2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数3+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）⩾0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）3．（5分）设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为ŷ=0.84x﹣86.71．若该中学女生的平均身高为160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg4．（5分）设a→与b→均为单位向量，它们的夹角为θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π35．（5分）设a=A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．（5分）现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（）A．25 B．40 C．150 D．2407．（5分）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，则关于t的不等式f（t）+f（2t+1）⩾0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，N是l与x轴的交点，M（3，0）．过此抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足记为点Q，PF与MQ相交于点T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）甲、乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）A．乙地在这8日内最高气温的极差为8°C B．甲、乙两地12日温差最大 C．甲地这8日平均气温为20°C D．甲地的75百分位数是21.5°C（多选）10．（5分）已知{an}为各项为正数的等比数列，a2=14，a5=2．记Sn是数列{an}的前nA．数列{an}的公比为2 B．S2C．数列{log2an}为等差数列 D．数列{log2an}的前n项和为n11．（5分）若函数f(x)=cos(ωx+A．单调递增 B．单调递减 C．有最小值，无最大值 D．有最大值，无最小值（多选）12．（5分）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小顾5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，则tanx的值为14．（5分）(x-2x)15．（5分）现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为．16．（5分）若存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，则a+b的值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知各项不为零的数列{an}满足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通项公式；（2）记数列{anan+1}的前n项和为Sn，证明：Sn＜118．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周长的最大值．19．（12分）“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一．南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：首选传统景区首选网红景点总计男性2030女性1220试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4．如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（χ2⩾k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.82820．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．21．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求S△22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，讨论f（x）的单调性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）＝f（x2），且x1+x2＝2，求

2022-2023学年江苏省南京师大附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数3+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：3+ii=1﹣3i，在复平面内对应的点（1故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）⩾0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） D．（1，+∞）【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞1}，A∪B＝（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）．故选：C．3．（5分）设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n），用最小二乘法建立的经验回归方程为ŷ=0.84x﹣86.71．若该中学女生的平均身高为160A．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg D．58.69kg【解答】解：经验回归方程为ŷ=0.84x﹣令x＝160得，y＝0.84×160﹣86.71＝47.69，所以该中学女生的平均体重的估计值是47.69kg．故选：A．4．（5分）设a→与b→均为单位向量，它们的夹角为θ．若|aA．[0，π3) B．[0，2π3【解答】解：a→与b→均为单位向量，其夹角为θ，若|a→+则（a→+b→）即有a→2+b→2+2a→•b→即为cosθ＞-1由0≤θ≤π，可得0≤x故选：B．5．（5分）设a=A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵log85=∴c＜a＜b．故选：D．6．（5分）现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（）A．25 B．40 C．150 D．240【解答】解：5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，可分为1，1，3和1，2，2两种情况：若按1，1，3分组，共有C51C41C33若按1，2，2分组，共有C51C42C22因此，不同安排方案的种数为60+90＝150种．故选：C．7．（5分）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sinx，则关于t的不等式f（t）+f（2t+1）⩾0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1] B．(-∞，-13] C．[﹣1，+∞）【解答】解：∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx≥2﹣2cosx≥0，当且仅当x＝0时取等号，∴f（x）在R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣f（x），∴由f（t）+f（2t+1）≥0得，f（t）≥f（﹣2t﹣1），∴t≥﹣2t﹣1，解得t≥-∴原不等式的解集为[-1故选：D．8．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，N是l与x轴的交点，M（3，0）．过此抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足记为点Q，PF与MQ相交于点T，若TN→+TP→=A．33 B．233 C．3 【解答】解：由题意，作图如下：由TN→+TP→=MT又因为F（1，0）为M（3，0），N（﹣1，0）的中点，所以TM→+TN→=所以T为PF的三等分点，且TP＝2TF，又因为PQ∥MF，所以△TMF与△TQP相似，且MFQP所以QP＝2MF＝4，不妨设P（x0，y0），且在第一象限，QP=x0+p2=x0+1＝4因为点P（x0，y0）在抛物线上，所以y0＝23，所以根据相似关系可得yT=1故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）甲、乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）A．乙地在这8日内最高气温的极差为8°C B．甲、乙两地12日温差最大 C．甲地这8日平均气温为20°C D．甲地的75百分位数是21.5°C【解答】解：A：乙地在这8日内最高气温的极差为23°C﹣16°C＝7°C，故A错误；B：甲地12日气温最高，乙地12日气温最低，所以甲乙两地12日的温差最大，故B正确；C：甲地这8日平均气温为19+17+18+21+22+24+19+208=20°C，故D：甲地这8日的气温从小到大排列为：17，18，19，19，20，21，22，24，则8×75%＝6，所以甲地的75百分位数是21+222=21.5°C，故故选：BCD．（多选）10．（5分）已知{an}为各项为正数的等比数列，a2=14，a5=2．记Sn是数列{an}的前nA．数列{an}的公比为2 B．S2C．数列{log2an}为等差数列 D．数列{log2an}的前n项和为n【解答】解：对于A：已知数列{an}为各项为正数的等比数列，a2所以a5=a2q3，解得对于B：由条件得：an=2×2故S2n=18×(2对于C：由于log2an对于D：log2an=log22n-故选：ABC．11．（5分）若函数f(x)=cos(ωx+A．单调递增 B．单调递减 C．有最小值，无最大值 D．有最大值，无最小值【解答】解：因为ω＞0，0＜x＜π2，所以0＜ωx又因为0＜φ＜π所以0＜ωx+φ＜(1+令t＝ωx+φ，则0＜t＜(1+因为y＝cost在（2kπ，2kπ+π），k∈Z上单调递减，所以当(1+ω)π2≤π，即0y＝cost在（0，(1+ω即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π因为y＝cost在（0，(1+ω即f（x）＝cos（ωx+φ）在（0，(1+ω)π当(1+ω)π2＞π当(1+ω)π2＞2π故选：B．（多选）12．（5分）如图，圆锥VAB内有一个内切球O，球O与母线VA，VB分别切于点C，D．若△VAB是边长为2的等边三角形，O1为圆锥底面圆的中心，MN为圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确的是（）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3 B．平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C．四面体CDMN的体积的取值范围是(0，D．若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PM+PN最大值为2【解答】解：依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E，连接VO1，如图，正△VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO1上，VO1=3则球O的半径OO1=33，所以球O的表面积S＝4πr2＝4π圆锥的侧面积S′=12×2π×2＝2π，∴球的表面积与圆锥的侧面积之比为2：3由题意可得点C，D是边AV，BV的中点，∴CO1∥VB，∵CO1⊂平面CMN，VB⊄平面CMN，∴VB∥平面CMN，∴平面CMN截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确；由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分，设M到平面VAB的距离为d（0＜d≤1），即VCDMN＝2VM-CDO1=2×13S△CO1D×d由题意可得EP=12O1B=12，EO1=32，∴O1P2则有PO1＝MO1＝NO1＝1，即PM⊥PN，因此PM2+PN2＝MN2＝4，由均值不等式得：PM+PN2≤PM2+当且仅当PM＝PN时取“＝”，故D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小顾5分，共20分）13．（5分）已知tan（x+π4）＝2，则tanx的值为1【解答】解：∵已知tan（x+π4）＝2，∴tanx+11-tanx=2故答案为：1314．（5分）(x-2x)【解答】解：(x-令3-3r2故展开式的常数项为T3＝（﹣2）2C62＝60故答案为60．15．（5分）现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为1115【解答】解：设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的是黑球”，则P（B1）=23，P（B2）=13，P（A|B1）=45，P（A所以P（A）＝P（A|B1）•P（B1）+P（A|B2）•，P（B2）=4故答案为：111516．（5分）若存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，则a+b的值为1e【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，x∈R，则f'（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0得x＝0，由f'（x）＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，∴当x＝0时，f（x）取得极小值也是最小值，即f（x）≥f（0）＝0，∴ex≥x+1在x∈R上恒成立，∴ea≥a+1①，eln（be）≥ln（be）+1＝lnb+2②，由①+②得ea+be≥a+lnb+3，当且仅当a＝0，ln（be）＝0，即a＝0，b=1又存在实数a，b使得ea+be⩽a+lnb+3，故当a＝0，b=1e时使得ea+be⩽a+lnb+3成立，此时a+b故答案为：1e四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知各项不为零的数列{an}满足：a1＝1，2an+1an+an+1﹣an＝0（n∈N*）．（1）求a2，a3，并求{an}的通项公式；（2）记数列{anan+1}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1【解答】解：（1）因为2an+1an+an+1﹣an＝0，a1＝1，所以an≠0，所以1a所以数列{1an}是以所以1a所以an故a2=1证明：（2）由（1）得：a所以Sn＝a1a2+a2a3+⋯+an+1an=1所以Sn18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2sinB，cosBcosC（1）求c；（2）求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）由cosBcosC结合正弦定理可得cosBcosC整理得sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosC，所以sin（B+C）＝2sinAcosC，因为A+B+C＝π，所以sinA＝2sinAcosC，因为A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosC=又因为C∈（0，π），所以C=又bsinB=c（2）由余弦定理，得cosC=所以a2+b2＝ab+c2＝ab+3，则(a所以a+b⩽所以△ABC周长a+b+c的最大值为3319．（12分）“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一．南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：首选传统景区首选网红景点总计男性2030女性1220试判断是否有90%的把握认为是否首选网红景点与性别有关；（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4．如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为X，求X的分布列和期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（χ2⩾k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828【解答】解：（1）假设H0：是否选择网红景点与性别没有关系．由题意，补全2×2列联表如下：首选传统景区首选网红景区合计男性201030女性81220合计282250根据独立性检验公式可知，χ2因为当H0成立时，χ2⩾2.706的概率约为0.1，所以有90%的把握认为，是否首选网红景点与性别有关．（2）由题意知，随机变量X服从二项分布B（3，0.4）．P(P（X＝0）＝0.216，P（X＝1）＝0.432，P（X＝2）＝0.288，P（X＝3）＝0.064，故X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064所以X的期望值E（X）＝np＝3×0.4＝1.2．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1．（1）证明：BD⊥CC1；（2）点M是棱BC上靠近点C的三等分点，求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】解：（1）证明：四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1，CC1延长后交于一点，故A，C，C1，A1共面，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA1⊥BD，连接AC，因为底面四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，故BD⊥平面ACC1A1，因为CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1；（2）过点A作BC的垂线交BC于点N，以AN→方向作为x轴，以AD→，方向为y轴，以AA不妨设A1B1＝1，则AB＝2AA1＝2A1B1＝2，∵∠ABC＝60°，∴BN=1∵点M是棱BC上靠近点C的三等分点，∴BM=则A(0则AD记平面AMD1的法向量为n→=(x即y+z=03x+13y平面ADD1的法向量可取为m→由图知二面角M﹣AD1﹣D为锐二面角，故二面角M﹣AD1﹣D的余弦值为|cos21．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求S△【解答】解：（1）∵离心率为2，∴ca=2，即c＝2a，则a2+b2＝c2＝4a即b2＝3a2，则双曲线方程为x∵双曲线经过点P（4，6），∴16a2-363a2∴C的方程为x2（2）由题意，点M坐标为（1，6），点N坐标为（0，6），设A（x1，y1），B（x2，y2）．法一：①若直线AB斜率存在，设直线AB方程为y＝kx+m，x24-y212=1y=kx+m，消去y可得（3﹣k2）x则3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0，且x1k1整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0，即(m化简得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0，即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0，因为直线AB不过点P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0，所以直线AB的方程为y＝k（x+2）+6，恒过定点Q（﹣2，6）．②若直线AB斜率不存在，则x1＝x2，y1+y2＝0．则k1解得x1＝x2＝﹣2，所以直线AB的方程为x＝﹣2，过定点Q（﹣2，6）．综上，直线AB恒过定点Q（﹣2，6）．法二：∵直线AB不过点P（4，6），∴可设直线AB方程为m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1．由x24-即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0，即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）]•[m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0，得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0，等式左右两边同时除以（x﹣4）2得(12nΔ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0，k1+k所以直线AB方程为-16⋅(x-4)+设点M到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2，S△22．（12分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣bx+2．（1）若a＝0，讨论f（x）的单调性；（2）若a=12，存在x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）＝f（