《关于原点对称的点的坐标》名师教案

.2.3关于原点对称的点的坐标（李萨）一、教学目标（一）学习目标1．理解P点与P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．2．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．（二）学习重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．（三）学习难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）预习自测（1）已知点A（a，1）与点A'（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）A.a=5，b=1 B.a=-5，b=1 C.a=5，b=-1D.a=-5，b=-1【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与A'点关于原点成中心对称∴a+5=0,1+b=0∴a=-5，b=-1【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】D.（2）如图所示，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标为

．【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵M与N点关于原点成中心对称∴a+x=0,b+y=0∴x=-a,y=-b∴N（-a，-b）【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】（-a，-b）（3）在平面直角坐标系中，点A（2m+3n，1）与点B（5，3m-2n）关于原点0中心对称，则m=

，n=

．【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与B点关于原点成中心对称∴2m+3n=-5,3m-2n=-1∴m=-1,n=-1【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】-1，-1.（4）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4,3），B（-3,1），C（-1,3）.请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2.（2）在第1题中，所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出点M的坐标.【知识点】平移与中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）①将点A、B、C分别先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；②先找出点A、B、C关于原点O的对称点A、B、C，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；（2）点M的坐标为（2,1）.【思路点拨】抓住平移和中心对称的性质【答案】（1）（2）点M的坐标为（2,1）.（二）课堂设计1．知识回顾（1）中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质:①中心对称的两个图形，对称点所连线段必过对称中心，且被对称中心平分.②中心对称的两个图形是全等图形.2．问题探究探究一理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系重点知识★●活动=1\*GB3①回顾旧知，回忆中心对称中的相关概念作图：作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．解：延长AO使OC=AO，延长BO使OD=BO，连结CD则△COD为所求的，如图所示．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②整合旧知探究P与点点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系（学生活动）如图，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO（2）在射线AO上截取OA′=OA（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．∵△AD′O与△A′D″O全等∴AD′=A′D″，OA=OA′∴A′（3，-1）同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过观察来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到感性认识，思考满足中心对称关系的条件，寻求解决问题的方法.探究二轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用重点、难点知识★▲●活动①大胆猜想，大胆操作，探究新知如图,利用关于原点对称的点的坐标特点,作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）．连结A′B′．则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来.●活动②集思广益，探索关于原点对称的点的特点（学生活动）已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．因此，综合以上我们得出关于原点对称的点的性质：①横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．②坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．【设计意图】通过关于原点中心对称的作图，发坐标的关系.●活动③关于原点中心对称的应用1.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1．【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1,然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2,4），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【知识点】轴对称的性质和中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）先找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；点A1的坐标（2,-4）．(2)先找出点A1、B1、C1关于原点O的对称点A、B、C，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；点A2的坐标（-2,4）．【思路点拨】抓住轴对称的性质和中心对称的性质【答案】（1）如图所示：点A1的坐标（2,-4）．（2）如图所示，点A2的坐标（-2,4）．探究三拓展应用★▲●活动①基础性例题例1.如图所示，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-1），B（-3，-3），C（-1，-3）．画出△ABC关于原点0对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A、B、C，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；点A2的坐标（2,1）【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】如图所示.A2（2,1）练习：如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'【知识点】中心对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】先找出点A、B、C关于原点O的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案；【答案】见解答过程【设计意图】让学生熟练掌握坐标系中中心对称点的性质，并快速作图.●活动2提升型例题例2.在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A.（1.4，-1）B.（1.5，2）C.（1.6,1）D.（2.4,1）【知识点】平移和旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】∵A点坐标为：（2,4），A1（-2,1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（-1.6,-1）．∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6,1）．故选C.【思路点拨】抓住平移和旋转的性质【答案】C.练习：如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标

．【知识点】找对称中心【解题过程】因为△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，所以点E是AA1的中点，所以点E的坐标为（3，-1）.【思路点拨】抓住中心对称图形的性质【答案】（3，-1）.【设计意图】结合平移和中心对称的性质，进行综合运用●活动3探究型例题例3.如图所示，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为

．【知识点】中心对称的性质【解题过程】∵A'与A关于C点成中心对称∴a+x=2×0,b+y=-1×2∴x=-a,y=-b-2，∴点A'的坐标为（-a，-b-2）.【思路点拨】对称中心不是原点的中心对称问题.【答案】（-a，-b-2）.练习：如图所示，把长方形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2,OA=4，把长方形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到长方形OA'B'C'，则点B'的坐标为

．【知识点】旋转的性质【解题过程】∵OA'=OA=4,OC'=OC=2∴B'（4,2）【思路点拨】抓住旋转的性质【答案】（4,2）【设计意图】提升训练，学会从特殊到一般的转化.3.课堂总结知识梳理两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点P′（-x，-y），及利用这些特点解决一些实际问题．重难点归纳运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．（三）课后作业基础型自主突破1.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-1），B（3，-3），C（0，-4）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．【知识点】中心对称与轴对称的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；(2)先找出点A1、B1、C1关于y轴的对称点A、B、C，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；【思路点拨】中心对称与轴对称的性质【答案】（1）△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2如（1）图所示．2.在如图所示的正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点B1的坐标

；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出点C2的坐标

．【知识点】中心对称和旋转的性质【数学思想】数形结合【解题过程】（1）先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；写出点B1的坐标为（4，-4）；先找出点A1、B1、C1绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；写出点C2的坐标为（1,4）.【思路点拨】抓住中心对称和旋转的性质【答案】（1）如图所示，B1（4，-4）（2）如图所示，C2（1,4）3.如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是A(-3，1)，B(0，3)，C(0，1).（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）分别连接AB1、BA1后，求四边形AB1A1B的面积．【知识点】中心对称的性质和菱形的面积【解题过程】（1）如图，△A1B1C1为所作，（2）四边形AB1A1B的面积=【思路点拨】抓住中心对称后图形的特点【答案】（1）如图

（2）四边形AB1A1B的面积为12．4.已知△ABC在平面直角坐标系中位置如图所示，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1（点A、B、C关于原点O的对称点分别为A1、B1、C1）．（2）写出点C1的坐标及CC1长．（3）BC与BC1的位置关系为

．【知识点】中心对称的性质和两点间的距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】（1）先找出点A、B、C关于原点成中心对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；（2）用两点间的距离公式求线段CC1的长，C1（2,1），CC1=.（3）垂直【思路点拨】抓住中心对称的性质【答案】（1）（2）C1（2,1），CC1=.（3）垂直5.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）．【知识点】中心对称的性质和轴对称的应用【数学思想】数形结合【解题过程】（1）先找出点A、B、C分别关于点C的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，可得△A1B1C1，如图所示；（2）先找出点A1、B1、C1分别向右平移4个单位的对应点A、B、C，然后顺次连接，可得△A2B2C2，如图所示；（3）作点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2，交x轴于点P，可得P点坐标为（，0），如图所示【思路点拨】抓住中心对称的性质和轴对称的应用【答案】（1）如图所示．（2）如图所示．（3）（，0）.6.如图所示，将△ABC绕点P顺时针旋转90∘得到△A'B'C'，则点P A.（1，1） B.（1，2）C.（1，3）D.（1，4）【知识点】旋转的性质【解题过程】∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，

∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，

作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），

∴旋转中心的坐标为（1，2）．

故选B．【思路点拨】抓住旋转中心的性质【答案】B.能力型师生共研7.在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP'位置，则点P'的坐标为

A.（3,4）B.（-4,3）C.（-3,4） D.（4,-3）【知识点】旋转的性质【解题过程】先做图，将点P绕点O逆时针旋转90°到点P'，再利用全等知识求线段，故选C.【思路点拨】抓住旋转三要素作图【答案】C.8.正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，关于某点中心对称，已知A、D1、D三点的坐标分别是（0,4）（0,3）（0,2）．（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点B、C、B1、C1的坐标．【知识点】中心对称的性质【解题过程】（1）因为D和D1是对称点，所以对称中心是线段DD1的中点，所以对称中心的坐标是（0，）．（2）B（-2,4）,C（-2,2）,C1（2,3），B1（2,1）.【思路点拨】抓住旋转的性质【答案】（1）（0，）.（2）B（-2,4）,C（-2,2）,C1（2,3），B1（2,1）.探究型多维突破9.在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为⑴画出，并求出所在直线的解析式.⑵画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积.【知识点】旋转的性质和扇形面积【解题过程】⑴如图所示，即为所求.设所在直线的解析式为∵，∴解得∴⑵如图所示，即为所求.由图可知，=AABCOB1C1A1xy11【思路点拨】（1）利用两点坐标列方程组就一次函数解析式；（2）利用旋转的性质和扇形面积公式求解.【答案】（1）（2）10.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？OO24681012x/千米2468y/千米AB【知识点】对称的性质，中垂线的性质【解题过程】（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，－7），设直线AE的函数关系式为y=kx＋b，则，解得，所以，直线AE解析式为y=－x＋5当y=0时，x=5，所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短．（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G，设点G的坐标为（x，0），在Rt△AGD中，AG2=AD2＋DG2=32＋（x－2）2在Rt△BCG中，BG2=BC2＋GC2=72＋（12－x）2∵AG=BG，∴32＋（x－2）2=72＋（12－x）2解得x=9．所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．【思路点拨】（1）利用对称找出最短距离，再用一次函数与x轴交点求距离（2）先做出AB的中垂线，再利用AB的中垂线上与x轴交点求距离【答案】（1）水泵站应建在距离大桥5千米的地方（2）水泵站建在距离大桥9千米的地方自助餐1.已知点A(a,2)与点A'(3,b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是______.【知识点】关于原点对称的点的坐标的性质【解题过程】∵A与A'点关于原点成中心对称∴a+3=0,2+b=0∴a=-3，b=-2【思路点拨】抓住关于原点对称的点的坐标的性质【答案】a=-3，b=-2.2.在平面直角坐标系内，若点P（-1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为．【知识点】关于原点对称的点的坐标．【解题过程】∵点P