湖南省衡阳市某中学2021级高二年级上册期末数学试题（解析版）

衡阳市八中2021级高二上期期末考试

数学试题

注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

।设集合A={xI—4x+3<0},B={x\2x—3>0}则AB=

A.(-3,-?B.(-3,—)C.(I；)D.(—,3)

【答案】D

【解析】

,j弋产

【详解】试题分析：集合A={x|(x—l)(x—3)<0}="|1<%<3},集合点,!小,6.，，所以

AnB=|x|-|<x<3|，故选D.

考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.

2.已知复数z的共朝复数彳=二一,则复数z的虚部为().

1+1

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数运算，复数与共轨复数关系解决即可.

22(l-i)

［详解］z=--7=-7.—~—

l+i(l+i)(l-i)

所以z=l+i，

所以复数z的虚部为1.

故选：C.

3.已知向量a力均为单位向量，且。_1_人贝！1(2；—办).(a+4/)=(

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.

【详解】解：因为向量a力均为单位向量，且a，，，

所以a=M=l,a-b=0>

所以（2a—•（a+4。）=2/—47+7a0=2卜1—4=-2,

故选：B.

1,

4.抛物线E:y=—炉的焦点到其准线的距离为（）

4

11

A.—B.—C.2D.4

84

【答案】C

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到再根据。的几何意义得解；

详解】解：抛物线=即》2=4>,则2。=4,所以p=2,

所以抛物线的焦点到其准线的距离为P=2.

故选：C

5.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个

圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙

堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19

分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）

A.1:1B.2:1C.2:3D.3:2

【答案】B

【解析】

设平面\BD的法向量n=(a,b,c),

DB-n=3a+3b=0

则《，令。=1,解得：b=-l,c=-l,..n=(l,-l,-l),

ZMj-n=3a+3c=0

1AAi

二.A与A到平面的距离d=凤*1

Hn\

XAA'//n>''-x-3=-y=-z,

；.x=l,y=2,z=2，；.A(L2,2),

|,R4|+|PE|=IPA'I+|PE|>\AE\=74+1+4=3(当且仅当4P,后三点共线时取等号)，

即归A|+|P国的最小值为3.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平

面的对称点A,从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间中三点4(0,1,0),6(2,2,0),C(—1,3,1),则下列结论正确的有()

A.ABA.AC

B.与.共线的单位向量是(LL0)

c.与AC夹角的余弦值是15

11

D.平面ABC的一个法向量是〃2=(1,-2,5)

【答案】AD

【解析】

UUUIUUIU

【分析】对于A,通过计算A3•AC来判断，对于B,利用共线单位向量的定义求解，对于C,利用向量

的夹角公式求解，对于D,利用法向量的定义求解.

【详解】对于A,因为A(0,1,0),3(2,2,0),C(—1,3,1),所以AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

所以AB-AC=—2+2=0，所以所以A正确，

探得卜1，。)=

对于B,因为AB=(2,1,0),所以与AB共线的单位向量为

AB1［-乎，-*“，所以B错误,

或一网(2,1,0)=

对于C,因为A3=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

所以cos("=1=°,所以C错误,

所以\\AB\\AC\A/5XV6

对于D,因为〃2=(1,—2,5),AB=(2,1,0),AC-(-1,2,1),

所以m・AB=2—2+0=0,根-AC=—1—4+5=0,

所以根，AC,所以平面ABC的一个法向量是〃z=(l,-2,5),所以D正确,

故选：AD.

10.己知函数/(工)=/+；X2-4x,则()

A.%=1是“力的极小值点B.7(%)有两个极值点

C.“X)的极小值为1D.“X)在［0,2］上的最大值为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数分析函数/(尤)的单调性与极值，可判断ABC选项；利用函数的最值与导数的关系可判

断D选项.

【详解】因为/(x)=x3+gf—4x,所以/'(x)=3f+x—4=(X—l)(3x+4),

当xe］_oo,_|J(l,+oo)时，/z(x)>0；当时，ff(x)<0,

故/(%)的单调递增区间为1---劣和(1，+8)，单调递减区间为,(，"，

则“X)有两个极值点，B正确；

且当x=l时，〃尤)取得极小值，A正确；

且极小值为/(1)=—g,C错误；

又"0)=0，〃2)=2,所以〃力在［0,2］上的最大值为2,D正确.

故选：ABD.

11.设等比数列｛斯｝的公比为q,其前和项和为S”,前"项积为力”且满足条件。1>1,0202002021>1,

(«2020~1)(G2021-1)<0,则下列选项正确的是()

A.0<^<1B.&020+1<>?2021

C.n020是数列｛〃｝中的最大项D.7W1>1

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意，根据。202042021>1,(。2020-1)(42021-1)<0,即可确定4的取值范围；根据求解出的

q的取值范围，来判断生。21的大小，然后判断选项B；根据己知％和9的取值，判断数列｛斯｝的单调性，

从而可以确定前“项积的最大值；利用等比中项的性质，将前〃项积转化成azo2/"，从而进行判断.

【详解】由等比数列｛斯｝公比为q,ai>l,。2020。2021>1,(。应2°19)5.2。2。)=(%)2/039>1,

由41>1可得">0,(612020-1)(。2021-1)<0,得

一2。2。1或f^020<l(舍去)，故q=咏<1,

综上°=咏vi故选项A正确；

。2020

邑020+1>S2O2O+“2021=1^2021,故选项B错误；

由己知，o1>a2>a3>>a2020>I>a2021>->0,可知T2020是数列｛△｝中的最大项，故该选项C正

确；

由等比数列的性质可知，。］-。4041=。2・04040==。2020。°2022=。202；，所以

£)41=%。2a3“4041=。202「°41VL故该选项D错误.

故选：AC.

12.公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一

条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分

割比“，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线黄金双曲线

E:=1(。〉0,。〉0)的一个顶点为人，与A不在y轴同侧的焦点为歹，E的一个虚轴端点为

a~b"

B,尸。为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，/为P。中点.设双曲线E的离心率为e,则下

列说法中，正确的有（）

2

A.e=B.IOAIIOF|=|OB|

2

C.kOM-kPQ=eD.若OP'OQ,则+1『=e恒成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A,证明利用射影定理证明

\OA\\OF\=\OB\2,判断B,利用点差法求Mpo判断C,联立方程求出P,Q坐标，计算

11

------T+--------7，判断D.

1。「1\OQ|2

ac

【详解】由石为黄金分割双曲线可得一二——，BPa2+ac=c2（*），对（*）两边同除以可得

ca+c

e2_e_1=0,则6=正义，A正确；

2

对（*）继续变形得ac=c2-a2=b2,AlAB\2+\BF^a2+b2+c2+b2=a2+c2+2（c2-a2）=3c2-a2,

22

\AF|=(a+c)=

cr+2ac+c~=3c--a?，AB_LBF,

所以NABF=90，又NAO3=90，

所以=ZABO^ZBFO,所以BOF,

品\OA\二\O滴B所以的m=M,，

所以B正确;

设P（西，%），。（工2,%），M（x0,光），将尸，。坐标代入双曲线方程可得,

二―口二12

f屋,作差后整理可得三二=即三三.九=与

X

%2%*2~\/+%1〃%2一%次0a

U--2---b-2-I

所以即0.自用=匚《=«2-1=与1,故C正确；

设直线OP：y=kx,则直线OQ：y=~x,将，=近代入双曲线方程廿必一。2y2=162,可得

则丁=4,Mopi+y'喂祟’将攵换成一?即得1。°『=

片62(如+1)11(b2-a2)(k2+1)

----1----=----------=-&与。，〃的值有关，故D错误,

b2k2-a2|O尸『IOg|2a2b2(k2+1)abab

故选：ABC.

【点睛】点差法是解决中点弦问题的常用的方法.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者

去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个

回答分析，5人的名次排列共可能有种不同的情况.（用数字作答）

【答案】54

【解析】

【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三

个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3种情况，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，

其他三名同学排在三位置全排列有A；种,

由分步乘法计数原理可知共有3x3xA；=54种，

故答案为：54.

14.已知圆。的圆心为且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线/:4x—2y+2=0

与C交于A,3两点，ZACB=120，则实数2=

【答案】-1或—11

【解析】

【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.

【详解】圆C的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，..・半径为

r=7(2-0)2+(1-0)2=A/5，

又圆心为C(2,l),故圆。的方程为(x—2y+(y—1)2=5.

|C4|=|CB|=底.••圆心C到直线I的距离为d=工厂,即)：2+川=好，解得几=T

^ACB=120,

11112716+42

或2=—11.

故答案为：T或T1

1?

15.已知。，〃为正实数，直线y=x—2a与曲线y=ln(x+6)相切，则一+—的最小值是

ab

【答案】8

【解析】

【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得2a+b=l,再结合基本不等式运算求解.

【详解】由题意可得：y=ln(尤+6)的导数为y'=，

x+b

1

设切点为,切线斜率左=,则在该点的切线方程为

m+b

1生一,

y—ln(m+b)=-—m),即yx+ln(m+/7)----

m+bm+b

-^―=1

m+b

由题意可得《,整理得2。+6=1,

In(m+Z?)----——-2〃

m+b

则_1L+24=(_1L+2*)(2〃+b)=2+2+2b+丝4a24+2、产b•”4a=8,当且仅当2〃=b=—1时取等号,

ababab\ab2

故—H—最小值为8.

ab

故答案为：8.

16.已知函数〃为是定义在R上的偶函数，记/(%)为函数“九)的导函数，且满足

/(%)+f'(x)=e-ex+2xe、，则不等式/(x)+W<e的解集为.

e

【答案】(-8,1)

【解析】

【分析】利用偶函数的导数必为奇函数，可求得“X),再代入不等式构造函数即可求解.

【详解】因为了⑺是定义在R上的偶函数，所以/(—%)=/(%),故[/(—x)]'=/'(x)，

又[/(—X)]'=(―x)/(—x)=—八―X)，所以一/'(一幻=f'(x)，即/'(一%)=—/'(%)，

所以/‘(X)是定义在R上的奇函数；

又因为/(%)+f(x)=ex-e~x+2xsx,所以/(-x)+f'(-x)=QX-ex-2xeTx,即

/(x)-/(x)=葭—e，—2xex,

两式相加，再整理得：f(x)=xex-xex,

所以由/(x)+?<e得北一尤eT+p<e,即xe，<e,

令/z(x)=xe"-e,则h'^x)=ex+xex=(%+l)e",

当XV—1时，〃(x)<0；当x>—1时，”(元)>0,

所以人(力在(—,T)上单调递减,在(-1,+<»)上单调递增，

又因为〃⑴=lxe-e=O,所以在(T+oo)上，^/;(%)<0=/?(1),解得％<1；

又当xV-L时，x<O,eY>0,即xe*<0<e,故无e*-e<0，即〃(X)<0,

综上：/?(%)=双"-6<0的解集为{乂％<1},

故/(x)+W<e的解集为{x|x<l}.

e

故答案为：{x[x<l}.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知”,仇c分别为《ABC内角45c的对边，且(2b-a)cosC=c-cosA

(1)求角C；

(2)若,2=2",A3C的面积为迅，求a+b的值.

7T

【答案】(1)-

3

⑵2A5

【解析】

【分析】(1)结合正弦定理，边化角即可求解角C；

(2)结合三角形面积公式与余弦定理求解(a+92,即可得6的值.

【小问1详解】

解：（2Z?-a）cosC=ccosA,

由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

由于5£(0,兀)，所以sinBwO,则cosC=5，又。£(0,兀)，所以C=1；

【小问2详解】

解：由(1)MsinC=^-,S=—absinC=-abx^-=>/3,ab—4

2222

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=lab,

/.｛a+bY=c2+3ab=5ab=20,

a+b=2^5.

18.数列｛4｝中，q=2，％=2a”+2华，设包=2•

(1)证明：数列｛2｝是等差数列并求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前〃项和.

【答案】(1)证明过程见详解；a“=n-2"；(2)7；,=(n-l)-2n+1+2.

【解析】

【分析】(1)根据题意，计算包+1一优=1,根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出包=〃，

从而得出｛4｝的通项公式；

(2)先记数列｛a,J的前几项和为北，根据错位相减法，即可求出结果.

【详解】⑴因为。用=2%+2.，6“吟，

所以h-h-""+ia,'-2a”+2"a„_,

所以数列｛bn｝是公差为1的等差数列；

又q=2,所以々=*=1,因此优=〃，即a"="2；

(2)记数列｛。“｝的前〃项和为?；，

贝口=q+0+…+a“=L2+2-22+…+〃-2”①

所以27；=122+2々3+…+刀.2"+i②

p

,；D、石为分别为PC、oc的中点，

/.OP//DE,而OPa平面DEF,DEu平面DEF

；•OP//平面DE尸，又OMcOP=O,OMu平面POM,QPu平面POM,

平面POM//平面。EF,H/u平面POM,

PM//平面DEF；

【小问2详解】

•：AB=BC,。为AC的中点，

/.OBLAC,

：OP_L平面ABC,故。B,OC,OP两两垂直.

分别以08,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。一孙z.

不妨设AB=2,由N5AC=30得05=1，OA=5

：PB与平面ABC所成的角为60，而。尸，平面ABC,

/.NPBO=60，，OP=5

.•.p（o,o,⑹,坐，4“岑

易知m=（0,0,1）为平面ABC的法向量，

PE=°,当,—6,M£=f-1,V3,ol

设5=(x,y,z)为平面AffiP的法向量,

n-PE=—y-j3z=0

n-BM=_gx+6y=0

令y=2,则〃=,6,2,1)为平面ME尸的一个法向量,

/\m-n1y/53

cos(m,n)=-；-n-r=/一=----,

网网lx,48+4+153

、斤

平角ABC与平面MEP的夹角的余弦值为—.

53

20.2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党

支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高

),结果认知程度高的有优人，按年龄分成5组，其中第一组：［20,25),第二组：［25,30),第三组:

得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

(1)根据频率分布直方图，估计这根人的平均年龄和第80百分位数;

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者.若有甲（年龄

36）,乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2

名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.

【答案】（1）32.25,37.5

⑵？

5

【解析】

【分析】（1）直接根据频率分布直方图求解平均年龄与第80百分位数；

（2）按照分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事

件“甲、乙两人至少一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率.

【小问1详解】

解：设这根人的平均年龄为元，

贝IJ元=22.5xO.Olx5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25（岁）.

设第80百分位数为a,

由0.05+0.35+0.3+（«-35）x0.04=0.8,解得a==37.5.

【小问2详解】

解:由题意得，第四组应抽取4人，记为4B,C,甲，第五组抽取2人，记为。，乙.

对应的样本空间为：Q=｛（AB）,（A,C）,（A,甲），（A,乙）,（A,D）,（B,C）,（3,甲），（5,乙）,

（C,甲），（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（【甲，。），（乙，D）］,共15个样本点.

设事件河="甲、乙两人至少一人被选上”，

则加=｛（4,甲），（A,乙），（3,甲），（3,乙），（C甲），（C,乙），（甲，乙），（甲，，D）,（乙，

。）｝,共有9个样本点.

所以，P（M）=XQ=9.

“（Q）5

（5、22

21.己知点为椭圆C：三+*=l（a>b〉，0）上一点，A、3分别为C的左、右顶点，且QAB

的面积为5.

（1）求C的标准方程；

（2）过点P（l,0）的直线/与C相交于点M,N（点〃在x轴上方），AM,BN与y轴分别交于点G,H,

记跖，S?分别为cAOG,AAOH（点。为坐标原点）的面积，证明：今为定值.

22

【答案】（1）土+匕=1

95

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由的面积为5与点。（2,|

在椭圆C上得到关于。步的方程组，解之即可得到椭圆C

的标准方程;

（2）设出直线/的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式进行求解

即可.

【小问1详解】

因为QAB面积为5,点。（2,才为椭圆c：22

/+5=1上一点'

-x2ax-=5

23a=3

所以《Y,解得v

5b=E

22

----1--

U2b2=1

22

所以椭圆c的标准方程为土+匕=1.

95

【小问2详解】

由题意可知直线/的斜率不为零，故设方程为x=my+l,

|22

土+匕=1

联立为《95，消去打得（5疗+9）V+10⑺—40=0,

x=my+1

-10m-40

设A/。,%）,N（z,%）（%>°），则%+%=——3，X%=——，故4（弘+为）=根X%，

5m2+95m2+9

-40

又因为％%=一;——<0,所以％<°，

5m+9

又A（—3,0）,5（3,0）,则直线40的方程为V-%=

%+3

令x=0,得〉=必一^^=^^,则,

%+3%1+3IXj+3）

（-3y>

同理可得：H0,-2,

、％-3,

所以Si_504必_屏_3%%-3_3%伍-3）

s?-OA-\yH\欣王+33y23%（玉+3）

=%（吵-2）=7町%-2%=4%+4y2-2%=2%+4y?=J_

%（加%+4）根%为+4%4%+4%+4%4%+8%2

因此■f1■为定值.

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应

关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.

22.己知函数/（x）=21nx-ar2+Z2x（a,beR）.

（1）当z?=o时，讨论〃力的单调性；

（2）设占,%为/（%）的两个不同零点，证明：当xe（0,+8）时，

/（X+/）<4sin（%+々）+2e小+也9.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴求导后，分别在aWO和a>0的情况下，根据/'（%）的正负可得外可单调性；

%+1

）=0

（2）由<匚二八可整理得到。（X]+X,『-6（%1+%2）=2111%•3----,将所证不等式化为

了（尤2）=°

%2五_1

x2

土+1

r,+X22

21n(%+%)—21n土•%——<48^(%,+x2)+2e--,采用分析法可知只需证明

*2百__1

五+1

In+x2)-In—'---<e'+"-2-2即可；令g(x)=lnx~—(0<%<1),利用导数可求得

X2A-lx+l

工+1

g(x)<0,得至ijIn土.上一>2；令丸(£)=炉一(％+1),0(x)=lnx—x+l,利用导数可证得

X2A-1

%

ex-2>x-l>lnx，由取等条件不同可知e*-2>lnx，由此可证得不等式.

【小问1详解】

2-1

当5=0时，〃x)=21nx-办2,则/(%)定义域为(0,+8),/'(%)=-2(ax

x

①当aW0时，a/—1<0，.../'(%)>0恒成立，\/(勾在(0,+。)上单调递增;

②当a>0时，令/''(%)=(),解得：%=--(舍)或％=

Vaa

/

5时，f^x)>0；当

则当xe0,x—,+00时，/'(力<0；

a)

(K,+81上单调递减;

\八勾在0,-上单调递增，在

a]a)

综上所述：当aWO时，/(%)在(0,+。)上单调递增；当。>0时,上单调递增，在

0,+ao]上单调递减.

a)

小问2详解】

21nxi-*2+如=0

不妨设三>占>0,则°<一且<2，

21nx2-ax2+bx2=0

21n土

两式作差整理得: