河南省郑州市2024届高三第二次质量预测数学试卷(含答案)

河南省郑州市2024届高三第二次质量预测数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知全集U=｛x|-l<x<5｝,集合A满足24=｛乂0«》<3｝,则()

A.OGAB.UAC.2eAD.3^A

2.数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为()

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.已知数列｛%｝为等比数列,且q=l,%=16,设等差数列出｝的前〃项和为S”,

若仇=%，则S9=()

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,

wi(加>0)为整数，若a和)被根除得的余数相同，则称a和6对模机同余，记为

220

a=b(modm).^a=C\0-2+Cl0-2++C;°-2,a三b(modlO),则人的值可以是()

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数

y=Asin。/,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为

复合音.若一个复合音的数学模型是函数/(x)=sinx+；sin2x(xeR),则下列说法正确

的是()

A./(x)的一个周期为兀8./(%)的最大值为：

C./(x)的图象关于点］则对称D./(x)在区间［0,可上有2个零点

6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且

三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀

等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为()

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

7.在平面直角坐标系中，设4(2,4),8(-2,T),动点P满足PO-PA=-1,贝U

tan/PBO的最大值为()

.2A/21。4729„2历「6

A・----D.----L.----D.

2129412

22

8.已知双曲线C：=-与=l（a>0,>>0）的左、右焦点分别为《、F,,双曲线C

ab

的离心率为e,在第一象限存在双曲线上的点P,满足e-sinNPE鸟=1,且

S△怔=4片，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

二、多项选择题

9.在复平面内，复数4=g-日i对应的点为A,复数Z2=Z]-1对应的点为5,下列说

法正确的是（）

2

A.|zJ=\z2\=1B.42=|zj

C.向量A3对应的复数是1卜区-Z21

10.如图，在矩形A54A中，人4=1，AB=4,点C,D,E与点、孰,Dx,g分别

是线段AB与A片的四等分点.若把矩形ABBA卷成以A4为母线的圆柱的侧面，使线

段AA与8片重合，则以下说法正确的是（）

4CiR与3

ACDEB

A.直线A。与。&异面B.AE〃平面A。。

C.直线DEi与平面AEDX垂直D.点G到平面DDtEt的距离为巫

71

11.已知函数/（%）的定义域为R,且/（x+y）/（x-=[/（y）T，

/⑴=1,/（2x+l）为偶函数，贝!]（）

A./（O）=OB.〃x）为偶函数

2024

C.f（2+x）=-f（2-x）D.£〃左）=0

k=l

三、填空题

12.抛物线炉=工'的准线方程为y=l,则实数。的值为.

a

1]h

13.已知不等式对任意的实数x恒成立，则巳的最大值为.

a

四,双空题

14.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=后，6=4,

37r

ccosB+a=0,贝|边。=，点。在线段AB上，^.ZCDA=—,则CD=.

4

五、解答题

15.荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历

史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，

其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局

由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人

排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相

2

互独立.

⑴求前3局比赛甲都取胜的概率；

(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

16.已知函数/(尤)=-Inx^+(l-2t72^x(a>0).

⑴若x=l是函数y=/(x)的极值点，求a的值；

⑵求函数y=/(x)的单调区间.

17.如图，在多面体D43CE中，△ABC是等边三角形，AB=AD=2,

DB=DC=EB=EC=41.

(1)求证：BC±AE；

(2)若二面角A—BC—E为30°,求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.

22

18.已知椭圆E：j+%=l(a〉6〉0)过点(0,1),且焦距为2百.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点S(l,0)作两条互相垂直的弦A3,CD,设弦A3,CD的中点分别为M,N.

①证明：直线MN必过定点；

②若弦A3,CD的斜率均存在，求△MNS面积的最大值.

19.已知数列｛%｝为有穷数列，且%eN*,若数列｛4｝满足如下两个性质，则称数列

｛。”｝为机的左增数列：①q+4+/+…+4=根；②对于使得q<%的

正整数对。")有左个.

⑴写出所有4的1增数列；

(2)当〃=5时，若存在机的6增数列，求机的最小值；

(3)若存在100的左增数列，求左的最大值.

参考答案

1.答案：B

解析：由0=何—l<x<5},^A={x|0<^<3},可得A={x|—l<x<0或3<x<5}

则UA,2eA,3eA,故B项正确，A,C,D项均是错误的.

故选：B.

2.答案：D

解析：因为8义75%=6,

所以这组数据的第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即为

2

故选：D.

3.答案：C

解析：数列{q}为等比数列，设公比为q,且％=1,ag=16,

则发=淋=16,则/=4,

ax

贝I]b5=a5=q/-4,

则品=的「地=36,

故选：C.

4.答案：B

解析：因为a=C；0.2+Cl•2?+...+C条22。,

所以a+l=Co+C02+C>22++C；；"°

22O1O10lo9

=(1+2)°=3=9=(1O-1)=C°oxlO-C；oxlO+...-C"oxlO+l,

所以a=C；oXlOi。一C；oxl()9+…一C；OX1O=1O(C；OX1O9—C；O><K)8+…—c；。),

即a被10除得的余数为0,结合选项可知只有2020被10除得的余数为0.

故选：B.

5.答案：D

解析：对于A,因为y=sinx的周期为2兀，y=；sin2x的周期为兀，所以

〃x）=sin%+；sin2九的周期为2兀，故A错误；

对于B,因为函数丁=sinx的最大值为1,y=；sin2%的最大值为;,

故两个函数同时取最大值时，/（力的最大值为

此时需满足九二百+2左兀，^eZM2^=—+2hi,keZ,不能同时成立,

22

故最大值不能同时取到，故/（力的最大值不为g,则B错误;

对于C,/（兀一%）=sin（兀-x）+；sin［2（兀一元）］=sin%-；sin2%则

/（%）+/（兀一x）=2sinxw0,

故/（x）的图象不关于点对称，C错误;

对于D,因为/（九）=sinx+；sin2x=sinx（l+cos%）=。时,sinx=0,又xe[0,7i],

所以尤=0或者x=7i；或者l+cosx=0,此时cosx=—l,又xe[0,7i],

所以％=兀，综上可知，〃可在区间［0,可上有2个零点，故D正确,

故选：D.

6.答案：C

解析：分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,

记甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件。，

记乙达到优秀等级为事件E.

由题知，尸（人）=0.5,尸（5）=0.6,P（C）=0.7,

所以P（D）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.3+0.5x0.6x0.3+0.5x0.4x0.7=0.29,

P（E）=P（ABC）=0.5x0.6x0.3=0.09.

所以P（E|D）=幽=2.

'70,2929

故选：C.

7.答案：C

解析：设P（羽y）,则PO=（-x,-y）,PA=（2-羽4一y）,

则PO.PA=-x（2-x）-y（4—y）=—l,BPx2-2x+_y2-4y+1=0,

化为（％-l『+（y-2尸=4,则点尸的轨迹为以。（1,2）为圆心，半径为2的圆,

所以5,0,。三点共线，

2

显然当直线PB与此圆相切时，tan/PfiO的值最大.

又BD=1于+G=3行,PD=2,

则PB=ylBD--PD~=A/45-4=屈,

PD22闻

贝lJtanNP80=

一百一而,

故选：C.

8.答案：A

解析：设四|=/,则归闾=/—2a,而e-sinNP耳工=1,所以sinNP耳＞=@

所以点尸到马巴的距离为归耳卜也/“耳=咛,

又闺闾=2c,所以SF/&=；•2c"，=4〃,

解得/=4a,即阀|=4a,从而归耳|=2a,

又因为sinNP4[=-=-

b

所以cos/P打工=

c

在八PFR中，由余弦定理有cos/PF[F,=-=（甸+仍）-（2。）,

c2•4〃•2c

h1Ah

所以4"=44+。2一Q2=/+4Q2,即-—丝+4=0,

aa

h

解得2=2,双曲线C的渐近线方程为2x土y=0.

a

故选：A.

9.答案：AD

解析：因为所以Z2=-g-#i,

㈤=艮|=J；+；=l，A正确;

2

叵、=-1,B错误;

由上可得AB=(-1,0)，对应复数为-1，C错误；

|zi_z2(=—g―母i=1，kq=l，D正确.

故选：AD

10.答案：ABD

解析：A选项：由图可知，。与「'平面ADC】=。，AC1是平面ADG内不过。的直

线，

所以，直线AC1与异面，A正确；

4(H后

c

B选项：由题知，AD,CE是底面圆的直径，且AOLCE,

所以四边形ACDE为正方形，所以AE〃CD,

又CDu平面A。。，AE.平面A。。，

所以AE〃平面A。。，B正确；

C选项：由题知，劣弧DE的长为1,D、=l,

所以DEwDR,所以长方形。2&E的对角线。E「'E不垂直,

所以直线。&与平面AE2不垂直，C错误；

D选项：同上可得AG2笃为正方向，所以£。，2片,

由圆柱性质可知，DD,1QDj,

又DD[DR=Dx,DDy,DRu平面DDXE}DX,

所以G2，平面

所以G。即为点G到平面月的距离，

7

记圆的半径为八贝1J2口=4,得厂=工

兀

所以=R=述,D正确.

V7T71

故选：ABD.

11.答案：ACD

解析：令x=y=0,得"⑼丁="(0)丁—"⑼]2=0,即/(o)=o,A正确;

令％=0,得/'(y)/(-y)=[/⑼T-

又"0)=0,所以y)+〃y)]=0对任意yeR恒成立，

因为/(1)=1，所以/(丁)不恒为0，

所以/㈠)+〃y)=o,即/㈠)=-〃》)，B错误;

将/(%)的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的;，纵坐

标不变，可得/(2x+l)的图象，

因为/(2x+l)的图象关于％=0对称，所以"％)的图象关于x=l对称，

所以/(力=/(2-力，

又/(“为奇函数，

所以/(2-尤)=一/(尤一2)=_/[2—(尤一2)]=—/(4—尤)=/(尤一4),

所以〃6=〃1),所以4为的周期.

由/(x)=/(x—4)可得/(x+2)=/(x—2)=—"2—x),C正确;

因为"3)=〃-1)=-=/(2)=/(2-2)=/(0)=0,/(4)=/(0)=0,

2024

所以(左)=506[/⑴+〃2)+〃3)+〃4)]=0,D正确.

k=l

故选：ACD.

12.答案：-L-0.25

4

解析：依题可知---=1,

4a

贝!ja=-L

4

故答案为：-L

4

13.答案：2—21n2

解析：令/=*一工+1,则x=f—1+工，不等式可化为：e'—2a«—1+4)2人对任意的实

aaa

数X恒成立，

即e'-2G+2a-b-220对任意的实数X恒成立.

设于⑦-2at+2a-b-2,则f'(t)=et-2a,

当aWO时，/'⑺>0,/⑺在R上单调递增，tTf,/«)3—8,不合题意；

当a>0时，由于'(t)=e'一2a=0可得/=ln(2a),

当/<ln(2a)时，/'⑺<0,/⑺单调递减，当/>ln(2a)时，/'⑺>0,/⑺单调递

增，

则当"ln(2a)时,/⑺mm=/(ln(2«))=4a—2aln(2a)-b-2.

因/⑺>0对任意的实数x恒成立，故/⑺疝n=/(ln(2a))=4a—2aln(2a)-b-2>0恒成

立，

h2

BPZ?<4a-2tzln(2tz)-2,贝！J—«4-21n(2a)——.

aa

令g(a)=4—21n(2a)—2,a>Q,贝ljg，(a)=—多+==

aaaa

当0<a<l时，g'(a)>0,g(a)单调递增，当a>l时，g'(a)<0,g(a)单调递减.

故g⑷皿=g6=2-21n2，

hh

即一<2-21n2,故2的最大值为2—21n2.

aa

故答案为：2-21n2.

14.答案：A/10；,I*加

2,2_72

解析：由余弦定理得：ca-+67=0,即3a?+c2—〃=0,

2ac

c2=Z?2—3tz2=16—6=10,解得：c=—A/TU（舍）或c=A/IU；

Z.22_

216+10-2_W10

在△ABC中，由余弦定理得：cosA=32——

2bc8瓦一10

sinA=A/1-COS2A=

10

心b.44而46

在△AOC中，由正弦定理得:CD=-------------sinA=x------

sinZCDA行10-I-

故答案为：M；孚.

15.答案：⑴,

8

Q

(2)分布列见解析，-

8

解析：(1)因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜,

则前3局甲都取胜的概率为尸=!」,=上

2228

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.

其中,X=0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输,则P(x=o)f；

X=1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输,

贝1JP（X=1）=!义+J_><J_=!

'722222

X=2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输,

则P（X=2）=LXL><L=!

,72228

X=3表不第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢,

则P（X=3）=WLL

,72228

所以X的分布列为

X0123

j_11

P

4288

故X的数学期望为E（X）=0XL+1X」+2XL+3XL=2.

42888

16.答案：(1)1

(2)见解析

26/X?+（1—2。2）X—CL

解析：（1）函数定义域为（O,+8）,/（X）=------------------------

因为x=l是函数y=/(x)的极值点,

所以/”)=]+。_2a2=0,解得或q=l,

因为a»0,所以a=l.此时/(力=组土口=包皿二D,

XX

令/'(%)>。得X>1,令/(%)<。得。<]<1'

「./(X)在(0,1)单调递减，在(1,+00)单调递增，所以1=1是函数的极小值点.

所以〃二1.

(2)r⑺=2加+(1—2叫…=(2=+l)(x-a)

因为aNO,所以2ax20,令/'(x)>0得x〉a；令/得0<%<a；

二所以a=0时，函数的增区间为(0,+8),

a>0时函数的单调减区间为(O,a),单调增区间为(a,转).

17.答案：(1)证明见解析

Q）与

解析：（1）取3C中点。，连接A。，E0.

△ABC是等边三角形，。为3c中点,

AOLBC,

又EB=EC,EOrBC,

AOEO=O,AO,EO^^AEO,

BC,平面AEO,

又AEu平面AEO,..BC±AE.

E

（2）连接。。，则。

由AB=AC=5C=2,

DB=DC=EB=EC=6^AO=6,£）0=1,

又AD=2,AO2+DO2=AD2,/.DOLAO,

又AOBC=O,AO,BCu平面ABC,

DO，平面ABC.

如图，以。为坐标原点，OA,OB,。。所在直线分别为x,,z轴,

建立空间直角坐标系O-孙z,

则0（0,0,。），A（A/3,0,0）,C（O,-I,O）,D（O,O,I）,

CA=（73,1,0）,CD=（0,1,1）,

设平面ACD的法向量为〃=（九,y,z）,

则即[瓜+『，

[n-CD=0,[y+z=O,

取x=l,则“=（1,—石,G）.

NAOE是二面角A—BC—E的平面角,

ZAOE=30°,

又OE=1,DE=f—,0,--

〔22；122J

则cosDE,n==--,

国〃|7

二直线DE与平面AS所成角的正弦值为乎.

丫2

18.答案：（1）二+/=1

4

（2）①证明见解析

解析：（1）依题意有匕=1,C=A/3,解得"=82+02=4,

所以椭圆的方程为土+丁=1.

4

(2)①设的：x=my+l(m^0),B(x,y),则牡：九=一—y+l(m^0),

22m

+1r,/°\0

联上1=my,故(加2+4)^2+2冲-3=o,A=16m20+48>0,M+%=~-;2m

22V7122

x+4y=4m+4

x+x=m(y+y)+2=^—

l2l2m+4

2

IL(4-m.1小计ZR4mm

故M27,?7，由---代日相，4寸N―,—

+4m+4Jm(1+4m1+4mJ

当忌r*'即3M,加4

x=j,过点

5

44m2

-?-----0------------7即痴w1时,

m+41+4m

m5m(42i

y+—；——=—r~\——d1——5——mwl,加w

m2+44(m2-1)1m2+4

(加

42-i)44m2+164

令y=0,x=直线“V恒过点K(。

5(m2+4m2+45(m2+45

当根=0,经验证直线MN过点K^，o]

综上，直线MN恒过点K1g,O).

②SMNS=SMKS+SNKS

I

m-\——

£1mm£m+m1m

----------7-l-----5----

2,542

1+4mm+424m+17m+424m2H——y+17

m

1

m-\——

1£m£t_1]

令，=m-\—