重庆2024届中考数学最后一模试卷含解析

重庆育才中学2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，已知N1=N2,要使AABD之Z\ACD,需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）

A.ZADB=ZADCB.ZB=ZCC.AB=ACD.DB=DC

2.如图中任意画一个点,落在黑色区域的概率是（）

A.B.C.TtD.50

712

3.如图，长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条,若得到的三根木条能组成三角形，则X可以取的值

为)

xmxm

10m

5

A.2mB.—mC.3mD.6m

2

4.计算（x-2）（x+5）的结果是

A.X2+3X+7x2+3x+10C.X2+3X-10D.x2—3x—10

5.下列运算正确的是（)

A.a2+a3=a5B.(a3)24-a6=lC.a2*a3=a6D-（亚加）2=5

6.二次函数加;+c（存0）的图象如图，给出下列四个结论：①4〃c-62<0；②35+2cV0；③4〃+cV2万；@mCam+b）

+b<a（忆#-1）,其中结论正确的个数是（）

C.3D.4

7.如果a-b=5,那么代数式（±±匕-2）•士的值是（

)

aba-b

11

A.--B.—C.-5D.5

55

8.下列各式中，计算正确的是（）

A.叵+拒=也B.a2-a3=a6

C./-2-Q?—aD.(a%)=a2b2

9.在直角坐标系中，设一质点M自Po（1,0）处向上运动一个单位至Pi（1,1）,然后向左运动2个单位至P2处,

再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处……，如此继续运动下去,

设Pn(xn,yn),n=l,2,3,.....则X1+X2+.....+X2018+X2019的值为()

A.1B.3C.-1D.2019

10.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.2C.3D.而

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，已知。O是△ABD的外接圆，AB是。O的直径，CD是。O的弦，NABD=58。，则NBCD的度数是

12.如图，在矩形ABC。中，对角线AC与3。相交于点0,过点A作AE_LB。，垂足为点E,若NEAC=2NCAD,

贝()NR4E=_________度.

13.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20%,另一台亏本20%,则本次

出售中商场是（请写出盈利或亏损）_____元.

14.在3x3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图所示，

则x+y的值是.

2x32

y-3

4y

15.如图，已知正方形ABCD的边长为4,0B的半径为2,点P是G）B上的一个动点，则PD--PC的最大值为

2

16.如图，在平面直角坐标系中，已知C（1,、历），ZkABC与ADEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面

积是AABC面积的5倍，则点F的坐标为

三、解答题（共8题，共72分）

4

17.(8分)如图，在AABC中，NACB=90。，AC=1.sinZA=y,点D是BC的中点，点P是AB上一动点(不与

点B重合)，延长PD至E,使DE=PD,连接EB、EC.

(1)求证；四边形PBEC是平行四边形；

(2)填空：

①当AP的值为时，四边形PBEC是矩形；

②当AP的值为时，四边形PBEC是菱形.

18.(8分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于点E,点D在AB上，DE±EB.

(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

(2)若AD=2$,AE=6,求EC的长.

19.(8分)如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,点D为AB边上的一点,

(1)求证：△ACE^ABCD；

(2)若DE=13,BD=12,求线段AB的长.

20.(8分)如图，在。。中，A5为直径，OCLAB,弦CZ)与交于点F,在A5的延长线上有点E,且EF=E£).

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若tanA=L,探究线段A5和5E之间的数量关系，并证明；

2

(3)在(2)的条件下，若。尸=1,求圆。的半径.

21.（8分）先化简，再求值：m~3v|m+2--二］,其中是方程好+2工-3=0的根.

3m--6mIm-2）

22.（10分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）直接写出AABC关于原点。的中心对称图形的吕G各顶点坐标：4Bi

（2）将AABC绕3点逆时针旋转90。，画出旋转后图形AABC?•求AABC在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C

经过的路径长.

23.（12分）为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、5港口分别运送100吨和50吨生活物资.已

知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

运费加）

甲库T乙座

A港1420设从甲仓库运送到A港

B港I。8

口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；求出最低费用，并说明费用

最低时的调配方案.

24.解方程：2（x-3）=3x（x-3）.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、D

【解题分析】

由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD也Z\ACD,得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出

△ABD^AACD,得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD丝4ACD,得出C正确.由全等三角形的

判定方法得出D不正确；

【题目详解】

A正确；理由：

在小ABD^DAACD中，

VZ1=Z2,AD=AD,NADB=NADC,

/.△ABD^AACD(ASA)；

B正确；理由：

在小ABD^DAACD中，

VZ1=Z2,NB=NC,AD=AD

/.△ABD^AACD(AAS)；

c正确；理由：

在小ABD^AACD中，

VAB=AC,/1=N2,AD=AD,

/.△ABD^AACD(SAS)；

D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的

关键.

2、B

【解题分析】

抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.

【题目详解】

因为，黑白区域面积相等，

所以，点落在黑色区域的概率是1.

2

故选B

【题目点拨】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.

3、C

【解题分析】

依据题意，三根木条的长度分别为xm,xm,(10-2x)m,在根据三角形的三边关系即可判断.

【题目详解】

解：由题意可知，三根木条的长度分别为xm,xm,(10-2x)m,

•..三根木条要组成三角形，

x-x<10-2x<x+x,

解得：一<%<5.

2

故选择C.

【题目点拨】

本题主要考察了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边.

4、C

【解题分析】

根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可.

【题目详解】

(x-2)(X+5)=x2+5x-2x-10=x2+3x-10.

故选：C.

【题目点拨】

考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

5、B

【解题分析】

利用合并同类项对A进行判断；根据塞的乘方和同底数塞的除法对B进行判断；根据同底数幕的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【题目详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a6+a6=l,所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2&+3=5+2&,所以D选项错误.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查同底数塞的乘除、二次根式的混合运算,：二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

6、C

【解题分析】

试题解析：•••图象与x轴有两个交点，

方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

b2-4ac>0,

•*.4ac-b2<0,

①正确；

..b।

--=-1,

2a

/.b=2a,

Va+b+c<0,

1b+b+c<0,3b+2c<0,

2

②是正确；

•.•当x=-2时，y>0,

/.4a-2b+c>0,

/.4a+c>2b,

③错误；

•.•由图象可知X=-1时该二次函数取得最大值，

•*.a-b+c>am2+bm+c(m#-1).

,*.m(am+b)<a-b.故④正确

.•.正确的有①②④三个，

故选C.

考点：二次函数图象与系数的关系.

【题目详解】

请在此输入详解！

7,D

【解题分析】

【分析】先对括号内的进行通分，进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把a-b=5整体代入进

行求解即可.

【题目详解】-2).巴

aba-b

_+Z?2-labab

aba-b

=("b)2ab

aba-b

=a-b,

当a-b=5时，原式=5,

故选D.

8、C

【解题分析】

接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别计算得出答案.

【题目详解】

A、0+G无法计算，故此选项错误；

B、a2.a3=a5,故此选项错误；

C、a34-a2=a,正确；

D、(a2b)2=a4b2,故此选项错误.

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

9、C

【解题分析】

根据各点横坐标数据得出规律，进而得出+X2+...+X7；经过观察分析可得每4个数的和为2,把2019个数分为505

组,即可得到相应结果.

【题目详解】

解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：XI、X2、X3\X4、X5、X6、X7>X8的值分别为：1,-1,-1,3,3,-3,

-3,5；

・'・Xl+X2+・・・+X7=-1

VXl+X2+X3+X4=1~1~1+3=2；

X5+X6+X7+X8-3-3-3+5=2；

X97+X98+X99+X100=2…

/•X1+X2+...+X2oi6=2x(20164-4)=1.

而X2017、X2018、X2019的值分别为：1009、-1009,-1009,

X2017+X2018+X2019=-1009,

/.X1+X2+...+X2018+X2019=1-1009=-1,

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查规律型:点的坐标，解题关键在于找到其规律

10、A

【解题分析】

连接BD,交AC于O,

•正方形ABCD,

/.OD=OB,AC±BD,

；.D和B关于AC对称，

则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，

•.•在AC上取任何一点(如Q点)，QD+QE都大于PD+PE(BE),

此时PD+PE最小，

此时PD+PE=BE,

•••正方形的面积是12,等边三角形ABE,

/.BE=AB=712=2-73，

即最小值是26，

故选A.

D

B

【题目点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的应用，关键是找出PD+PE

最小时P点的位置.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11>32°

【解题分析】

根据直径所对的圆周角是直角得到NAO3=90。，求出NA的度数，根据圆周角定理解答即可.

【题目详解】

是。。的直径，

:.ZADB=90°,

■:NABD=58。,

ZA=32°,

:.NBCD=32。,

故答案为32°.

12、22.5°

【解题分析】

四边形ABCD是矩形，

.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

OA=OB=OC,

ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

ZAOE=ZOAD+ZODA=2ZOAD,

ZEAC=2ZCAD,

NEAO=NAOE,

AE_LBD,

ZAEO=90°,

•••ZAOE=45°,

ZOAB=ZOBA=67.5°,

即NBAE=NOAB-ZOAE=22.5°.

考点：矩形的性质；等腰三角形的性质.

13、亏损1

【解题分析】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，设亏本20%的电子琴的成本为y元，再根据(1+利润率)x成本=售价列出方程,

解方程计算出x、y的值，进而可得答案.

【题目详解】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，

x(1+20%)=960,

解得x=10；

设亏本20%的电子琴的成本为y元，

y(1-20%)=960,

解得y=1200；

.,.960x2-(10+1200)=-1,

•••亏损1元，

故答案是：亏损；1.

【题目点拨】

考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程.

14、0

【解题分析】

根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果.

【题目详解】

2x+3+2=2—3+4yx+2y=-3①

解：根据题意得:即《

2x+y+4y=2x+3+2y=1②

x=-l

解得：，，

U=1

贝!Ix+y=-1+1=0,

故答案为0

【题目点拨】

此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15、1

【解题分析】

分析：由PD-'PC=PD-PGWDG,当点P在DG的延长线上时，PD-^PC的值最大，最大值为DG=L

22

使得BG=L如图,

PB2c3C4c

-----=—=2,=—=2,

BG1PB2

PBBC

BG~PB'

VZPBG=ZPBC,

/.△PBG^ACBP,

.PGBG1

"PC^PB~2'

1

.".PG=-PC,

2

当点P在DG的延长线上时，PD-；PC的值最大，最大值为DG=J42+32=L

故答案为1

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决

问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

16,（75，V10）

【解题分析】

根据相似三角形的性质求出相似比，根据位似变换的性质计算即可.

【题目详解】

解：••,△ABC与ADEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍,

则小DEF的边长是4ABC边长的75倍，

.,.点F的坐标为（卜出，72x75）＞即回）,

故答案为：(V?,Vio).

【题目点拨】

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应

点的坐标的比等于k或-k.

三、解答题(共8题，共72分)

17、证明见解析；(2)①9；②125

【解题分析】

(1)根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；

(2)①若四边形尸5EC是矩形，则NAPC=90。，求得AP即可；

②若四边形尸3EC是菱形，则CP=P8,求得AP即可.

【题目详解】

1,点。是5c的中点，：.BD=CD.

•••OE=PZ),...四边形尸5EC是平行四边形；

(2)①当NAPC=90。时，四边形P3EC是矩形.

4

VAC=1.sinZA=j,：.PC=12,由勾股定理得：AP=9,...当AP的值为9时，四边形P8EC是矩形；

4—...

②在△ABC中，ZACB=90°,AC=1.sinZA=—,所以设BC=4x,AB=5x,贝(](4x)2+l2=(5x)2,解得：x=5,.,.A3=5x=2.

当PC=PB时，四边形P5EC是菱形，此时点尸为A8的中点，所以AP=12.5,.•.当AP的值为12.5时，四边形P5EC

是菱形.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质.

18、(1)证明见解析；(2)1.

【解题分析】

试题分析：(1)取BD的中点0,连结OE,如图，由/BED=90。，根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径，

点。为4BDE的外接圆的圆心,再证明OE〃BC,得到NAEO=NC=90。,于是可根据切线的判定定理判断AC是ABDE

的外接圆的切线；

(2)设。。的半径为r,根据勾股定理得62+产=(什2/)解得r=2g,根据平行线分线段成比例定理，由OE〃BC

得器=煞然后根据比例性质可计算出EC.

试题解析：(1)证明：取BD的中点0,连结OE,如图，

VDE1EB,

:.NBED=90°,

ABD为4BDE的外接圆的直径，点O为4BDE的外接圆的圆心,

VBE平分NABC,

/.ZCBE=ZOBE,

；OB=OE,

/.ZOBE=ZOEB,

.*.ZEB=ZCBE,

；.OE〃BC,

,,.ZAEO=ZC=90°,

/.OE±AE,

•*.AC是ABDE的外接圆的切线；

(2)解：设。O的半径为r,则OA=OD+DA=r+2V5,OE=r,

在RtAAEO中，VAE2+OE2=AO2,

.\62+r2=(r+2由)2,解得r=2g,

；OE〃BC,

.竺_也日口_£_拽

,"CE=OB'即无=刃？

.\CE=1.

考点：1、切线的判定；2、勾股定理

19、(3)证明见解析；(3)AB=3.

【解题分析】

(3)由等腰直角三角形得出AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90°,得出NBCD=NACE,根据SAS推出

AACE^ABCD即可；

(3)求出AD=5,根据全等得出AE=BD=33,在R3AED中，由勾股定理求出DE即可.

【题目详解】

证明:(3)如图，

E-

VAACB与4ECD都是等腰直角三角形，

/.AC=BC,CE=CD,

,.,ZACB=ZECD=90°,

:.ZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,

ZBCD=ZACE,在ABCD和AACE中,

VBC=AC,ZBCD=ZACE,CD=CE,

.,.△BCD^AACE(SAS)；

(3)由(3)知ABCD^4ACE,

贝！|NDBC=NEAC,AE=BD=33,

VZCAD+ZDBC=90o,

:.ZEAC+ZCAD=90°,即NEAD=90°,

VAE=33,ED=33,

.*.AD=7132-122=5»

:.AB=AD+BD=33+5=3.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用.

考点：3.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形.

20、(1)答案见解析；(2)AB=lBEt(1)1.

【解题分析】

试题分析：(1)先判断出NOC/+NC尸。=90。，再判断出NOCF=N。。尸，即可得出结论;

(2)先判断出N5OE=NA,进而得出AE3Z)S/\EZM,得出AE=2OE,DE=2BE,即可得出结论;

3

(1)设5E=x,则OE=Er=2x,AB^lx,半径O£>=—x,进而得出0E=l+2x,最后用勾股定理即可得出结论.

2

试题解析：(1)证明：连结OD,'：EF=ED,：,ZEFD=ZEDF.'：ZEFD=ZCFO,：.ZCFO=ZEDF.'：OCLOF,

：.ZOCF+ZCFO=9Q°.,：OC=OD,：.ZOCF^ZODF,：.ZODC+ZEDF^90°,即NO£)E=90°,：.OD±DE.•点O

在。。上，...OE是。。的切线;

(2)线段48、3E之间的数量关系为：AB^IBE.证明如下:

：.ZADB=90°,：.ZADO=ZBDE.'：OA=OD,：.ZADO=ZA,：.ZBDE=ZA,^ZBED=ZDEA,

DEBEBDBD1.DE_BE1

:.△AEBDcri/A\EDA,/•-------------------.•RtAABD中，tanA=------=—,

AEDEADAD2■*AE-DE~2

：.AE^2DE,DE=2BE,：.AE=4BE,：.AB^1BE；

3

(1)设5E=x,贝!|Z>E=EF=2X,AB=1X,半径O£)=-X.'：OF=\,；.0E=1+2X.

2

32

在RtAQDE中，由勾股定理可得：(-x)2+(2x)2=(l+2x)2,.,.x=---(舍)或尤=2,...圆。的半径为1.

29

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和

性质，勾股定理，判断出AE30s△EZ>4是解答本题的关键.

11

21、原式—7一,当m=l时，原式=一

3m^m+3)12

【解题分析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-l=0的根，那么m2+3m4=0,可得m2+3m

的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可.

m—3zn2-4-5_m—3m—2_1

''、3/n(/n—2)m—23m^m—2^(zn+3)(/n—3)3/n(/n+3)

".'X2+2X-3=0,.*.XI=-3,X2=1

V'm是方程x2+2x-3=0的根，/.m=-3或m=l

*.*m+3/0,m=l

]_]_J_

-

当m=l时’原式：+3xlx(l+3)~12

“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体

代入.

22、(1)4(3,—3),耳(4,一1),G(0，—2)；(2)作图见解析，面积=工+^乃，/=姮

242

【解题分析】

(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得&、氏、

G的坐标；

(2)由旋转的性质可画出旋转后图形MBC2,利用面积的和差计算出，然后根据扇形的面积公式求出

S扇形CBG，利用AABC旋转过程中扫过的面积S=Sx+S扇形BG进行计算即可•再利用弧长公式求出点C所经过

的路径长.

【题目详解】

解：(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得：

A(-3,3),B(-4,1),C(0,2),

•••与AABC关于原点对称，

.••4(3,—3),B/4,-1),Q(0,-2)

(2)如图所示，MBC2即为所求,

c

/2

/\A

C