2024届湖北省八市高三年级下册3月联考数学试卷（学生版+解析版）

2024届湖北省八市高三下学期（3月）联考

数学试卷

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟

★祝考试顺利★

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={1,2}I={2,3},C={1,2,3,4},则（）

A.AnB=0B.ALB=CC.AC=CD.AfC=B

2.若a=（2,—3）,b=（—1,2）,则a-（a+2Z?）=（）

A.-5B.-3C.3D.5

3.设复数1+i是关于x的方程分2—2分+》=0（。161＜）的一个根，则（）

A.a+2b=0B.a—2b=0C.2a+b=0D.2a—b—Q

4.如图，在正方体ABC。—451cl。中,P,M,N分别为AB,BB],的中点，则与平面MNP垂直的直

线可以是（）

O

BC

A.A}BB.A]DC.AGD.AC

5.已知今天是星期三，则6,-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

6.己知函数/（力为偶函数，其图像在号处的切线方程为x—2y+l=。，记/（£）的导函数为

广⑴，则八-1）=（）

A.」B.1

C.-2D.2

7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（）

8.设直线/：x+y-1=0,一束光线从原点。出发沿射线y=区（x>0）向直线/射出，经/反射后与天轴

交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若卜等，则上值为（）

321

A.—B.—C.-D.2

232

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100

名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（）

L0

S9

8

O.S7□感兴趣

S6□不感兴趣

S5

S4

S3

S2

1

O.S0

女生

男生

数学兴趣

性别合计

感兴趣不感兴趣

女生aba+b

男生Cdc+d

合计a+cb+d100

参考数据：本题i（人）

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.表中a=12,。=30

B.可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多

C.根据小概率值a=0.05的%2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异

D.根据小概率值1=0.01的力2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异

10.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=工的图象是双曲线，设其焦点为若p为其

X

图象上任意一点，则（）

A.y=是它的一条对称轴B.它的离心率为J5

C.点（2,2）是它的一个焦点D.归闸—户训=2&

11.已知函数/（》）=加+陵2+0；+2存在两个极值点石,/（王<%2），且/（%1）=-X1，f（X2）=X2■设

/（九）的零点个数为机，方程3a[〃力了+2好（x）+c=0的实根个数为〃，则（）

A.当a>0时，〃=3B.当〃<0时，m+2=n

c.相〃一定能被3整除D.m+八的取值集合为｛4,5,6,7｝

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若tan[e+：]=3,则tan6=.

13.设等比数列｛4｝前几项和为S“，若3s2〉S6〉0,则公比9的取值范围为.

14・记留奇"（X）｝，者吸｛”“）｝分别表示函数4X）在，，可上的最大值和最小值・则葬%]

3腌M+"-2占卜一.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，已知AB=2点,4。=2指,。=工.

4

（1）求8的大小；

（2）若6C>AC,求函数/（%）=5皿2%-5）-5皿2》+4+。）在[一兀,兀]上的单调递增区间.

16.如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔Is向左或向右移动一个单位，设每

次向右移动的概率为。（0<。<1）.

（1）当p时，求5s后质点移动到点0的位置的概率；

（2）记3s后质点的位置对应的数为X,若随机变量X的期望E（X）>0,求2的取值范围.

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5，点、M在PD上,

点N为的中点，且PB//平面MAC.

(1)证明：CM//平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN与平面M4c夹角的余弦值.

22

18.已知双曲线G：/—3=1经过椭圆C,:「+y2=i的左、右焦点耳,耳，设的离心率分别为

ba

G©,且e©=-^~­

(1)求G，G的方程;

(2)设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线p耳与。2交于A3两点，直线PK与G交于CD两

点，设的中点分别为M,N,记直线肱V的斜率为左，当左取最小值时，求点P的坐标.

19.英国数学家泰勒发现泰勒公式有如下特殊形式：当/(九)在尤=0处的"(weN*)阶导数都存在时，

〃司=/⑼+广⑼》+/?/+/乎》3++/芈％〃+1.注：广⑺表示“对的2阶导

数，即为/'(X)的导数，/㈤(无)(论3)表示〃力的。阶导数,该公式也称麦克劳林公式.

(1)根据该公式估算sin』值，精确到小数点后两位；

2

2462

(2)由该公式可得：cosx=l-—+—-—+.当无20时，试比较cosx与1—乙大小，并给出

2!4!6!2

证明；

£11

(3)设〃wN"证明：白/人14〃+2・

J(n+k)tan------

n+k

2024届湖北省八市高三下学期(3月)联考

数学试卷

本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置，

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A={1，2},5={2,3},C={1,2,3,4},则()

A.-0B.AB=CC.A,C=CD.AC=B

【答案】C

【解析】

【分析】由并集交集的概念即可得解.

【详解】由题意＞^3={2},4_3={1,2,3},4)。={1,2,3,4}=。,4。={1,2},对比选项可知只有C

选项符合题意.

故选：C.

2.若。=(2,—3),b=(—1,2),则a-(a+2Z?)=()

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.

【详解】由题意可知。+2》=(0,1),

所以a,(a+2Z?)=2x0+(―3)x1=—3,

故选：B

3.设复数1+i是关于X的方程分2—2分的一个根，则(

A.。+2匕=0B.a—2b=0C.2a+/?=0D.2a—b-0

【答案】D

【解析】

【分析】将1+i代入方程结合复数的乘法运算即可得解.

【详解】将1+i代入方程得：a(l+i)2—2a(l+i)+》=0,得一2。+人=0,即加一〃=0.

故选：D.

4.如图，在正方体ABC。—44cl2中，尸,M,N分别为A5JB用,JD。的中点，则与平面MNP垂直的直

线可以是()

A.AXBB.ADC.AqD.A。

【答案】D

【解析】

【分析】作出与平面肱VP平行的平面4用2,证明a。，面4与2即可.

【详解】连接A耳,3Q,A2，AG，AC,如下图所示:

因为P,M,N分别为45,3环。2的中点，故必＞〃4用，BR//MN,

又MP•面ABQ],A3]U面ABtDt,故MP〃面ABXDX；

又W面ABQi，用2u面Ag2,故〃面A42；

又MPcMN=M,MP,MNu而MNP,故面ACVP〃面人用2；

则垂直于平面MNP的直线一定垂直于面；

显然CC[±面4耳。]£>1,B[D]U面AIB1C1DI,故BR1CQ,

又3]£>]_L4G，AGccc1]=G，AG，CGu面4G。，

故用2,面AGC,又ACU面AGC,故

同理可得AC±又AB]nBR=4,ABX,BRu面ABtDt,

故4。，面AM",也即4。，面4WP；

若其它选项的直线垂直于平面肱VP,则要与4。平行，显然都不平行.

故选：D.

5.已知今天是星期三，则6,-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

【答案】A

【解析】

【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.

【详解】6,—1=（7—I）,—1

=C°77+C；76x（—I?+C/5x（-l）2++C>ix（-l）6+C；7°X（-1）7-1

=C°77+C/6x（—U+C»5x（—I?++C.71x（—I1—2.

即67-1除以7的余数为5,所以67-1天后是星期一.

故选：A.

6.已知函数”X）为偶函数，其图像在点（1,7。））处的切线方程为x—2y+l=0,记〃尤）的导函数为

广⑴,则r（-1）=（）

11

A.----B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到r（i）,再利用奇函数的的性质求/'（-1）.

【详解】因为/(X)为偶函数，所以/(%)=/(—X),两边求导，可得x)]n

/'(x)=/'(—无>(—力=/'(x)=—/'(一%)-

又/(%)在(1,/⑴)处的切线方程为：x-2y+l=0,

所以/”)=g.

所以广

故选：A

7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为()

A1Bi0出口2小

5555

【答案】C

【解析】

【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.

JT

【详解】设A<3<C=—，根据题意可得cosC=0,且cosC+cosA=2cos瓦

2

JI

即2cos5=cosA,又A+5=—，则2cos5=2sinA,2sinA=cosA,

2

解得tanA=g,又则$垣4=乎.

故选：C.

8.设直线/：x+y-1=0,一束光线从原点。出发沿射线丁=履(1\0)向直线/射出，经/反射后与x轴

交于点再次经x轴反射后与y轴交于点N.若卜芈，则上的值为()

321

A.—B.-C.-D.2

232

【答案】B

【解析】

【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求。关于直线/的对称点A,后求直线好，可得/、N两点

坐标，进而由=乎可得h

【详解】如图，设点。关于直线/的对称点为4(%,%),

Ai

即"

Mx(—i)=—1

由题意知y=与直线/不平行，故左w—1,

y=kx1k

%+y—1=0上+1'k+1

故直线AP的斜率为kAP=上抖一=

直线AP的直线方程为：y-l=-（x-l）,

令y=。得尤=1一左，故M。一女,0）,

令％=0得y=l—故由对称性可得N10,g—1],

由|MN|=平得（1—左）2+1：—1）=!|,即（左-2（左+g[=1|，

解得左+—1=上13，得左=2—或左=±3,

k632

若左=；3,则第二次反射后光线不会与v轴相交，故不符合条件.

2

故a=2,

3

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100

名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（）

0

9

8

7□感兴趣

6□不感兴趣

5

4

3

2

1

0

女生男生

数学兴趣

性别合计

感兴趣不感兴趣

女生aba+b

男生Cdc+d

合计a+cb+d100

2

,,2n(ad-bc)

参考数据:本题中)(c+d)(a+c)0+d)亡3.94

a0.10050.010.0050001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.表中a=12,。=30

B.可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多

C.根据小概率值a=0.05的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异

D.根据小概率值0.01的/独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据分层抽样的定义及等高条形图的特点即可得出2x2的列联表中的数据，利用列联表中的数据计

算观测值，再跟临界值进行比较即可求解.

【详解】由题可知，抽取男生人数为600x®=60人，女生抽取的人数400义®=40人，

10001000

由等高条形图知，抽取男生感兴趣的人数为60x0.5=30人，抽取男生不感兴趣的人数为60x0.5=30人,

抽取女生感兴趣的人数为40x0.3=12人，抽取女生不感兴趣的人数为40x0.7=28人，

2x2的列联表如下

数学兴趣

性别合计

感兴趣不感兴趣

女生122840

男生303060

合计4258100

由此表可知，a=12,c=30,故A正确；

2a30

女生不感兴趣的人数约为400X—=280人，男生不感兴趣的人数约为600X—=300人,

4060

所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误;

零假设为“°：性别与对数学的兴趣没有差异

100x(12x30-28x30)2

K2=-3.941>3.841

40x60x42x58

依据小概率值a=0.05的独立性检验，有充分证据推断“0不成立，

因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异；故C正确;

零假设为“°：性别与对数学的兴趣没有差异

/_100x(12x30-28x30)2

-3.941<6.635

40x60x42x58

依据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据推断HQ不成立，

因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异；故D正确.

故选：ACD.

10.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=」的图象是双曲线，设其焦点为若尸为其

X

图象上任意一点，则（）

A.y=一%是它的一条对称轴B.它的离心率为J5

C.点（2,2）是它的一个焦点D.||PM|-|P^||=2V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及。，c即可逐一判断求解.

【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为0,

容易知道y二工是实轴，＞=一%是虚轴，坐标原点是对称中心，

联立实轴方程y=无与反比例函数表达式y得实轴顶点(1,1),(-1,-1),

所以a=0,c=2,其中一个焦点坐标应为(0,吟而不是(2,2),

由双曲线定义可知归闾—|PN，=2a=2直.

故选：ABD.

11.已知函数/(0=加+氏2+o:+d存在两个极值点内＜/),且/(%)=_%],/(X2)=X2.设

"%)的零点个数为加，方程3a[/(力了+2好(x)+c=O的实根个数为“，则()

A.当a＞0时，〃=3B.当a〈0时，m+2=几

C.机”一定能被3整除D.机+〃的取值集合为{4,5,6,7}

【答案】AB

【解析】

【分析】分。＞0和。＜0两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析/(x),/(/(x))

的零点分布，进而可得结果，

【详解】由题意可知/'(x)=3ar2+2/zx+c为二次函数，且石，%(/＜%)为了'(力的零点，

由/'(•/'(x))=3a[〃x)T+2妙(x)+c=。得/(九)=%或/("=工2,

当a〉0时，令/'(%)＞0,解得彳＜%或x＞尤2；令/'(“＜°，解得不＜%＜马；

可知：/(%)在(—,西),(々,+8)内单调递增，在(如X2)内单调递减，

则X]为极大值点，巧为极小值点，

若石＞0,则一石＜0＜%，

因为/(石)＞/(%2),即一不＞々，两者相矛盾，故国＜。,

则/(%)=%有2个根，/(%)二石有1个根，可知〃=3,

若/(%2)=工2,可知m=1,mn=3,m+n=4；

若f(W)二42二。，可知根=2,mn=6,m+n=5；

若/(%2)=%2<0，可知"2=3,m〃=9,〃z+〃=6；

故A正确；

当a＜0时，4/f（%）＞0,解得占＜尤＜%；令/'（%）＜0，解得x＜%或x＞/；

可知：/（X）在（王,龙2）内单调递增，在内（一8,%）,（W，+00）单调递减，

则巧为极大值点，X］为极小值点,

若<0，则一X]>0之W,

因为/（玉）＜/（兀2）,即一玉＜々，两者相矛盾,故々〉0,

若/(毛)=一芯>0，即%<°，可知m=1,〃=3，m"=3,m+”=4；

若/(%)=—%=°，即%=°，可知加=2，〃=4，"帆=8,m+”=6；

若/(%)=—%,<°，即无]>°，可知机=3,n=5,mw=15,m+«=8；

此时帆+2=〃，故B正确；

综上所述："加的取值集合为{3,6,8,9,15},加+〃的取值集合为{4,5,6,8},

故CD错误；

故选：AB.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求

解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与无轴的交点情况进而求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若tan[e+：]=3,则tan6=.

【答案】—#0.5

【解析】

【分析】由两角和的正切公式求解即可.

兀

(\tan9+tan—

【详解】由tane+f=3可得：-----------工=3,

I4)1—tanPtan乌

4

即tan"+l=3,解得：tane='.

1-tan02

故答案为：:

13.设等比数列｛%｝的前几项和为S“，若3s2>S6>0,则公比q的取值范围为.

【答案】(-LO)U(O,1)

【解析】

【分析】由3s2〉S6〉0可得。1(1+/)>0,01g—1)<0,讨论q〉0或q<0,即可得出答案.

[详解]由s=。1(1—1)=q(l-/)(1+0=q(1-4)(4+d+1)(1+43)

61-q1-q1-q

=q(g+q2+1)(1+/),

因为“+/+l=[q+g]+：>o，所以由S6〉0,

可得q(l+q3)>0,

由3s2>臬可得3q+3aM>〃1(9+才+1)(1+/),

即3〃](1+q)>%(1+4乂/+Q+1)(q?—q+i),

即3q(1+q)>q(1+q)(q，++1),

即-l+-l)(q2+2)>0,即+(g—l)(g2+2)〉0,

则％(q-l)<0,因为q#0

若见〉0,贝人;十；；Q°，解得：(-l,0)o(0,1),

1+/<0C

若％<0,贝I],解得：q&0,

k-i>o

所以公比q的取值范围为：(-i,o)u(o,i).

故答案为：(―l,O)u(O,l).

14.记喘]"(X)}，般巾(初分别表示函数/(司在[。,可上的最大值和最小值.则口里]

NMM+”一2册|}卜一■

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，由9+"-2册卜卜6-1)2+m-11设〃为变量，可通过分类讨论求出

maxJ|m+«-2册|},再求出当加目―3,3]时的最小值；或由卜6—+机—1|在〃10,9]时的最大值

只可能在〃=0或〃=1或〃=9处取得，结合图象可得原式的最小值.

【详解】由—2册|=|(6—1)2+m—11设〃为变量，

max1|加+〃-=max1+m-l

ne[0,9]11\)ne[0,9][\)

令1=—+机-11当〃=0时，Z=|m|,当〃=1时，t=|m-1|,当〃=9时，t=|m+3|

最大值只可能在〃=0或〃=1或〃=9处取得，

所以/=卜6—+机—1|的最大值为max{|m—1],|加+3|},

m+3,m>-1

所以max｛加+〃_

HS[0,9](I-m+l,m<-1

当mq-3,3]时，原式的最小值为2.

或者由,+〃—=卜册—1)2+m在〃G[0,9]时的最大值只可能在〃=0或

〃=1或〃=9处取得，令/=|(6-I)?+加一1],当〃=0时，?=|m|,当”=1时，t=|772-1|,

当〃=9时，t=\m+3\,结合图象可得原式的最小值为2.

【点睛】关键点睛：读懂题意，分析忸+“-26卜|(新—1户+根—最大值只可能在〃=0或"=1或

=9处取得，所以/=|(M—I)?+771-11的最大值为max||m-l|,|m+3|).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在」WC中，已知A3=2j5,AC=2j§,C=吗

4

(1)求8的大小;

(2)若BC>AC,求函数/(x)=sin(2x—3)—sin(2x+A+C)在［—兀，兀］上的单调递增区间.

-1217T

【答案】(1)5=三或5=式1

3

7兀兀5兀n兀

(2)-71,--—，兀

12121212

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解;

(2)利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.

【小问1详解】

中，由正弦定理可得:

ABAC宜1=亚c

—.即后一sinB，解得sin5=Y3

sinCsmB-^―2

2

又0<5<兀，故5=彳或JB=——.

33

【小问2详解】

JT2兀

由5C>AC,可得力>B,故3=—,A+C=—.

33

/(x)=sinf2x-j-sinf2x+7T

=sin2x---sin2x+n-—

333

=2sin^2x-^,

'llJi'JIJijJi

令----b2kli<2x——<—+2左兀,keZ，解得----bEVxK—+左兀，keZ.

2321212

I7兀7i5兀11兀

[一兀，兀，取左二—1,得一兀Vx<----；取左=0,得----WxW—；取左=1,得----<%<71,

」12121212

77rjr57r11jr

故/(九)在［—兀，兀］上的单调递增区间为一兀，-二,-—,——,71

16.如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔Is向左或向右移动一个单位，设每

次向右移动的概率为p(O<p<l).

仁615-°41HGi；；；；1

(1)当P=；时，求5s后质点移动到点。的位置的概率；

(2)记3s后质点的位置对应的数为X,若随机变量X的期望E(X)>0,求。的取值范围.

【答案】(1)三

16

(2)-<p<1

3

【解析】

【分析】(1)利用独立重复实验的概率求解

(2)写出随机变量可能值，利用期望大于0解不等式求解.

【小问1详解】

5s后质点移动到点。的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，

所求概率为：C；xp2x(l—p)3=C；x［；］='.

【小问2详解】

X所有可能的取值为一2,0,2,4,且

P(X=-2)=Cl(l-p)3=(l-p)3,

尸(X=0)=C；M1_,)2=3,(1_,)2,

P(X=2)=Clp2(l-p)=3p2(l-p),

p(X=4)=C；/=p3,

由£（X）=_2（l_p）3+2x3p2（l_p）+4p3〉0,解得p〉g,

又因为故0的取值范围为§<p<1.

17.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=非，点、M在PD上,

点N为的中点，且P3//平面MAC.

（1）证明：CM//平面。AN；

（2）若PC=3,求平面PAN与平面MAC夹角余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵小

63

【解析】

【分析】（1）连接3。交AC与点。，根据题意证得£M//CN且EM=CN,得到四边形EMCN为平行

四边形，得出CM//EN,结合线面平行的判定定理，即可证得CM//平面。AN；

（2）取A3的中点S,证得PS,平面ABCD,以S为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAN

和平面M4c的法向量机=（2,T,-1）和〃=（2,—2,1）,结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：连接3。交AC与点。，连接ON,可得平面尸加与平面MAC的交线为ON,

因为P5//平面M4C,PBu平面PBD，所以P3//OM,

又因为。为5。的中点，所以点M为P£）的中点，

取己4的中点E，超妾EM,EN,可得EM//AD且

2

又因为N为的中点，可得CN//AO且CN=j4。，

2

所以EM//CN且EM=CN,所以四边形EMCN为平行四边形，所以&0//RV,

又因为平面。AN,且ENu平面0AN,所以CM//平面PAN.

【小问2详解】

解：取A5的中点S,连结PS,CS,

因为PA=P3=&',可得尸SJ_A5,且ps=JPB2_5s2=2，

又因为SC=1BC。+RS?=非，且PC=3,

所以尸。2=尸$2+5。2,所以PSLSC,

又因为SC=S,且A3,SCu平面ABC。，所以PS,平面ABCD,

以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S-孙z,

可得A（-1,0,0）,5（1,0,0）,C（l,2,0）,D（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因为〃为PO的中点，N为BC的中点，可得g』」）,N（LL0）,

则AP=（l,0,2）,PN=（Ll,—2）,AM=[g,l,l）"C=[m/,-l}

（AP=x+2z—0

设帆=（%,%,zj是平面PAM的法向量，贝叶

[加•PN=玉+%—22]=0

取％=2,可得y=—4,z=-1,所以加=（2TT），

3

n-AM=-x2+y2-z2-0

设力=（%，%，22）是平面MAC的法向量，贝卜

MC=g9+%+22=0

取X=2,可得y=—2,z=l,所以〃=（2,-2,1）；

Im-nl1111J21

设平面上47V与平面跖IC的夹角为。，则COS6=H4=—==———,

|m||n|3V2163

即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为丑叵.

63

22

18.已知双曲线和：/一与=1经过椭圆。2：=+丫2=1的左、右焦点右,工，设G，C2的离心率分别为

ba

q,e2,且€^2=,

(1)求的方程；

(2)设P为C1上一点，且在第一象限内，若直线尸耳与。2交于A3两点，直线尸心与。2交于C，。两

点，设的中点分别为M,N,记直线肱V的斜率为左，当左取最小值时，求点尸的坐标.

22

【答案】(1)G的方程为V-、=1，G的方程为5+>2=1

(2)P(V3,2)

【解析】

【分析】(1)由题意可得f―1=1，匕生•"解方程即可求出/42,即可求出G，C,

1a~2-

的方程；

(2)设直线P£,P心的斜率分别为3左2，由题意可得左他=2,设直线尸耳的方程为：y=《(x+l),

联立J+V=l可得同理可得'I当'Ui］即可求出直线"N的斜

率为左，再由基本不等式即可得出答案.

【小问1详解】

依题意可得片―1=1，得"=2，

由的2=乎，得=］解得〃=2，

22

故G方程为/—匕=1,C的方程为土+丁=1.

222

【小问2详解】

易知大(—1,0),耳(1,0),设p(x0,%)，直线PK，PK的斜率分别为匕,&，

2

=

贝I'】=F1&=%［，柩2*2°1'尸(不，为)

x0+1x0-1%0-1

22

在C"—]_=1,即有靖―21_=1,

可得左=*7=2为定值.

v-i

设直线P耳的方程为：y=^（%+1）,联立、+y2=l可得

2-

（26+1）%2+4好1+2（左：-1）=0,4>0恒成立,

设人（七，%），5（%2，%）>则有为+%=“211，

可求得“

设直线尸工的方程为：y=Zr2（x-l）,C（x3,y3）,D（x4,y4）,

同理可得N

k]k2

k_2婷+广2左2?+l_,（2左22+1）+左2（2左2+1）

则一2婷।2k；-2婷（2左2?+lj+2左2?（2婷+1）

2婷+12^2+1

_（22+1）（%+%2）_________（2k+1）（勺+&）

8婷质2+2（婷+&2）8婷4+2•+&『-2她一

5（.+匕）

由…可得:-24+2（之广

点尸在第一象限内，故自〉左〉0,

555A/3

k=----——

24+2（%+&）2日小2化而~24

k、+k?

24

当且仅当近=2化+右），即勺+&=26时取等号,

而左1+网>2J左左2=2&，故等号可以取到.

即当左取最小值时，勺+&=26，联立左他=2,

可解得1,&=6+1，

故尸耳的方程为：y=(G—1)(x+l),P£的方程为：y=(、行+1)(

别为配修，由题意可得左他=2,联立直线「耳与椭圆的方程求得〃，联立直线尸入

与椭圆的方程同理可得N，即可求出直线的斜率为七,再由基本不等式即可得出

答案.

19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(%)在尤=0处的〃(〃wN*)阶导数都存在时,

/(x)=/(O)+/,(O)x+^ix2+^^)x3++/⑺⑼，+L.注：尸(无)表示/(X)的2阶导

n\

数，即为尸(力的导数,/⑺(无)(〃之3)表示的，阶导数,该公式也称麦克劳林公式.

(1)根据该公式估算sin』的值，精确到小数点后两位；

2

2462

(2)由该公式可得：cosx=l-—+--——+.当尤NO时，试比较cosx与1—土的