2022-2023学年广东省广州五校联考高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一

（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

l-2i

1.（5分）已知复数2=（z•是虚数单位），则2对应的点在（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

TT7TTT

2.(5分)已知平面向量a与b为单位向量，它们的夹角为］贝1J|2a+b|=（）

A.V2B.V3C.V5D.V7

1x〉0

3.（5分）已知函数/'（x）=X',则方程f（尤）-3w=0的解的个数是（

3+2,x<0

A.0B.1C.2D.3

4.（5分）函数y=sin(x+亨)sin(x+[)的最小正周期是（)

71n

A.-B.-C.71D.2n

42

5.（5分）下列不等式恒成立的是（)

ba

A.-+->2B.ccbN(-2-)

ab

C.a+b>2j\ab\D.〃之+序2-2ab

6.（5分）已知a,6是两条不重合的直线，a,p,丫是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（

A.若〃〃a,0〃a,则a〃BB.若a_L0,6zJ_p,则〃〃a

C.若a_Ly，P-Ly»贝|a〃0D.若〃〃a,b.La,则Q_LZ?

7.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫

星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为加将地球看作

是一个球心为O,半径为一的球，其上点A的纬度是指。4与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上

某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观

测点的纬度值为。，观测该卫星的仰角为0,则下列关系一定成立的是（）

r+hhr

A.------=---------------B.------=---------------

cospcos(a+0)cospcos(a+6)

r+hrhr

C.------=--------------D.------=--------------

sinRsin(a+/3)sin0sin(a+/?)

8.（5分）已知正方体ABC。-4810的边长为2,M是381的中点，点尸在正方体内部或表面上，且

MP〃平面A81O1,则动点尸的轨迹所形成的区域面积是（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置

涂黑.

（多选）9.（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23,25,13,10,13,12,19（单位。C）.则

（）

115

A.该组数据的平均数为7-

B.该组数据的中位数为13

C.该组数据的第70百分位数为16

D.该组数据的极差为15

7T1

（多选）10.（5分）把函数/（x）=siru•的图象向左平移三个单位长度，再把横坐标变为原来的5倍（纵坐

标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（无）的说法正确的是（）

A.最小正周期为TT

B.在区间［-9福上的最大值为日

C.图象的一个对称中心为（―/0）

D.图象的一条对称轴为直线乂=需

（多选）11.（5分）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且/=%（b+c）,则下列结

论正确的有（）

A.A=22

B.8的取值范围为（0,£

CL_

C.3的取值范围为（鱼，V3）

11cps

高I+2s出力的取值范围为（罢，6）

tanB

（多选）12.（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A,C,E,尸是顶点，B,。是所在棱的中点，则

在这个正方体中，下列结论正确的是（）

A.8尸与AE异面

B.BP〃平面AC。

C.平面C£»F_L平面

2

D.OE与平面AB。所成的角的正弦值是］

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.（5分）已知树人中学高一年级总共有学生〃人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例

n

分配抽取一名学生参加湿地保护知识竞赛，己知参赛学生中男生比女生多10人，则〃=.

10-----------------

14.（5分）在直角三角形ABC中，已知AC=2,BC=2®NC=90°,以AC为旋转轴将△ABC旋转

一周，AB,边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面

积的最大值为.

15.（5分）己知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球。的球面上，若球。的表面

积为8TT,则此正四棱台的侧棱长为.

16.（5分）如图是正八边形尸GH,其中。是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条

->—>

边上的动点.若。4=2,则该八边形的面积为，OP-4B的最小值

为___________________.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案

无效

17.（10分）已知函数/（无）=sin（-2x）+cos（-2x）,xER.

(1)求函数/(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数无)在［0,刍上的最小值及相应自变量的值.

18.(12分)5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6〜17岁的儿童青少

年肥胖率接近20%,肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指

数(BodyMassIndex,缩写股以)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的数值标准为：BMI

<18.5为偏瘦；18.5W即〃<24为正常；24WBM/V28为偏胖；BM/228为肥胖.为了解某公司员工的

身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员

工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的值并将女员工的团团值绘制成如图

所示的频率分布直方图：

(1)求图中a的值，并估计样本中女员工值的70%分位数；

(2)已知样本中男员工值的平均数为22,试估计该公司员工2M/值的平均数.

频率

■W

0.13----------1——

o

o

O

o

o

O

值

19.(12分)在△A8C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足2bcosC=2a-c.

(1)求角B-,

(2)如图，若△ABC外接圆半径为亍，。为AC的中点，且BD=2,求△ABC的周长.

20.(12分)近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不

考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式"=为"2计算火箭的最大速度v(单位：mis}.其

中旬(单位mis}是喷流相对速度，相(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是

M

推进剂与火箭质量的总和，一称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000初s.

m

参考数据：/«230^5.4,1.648<e°-5<1.649.

(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来

1

的3若要使火箭的最大速度增加500Ms,记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于T

的最小整数？

21.(12分)如图，已知四棱锥P-ABC。的底面A8CD为梯形，AB//CD,fA=PD=PB,BC=CD=1,

77"7T

A2=2,ZBCD=直线朋与底面ABC。所成角为一.

54

(1)若E为PD上一点且PE=2ED,证明：P3〃平面ACE；

(2)求二面角P-AD-B的余弦值.

22.(12分)设。为正数，函数/(x)满足/(0)=1且/(%)=f(^-%).

(1)若/(1)=1,求/(x)；

(2)设g(x)=log2(x-2y[x+2),若对任意实数总存在xi,12中-1,什1],使得/(xi)-/(X2)

2g(X3)-g(X4)对所有X3,4]都成立，求〃的取值范围.

2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一

(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

(分)已知复数=排是虚数单位)，贝眩对应的点在(

1.5zd)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

l-2i_(l2i)(lT)_J-3i

【解答】解：因为z=i,贝吃=一卷+

1+ii)2

因此，2对应的点(一，当在第二象限.

故选：B.

一TT7TT

2.(5分)已知平面向量a与b为单位向量，它们的夹角为〜则|2a+b|=()

A.V2B.V3C.V5D.V7

_»—>_»―>_»_>1

【解答】解：Va-b=\a\'\b\cos<a,b>=cos^—于

22

：.\2a+b\=J|2a+b\=J4而2+4a-b+\b\=V4+2+1=V7.

故选：D.

±%〉o

3.(5分)已知函数/Q)=~,则方程/(x)-3^=0的解的个数是()

、％+2,x＜0

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：令/(x)-33=0,得/(x)=3叫

则方程/(x)-3卜1=0的解的个数即函数＞=/•(%)与函数y=3国的图象的交点的个数.

作出函数y=/(x)与函数＞=3田的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2,

故方程的解的个数为2个.

故选：C.

C.TTD.2n

-

【解答】解：•・,函数y=sin（x+亨）sin(x+J)(sinx+堂cosx)•cosx=isinxcosA：+

222

iRl+cos2x1yr

=彳sin2x+/・------------=-sin（2%+亍）

42223

271

，函数的最小正周期是—=m

2

故选：C.

5.（5分）下列不等式恒成立的是（）

baD入、,a+b、2

A.-+->2B.ctb之(-2-)

ab

C.a+b>2j\ab\D./+廿、-2ab

【解答】解：对于A：a,b异号是显然不成立，:.A不正确；

对于5：a,异号是显然不成立，.'.B不正确；

对于Ca,/?均小于0时，显然不成立，工。不正确；

对于。：*.*（a+b）22o（。，/?eR）,.,.<22+Z?2^-lab（m/?GR）,.二。正确；

故选：D.

6.（5分）已知〃，是两条不重合的直线，a,P，丫是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A.若a〃a,0〃a,则a〃0B.若。_10,a_LB，贝U〃〃a

C.若a_Ly,p±y,则a〃0D.若a〃a,b_La,则

【解答】解：对于A：若a〃a,0〃a,贝或au0,故A错误;

对于5：若aJ_0,a_L0,贝!Ja〃a或〃ua,故5错误；

对于C若a_Ly,B_LY，则a〃0或a与0相交；故C错误；

对于。：若4〃a,则过〃作平面5,5Oa=m,贝〃机，由b_La,则b_Lnt,则〃_Lb,故。正确.

故选：D.

7.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫

星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为瓦将地球看作

是一个球心为0,半径为〃的球，其上点A的纬度是指04与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上

某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观

测点的纬度值为。，观测该卫星的仰角为0,则下列关系一定成立的是（）

r+hYhr

A.----=----------B.----=----------

cos0cos（a+0）cospcos（a+6）

r+hrhr

C.----=---------D.----=---------

sin0sin（a+P）sin0sin（a+0）

【解答】解：如图所不，/B=5—a—S，

OA0B

由正弦定理可得

sinBsinZ.OAB'

「rr+h

即---n------=---n---,

sin(--a-/?)si九(万+0)

rr+h

化简得

cos(a+0)cos/7’

8.（5分）已知正方体A3C0-ALBCLDI的边长为2,M是5办的中点，点尸在正方体内部或表面上，且

"尸〃平面A31O1,则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

【解答】解：如图所示，E,F,G,H,N分别为BiCi,CiDi,DDi,DA,4B的中点,

则EF〃BiDi〃NH,MN//B1A//FG,

平面MEFGHN〃平面ABiDi,

二动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.

:正方体ABCD-AiBiCiDi的边长为2,

：.EF=FG=GH=HN=NM=ME=V2,

即六边形EFGHNM是边长为迎的正六边形,

则其面积S=6xxV2xV2x孚=3V3.

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置

涂黑.

（多选）9.（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23,25,13,10,13,12,19（单位。C）.则

（）

115

A.该组数据的平均数为一

7

B.该组数据的中位数为13

C.该组数据的第70百分位数为16

D.该组数据的极差为15

【解答】解：将23,25,13,10,13,12,19从小到大排列为10,12,13,13,19,23,25,

23+25+13+10+13+12+19115

对于A,该组数据的中位数为F'故A正确;

7

对于8,该组数据的中位数为13,故B正确;

对于C,由7X70%=4.9,则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19,故C错误;

对于。，该组数据的极差为25-10=15,故。正确.

故选：ABD.

7T一1

（多选）10.（5分）把函数无）=siiw的图象向左平移三个单位长度，再把横坐标变为原来的5倍（纵坐

标不变）得到函数g（%）的图象，下列关于函数g（无）的说法正确的是（）

A.最小正周期为it

B.在区间［-9焉上的最大值为三

C.图象的一个对称中心为（―1，0）

D.图象的一条对称轴为直线久=金

【解答】解：f（x）=siiu的图象向左平移三个单位长度，再把横坐标变为原来的三倍（纵坐标不变）得

32

到函数g（x）=sin⑵+亨）的图象；

所以函数的最小正周期为m

当x=金时，函数取得最大值1.

故选：AD.

（多选）11.（5分）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且/=6（b+c）,则下列结

论正确的有（）

A.A=2B

B.8的取值范围为（0,£

CL「一

C.3的取值范围为（鱼，V3）

11rF5

D.嬴+2s讥/的取值范围为（罢，6）

tanB

【解答】解：因为〃2=6（Z?+c）,又由余弦定理〃2=廿+。2-2/?CCOSA,

即b(b+c)=廿+(?-2bccosA,

所以bc=(?-2/?ccosA,所以b=c-2/?cosA,即c-b=2bcosA,

由正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcosA,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,BPsinAcosB-sin3=sin5cosA,

sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=sin5,

VA,B,。为锐角,

・・・A-8=5,即A=28,故选项A正确;

0<2B<5TIJi7171

乙m：.-<B<-孑故选项2错误;

0<TT-3B64

L

asinA2sinBcosB

=2cosBE（、/LVs）,故选项c正确;

bsinBsinB

11sinCA-B)sin(2B-B)1

-+2sinA=+2sinA=+2sinA=-------+2sinA

tanB.....tanA----------------sinBsinA------------------sinBsinA------------------sinAf

rinV3

又一<4—<sinA<1,

322

令片sinA(y贝叶⑷="+2t(孚VtVI),

由对勾函数性质可知，/（t）=H2t在te（5，1）上单调递增,

又人:)=击+2x^=等，/(I)=1+2xl=3,

T

1115\/3

-------+2sinA=—+2sinAe(―,3),故选项。错误.

tanBtanA

故选：AC.

（多选）12.（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A,C,E,尸是顶点，B,。是所在棱的中点，则

在这个正方体中，下列结论正确的是（）

A.8尸与AE异面

B.〃平面AC。

C.平面C£）F_L平面ABO

一2

D.OE与平面A3。所成的角的正弦值是§

【解答】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中3,D分别为NP,AM中点,

对于A,平面EFPN=E,EFPN,EiBF,

与为异面直线，A正确;

对于8,连接8。，DG,

H

,：B,。分别为AM,NP中点，C.BD//AP,BD=AP,

5LAP//FG,AP^FG,J.BD//FG,BD=FG,四边形BDGP为平行四边形,

J.BF//DG,又平面OGu平面AC。，：.BF//^ACD,8正确；

对于C,假设平面CDEL平面ABD成立，

VAGX^FffiABD,AGC平面AB。，；.AG〃平面CDF,

：AGu平面AGCM,平面AGCAfC平面C£>F=CZ),：.AG//CD,显然不成立,

假设错误，平面CDF与平面A3。不垂直，C错误;

对于D,连接。N,

直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，

•/EN_L平面AMNP,：.ZEDN即为直线DE与平面AMNP所成角，

设正方体棱长为2,

;DE=yjEN2+DN2=JEN2+MN2+(^AM~)2=。4+4+1=3,

:.sin/EDN=畏=',即直线。E与平面ABD所成角的正弦值为玄。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.(5分)已知树人中学高一年级总共有学生“人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例

n

分配抽取一名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则”=1000.

10-------------

【解答】解：树人中学高一年级总共有学生a人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，

并按比例分配抽取一名学生参加湿地保护知识竞赛，

10

已知参赛学生中男生比女生多10人，

n

按比例分配抽取一名学生参加湿地保护知识竞赛，

10

则参赛学生中男生人数为550X*=55人，

参赛学生中女生人数为55-10=45人，

：.n=(55+45)X10=1000.

故答案为：1000.

14.(5分)在直角三角形ABC中，已知AC=2,BC=2^3,NC=90°,以AC为旋转轴将△ABC旋转

一周，AB,8C边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面

积的最大值为8.

【解答】解：如图，圆锥任意两条母线为AB,A。，则截面为等腰△A8。，

1

截面面积为SAABD=^XABXADXsinZBAD,

由图可知当截面为圆锥轴截面时，/BAD最大,最大为120°,

ZBADE(0°,120°),最大值为1,

\'AB=AD=y/AC12+BC2=V4+12=4为定值，

当sinZBAD最大时截面面积最大，

，截面面积最大为-x42X1=8.

2

故答案为：8.

15.（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球。的球面上，若球0的表面

积为8m则此正四棱台的侧棱长为

【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为。C,AB,则由球。的表面积为8m可得球。的

半径R=V2,

又正四棱台的上下底面边长分别是1和2,故DC=V2,AB=2近,

所以球O的球心正好在A8中点，故OA=0B=0C=OD=五,所以△OOC是正三角形，故NOOC=

ZZ）OC=60°,所以△OD4是正三角形，

故此正四棱台的侧棱长A£>=Q4=V2.

A――-----

故答案为：V2.

16.（5分）如图是正八边形ABCDEFGH,其中。是该正八边形的中心，尸是正八边形ABCDEFGX八条

边上的动点.若。4=2,则该八边形的面积为8位，茄•薪的最小值为i2V2_.

［解答］解：在正八边形ABCDEFGH中,

77

OB=0A=2,ZAOB=?

q

所以正八边形ABCDEFGH的面积为8sA3=8x^x2X2s呜=8&；

因为=0A2-+0B2-20A-OBcos-^8-4近,

4

所以48=V8—4V2,又cos竽=2cos2等—1=一孝,所以cos券=??&

所以&•薪=2xV8-4V2xCOS（TT-^）=2V2-4,因为。尸•ZB=（。4+AP）-AB=0A-AB+

4P•

—>—>—>T—>—>—>—>—>—>—>—>—>

因为。P=（。4+4P）=。。2•48+4P-aB,又。力SB为定值，所以。P•4B取最小值时，即

取最小值，

—>—>

又设〈AP,AB)=e,

-»—>—>―>—>—>—>

所以4P•48=|4B|•|AP|cose,所以APSB取最小值时，即|4P|cose取最小值，

—>—>—>—>

又|4P|cos。表示向量4P在向量4B上的投影，故MP|cos8取最小值时，

点P不可能在路径BCDE上(在此路径上。为锐角)，所以点尸在路径EFGHAB上,

延长2A与GH延长线交于M点，

则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH=52鱼-2,

所以2+-4近,

—>—>—>

所以当点尸在G8上时，向量力Pi在向量力B上的投影最小，即|4P|cos8最小，

^\AP\cos6=-\AM\=-72V2-2,

所以办.AB)min=78-4V2X(-72V2-2)=4-4位，

所以（OP-AB）min=2V2-4+4-4V2=-2&.

故答案为：8V2；-2V2

MAB

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案

无效

17.(10分)已知函数/(%)=sin(-2x)+cos(-2%),xER.

(1)求函数/(%)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数无)在[0,身上的最小值及相应自变量的值.

【解答】解：⑴因为/(久)=cos2x-s讥2x=V^cos(2久+处)，

由题意得：7=名—冬=兀，即最小正周期为TT;

JT

由2/CTT42%+彳4yr+2kji,k£Z,

解得：一g+kn《x4-g—Fkjt,k€Z,

故函数/(x)的单调递减区间为[一工+Mr,"+/OT](keZ)；

(2)由久e[0,今得2x+今e琮，系]'

cos(2x+e[-1,-^],

：.f(x)在区间[0,刍上的最小值为―企，

当cos(2x+/)=—1,即2%+空=兀，所以久=券时/'(x)7nin=

18.(12分)5月H日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6〜17岁的儿童青少

年肥胖率接近20%,肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指

数(BodyMassIndex,缩写BJW)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的数值标准为：BMI

<18.5为偏瘦；18.5W8M/V24为正常；24WBM/V28为偏胖；8WN28为肥胖.为了解某公司员工的

身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员

工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BA〃值并将女员工的8M值绘制成如图

所示的频率分布直方图：

(1)求图中°的值，并估计样本中女员工8M/值的70%分位数；

(2)已知样本中男员工值的平均数为22,试估计该公司员工值的平均数.

【解答】解：(1)由题意，2X(0.08+0.13+4+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03)=1,

解得。=0.10,

因为2义(0.08+0.13+0.10)=0.62<0.7,2X(0.08+0.13+0.10+0.06)=0.74>0.7,

故70%分位数在［22,24)之间，

设为无，则0.62+0.06*(%-22)=0.7,

解得尤=孕.

70

故估计样本中女员工值的中位数为三；

(2)由题意，样本中女员工值的平均数为：

2X(17X0.08+19X0.13+21X0.10+23X0.06+25X0.07+27X0.02+29X0.01+31X0.03)=21.64,

1

故估计该公司员工即〃值的平均数尤=高乂(22X60+21.64X40)=21.856.

19.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足26cosc=2a-c.

(1)求角&

2A/6

(2)如图，若AABC外接圆半径为可，。为AC的中点，且80=2,求△A8C的周长.

【解答】解：⑴因为次。sC=2.-c,由余弦定理可得如空萨=2.一,

整理可得：«2+c2-b2=ac,再由余弦定理可得c^+c2-k=2accosB,

1

可得cos3=1,BE（0,n）,

可得8=枭

（2）设△ABC外接圆半径为M,设外接圆的半径为r,由正弦定理可得：-=2r,

3sinB

由（1）可得AC=6=2x竽x字=2/，

。为AC的中点，可得AZ）=CD=yC=VL

在AABC中，由余弦定理可得cosB=2ac—=a，

可得。-信=碇，可得（a+c）2=b2+3ac—8+3ac,①

而BD=2,

AD2+BD2-AB22+4-AB26-AB2

在△AOC中，由余弦定理可得cos/4DC=

2ADBD_2xV2x2-4姓，

DC2+BD2-BC22+4-BC26-BC2

在△BCD中，由余弦定理可得cos/BDC=

2DC-BD2X&2-472）

又因为/AOC,/BOC互为补角，所以cos/AOC+cos/8OC=0,

所以6-A#+6-BC2=0,

即/+02=12,所以（q+c）2=i2+2ac②,

由①②可得a+c=2V5,

所以△ABC的周长为a+b+c=2西+2夜.

20.（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不

考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式u=先"3计算火箭的最大速度v（单位：加/5）•其

中to（单位mis）是喷流相对速度，相（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是

M

推进剂与火箭质量的总和，一称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000M/S.

m

参考数据：加230p5.4,1.648<e°-5<1.649.

（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来

的点若要使火箭的最大速度增加500/"/s,记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于T

的最小整数？

【解答】解：(1)v==2000xZn230«2000X5.4=10800m/5；

(2)Vi=v0In—=2000/n—.v2=^voln-^~=3000Zn

1ummz2u3m3m

要使火箭的最大速度增加5Q0m/s,

则％-Vi=3000/n^--2000/n—=500,

乙13mm

日口M.,M.

即：61TL□-----4Z?i——1,

3mm

•••伍(聂)6-仇(务=2仇名=1,

V1.648<(?05<1,649.；.—=27/6(44.5,44.52).

m

不小于T的最小整数为45.

21.(12分)如图，已知四棱锥P-A8CD的底面ABCD为梯形，AB//CD,PA=PD=PB,BC=CD=\,

7T7T

AB=2,NBCD=*直线必与底面ABCD所成角为一.

J4

(1)若E为PD上一点且PE=2ED,证明：尸8〃平面ACE；

(2)求二面角P-A。-8的余弦值.

DM1

所以嬴=?

又因为PE=2ED,

,DE1

所以康=?

所以EM//PB,

又因为EMu平面ACE,平面ACE,

所以尸8〃平面ACE；

(2)过产作于点R510ABCD,过尸作FOLAD于点。，连接PO,

P

AB

因为以=尸。，所以。F=AF,

又因为。尸，4。,

所以。是4。中点,

TT

•；BC=CD=1,ZBCD=p

...△8。是等边三角形.

ZABD=6Q°,

又A8=2,BD=\,

：.AD=y/AB2+BD2-2AB-BD-cos600=回

：.AD1+Bb1=AB2,

：.AD±BD,

：.OF//BD,

：。是A。中点，

二方是AB的中点,

：.PO±AD,OFLA