2024年高考数学专项复习：排列组合之分堆问题（解析版）

2024年高考数学专项复习排列组合专题05分堆问题（解析版）

专题5分堆问题

例L现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、

司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为5，

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

（C工+c；c；）用

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊

都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是+C；用

例2.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到4B,。三个集中医疗点，

每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去4医疗点，则不同分配种数为（）

A.116B.100C.124D.90

例3.现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年

龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另一位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与

寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）

A.10种B.40种C.70种D.80种

例4.2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保

小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）

A.150种B.240种C.300种D.360种

例5.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法；

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；

1

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法;

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；

例6.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结

论正确的有（）.

A.B.C浦C.CjCXD.18

例7.江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级（每个

班至少0个名额，所有名额全部分完）.

（1）共有多少种分配方案？

（2）6名学生确定后，分成4、B、C,。四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？

（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站

的不同方案种数.

例8.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：

（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）

（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组

方案？

（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）

例9.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.

（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？

（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

例10.有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？

（1）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本;

2

（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本;

（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

例n.（1）3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？

（2）3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？

例12.现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球.

（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）

（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）

（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率.（请用数字作答）

例13.现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.

（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案?

（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？

例14.如图，从左到右有5个空格.

（1）若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共

有多少不同的填法？

（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的

涂法？

（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？

例15.学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有种不同

的排法.

例16.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一

路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有种不同的选法.

3

例17.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科

和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.

例18.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的

分配方案有种（用数字作答）；

4

专题5分堆问题

例L现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、

司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为5，

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊

都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是+C；用

【解析】

①每人都安排一项工作的不同方法数为45,即选项A错误，

②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为即选项8错误，

③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：

（—既2H----号乙）4；,即选项C错误,

④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有G，从余下四人中安排三个岗位

故有4苛第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有,

从余下三人中安排三个岗位,故有仁耳；所以每项工作至少有一人参加，

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

+川，

即选项0正确,

1

故选：D.

例2.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到4B,。三个集中医疗点，

每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去4医疗点，则不同分配种数为（）

A.116B.100C.124D.90

【解析】

根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：

第一步：将5名医学专家分为3组

①若分为3,1,1的三组，有=10种分组方法；

C2c2

②若分为2,2,1的三组，有吃工=15种分组方法，

故有10+15=25种分组方法.

第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去/医疗点，

可分配到民C医疗点中的一个，有C；=2种分配方法，

再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有/；=2种分配方法，

则有2x2=4种分配方法.

根据分步计数原理，共有25x4=100种分配方法.

故选:B.

例3.现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年

龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另一位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与

寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）

A.10种B.40种C.70种D.80种

【解析】

（1）若亮亮不参与游戏，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5种选择：②从剩下的

4个萌娃选择2个去近处，有C；=6种选择；③最后剩下的2个去远处，完成分配，所以有5x6=30种方

2

案.

（2）若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：①从5个萌娃选择2个和亮亮去近处，有C；=10种选

择；②剩下的3个萌娃去远处，完成分配，所以有10种方案.

综上，不同的寻找方案有30+10=40种.

故选：B.

例4.2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保

小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）

A.150种B.240种C.300种D.360种

【解析】

根据题意，三个区域至少有一个安保小组，

所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：

按照1、1、3分组或按照1、2、2分组;

若按照1、1、3分组，共有60种分组方法;

若按照1、2、2分组，共有C乎X/；=90种分组方法,

根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.

故选：A.

例5.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法；

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；

【解析】

3

对/,先从6本书中分给甲2本，有猿种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2

本书给丙，有《种方法.所以不同的分配方法有C：C：C；=90种，故/正确；

对8,先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有C；种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法

有C：Z；=90种，故8正确；

对C,6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有另种方法.所以不同

的分配方法有=180种，故C正确;

C2c2ClCr

对。，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有一公,，^种方法;

44

C2c2「灯

再分给甲乙丙丁四人,所以不同的分配方法有心/=1080种,故。错误.

故选：ABC.

例6.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结

论正确的有（）.

A.C\C\C\C\B.C.C3CXD.18

【解析】

根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1~3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2

个球，剩下的2个盒子中各放1个，

有2种解法：

（1）分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有盘种分组方法；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有用种放法；

则没有空盒的放法有种;

（2）分2步进行分析:

4

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况;

②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；

则没有空盒的放法有Gc：/；种；

故选：BC.

例7.江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级（每个

班至少。个名额，所有名额全部分完）.

（1）共有多少种分配方案？

（2）6名学生确定后，分成4、B、C,。四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？

（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站

的不同方案种数.

【解析】

（1）由题意得：问题转化为不定方程占+々+&+/+/=6的非负整数解的个数，

•♦•方程又等价于不定方程X]+%+&+%+£=11的正整数解的个数，

利用隔板原理得：方程正整数解的个数为=210,

共有210种分配方案.

（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2

人，再把每一类中的人数分到月、B、C、。四个小组.

第一种分法：1人，1人，1人，3人，有盘团=480种方法；

C2c2CrCl

第二种分法：1人，1人，2人，2人，有一哈‘X一三版4；=1080种方法.

共有480+1080=1560种方法.

（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有36=729种不同的方案.

5

例8.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题:

（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）

（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组

方案？

（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）

【解析】

（1）由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,

共=75种不同的建组方案.

8x7x6xS

（2）由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共=----------=70种，其中只有男医生

Ix2x3x4

的情况数有=5，不可能存在只有女医生的情况.故共有70-5=65种不同的建组方案.

C3355

（3）由题，男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为竦===忑•故男医生甲与女医生乙不被同时选中的

G12618

概率为1-52=廿13.

1818

例9.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.

（1）若5本书完全相同,每个同学至少有一本书，共有多少种分法?

（2）若5本书都不相同，共有多少种分法?

（3）若5本书都不相同,每个同学至少有一本书，共有多少种分法?

【解析】

（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用,

在4个空位中任选2个，插入挡板，有=6种情况，

即有6种不同的分法；

（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法,

则5本不同的书有3x3x3x3x3=35=243种;

6

(3)根据题意，分2步进行分析:

①将5本书分成3组,

C3cl

若分成1、1、3的三组，有T^=l0种分组方法，

4

若分成1、2、2的三组，有与4=15种分组方法,

4

则有10+15=25种分组方法;

②将分好的三组全排列，对应3名学生，有耳=6种情况,

贝！I有25x6=150种分法.

例10.有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？

(1)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

(2)分成三组，一组4本，另外两组各1本；

(3)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【解析】

(1)先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，

再将3组分配给3人有4种，故共有C\C]Cl4=360种；

(2)只需从6本中选4本一组，其余2本为2组，即以=15种；

(3)分步处理，先从从6本中选4本给丙，其余2本分给甲乙各一本，

即以=30种.

例11.(1)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？

(2)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？

【解析】

(1)根据题意，3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，

每个小球有4种放法，则3个小球有4x4x4=64种不同的放法;

7

（2）根据题意，分2步分析：

①将3个小球分成2组，有C；=3种分组方法，

②在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有团=12种选法，

则恰有2个空盒的放法有3x12=36种.

例12.现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球.

（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）

（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）

（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率.（请用数字作答）

【解析】

（1）7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有2；可期期=144种方法；

（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有工^=70种分法;

（3）当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，A=

c】c2

当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，P2=2；3

当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，夕3=

24

P=P1+P2+P3=

故各种颜色的球都必须取到的概率为丁.

35

例13.现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.

（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案?

（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？

【解析】

8

（1）根据题意，分3步进行分析:

①、在7人中选出4人，将其分到育才中学，有C；=35种选法；

②、在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有C；=3种选法；

③、将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况，

则一共有35x3=105种分配方案；

（2）根据题意，分2步进行分析：

①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1,有=105种分组方法,

②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有@=6种情况，

则一共有105x6=630种分配方案.

例14.如图，从左到右有5个空格.

（1）若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共

有多少不同的填法?

（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的

涂法?

（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法?

【解析】

（1）利用排除法：96种.

（2）根据乘法原理得到：共有3x2x2x2x2=48种涂法.

C2-C2

（3）若分成2-2-1-1-1的5组，则共有75种分法;

若分成3-1-1-1-1的5组，则共有2种分法,

故共有4=16800种放法.

9

例15.学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有种不同

的排法.

【解析】

根据题意，分2步进行分析：

①先将5名学生分成3组,

若分成1、1、3的三组，有隼@=10种分组方法,

4