2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2＝（）A．﹣3+2i B．﹣3+4i C．5+2i D．5+4i2．（5分）函数f(x)=A．2 B．0 C．1 D．33．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（）A．63 B．33 C．22 4．（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（）A．（3，9） B．（0，9） C．（3，+∞） D．（9，+∞）5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（）A．π6 B．π4 C．π3 6．（5分）已知△ABC是正三角形，若点M满足AM→=13ABA．63 B．36 C．1912 7．（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（）A．θ1＝θ2＝θ3 B．θ1＜θ2＜θ3 C．θ1＝θ3＞θ2 D．θ1＝θ3＜θ28．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A．6 B．212 C．252 D二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（）A．A：B：C＝4：5：6 B．sinA+sinC＝2sinB C．cosC=18 D．3sinA＝（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为22，则（）A．棱台的侧面积为127 B．棱台的体积为286 C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为7三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平行四边形ABCD中，AE→=2ED→，BF→14．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为．15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝2，A=π3，点D在线段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACD=7sin∠BCD，则△ABC的面积为16．（5分）在△ABC中，若cosB=22，则（tan2A﹣3）sin2C的最小值为四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，设向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+（1）若a→•b→=0，求（2）若a→∥b→，且θ∈（0，π218．（12分）已知向量a→，b→满足|（1）若|a→+2（2）若a→⋅(a→19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．21．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，BC＝2，以AC为边，向△ABC外作正方形ACDE，连接BD（1）当AB⊥BC时，求B到直线DE的距离；（2）设∠ABC＝θ（0＜θ＜π），试用θ表示BD，并求BD的最大值．22．（12分）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是边AB，AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA＝α（π3≤α（1）分别记△AGM，△AGN的面积为S1，S2，试将S1，S2表示为α的函数；（2）求y=1

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝1+2i（i为虚数单位），则z2＝（）A．﹣3+2i B．﹣3+4i C．5+2i D．5+4i【解答】解：z2＝（1+2i）2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，故选：B．2．（5分）函数f(x)=A．2 B．0 C．1 D．3【解答】解：由已知可得，f(因为0≤x≤又y＝cosx在[π所以，当x+π3=π3，即故选：C．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（）A．63 B．33 C．22 【解答】解：取CD的中点M，连结ME，FM，因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FM∥AD，又A'D'∥AD，所以A'D'∥FM，则∠EFM即为异面直线A'D'与EF所成角，不妨设正方体的棱长为2，则FM＝2，EM=1+1所以EF=2在Rt△EFM中，cos∠EFM=FM所以异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是63故选：A．4．（5分）若钝角三角形的边长分别为a，a+3，a+6，则实数a的取值范围为（）A．（3，9） B．（0，9） C．（3，+∞） D．（9，+∞）【解答】解：由已知得a+∴3＜a＜9．故选：A．5．（5分）如图，在五个正方形拼接而成的图形中，β﹣α的值为（）A．π6 B．π4 C．π3 【解答】解：由图可得tanβ＝3，tanα=1∴tan（β﹣α）=tanβ-∵0＜β＜π2，0＜α＜π2，∴-π∴β﹣α的值为π4故选：B．6．（5分）已知△ABC是正三角形，若点M满足AM→=13ABA．63 B．36 C．1912 【解答】解：∵AM→=1∴|AM∴|AM∴AM→•AC→=13∴cos＜∴AM→与AC→夹角的余弦值为故选：D．7．（5分）如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角C﹣AB﹣E，E﹣AB﹣F，F﹣AB﹣D的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则（）A．θ1＝θ2＝θ3 B．θ1＜θ2＜θ3 C．θ1＝θ3＞θ2 D．θ1＝θ3＜θ2【解答】解：如图1，在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG，DG，则CG⊥AB，DG⊥AB，而CG∩DG＝G，所以AB⊥平面CDG，连接EG，FG，因为EG⊂平面CDG，FG⊂平面CDG，所以AB⊥EG，AB⊥FG．由二面角的平面角的定义可以判断θ1＝∠CGE，θ2＝∠EGF，θ3＝∠FGD，由对称性容易判断θ1＝θ3．设该正四面体的棱长为6，如图2，CD＝6，易得CG=DG=33，取CD的中点H，则GH⊥CD，CE＝2，EH＝在△GCH中，由勾股定理可得GH=GC于是，在△GCE中，由余弦定理可得cosθ在△GEF中，由余弦定理可得cosθ而(757)2=4957=9311083＞(1719)2=289361=8671083⇒757＞17故选：D．8．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A．6 B．212 C．252 D【解答】解：取BC中点E，∵∠BAC＝90°，∴E为△ABC的外接圆圆心，过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，作OF∥AE，交AD于F，如图所示：OA=OEOA＝OD，∴AF＝DF＝OE=12AD＝∵球O的表面积为22π∴球O的半径R=222，设AB＝x，AC＝由R=OC=CE2+OE∴三棱锥A﹣BCD侧面积S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC=12•2x+12•2y+12xy＝由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（当且仅当x＝y＝3时取等号），又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（当且仅当x＝y＝3时取等号），∴S≤6+92=212（当且仅当x故选：B．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此A不正确；B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β，因此B正确；C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，因此C正确；D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n可能平行、相交或为异面直线，因此D不正确．故选：BC．（多选）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则（）A．A：B：C＝4：5：6 B．sinA+sinC＝2sinB C．cosC=18 D．3sinA＝【解答】解：对于A，由题意可知，sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，但推不出A：B：C＝4：5：6，故A错误；对于BC，由a：b：c＝4：5：6，不妨设a＝4k，b＝5k，c＝6k，则a+c＝2b，由正弦定理可得，sinA+sinC＝2sinB，故B正确；cosC=16k2又sinAsin2C=a2ccosC=4故选：BCD．（多选）11．（5分）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．记“x+y＝7”为事件A，“xy是奇数”为事件B，“x＞3”为事件C，则（）A．A与B互斥 B．A与B对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立【解答】解：对于A，事件：A＝“x+y＝7”包含的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），事件B＝“xy为奇数”，包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），（5，1），（5，3），A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，A与B不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；P（A）=66×6=16，P（B）=96×6=14，P（P（A）•P（C）=16×12=112，P（AC）＝P（A）•P（C），P（BC）=B与C不相互独立，A与C独立，故C正确，D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为22，则（）A．棱台的侧面积为127 B．棱台的体积为286 C．棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为12D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为7【解答】解：根据题意，如图所示，作正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，依次分析选项：对于A，在侧面梯形ABB1A1中，A1B1＝2，AB＝4，则AH=12（4﹣2）＝1，则斜高A1H故梯形ABB1A1的面积S′=(4+2)72故棱台的侧面积S＝4S′＝127，A正确；对于B，底面ABCD为正方形，则HM＝AH＝1，A1H=7则棱柱的高A1M=7-1故棱台的体积VOA=13（4+16+8）×6对于C，棱台的侧棱与底面所成的角即∠A1AM，则余弦值cos∠A1AM=AMAA对于D，棱台的侧面ABB1A1与底面ABCD所成锐二面角的平面角为∠DHM，则cos∠DHM=HMA1故选：ACD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平行四边形ABCD中，AE→=2ED→，BF→【解答】解：由AE→=2ED在平行四边形ABCD中，由加法的平行四边形法则可得：AC→故AC→故λ=答案为：3414．（5分）若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为4π【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，所以2πr＝2，h＝2，所以h＝2，r=1所以圆柱的体积为πr2•h=4故答案为：4π15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝2，A=π3，点D在线段AB上，且AD＝2DB，sin∠ACD=7sin∠BCD，则△ABC的面积为【解答】解：在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=CD在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD又sin∠ACD=联立（1）（2）（3）得，sinB=在△ABC中，由正弦定理得BCsinπ3由余弦定理得cosA=即AB2﹣2AB﹣3＝0，因为AB＞0，解得AB＝3，因此，△ABC的面积为S△故答案为：3316．（5分）在△ABC中，若cosB=22，则（tan2A﹣3）sin2C的最小值为【解答】解：因为cosB=22，所以B则（tan2A﹣3）sin2C＝（tan2A﹣3）sin[2π﹣2（A+B）]＝﹣（tan2A﹣3）sin（2A+π2）=-sin2令t＝1+cos2A，因为A∈（0，3π4），所以t∈（0，①=2[1+2(t-1)](t-1)t=2(2t2-3t+1)t=4t故答案为：42-6四、解答题：共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，设向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+（1）若a→•b→=0，求（2）若a→∥b→，且θ∈（0，π2【解答】解：（1）在直角坐标系xOy中，已知向量a→=（2sinθ，1），b→=（1，sin（θ+∵a→•b→∴2sinθ+sin（θ+π3）＝即2sinθ+sinθcosπ3+cosθsinπ即52sinθ+32cosθ∴tanθ=-（2）∵a→∥b∴2sinθsin（θ+π3）＝∴2sin2θcosπ3+2sinθcosθsinπ∴12（1﹣cos2θ）+32sin2θ整理得32sin2θ-12cos2所以sin（2θ-π6）又θ∈（0，π2所以2θ-π6∈（-π所以2θ-π即θ=π18．（12分）已知向量a→，b→满足|（1）若|a→+2（2）若a→⋅(a→【解答】解：（1）由题得|b|a∴a→∴|2a（2）a→∴a→∴|a∴投影向量坐标为12∴投影向量坐标为(119．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且OF=又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1＝1，从而d2=d所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分20．（12分）某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035；（2）平均数为：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁，因为0.1+0.15＝0.25＜0.5，0.1+0.15+0.35＝0.6＞0.5所以中位数落在[35，45）内，设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+（m﹣35）×0.035＝0.5，所以m≈42.1岁；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽