福建省厦门市2024届中考数学仿真试卷含解析

福建省厦门市海沧区鳌冠校2024届中考数学仿真试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.函数y=mx2+（m+2）x+；m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）

A.0B.0或2C.0或2或-2D.2或-2

2.已知y=JH+GZ+3,则上的值为(♦♦)

X

4433

A.-B.——C.-D.一一

3344

3.据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计

要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为（）

A.5.3x103B.5.3xl04C.5.3xl07D.5.3xl08

4.已知关于x的不等式组-l<2x+b<l的解满足0VxV2,则b满足的条件是（）

A.0<b<2B.-3<b<-1C.-3<b<-1D.b=-l或-3

5.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）

1123

A.-B.—C.—D.一

2334

6.下列实数中，结果最大的是（）

A.|-3|B.-(-rt)c.J?D.3

7.某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20,18,23,17,20,20,18,则这组数据的众数与

中位数分别是（）

A.18分，17分B.20分，17分C.20分，19分D.20分，20分

8.如图，等边AABC内接于。0,已知。。的半径为2,则图中的阴影部分面积为（）

A.y-2^/3B.三-出C.y-3^D.4万一竽

2

9.如图，一次函数y=x-l的图象与反比例函数y=—的图象在第一象限相交于点A,与“轴相交于点6,点。在y

x

轴上，若AC=3C,则点。的坐标为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,||D.（0,3）

10.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.菱形C.平行四边形D.正五边形

11.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）

12.为了解某小区小孩暑期的学习情况，王老师随机调查了该小区8个小孩某天的学习时间，结果如下（单位：小时）:

1.5,1.5,3,4,2,5,2.5,4.5,关于这组数据，下列结论错误的是（）

A.极差是3.5B.众数是1.5C.中位数是3D.平均数是3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

f2x-l>3（x-l）

13.如果不等式组I的解集是x<2,那么m的取值范围是_____

x<m

14.如图，在△ABC中，AB=AC,tanZACB=2,D在△ABC内部，且AD=CD,ZADC=90°,连接BD,若△BCD

的面积为10,则AD的长为.

15.函数y=JTM+」一中自变量的取值范围是

X—1

16.在RtAABC中，NA是直角，AB=2,AC=3,则BC的长为

17.如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是（写出一个即可）.

a

18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x?+bx+c过4,B,C三点,点A的坐标是（3,0）,点。的坐标是（0,

-3）,动点P在抛物线上.b=,c=,点3的坐标为；（直接填写结果）是否存在

点P,使得AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由；

过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点O,过点。作x轴的垂线.垂足为F,连接E尸，当线段E尸的长度

最短时，求出点P的坐标.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：

剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中

随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）.

请解答下列问题：请补全条形统计图和扇形统计图；在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？若

该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？学校教务处要从这些被调查的女生中，随

机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

20.（6分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1,2,3的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅

拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下

小球上的数字.

（1）用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；

（2）求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率P.

21.（6分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面。处发射，当火箭到达点A,B时，在雷达站C测得点

A,B的仰角分别为34。，45°,其中点O,A,B在同一条直线上.

（1）求A,B两点间的距离（结果精确到0.1km）.

（2）当运载火箭继续直线上升到D处，雷达站测得其仰角为56。，求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离（结

果精确到0.1km）.（参考数据：sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.1.）

22.（8分）如图（1）,P为4ABC所在平面上一点，且NAPB=NBPC=NCPA=120。，则点P叫做△ABC的费马

点.

（1）如果点P为锐角AABC的费马点，且NABC=60。.

①求证：AABP^ABCP；

②若PA=3,PC=4,则PB=.

（2）已知锐角△ABC,分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点.如图（2）

①求NCPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

图⑴图（2）

23.（8分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节

目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.

学生最喜爱节目的人数学生最喜爱节目的人数

条形统计图扇形统计图

⑴求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

⑵在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

（3）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那

么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？

24.（10分）如图，矩形ABCD中，。是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.

(1)证明：△BOE^ADOF；

（2）当EFLAC时，求证四边形AECF是菱形.

2x5

25.(10分)解方程：—+-----=1.

2%—11—2%

26.（12分）我们来定义一种新运算：对于任意实数x、y,“※”为。※8=（a+1）（*+1）-1.

（1）计算（-3）※乡

（2）嘉琪研究运算“※”之后认为它满足交换律，你认为她的判断J正确、错误）

（3）请你帮助嘉琪完成她对运算“※”是否满足结合律的证明.

Q换律*划合律£

家算很熟.3：文提

律是扣改变参与运

人图个金的质月而

不改史其最终培

果；结合扑是招运

N的成序畀不会学

W4JS■佟拈累.,

27.(12分)某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器

的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.

甲乙

价格(万元/台)75

每台日产量(个)10060

(1)按该公司要求可以有几种购买方案？如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资

金应选择什么样的购买方案？

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

根据函数y=mx2+(m+2)x+；m+l的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解

决.

【详解】

解：•・•函数y=mx2+(m+2)x+；m+l的图象与x轴只有一个交点，

工当m=0时，y=2x+L此时y=0时，x=-0.5,该函数与x轴有一个交点，

当m#0时，函数y=mx2+(m+2)x+gm+1的图象与x轴只有一个交点，

则小=(m+2)2-4m(—m+1)=0,解得，mi=2,m2=-2,

2

由上可得，m的值为0或2或-2,

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答.

2、C

【解析】

由题意得，4-x>0,x-4>0,

y3

解得x=4,则y=3,贝『=一,

x4

故选：C.

3、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

解：5300万=53000000=5,3x107.

故选C.

【点睛】

在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为ax10〃的形式时，我们要注意两点：①。必须满足：14时<10；②n

比原来的数的整数位数少1(也可以通过小数点移位来确定九).

4、C

【解析】

根据不等式的性质得出x的解集，进而解答即可.

【详解】

V-l<2x+b<l

•・•关于x的不等式组“V2x+bVl的解满足0<x<2,

解得：-3Wb&l,

故选C.

【点睛】

此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集.

5、D

【解析】

先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.

【详解】

随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

正反

后TF

3

至少有一次正面朝上的概率是一,

故选：D.

【点睛】

本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那

么事件A的概率P(A)=」.

【解析】

正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.

【详解】

根据实数比较大小的方法，可得

V?<|-3|=3<-(-7T),

所以最大的数是：-(").

故选B.

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较的方法，及判断无理数的范围，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

7,D

【解析】分析：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找

中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.

详解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23,

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D.

点睛：本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误

选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，

则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

8、A

【解析】解：连接08、OC,连接A。并延长交BC于77,则A77,5c.

；△ABC是等边三角形，.877=948=占，OH=1,.•.△03C的面积=LxBCxOH=6,贝！!△054的面积=△OAC

22

的面积=△QBC的面积=6,由圆周角定理得，N5OC=120。，.•.图中的阴影部分面积

240万x220W8/T-

=-----------------2。3=一万一2,3.故选A.

3603

点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键.

9、B

【解析】

根据方程组求出点A坐标，设C(0,m),根据AC=BC,列出方程即可解决问题.

【详解】

y=x-lr

＜x=2fx=—l

由｛2,解得41或｛c，

y=-U=iU=-2

AA(2,1),B(1,0),

设C(0,m),

VBC=AC,

.\AC2=BC2,

即4+(m-1)2=l+m2,

m=2,

故答案为(0,2).

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题、勾股定理、方程组等知识，解题的关键是会利用方程组确定两个

函数的交点坐标，学会用方程的思想思考问题.

10、B

【解析】

在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一

个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别判断各选项即可

解答.

【详解】

解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.

11、B

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

12、C

【解析】

由极差、众数、中位数、平均数的定义对四个选项一一判断即可.

【详解】

A.极差为5-1.5=35此选项正确；

B.1.5个数最多，为2个，众数是1.5,此选项正确；

C.将式子由小到大排列为：1.5,1.5,2,2.5,3,4,4.5,5,中位数为（2.5+3）=2.75,此选项错误；

2

D.平均数为：-x（1.5+1.5+2+2.5+3+4+4.5+5）=3,此选项正确.

8

故选C.

【点睛】

本题主要考查平均数、众数、中位数、极差的概念，其中在求中位数的时候一定要将给出的数据按从大到小或者从小

到大的顺序排列起来再进行求解.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、m>l.

【解析】

2x-l>3（%-1）

分析：先解第一个不等式，再根据不等式组I）的解集是xVL从而得出关于机的不等式，解不等式即

x<m

可.

详解：解第一个不等式得，“〈I,

2x-l>3（x-l）

・・•不等式组I）的解集是“VI,

x<m

:.m>l,

故答案为m>l.

点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中字母取值范围的问题.可以先将字母当作已知数处理，求出解集与已

知解集比较，进而求得字母的范围.求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间

找，大大小小解不了.

14、50

【解析】

作辅助线，构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根

据三角形面积表示DH的长，证明△ADGgaCDH(AAS),可得DG=DH=MG=作辅助线，构建全等三角形和高

线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证

明△ADG之△CDH(AAS),可得DG=DH=MG="，AG=CH=a+—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.，

aa

AG=CH=a+—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.

a

【详解】

解：过D作DHJ_BC于H,过A作AM_LBC于M,过D作DG_LAM于G,

设CM=a,

VAB=AC,

；.BC=2CM=2a,

VtanZACB=2,

.AM

=2,

''~CM

AAM=2a,

由勾股定理得：AC=75a,

1

SBDC=-BC-DH=10,

A2

1

-•2a*DH=10,

2

10

DH=—,

a

VZDHM=ZHMG=ZMGD=90°,

・•・四边形DHMG为矩形,

AZHDG=90o=ZHDC+ZCDG,DG=HM,DH=MG,

VNADC=90°=NADG+ZCDG,

AZADG=ZCDH,

在AADG和ACDH中，

'ZAGD=ZCHD=90°

VJZADG=ZCDH,

AD=CD

/.△ADG^ACDH(AAS),

10,10

.,.DG=DH=MG=—,AG=CH=aH——，

aa

；.AM=AG+MG,

,10,10

n即n2a=aH-------1----,

aa

a2=20,

在RtAADC中，AD2+CD2=AC2,

VAD=CD,

.,.2AD2=5a2=100,

，AD=50或-50(舍)，

故答案为5逝.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG=CH

是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题.

15、x<2且

【解析】

解：根据题意得：

2—xNO且厂1网，

解得：％<2且xwl.

故答案为x<2且%wl.

16、713

【解析】

根据勾股定理解答即可.

【详解】

.在RtAABC中，NA是直角，AB=2,AC=3,

•*-BC=7AB2+AC2=V22+32=岳'

故答案为：V13

【点睛】

此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理解答.

17、(a+b)2=a2+2ab+b2

【解析】

完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证.此类题型可从整体和部分两个方面分析问题.本题从整体来看，

整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形

的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.

【详解】

解：.从整体来看，大正方形的边长是a+b,

大正方形的面积为(a+32,

从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上2个矩形的面积和，

该图形面积为/+2aZ?+ZA

同一图形，

(o+Z?)2=a2+2ab+b2.

故答案是(a+匕)2=£+2ab+b2.

【点睛】

此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.

18、(1)-2,-3,(-1,0)；(2)存在P的坐标是(1,—4)或(-2,5)；(1)当EF最短时，点P的坐标是：(*,

2

【解析】

(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得氏c的值，然后令尸0可求得点5的坐标；

(2)分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与尸2两点先求得AC的解析式，然后可求得和P2A的解析

式，最后再求得PiC和尸2A与抛物线的交点坐标即可；

(1)连接先证明四边形。即歹为矩形，从而得到O0=EF,然后根据垂线段最短可求得点。的纵坐标，从而得

到点尸的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点尸的坐标.

【详解】

c=-3

解：（1）•••将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得:

9+3b+c=0

解得：b=-2,c=-1,

.••抛物线的解析式为y=£-2x-3.

；令龙2—2%—3=0,解得：芯=-1,马=3,

二点3的坐标为（-1,0）.

故答案为"2；-1；（-1,0）.

（2）存在.理由：如图所示：

①当NACB=90。.由（1）可知点A的坐标为（1,0）.

设AC的解析式为-1.

,将点A的坐标代入得1k-1=0,解得k=l,

直线AC的解析式为产x-1,

/.直线CB的解析式为y=-x-l.

\•将y=-x-1与y=£-2x-3联立解得/=1,%=，（舍去）,

点Pi的坐标为（1,-4）.

②当NP2AC=90。时.设APi的解析式为严-x+b.

,将x=l,y=0代入得：-1+5=0,解得方=1,

直线APi的解析式为y=-x+1.

2

:将y=-x+1y-x-2x-3联立解得苞=-2,x2=i（舍去）,

.•.点P2的坐标为(-2,5).

综上所述，P的坐标是(1,-4)或(-2,5).

(1)如图2所示：连接00.

由题意可知，四边形。尸。E是矩形，贝!|OO=EF.根据垂线段最短，可得当时，0。最短，即E歹最短.

由(1)可知，在R3A0C中，\"OC=OA=1,OD±AC,

.•.O是AC的中点.

又,：DF〃OC,

13

：.DF=-OC=-,

22

.•.点尸的纵坐标是-巳3，

2

：.x2-2x-3=-l，解得：2=2土,

22

...当E尸最短时，点P的坐标是：T回,3或(2-屈,_2).

2222

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)详见解析；(2)40%；(3)105；(4)—.

16

【解析】

(1)先求出参加活动的女生人数，进而求出参加武术的女生人数，即可补全条形统计图，再分别求出参加武术的人数

和参加器乐的人数，即可求出百分比；

(2)用参加剪纸中男生人数除以剪纸的总人数即可得出结论；

(3)根据样本估计总体的方法计算即可；

(4)利用概率公式即可得出结论.

【详解】

（1）由条形图知，男生共有：10+20+13+9=52人,

二女生人数为100-52=48人，

，参加武术的女生为48-15-8-15=10人，

，参加武术的人数为20+10=30人，

.,.304-100=30%,

参加器乐的人数为9+15=24人，

.,.244-100=24%,

补全条形统计图和扇形统计图如图所示：

男生

女生

答：在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比为40%.

（3）500x21%=105（人）.

答：估计其中参加“书法”项目活动的有105人.

/、15155

（4）=—=—.

15+10+8+154816

答：正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率为4.

【点睛】

此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的

关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

4

20、（1见解析；（2）§.

【解析】

（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；

（2）根据（1）可得共有9种情况，两次取出小球上的数字和为奇数的情况，再根据概率公式即可得出答案.

【详解】

⑴列表得，

123

1234

2345

3456

⑵两次取出的小球上的数字之和为奇数的共有4种，

.-.P两次取出的小球上数字之和为奇数的概率p-4.

【点睛】

此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.树

状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

21、(1)1.7km；(2)8.9km；

【解析】

(1)根据锐角三角函数可以表示出OA和OB的长，从而可以求得AB的长；(2)根据锐角三角函数可以表示出CD,

从而可以，求得此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离.

【详解】

解：(1)由题意可得，

ZBOC=ZAOC=90°,NACO=34°,ZBCO=45°,OC=5km,

.•.AO=OC»tan34°,BO=OC»tan45°,

/.AB=OB-OA=OC»tan45°-OC»tan34°=OC(tan45°-tan34°)=5x(1-0.1)M.7km,

即A,B两点间的距离是I.7km；

(2)由已知可得,

ZDOC=90°,OC=5km,ZDCO=56°,

,oc

..cos/DCO=-C--D--,

BPcos56=-^—,

CD

Vsin34°=cos56°,

0.56=—,

CD

解得，CD=8.9

答：此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离是8.9km.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解

答.

22、(1)①证明见解析；②(2)①60。；②证明见解析；

【解析】

试题分析：(1)①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；

(2)①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60。，利用

等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等,利用全等三角形的对应角相等得到N1=N2,

再由对顶角相等，得到N5=/6,即可求出所求角度数；

②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹

角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到NAPF为60。，由

ZAPD+ZDPC,求出NAPC为120。，进而确定出NAPB与NBPC都为120。，即可得证.

试题解析：(1)证明：@VZPAB+ZPBA=180°-ZAPB=60°,ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

/.ZPAB=ZPBC,

又；ZAPB=ZBPC=120°,

/.△ABP^ABCP,

②解：VAABP^ABCP,

・二二二二

•,——TZ，

uuwu

APB2=PA*PC=12,

/.PB=2N3；

(2)解：①:•△ABE与△ACD都为等边三角形，

/.ZBAE=ZCAD=60°,AE=AB,AC=AD,

AZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ZBAD,

在^ACE和△ABD中，

AAACE^AABD(SAS),

r.zi=Z2,

VZ3=Z4,

.•.ZCPD=Z6=Z5=60°；

②证明：,/△ADF^ACFP,

.".AF«PF=DF«CF,

；NAFP=NCFD,

/.△AFP^ACDF.

.,.ZAPF=ZACD=60°,

ZAPC=ZCPD+ZAPF=120°,

.,.ZBPC=120°,

/.ZAPB=360°-ZBPC-ZAPC=120°,

.••P点为△ABC的费马点.

考点：相似形综合题

23、(1)共调查了50名学生；统计图见解析；(2)72°；(3)

【解析】

(1)用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条

形统计图；

(2)用360。乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率

公式求解.

【详解】

解：(1)144-28%=50,

本次共调查了50名学生.

补全条形统计图如下.

⑵在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360。、=72。.

(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下.

开始

共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种,

二抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P=，

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

24、(1)(2)证明见解析

【解析】

(1)根据矩形的性质，通过“角角边”证明三角形全等即可；

(2)根据题意和(1)可得AC与EF互相垂直平分，所以四边形AECF是菱形.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

.\OB=OD,AE〃CF,

AZE=ZF(两直线平行，内错角