浙教版七年级数学下册专题06解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题06解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一解二元一次方程组】 1【考点二二元一次方程组的错解复原问题】 4【考点三二元一次方程组的特殊解法】 8【考点四新定义型二元一次方程组问题】 13【考点五已知二元一次方程组的解求参数】 15【过关检测】 17【典型例题】【考点一解二元一次方程组】例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：(1)；(2)．【变式训练】1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：(1)；(2)．2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：(1)；(2)．3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．(1)；(2)【考点二二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．【变式训练】1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组

,甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步将代入①，得．

第四步所以，原方程组的解为

第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．小海同学的解题过程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程组的解为……（5）判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【考点三二元一次方程组的特殊解法】例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得x﹣y＝1③将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1把y＝﹣1代入③得x＝0，∴方程组的解为请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．【变式训练】1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为解得：．∴，∴原方程组的解为．(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；丙同学：先解方程组，再求的值．你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【考点四新定义型二元一次方程组问题】例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b=ax-by．(1)若2※2=-3，求x-y的值；(2)若3※(-2)=3，(-2)※3=8，求x、y的值．【变式训练】1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定：，（其中a，b均为非零常数），例如：．(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．【考点五已知二元一次方程组的解求参数】例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．【变式训练】1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是_____．3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．【过关检测】一、选择题1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（

）A．由①得 B．由①得C．由②得 D．由②得2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为()A．2 B． C．1 D．3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则．其中不正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m=________．6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．当时，方程组的解为．当时，方程组无解．当时，无论为何值，方程组均有解．当时，方程组有解．三、解答题9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组(1)(2)10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：(1)(2)11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组(1)(2)12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组(1)(2)13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：解方程组：．小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得③，将③代入②得：(1)请你替小亮补全完整的解题过程；(2)请你用这种方法解方程组：．16．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：，由得，……第一步，把代入，得，……第二步整理得，……第三步解得，即．……第四步把代入，得，则方程组的解为．……第五步任务一：填空：以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．17．（2022秋·全国·八年级专题练习）知识积累：解方程组．解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是．18．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：

小明同学遇到下列问题：解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得∴原方程组的解为请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：(1)解方程组：(2)若方程组的解是，则方程组的解是．专题06解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一解二元一次方程组】 1【考点二二元一次方程组的错解复原问题】 4【考点三二元一次方程组的特殊解法】 8【考点四新定义型二元一次方程组问题】 12【考点五已知二元一次方程组的解求参数】 14【过关检测】 16【典型例题】【考点一解二元一次方程组】例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：把②代入①得：，解得：，把代入②得：，∴二元一次方程组的解为；（2）解：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．【变式训练】1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【详解】（1）解：，得：，得：，解得，把代入①得：，解得，故原方程组的解是：；（2），得：，得：，解得，把代入①得：，解得，故原方程组的解是：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【详解】（1）解：，得：，得：，解得，把代入得：，解得，故原方程组的解是：；（2），得：，得：，解得，把代入得：，解得，故原方程组的解是：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．(1)；(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：整理得：，得，解得：，把代入解得：，所以方程组的解为；（2）解：由①得③把③代入②得：，解得：把代入①解得：，所以方程组的解为．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．【考点二二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6(2)【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．（1）解：把代入，可得：，解得：，把代入，可得：，解得：，∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；（2）解：把代入，可得：，解得：，把代入，可得：，解得：，把，代入原方程组，可得：，由②得：③，由①+③，可得：，∴，把代入①，可得：，解得：，∴原方程组的解．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组

,甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．【答案】．【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．【详解】解：，把代入②得：，解得：，把代入①，得，解得：，即方程组为，①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以原方程组的解是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步将代入①，得．

第四步所以，原方程组的解为

第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】(1)加减消元法，第四步(2)见解析【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．（2）按照解方程组的步骤求解即可（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，故答案为：加减消元法，第四步．（2）方程组：解：①×2，得……③

，②－③，得，解得．

将代入①，得3．解得x=．所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．小海同学的解题过程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程组的解为……（5）判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．【详解】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：，把代入③得：，∴此方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．【考点三二元一次方程组的特殊解法】例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得x﹣y＝1③将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1把y＝﹣1代入③得x＝0，∴方程组的解为请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．【答案】【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．【详解】解：，将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，将y＝4代入①得：x＝7，∴原方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．【变式训练】1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为解得：．∴，∴原方程组的解为．(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．（1）∵方程组的解是，∴，解得：；（2）对于，令，则原方程组可化为，解得：，∴，解得：．【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；丙同学：先解方程组，再求的值．你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，，得：，整理得：，代入得：，解得：，这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【考点四新定义型二元一次方程组问题】例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b=ax-by．(1)若2※2=-3，求x-y的值；(2)若3※(-2)=3，(-2)※3=8，求x、y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．（1）解：∵a※b=ax-by，2※2=-3，∴∴（2）∵3※(-2)=3，(-2)※3=8，∴整理得：，①+②得：③把③代入①得：把x=5代入②得：∴【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．【答案】3.5【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．【详解】解：∵、，∴，，得，解得：，把代入，得，解得：，所以．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定：，（其中a，b均为非零常数），例如：．(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．【答案】(1)，；(2)5【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．【详解】（1）解：，；（2）∵，∴，得：∴，∴∴．【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．【考点五已知二元一次方程组的解求参数】例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．【答案】2【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．【详解】解：，由②①得，由①②得，x，y互为相反数，，解得．故答案为：2【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．【答案】1【分析】根据题意，得出，即可求解．【详解】解：，得，∵的解满足，∴，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是_____．【答案】##【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.【详解】解：，①+②，得4（x+y）=3k+3，把x+y=5代入，得20=3k+3，解得k=．故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，理清方程组中未知数的系数特点是解决本题的关键．3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．【答案】4【分析】首先把m看作常数，解方程组分别表示x，y，再根据y的值，可知2m+9是34的约数，列式可得m=4，代入x的值后符合题意，从而得出结论．【详解】解：原方程为

，②×2－①×3得：，∴，把代入①得：，∵x，y是正整数，∴2m+9=1，2，17，34，∴m=-4，-3.5，4，12.5∵m为正整数，∴m=4，当m=4时，x=3，符合题意，则正整数m的值是4；故答案为：4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（

）A．由①得 B．由①得C．由②得 D．由②得【答案】C【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．【详解】解：，C选项变形不正确故选C【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为()A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】得，得出，结合条件，即可求解．【详解】解：得，∴，又，∴，解得，故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．【详解】解：关于的方程组可变形为，由题意得：，解得，故选：C．【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对；④若，则．其中不正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解．【详解】解：将代入原方程组，得，解得：．将代入方程的左右两边，得：左边，右边，即左边右边，∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；解原方程组，得，∴，∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；∵，∴x、y为自然数的解有，，，，∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；∵，，∴，解得：，故④错误，符合题意．综上所述：②③正确，①④错误．故选B．【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．二、填空题5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m=________．【答案】-1【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值．【详解】解：方程组的解x、y的值相同，联立方程组，解得，把代入，得，解得，m=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键．6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．【答案】1或3或7【分析】先用加减消元法求原方程组的解，再根据题意求m的值即可；【详解】解：①+②得，，解得：；将代入①得，，解得：；∵二元一次方程组有正整数解，∴或或，∴整数m的值可以是：1或3或7；故答案为：1或3或7．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键．7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．【答案】【分析】求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出即可．【详解】解：得：，解得：，把代入②得：，则，故答案为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元法的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．当时，方程组的解为．当时，方程组无解．当时，无论为何值，方程组均有解．当时，方程组有解．【答案】【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．【详解】当时，二元一次方程组为：令得，，解得：把代入式，得，解得：∴当时，方程组的解为：；故正确；当时，二元一次方程组为：解得：∴当时，方程组的解为：；故错误；∵∴把代入中，得∴若，则，方程无解当，且时，方程无解∴错误；当，∴，∴在中，，有意义，∴当时，二元一次方程组有解，∴正确，∴正确的为：．故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法．三、解答题9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）用代入法求解即可；（2）先化简方程，再用加减法求解即可．【详解】（1）解：，把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为；（2）解：方程组整理得：，①×2+②得：15y＝11，解得：y＝，②×7﹣①得：15x＝17，解得：x＝，则方程组的解为．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）加减消元法先消去未知数求出，再将代入方程①求出即可．（2）方程组先整理，再加减消元法消去x求出y，再将y代入方程求出x即可．【详解】（1）解：，得：，解得x＝2．把x＝2代入②，得：，解得．∴方程组的解是．（2）解：原方程组整理得：，①＋②×5得：46y＝46，解得y＝1．把y＝1代入①得：5x＋1＝36，解得x＝7．∴方程组的解是．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：，把②代入①得：2y-3y+3=1，解得y=2，把y=2代入①得x=1，∴方程组的解为；（2），整理得：，①+②得：4x=8，解得：x=2，代入①中，解得：y=，∴方程组的解为．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用加减消元法解答，即可求解；（2）利用加减消元法解答，即可求解；【详解】（1）解：得：，得：，解得：，把代入①中，得：，解得：，∴该二元一次方程组的解为：；（2）解：化简得：，得：，得：，解得：，把代入①中，得：，解得：∴该二元一次方程组的解为：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．【答案】（1）；（2）x+y＝．【分析】（1）选择整体代入法求解即可；（2）转化为二元一次方程组问题求解即可．【详解】（1）∵，∴，∴，解得：y＝1，∴x＝4，∴方程组的解为；（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y＝1，则x+y＝．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整体法求解方程组是解题的关键．14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）-12；（2）【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，得到二元一次方程组，计算即可求出所求．【详解】解：（1）∵，∴；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：，，即，解得：，∴．【点睛】此题考查了新定义运算，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：解方程组：．小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：解：由①得③，将③代入②得：(1)请你替