2024届湖南省长沙市高三年级下册高考数学模拟试卷（5月）含解析

2024届湖南省长沙市高三下学期高考数学模拟试卷（5月）

注意事项：

1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400

人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）

A.9B.12C.15D.18

2.已知集合"=RX2_6X+8<0},N={X|1<X〈3},则MCN=（）

A{x12<x<3}B{A：12<x<3}Q{x12<x<4}口{x11<x<3}

3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆

接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深

九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十

寸）（）

A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸

4.己知椭圆/十乒」"">°）和抛物线了2=2川（。>0）相交于八、B两点，直线过抛

正

物线的焦点耳，且以同=8,椭圆的离心率为2.则抛物线和椭圆的标准方程分别为

（）.

222

X+匕x+J1

=12

A.=8x.~94B.y=8x.3618

22,2

XX+J

-=--1--2

C.=4x.~94D.y=4x.3618

5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易

经包含了深荽的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形

ABCDEFGH,其中四=1，°为正八边形的中心，则万•丽=（）

A.亚TB.1C.亚D.1+72

尸«出）=邛⑷

6.人工智能领域让贝叶斯公式：°⑻站在了世界中心位置，AI换脸是一

项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某

团队决定用AI对抗AL研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是

0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04,即在

该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视

频是“AI”合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%c.2.4%D.4%

7.加斯帕尔・蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互

相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）

22

上+二=1

.已知椭圆C：97,P是直线/：4x-3y+20=0上一点，过尸作C的两条切线，切

点分别为知、N,连接°尸（。是坐标原点），当/MW为直角时，直线。尸的斜率

3_3

C.4D.4

8.已知嗨"；c=0+e*则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.a<c<b

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设。6为两条不重合的直线，。为一个平面，则下列说法正确的是（）

A.若Q_L^,bua,贝iJa_LaB.若。allby则b_La

।।

C.若bua,则a//bD.若a/la,bA,a9则。_16

fsin2a）x+--cos2a）x+—（0>0）

10.已知13J13J,下列判断正确的是（）

A.若/（七）二/（工2）=°,且I'1"min2,则0=2

_71

B.0=1时，直线“一片为/（X）图象的一条对称轴

71

C.0=1时，将/（X）的图象向左平移3个单位长度后得到的图象关于原点对称

'53丝］

D.若"x）在@2兀］上恰有9个零点，则。的取值范围为124'24）

11.若实数'J满足2*+2刈=1,则下列选项正确的是（）

A.x<0且"TB.的最小值为9

C.x+V的最小值为-3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z=>3i,其中i为虚数单位，贝止+2卜.

（n\/+”+幺+…+%=3"-25eN*,“Nl）

13.数列"/满足23〃，则。"=.

fV2、

14.设A为双曲线a2b2的一个实轴顶点，dC为「的渐近线上的两点,

满足就=4%,.4=",则「的渐近线方程是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

15.为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生

的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30

分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的

人数比为3：2,运动达标的女生与男生的人数比为2：1,运动欠佳的男生有5人.

（1）根据上述数据，完成下面2x2列联表，并依据小概率值。=0・05的独立性检验，能否认为

学生体育运动时间达标与性别因素有关系；

运动达标情况

性别合计

运动达标运动欠佳

男生

女生

合计

（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人

进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.

2n(ad-bc^

参考公式(〃+b)(c+d)(〃+c)9+d),n=a+b+c+d

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

小）=虹

16.己知函数x+1.

⑴求曲线，=/G）在点。）。））处的切线方程；

⑵当尤21时，求a的取值范围.

17.如图，己知在正三棱柱/8C-4耳G中，44=4B=2,且点分别为棱瓦九4G的中

点.

(1)过点4瓦/作三棱柱截面交G瓦于点P,求线段8T长度；

(2)求平面AEF与平面BCCA的夹角的余弦值.

18.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭

圆G的“特征三角形”为7,椭圆02的，，特征三角形，，为勺，若△1△2,则称椭圆G与02“相

J』

似“，并将今与々的相似比称为椭圆G与的相似比.已知椭圆G：2一与椭圆。2：

⑴求椭圆C2的离心率；

(2)若椭圆C1与椭圆的相似比为”(2>0),设尸为G上异于其左、右顶点4,4的一点.

①当"2时，过尸分别作椭圆G的两条切线P4,PB3切点分别为q，设直线尸与，

。外的斜率为左，白，证明：勺仅为定值；

②当九=拒时，若直线P4与G交于。，E两点,直线尸4与G交于M,N两点，求

的值.

19,设“次多项式《⑺="/'+'+…++印+小(％产°),若其满足月(cosx)=cosnx,

则称这些多项式勺(')为切比雪夫多项式.例如：由cos6=cos6可得切比雪夫多项式4(x)=x,

由cos2(9=2cos219-1可得切比雪夫多项式白口)=2--1

⑴若切比雪夫多项式色(幻=加+加+5+”,求实数0,6,c,d的值；

⑵对于正整数小3时，是否有P”0)=2x-P„.,(x)-匕2(x)成立？

⑶已知函数“无)=8--6x-1在区间(T1)上有3个不同的零点，分别记为占,％,X?,证明：

x1+x2+x3=0

1.c

【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.

36X1200-300-400=36X2=15

【详解】高三年级被抽到的男生人数为120012.

故选：C.

2.B

【分析】解一元二次不等式化简集合再根据交集运算求解即可.

[详解]因为M=*x2-6x+8<0}={x[2<x<4},N={x|l<x43},

所以〃nN={x[2<xV3}.

故选：B

3.C

【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以

盆的上底面面积即可得到答案.

【详解】

如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸,

-x(14+6)=10

因为积水深9寸，所以水面半径为2寸，

-71X9X(62+102+6x10)=588n

则盆中水的体积为3'7立方寸，

588K.

----7—3

所以平地降雨量等于兀X142寸.

故选：C.

4.B

月(dxA=xB=~

【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，N3/X轴，且(2九故2

根据抛物线的定义可知恒同=玉+%+°=2p=8,

所以抛物线的标准方程为V=舐.

所以椭圆过点］(2,4),又因为椭圆离心率为2,

a2

<416_1

/+卜2=36

因止匕〔片=/+°2,解得廿二18,

22

土+匕=1

则椭圆的标准方程为3618.

故选：B.

5.D

【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.

【详解】在正八边形工3cA斯6〃中，连接HC,则〃C/A48,

而N48C=135°,即4BCH=45°,于是NHCD=90°,

在等腰梯形ABCH中，CH=1+2x1xcos450=1+V2,

所以万.访=lx|而|cosNCHD=|沅|=1+四

故选：D

6.C

【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.

【详解】记“视频是AI合成”为事件A,记“鉴定结果为AI”为事件B,

贝尸(4)=0.001,尸(1)=0.999,尸(到A)=0.98,尸„)=0.04

由贝叶斯公式得：

P（A）P（BA）

尸«忸)=\0.001x0.98

P（A）P（B\A）+P（A）P（B\A）0.001X0.98+0.999X0.04

故选：c.

7.D

【分析】利用特殊的长方形(即边长与椭圆的轴平行)求得蒙日圆方程，进而可求得直线乙

4x-3y+20=0为圆的切线，由勺尢,=-1,即可得出结果.

二+匚1

【详解】由椭圆0：97可知：a=3,b=R,

当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和2近，

其对角线长为66+28=8,因此蒙日圆半径为4,圆方程为『+/=16,

当/为直角时，可知点当尸在圆X2+/=16,

d=T==4

因为°到直线4》-3歹+20=°的距离为J16+9,

所以直线/：4x-3y+20=°为圆的切线，

,=4=_3

因为直线,一5,3自户=一1,所以一4.

故选：D.

8.A

£]_

【分析】由条件得到。=6L6=41从而得到i=216,叱=256,即可得出心“，构造函

数了=(l+x)*(x>l),利用函数的单调性，即可判断出c>b,从而得出结果.

loga=--logb=--

【详解】由fi4,得到。=6、又43,所以6=43,

所以=(64)12=216,尸=(43严=256,又256>216,

所以产>储2,又。>01>0,得到

111,'1/1A1

”,1、Inj=—ln(l+x)~y=—ln(l+x)+--

令>=(l+x)x(x>l),贝u"x'所以y无7x(l+x),

y=[--4ln(l+x)+1](1+X)x=士X)、[无一(1+X)ln(l+无)]

得到XX(I+X)X(l+x),

令/z(x)=x-(1+x)ln(l+x),贝M'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)<0在区间(1,+功上恒成立，

所以〃(x)=x-(1+x)ln(l+x)在区间(1,+s)上单调递减，

—>0

y/!(l)=l-(l+l)ln(l+l)=l-21n2=l-ln4<0；当xe(l,+oo)时,/(1+无),

£

y'=.[x-(l+x)ln(l+x)]<0

得到无一(1+X)在区间(1，+8)上恒成立，

£

所以广(1+X尸在区间(1，+00)上单调递减，

11

又e<3,所以c=0+e>>(1+3尸=6,得到c>6>a,

故选：A.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断仇c的大小，通过构造函数>=(i+x)，(x>i),利

用导数与函数的单调性间的关系，得函数>=(1+幻*(苫>1)的单调性，即可求出结果.

9.BD

【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.

【详解】对于A,直线。可能在平面。内，可能与平面。相交，也可能平面。平行，故A错

误.

对于B,设直线/为平面。内的任意一条直线，因为a'a,/ua,所以a'/,

又a〃6,所以6",即6与。内任意直线垂直，所以故B正确.

对于C,若a"。，bua,则直线。与直线6可能平行，也可能异面，故C错误.

对于D,过直线。作平面力，使得平面,与平面夕相交，设aCl〃=.，

因为。〃a,a[\p=m?au/3,所以0//加，

又"mua,所以6L优，贝ijb，。，故D正确.

故选:BD

10.BD

【分析】利用二倍角公式化简“幻，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.

(,2K

f(x)=-cos2a)x+--sin2+一=-cos2a)x-\-----0

I3

【详解】

———T—TX,-.....'CO—]

对于A,根据条件，可得22'-2s…,故A错误;

对于B,

_兀

所以直线x-%为/（X）的一条对称轴，故B正确;

(,2兀

-cos-----71

/00=,将/（X）向左平移3个单位长度后可得

对于C,当。=1时,I3

为非奇非偶函数，故c错误；

2兀2K2K

对于D,由题意“e[°，2兀],则3-C°X+3一3,因为人）在上恰有9个零,

-----W4G兀H<-------<①<—

所以232,解得2424,故D正确.

故选：BD.

11.ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本不

等式的性质即可判断.

【详解】对于A,由2'+2.=1,可得2.=1-2，>0,2--2，用>0,

所以尤<0且了+1<0,即"-1，故A正确;

y-1丁一1

+2>+u+U

对于B,

2222八

>5+2.-----------------二9

V2y

222-T

当且仅当〒一下一，即*=〉=一10823时，等号成立,

丁一1

+

所以的最小值为9,故B正确;

对于C,因为2'+2"i=1>2,2*.2-=2,2M

也工+刈<J_2x+y+1<—=2-2

可得一2,即~4,所以x+"-3

当且仅当2、=2内，即x=P+l=T,即x=Ty=-2时，等号成立,

所以x+了的最大值为-3,故C错误;

对于D,因为2，=1一22则*=2(1->)=2-42

X-1

2x+y=2y+2x+l=2y+2(l-2y+1)=2-3・2,<2

2I+

所以L,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正

各项均为正；二定—积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件,

就会出现错误.

12.而

【分析】根据题意，求得z+2i=l+5i,结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由复数z=J3i,可得』=l+3i,贝色+2i=l+5i,所以匕+21卜|1+51上后

故答案为：而

1,77=1

2nx3n-\n>2

13.

°+&+，…+-=3"--2

【分析】当”=1时求出%，当时23«-1，作差即可得解.

a、a.

tz.+—+—+•••+^=3"-2(neN*,n>l)

【详解】因为23n

当"=］时％=3,-2=1

当时为+争告+…+④_=3"T_2

n-1

2=3“一3"T=2X3”T

所以«

所以%=2"x3'i

l,w=1

〃-1a

当几=1时％=2〃x3〃一不成立，所以n〃2"X3"T,〃22

1,w=1

2〃X3"T,〃22

故答案为:

14.y=±6x

【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得℃,08,再求/工℃的正切值，进而即可

求得渐近线方程.

【详解】根据题意，作图如下:

依题意，为“。8的角平分线，且|C8|=4|O/|=4|C4|=4a,

OBAB

----=3

\OC\=m,由角平分线定理可得:0B\=3m

设OCAC,则

\ACf+\COf-OA^_m2m

cosZOCA二

在AO/C中，由余弦定理2\AC\\CO2am2a

在△08C中，由余弦定理可得，1。川=1。。「+忸。「-2|OC|.忸C|cosNOC4,

m2G

9m2=m2+16Q2—2x冽x4ax——

即2a,解得a3

cosZCOA=cosZOCA=一=——厂

故2a3,tan/CCU=j2,

所以「的渐近线方程是y=士瓜.

故答案为：丫=士区.

【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：

①直接求出出6,从而得解；

②只需要根据一个条件得到关于“，"c的齐次式，转化为“乃的齐次式，从而得解;

③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.

15.（1）列联表见解析，能

8

⑵15

【分析】（1）由已知数据完成2x2列联表，计算与临界值比较得结论;

（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.

【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3：2,则运动达标人数为

3

100x——=60

3+2

运动达标的女生与男生的人数比为2：1,则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20

人,

2x2列联表为

运动达标情况

性别合计

运动达标运动欠佳

男生20525

女生403575

合计6040100

零假设为〃。：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关,

100x(20x35-5x40)250

z2«5.556>3.841,

60x40x25x759

根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H。不成立，

即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.

(2)因为“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，

按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，

P8

则选中的2人中恰有一人是女生的概率为屋15_

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)由题意，将问题转化为g(x)=a(x2T)-L0产［1,+0)恒成立，利用导数讨论

函数g(x)的单调性，即可求解.

【详解】(D由于"3°,则切点坐标为「⑼,

1+-1-Inx

X

/'(X)=/⑴毛,

()一，所以切线斜率为

因为x+1

y-0=-(X-l)y=-X--

故切线方程为-2，即-22

⑵当工昼必+/)时，—等价于Inx-1

人g(x)=XG。,+功

，/、c12a二2—1

lnxWQ(x2_i)milg(x)>0g(x)=2Qx-：=-

X/恒成乂，则占I)恒成“，x',

当aW0时，g'(x)V0,函数g(x)在L+00)上单调递减，g(x)Vg(l)=0,不符合题意;

0<Q<—X=>1

当2时，由g3=0,得2a

时，g'(x)V0,函数gG)单调递减，g(x)«g(l)=0,不符合题意;

«>1

当2时，2a>l,因为所以2a/—120,则g'(x)20,

所以函数g(x)在I+")上单调递增，g(x"g(l)=O,符合题意.

«>1

综上所述，2.

17.(1尸

⑵8

【分析】(1)将平面/所延展得到点尸，再利用相似三角形求解即可.

(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.

【详解】⑴由正三棱柱/BO48c中，四=/8=2,

又因为点E#分别为棱8用，4G的中点，可得//=NE=石

如图所示，延长“尸交CG的延长线于M点，

连接龙化交4G于点P,则四边形NEPE为所求截面,

过点E作3C的平行线交0C于N,

所以AMPGfMEN

国=屿=殁，±二

因此ME肱V£N3,所以।3।3.

(2)以点A为原点，以所在的直线分别为％z轴,

以过点A垂直于平面的直线为X轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

因为/8=2,可得V」」），

则万=（0,1,2）,荏=伊,1,1）

n-AE=y/3x+y+z=0,

设平面AEF的法向量为五=6%z）,则卜/尸=y+2z=0,

y=-2,x=-^=拓

取z=l,贝|JJ3,所以W3人

取5c的中点。，连接因为△N8C为等边三角形，可得ND18C,

又因为8瓦，平面/8C,且NOu平面/5C,所以4°，5月，

因为3CnB8i=B,且8C,83iu平面BCC4,所以平面BCC4,

3小前（由3小

D—，-，°AD=­

又由I人可得<A

所以平面的一个法向量为加=g，3，°）,

设平面AEF与平面B℃自的夹角为a,

cosc=|cos.|=R=*

则11Ml«l8,

5

所以平面/E尸与平面BCC自夹角的余弦值为W.

显

18.⑴2

（2）①证明见解析；②3亚

y[22

【分析】（1）首先得到G、G的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得a2正一讨,从而

by/2

得到「一下一，再由离心率公式计算可得；

（2）①设"（X。'X）,则直线「用的方程为，-%=K（x-x。），进而与椭圆C联立方程，并

结合判别式得由一2）-一2x。%左+苏-1=0,同理得到6-2尤-2xo岫+V；-1=0,进而

*卓式=2-底

得不一2,再根据2即可求得答案;

②由题知椭圆02的标准方程为-+2y2=l,进而结合点尸在椭圆C2上得七一一5,故设

1

直线尸4的斜率为左，则直线尸4的斜率为2k,进而得其对应的方程，再与椭圆G联立方

程并结合韦达定理，弦长公式得匹、MM,进而得匹+河.

H+2=1

【详解】（1）对于椭圆G：2+'一，则长轴长为2近，短轴长为2,焦距为2,

22

xy

椭圆G：/十记」（">">"的长轴长为2。，短轴长为%,焦距为242-〃，

V2_2组虫

依题意可得02正一及，所以£一彳，

V2_2_V2；"2兰+J]

（2）①由相似比可知，a^a2-b22,解得历=也，所以椭圆G：4+2~

设"（X”。），则直线尸瓦的方程为了一为=左（"一/），即了=幻+%-左x。,

记"%一讣。，则股的方程为尸编+1,

将其代入椭圆G的方程，消去九得Q将+1*+4卬x+2/-2=0

因为直线尸片与椭圆C有且只有一个公共点，

所以A=（4讶-4（2"+1）（2/-2）=0,即2将I+1=0,

将/=为_幻0代入上式,整理得（片-2片_2x。%匕+7：-1=0,

同理可得（X：__2/%与+y；T=0,

所以《，%2为关于％的方程（X；一2）*-2无。"+/-1=0的两根,

又点"（x0，K）在椭圆,2彳+万一1上,

y„=2--Xg

所以2°,

设尸。3，%），易知直线尸4、P4的斜率均存在且不为0,

%公

kk

PAtPA2

所以W+1工3—1X；—1

因为尸（工3,%）在椭圆G上，所以后+2只=1,即％；T=-2*,

2

1

所以X,—12

设直线P4的斜率为左，则直线04的斜率为一天,

所以直线尸4的方程为k”(尤+1).

y=46+1）

X22

2+了=1得（1+2左2）^+4左2为+2左2-2=0

由

-4k22k2-2

设。。4，为)，£伍5)，则七+%=币记，ZX5=1户,

所以m司=7T7F氏一引=小(1+〃)[(匕+工57-4x4X5]

2应（1+左2）

-4k2|-4X^4

1+2左2Il+2k21+2-

V2（l+4^2）

\MN\=1+2后2~

同理可得

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(11)、(22)；

(2)联立直线与圆锥曲线