5月阶段测试数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅第填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列实数为无理数的是（）

_7

A.-5B.—C.0D.n

2

2.已知关于X的方程kx2+（l—k）x—l=0,下列说法正确的是

A.当k=（）时，方程无解

B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当k=-l时，方程有两个相等的实数解

D.当kwO时，方程总有两个不相等的实数解

3.根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（）

A.-1B.C.^2D.-7T

■

J

4.如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图

没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）

5.关于x的不等式组~2^:4的所有整数解是（）

3x-5<l

A.0,1B.-1,0,1C.0,1,2D.-2,0,1,2

6.化简（-a>a5所得的结果是（）

A.a7B.-a7C.a10D.-a10

7.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/

小时，甲乙两地之间的距离为1000千米,两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶

时间t（小时）之间的函数图象是

8.下列事件中，属于不确定事件的是（

A.科学实验，前1皿次实验都失败了，第次实验会成功

B.投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点

C.太阳从西边升起来了

D.用长度分别是3cm,4cm,5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形

9.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪

等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡

片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同.现将这5张卡

片洗匀后正面向下放在桌子上,从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（）

鼻山橹香律今

23

A.B.-D.-

5525

10.如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.方程的解为：.

12.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000

元用科学记数法表示为.

3

13.如图，在直角坐标系中，的圆心4的坐标为（1,0）,半径为1,点尸为直线产一x+3上的动点，过点?作

4

。4的切线，切点为。，则切线长尸。的最小值是.

14.对于函数了=入“十片"，我们定义V十〃山I（皿、U为常数）.

例如），=]4+%2,贝1|丁'=41+2》.

已知：y=^xi+（m-l）x2+m2x,若方程了=。有两个相等实数根，则m的值为.

15.如图，AB是。O的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D,C,若NACB=30。，AB=百，则

阴影部分的面积是一・

16.定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P,Q的“实

际距离”•如图，若P（—l,l）,Q（2,3）,则P,Q的“实际距离”为5,即PS+SQ=5或PT+TQ=5.环保低碳的共享

单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具•设A,B两个小区的坐标分别为A（3』），B（5,-3）,若点M（6,m）表示单

车停放点，且满足M到A,B的“实际距离”相等，则!《=.

I___III,

-1o123x

17.如图，点A(3,n)在双曲线丫二之上，过点A作AC_Lx轴，垂足为C线段0A的垂直平分线交OC于点B,则

x

△ABC周长的值是.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，已知抛物线y=f+版+c经过A(1,O),8(0,2)两点，顶点为£>.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将AO钻绕点A顺时针旋转90。后，点8落在点。的位置，将抛物线沿.V轴平移后经过点。，求平移后所得图

象的函数关系式；

(3)设(2)中平移后，所得抛物线与丁轴的交点为用，顶点为R,若点N在平移后的抛物线上，且满足AN8耳的

面积是AA/DR面积的2倍，求点N的坐标.

19.(5分)在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用I表示，单位：小时)，

采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0Wt<2,2<t<3,3<t<4,tN4分为四个等级，并依次用A,

B,C,D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问

题：

各等级人数的扇形统计图务等级人数的条形统计图

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

（1）求本次调查的学生人数;

（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3Kt<4的人数.

20.（8分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日

旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息

解决问题：

（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加,2018年首次突破了“千万”大关，达到万

人次，比2017年春节假日增加万人次.

（2）2018年2月15日-20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：

2月15日2月16日2月17日2月18日（初2月19日2月20日

日期

（除夕）（初一）（初二）三）（初四）（初五）

日接待游客数量

7.5682.83119.5184.38103.2151.55

（万人次）

这组数据的中位数是万人次.

（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为,理由

是.

（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A,B,C,D四枚书签（除图案外完全相同）.正面分别

印有“剪纸艺术”、"国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3）,他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑

选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率.

山西省2014年-2018年春节假日山西省2014年-2018年春节殿日

接待海内外游客数量实现旅游总收入

陶

国

煎

皮

浸

粹

纸

影

艺

京

艺

戏

术

剧

术

图3

21.（10分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45。方向，然后沿北偏东37。方向走

200m米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离.（结果保留整数）

参考数据：sin37^0.60,cos37°=0.80,tan37°M.75

B

22.（10分）（问题发现）

（1）如图（1）四边形A8CO中，若A1H4O,CB=CD,则线段3D,AC的位置关系为；

（拓展探究）

（2）如图（2）在RtAASC中，点b为斜边5c的中点，分别以Ab,4c为底边，在RtAA3C外部作等腰三角形

和等腰三角形ACE,连接尸O,FE,分别交A3,AC于点M,N.试猜想四边形的形状，并说明理由;

（解决问题）

（3）如图（3）在正方形A8CD中，AB=2y/2,以点A为旋转中心将正方形A5C。旋转60。，得到正方形AaCTT,

请直接写出8〃平方的值.

1

VuAn□I:

图£1）图（2〉图（3）

23.（12分）某商场计划购进A、5两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示:

价格

谖价（元2）复价（元2）

典型

A3045

Bso70

（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏?

（2）若商场规定8型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利

最多？此时利润为多少元？

24.（14分）如图（1）,AB=CD,AD=BC,O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么N1

与N2有什么关系？请说明理由；

若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余，条件不变，那么图（1）中的N1与N2的关系成立吗？请说明理

由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有

限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【详解】

A、-5是整数，是有理数，选项错误；

7

B、二是分数，是有理数，选项错误；

C、。是整数，是有理数，选项错误；

D、7T是无理数，选项正确.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：小27r等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…,

等有这样规律的数.

2、C

【解析】

当k=0时，方程为一元一次方程x-l=O有唯一解.

当k，0时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：

VA=(l-k)2-4k(-l)=(k+l)2,

，当k=-l时，方程有两个相等的实数解，当kwO且kw-1时，方程有两个不枯等的实数解.综上所述，说法C正

确.故选C.

3、B

【解析】

根据两个负数，绝对值大的反而小比较.

【详解】

解：■:一工>-1>一力>F,

，负数中最大的是二.

故选：B.

【点睛】

本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0,0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小.

4、B

【解析】

俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可.

【详解】

由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视

图没变，得

拿掉第一排的小正方形，

拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是||||,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形.

5、B

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的

解集，据此即可得出答案.

【详解】

解不等式-2x<4,得：-2,

解不等式3x・5Vl,得：x<2,

则不等式组的解集为-2<x<2,

所以不等式组的整数解为-1、0、1,

故选:B.

【点睛】

考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

6、B

【解析】

分析:根据同底数基的乘法计算即可，计算时注意确定符号.

详解：（"2）/=.也

故选B.

点睛:本题考查了同底数幕的乘法，熟练掌握同底数的幕相乘，底数不变，指数相加是解答本题的关键.

7、C

【解析】

分三段讨论：

①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；

②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；

③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；

结合图象可得C选项符合题意.故选C.

8、A

【解析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【详解】

解：A、是随机事件，故A符合题意；

B、是不可能事件，故B不符合题意；

C、是不可能事件，故C不符合题意：

D、是必然事件，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的

概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不

发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

9、B

【解析】

先找出滑雪项目图案的张数，结合5张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解.

【详解】

•・•有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，

2

・・・从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是彳.

故选B.

【点睛】

本题考查了简单事件的概率.用到的知识点为：概率;所求情况数与总情况数之比.

10、B

【解析】

根据题意找到从左面看得到的平面图形即可.

【详解】

这个立体图形的左视图是I~~~~I,

故选：B.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图所看的位置.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、x=l

【解析】

两边平方解答即可.

【详解】

原方程可化为：（X・l）2=l.x,

解得：X1=O,X2=L

经检验，x=0不是原方程的解，

X=1是原方程的解

故答案为x=l.

【点睛】

此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验.

12、6.7xlO10

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中£|a|vio,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值vl时，n是负数.

【详解】

67000000000的小数点向左移动10位得到6.7,

所以67000000000用科学记数法表示为6.7x1（y°，

故答案为：6.7xlO10.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l<|a|<io,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

13、2^

【解析】

分析：因为3P=JPA2—A82，A3的长不变，当乃1最小时切线长尸5最小，所以点P是过点4向直线/所作垂线

的垂足，利用△APCgZXOOC求出AP的长即可求解.

3

详解：如图，作AP_L直线y=」x+3,垂足为尸，此时切线长PB最小，设直线与x轴，y轴分别交于O,C.

41

TA的坐标为(1,0),，。(0,3),C(-4,0),AOD=3,AC=5,

：.DC=yjoD2+OC2=5f；・AC=DC,

在AAPC与ADOC中，

ZAPC=ZCOD=90°,NACP=NDCO,AC=DCt

AAAPC^ADOC,：.AP=OD=3f

・・・P8=配子=2夜.

故答案为2夜.

点睛：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定性质，勾股定理及垂线段最短，因为直角三角形中的三边长满足勾

股定理，所以当其中的一边的长不变时，即可根据另一边的取值情况确定第三边的最大值或最小值.

14.-

2

【解析】

分析：根据题目中所给定义先求再利用根与系数关系求〃，值.

详解：由所给定义知，y'=f+2加一1%+〃/，若/+2加一1%+相2=o,

♦=4(/n-l)2—4x/n2=0,

解得.

2

点睛：一元二次方程的根的判别式是加+加+。=0(〃。0),

△="4"心也c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.

△>0说明方程有两个不同实数解，

△=0说明方程有两个相等实数解，

△vO说明方程无实数解.

实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可

能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.

>/3_n

15、

~T6

【解析】

连接OB.

VAB是。O切线,

/.OB±AB,

VOC=OB,ZC=30°,

AZC=ZOBC=30°,

:.ZAOR=/C+ZOBC=60°,

在RSABO中，VZABO=90°,AB=G，ZA=30°,

AOB=1,

60^-xl2_y/371

36026

【解析】

根据两点间的距离公式可求m的值.

【详解】

依题意有(6-3)2+(m-l)2=(6-5)2+(m+3)2,

解得m=0,

故答案为：L

【点睛】

考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键.

17、2.

【解析】

先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3,AC=2,再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB,由此推出

AABC的周长=OC+AC.

【详解】

3

由点A（3,n）在双曲线y=一上得，n=2.AA（3,2）.

x

,・,线段OA的垂直平分线交OC于点B,・・・OB=AB.

则在△ABC中，AC=2,AB+BC=OB4-BC=OC=3,

周长的值是2.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）抛物线的解析式为y=V-3工+2.（2）平移后的抛物线解析式为：y=V-3^+1.（3）点N的坐标为（1,一1）

或（3,1）.

【解析】

分析：（1）利用待定系数法，将点A,B的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据旋转的知识可得：A（1,0）,B（0,2）,.*.OA=1,OB=2,

可得旋转后C点的坐标为（3,1）,当x=3时，由y=x2・3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点（3,2），将原抛物

线沿y轴向下平移1个单位后过点C.・••平移后的抛物线解析式为：y=xL3x+l；

（3）首先求得Bi,Di的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想.

详解：⑴已知抛物线），=/+云+0经过41,0）,8（0,2）,

0=1+b+c

2-0+0+c

，所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2.

（2）VA（l,0）,B（0,2）,：.OA=},08=2,

可得旋转后。点的坐标为（3,1）.

当工=3时，由y=d-3%+2得y=2,

可知抛物线y=/一3x+2过点（3,2）.

・・・将原抛物线沿）,轴向下平移1个单位长度后过点C.

・•・平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+\.

(3)•・•点N在y=f-3x+l上，可设N点坐标为(飞,与2-3%+1),

ra、2s3

将)，二/一3工十1配方得y=(R-]J・:其对称轴为x=i.由题得B1(0,1).

3

①当0</<3时，如图①,

图①

此时与2—3x0+1=-1

3

2

♦・/=3，

此时与2.3%+1=1,

・・・N点的坐标为（3』）.

综上，点N的坐标为（1,一1）或（3』）.

点睛：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题.此题考查了二次

函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用.

19、（1）本次调查的学生人数为200人；（2）B所在扇形的圆心角为54,补全条形图见解析；（3）全校每周课外阅读

时间满足3<4的约有360人.

【解析】

【分析】（1）根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；

（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1-|（A+D+C）在扇形图中的百分比］可计算出B在扇形图中的百分比，再

计算出B在扇形的圆心角；

（3）总人数x课外阅读时间满足3Wt<4的百分比即得所求.

【详解】（1）由条形图知，A级的人数为20人，

由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%,

1nn

所以：20・10%=20x干=200（人），

即本次调查的学生人数为200人；

⑵由条形图知：C级的人数为60人，

所以C级历占的百分比为；^xl（X）%=30%,

200

B级所占的百分比为：1一10%—30%-45%=15%,

B级的人数为200x15%=30（人），

D级的人数为：200x45%=90（人），

B所在扇形的圆心角为：360xl5%=54,

补全条形图如图所示:

各等级人数的条形统计图

水学生人数(人)

(3)因为C级所占的百分比为30%,

所以全校每周课外阅读时间满足3Kt<4的人数为：1200x30%=360(人)，

答：全校每周课外阅读时间满足3Wt<4的约有360人.

【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比

该项人数

X100%,扇形图中某项圆心角的度数=360x该项在扇形图中的百分比.

；总人；数：

20、(1)1365.45、414.4(2)93.79(3)30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%

(4)-

2

【解析】

(1)由图1可得答案;

根据中位数的定义求解可得;

(3)由近3年平均涨幅在30%左右即可做出估计;

(4)根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得.

【详解】

(1)2018年首次突破了“千万”大关，达到1365.45万人次，比2017年春节假日增加1365.45-951.05=414.4万人次.

故答案为：1365.45、414.4；

84.38+103.2

(2)这组数据的中位数是=93.79万人次,

2

故答案为：93.79；

(3)2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为30%,理由是：近3年平均涨幅在30%左右,

估计2019年比2018年同比增长约30%,

故答案为：30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%.

(4)画树状图如下:

ABCD

/N不/N

BCDACDABDABC

则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6,

所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为!.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结

果数目m,求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体.

21、景点A与B之间的距离大约为280米

【解析】

由已知作PC_LAB于C,可得△ABP中NA=37。，NB=45。且PA=200m,要求AB的长，可以先求出AC和BC的长.

【详解】

解:如图，作PC_LAB于C,则NACP=NBCP=90。，

由题意，可得NA=37。，ZB=45°,PA=200m.

在RtAACP中，VZACP=90°,ZA=37°,

/.AC=AP«cosA=200x0.80=160,PC=AP*sinA=200x0.60=l.

在RtABPC中，VZBCP=90°,ZB=45°,

ABC=PC=1.

AAB=AC+BC=160+1=280(米).

答：景点A与B之间的距离大约为280米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三

角形的问题，解决的方法就是作高线.

22、(1)AC垂直平分30；(2)四边形尸MAN是矩形，理由见解析；(3)16+8#或16-8石

【解析】

(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；

(2)根据RtAABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF,再根据等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,

即可得至ljAD=DB,AE=CE,进而得出NAMF=NMAN=NANF=90。，即可判定四边形AMFN是矩形；

（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60。，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时

针旋转60。，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论.

【详解】

（1）・；AB=AD,CB=CDf

：.点4在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，

，AC'垂直平分BD,

故答案为AC垂直平分

（2）四边形尸MAN是矩形.理由：

如图2,连接4尸，

•••R34BC中，点尸为斜边8C的中点，

：.AF=CF=BFf

又・・,等腰三角形A3O和等腰三角形4CE,

：.AD=DBtAE=CE9

，由（1）可得，D