1.2反比例函数的图象与性质(2)鲁教版九年级数学上册

反比例函数的图象与性质第一章反比例函数知识点1反比例函数的主要性质基础过关全练1.(一题多解)若点A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函数y=

的图象上,则x1,x2,x3的大小关系为

(

)A.x3<x2<x1

B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2

D.x2<x3<x1D解析解法一(利用反比例函数的性质判断):∵k=-3<0,∴图

象的两个分支分别位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x

的增大而增大.∵点A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函数y=

的图象上,-1<0<5<10,∴x2<x3<x1,故选D.解法二(直接计算):∵点A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函

数y=

的图象上,则x1=3,x2=-0.6,x3=-0.3,∴x2<x3<x1,故选D.2.(新考法)已知当x<0时,反比例函数y=

(k≠0)的函数值随自变量的增大而减小,则关于x的一元二次方程x2-2x+1-k=0的根

的情况是

(

)A.有两个不相等的实数根

B.没有实数根C.有两个相等的实数根

D.与k的取值有关A解析∵当x<0时,y=

(k≠0)的函数值随自变量的增大而减小,∴k>0,∴一元二次方程x2-2x+1-k=0的根的判别式Δ=(-2)2-4(1-k)=

4k>0,∴方程x2-2x+1-k=0有两个不相等的实数根,故A正确.3.(教材变式·P11例2)已知反比例函数y=

(m为常数).(1)若函数图象经过点A(-1,6),求m的值.(2)若x>0时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.解析

(1)∵函数图象经过点A(-1,6),∴6=

,解得m=2,∴m的值是2.(2)∵x>0时,y随x的增大而减小,∴m-8>0,解得m>8,∴m的取值范围是m>8.知识点2

反比例函数比例系数k的几何意义4.(2024山东临沂期末)如图,点A在反比例函数y=

(x<0)的图象上,过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点B、C,若AB=1.

5,AC=4,则k的值为

(

)

A.-3

B.-4.5

C.6

D.-6D解析由AB=1.5,AC=4可得矩形ABOC的面积=1.5×4=6,∵点A在反比例函数y=

(x<0)的图象上,∴|k|=6,∴k=±6,∵函数y=

(x<0)的图象在第二象限,∴k<0,∴k=-6,故选D.5.如图,点A(x,y)在反比例函数y=-

的图象上,且AB垂直于x轴,垂足为点B,则S△OAB=

.

4解析∵点A(x,y)在反比例函数y=-

的图象上,且AB垂直于x轴,垂足为B,∴S△OAB=

|k|=

×8=4.6.如图,点P在反比例函数y=

(x>0)的图象上,过点P作x轴的平行线,交反比例函数y=

(x<0)的图象于点Q,连接OP,OQ.若S△POQ=6,则k的值为

.

-8解析令QP与y轴的交点为D,如图,∵PQ∥x轴,∴PQ⊥y轴,∴∠QDO=∠PDO=90°,∴S△POQ=S△QDO+S△PDO=

+

×4=6,解得k=±8,∵函数y=

(x<0)的图象在第二象限,∴k=-8,故答案为-8.7.(易错题)(2023江苏盐城一模)如图,在平面直角坐标系中,反

比例函数y=

(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为5.(1)求k和m的值.(2)当x<-6时,求函数值y的取值范围.

解析

(1)∵A(2,m),∴OB=2,AB=m,∴S△AOB=

OB·AB=

×2m=5,解得m=5,∴点A的坐标为(2,5).把A(2,5)代入y=

,得k=10.(2)由(1)得y=

,∴当x=-6时,y=-

.∵当x<0时,反比例函数y=

的图象在第三象限,且函数值y随自变量x的增大而减小,∴当x<-6时,函数值y的取值范围为-

<y<0.能力提升全练8.(等积变形法)(2024山东泰安期中,9,★★☆)下图是反比例函数y1=

和y2=-

在x轴上方的图象,x轴的平行线AB分别与这两个函数图象交于A、B两点,点P(-5.5,0)在x轴上,则△PAB的面积为

(

)A.3

B.6

C.8.2

D.16.5A解析如图,连接OA、OB,设AB交y轴于C,∵x轴的平行线AB分别与这两个函数图象相交于点A,B,∴AB⊥y轴,∵点A、B在反比例函数y1=

和y2=-

的图象上,∴S△OBC=

×|-4|=2,S△OAC=

×|2|=1,∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=3,∵AB∥x轴,∴△PAB与△OAB同底等高,∴S△PAB=S△AOB=3,故选A.方法解读等积变形法是几何中常用的一种方法,特点是把

已知和未知各量用面积公式联系起来,本题运用平行线之间

的距离处处相等得△PAB与△OAB同底等高,从而得到△PAB与△OAB的面积相等,进而求解.9.(2021山东淄博中考,12,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,

四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合,AD∥OB,DB⊥x

轴,对角线AB,OD交于点M.已知AD∶OB=2∶3,△AMD的面

积为4.若反比例函数y=

的图象恰好经过点M,则k的值为

(

)

BA.

B.

C.

D.12解析如图,过点M作MH⊥OB于H.∵AD∥OB,∴△ADM∽△BOM.∴

=

=

,

=

=

.∵S△ADM=4,∴S△BOM=9.∵DB⊥OB,MH⊥OB,∴MH∥DB.∴

=

=

,∴OH=

OB.∴S△MOH=

×S△OBM=

.∴

=

,∴k=

.故选B.10.(2023山东淄博淄川期中,12,★★☆)已知方程x2-2x+k=0有

两个不相等的实数根x1,x2,点A(x1,y1),B(x2,y2)为反比例函数y=

的图象上的两点,若x1>x2>0,则y1

y2(填“>”“<”或“=”).>解析∵方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4k>0,解得k<1.∴k-2<0.∴反比例函数y=

的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,∵x1>x2>0,∴y1>y2.素养探究全练11.(运算能力)过原点作直线交双曲线y=

(k>0)于点A、C,过A、C两点分别作两坐标轴的平行线,围成矩形ABCD,如图所示.(1)已知矩形ABCD的面积等于8,求双曲线的解析式.(2)若已知矩形ABCD的周长为8,能否由此确定双曲线的解析

式?如果能,请求出;如果不能,说明理由.解析

(1)设点A(m,n),m>0,n>0,则C(-m,-n),B(m,-n),D(-m,n),∴AB=2n,AD=2m,∵矩形ABCD的面积等于8,∴AB·AD=4mn=8,∴mn=2,∵n=

,∴k=mn=2,∴双曲线的解析式为y=

.(2)不能.理由:设点A(a,b),a>0,b