2024新高考押题预测模拟数学试卷1（新高考九省联考题型）（含答案解析）

2024年高考数学押题预测卷01

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知z=l+i,则1+z（）

13.13.31.31.

A.----1B.-+-7C.---1D.-+-1

55555555

2.已知向量之=（2,3）,6=（-l,x）,则“0+B）_LG-办）”是“x=2也”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知集合公上降2。叫,3={师="2},则（）

A.A<JB—BB.A<JB=AC.A[\B=BD.=R

4.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（）

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

5.已知函数/（x）的定义域为R,y=/（x）+ex是偶函数，y=/（x）-3ex是奇函数，则/（x）的最

小值为（）

A.eB.2拒C.2>/3D.2e

6.已知反比例函数箕=勺（无w0）的图象是双曲线，其两条渐近线为弼和解，两条渐近线的夹角

X

7T

为,，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为&.已知函数

丁=也》+’的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线丁=在》和用，则该双曲线的离心率是（）

3x3

A.0B.26C.-2V3D.4->/3

3。

7.已知2sina-sin/7=C，2cosa-cos4=1,贝ijcos(2a—2p)=()

iJisi7

A.——B.C.-D.—

8448

8.己知定义域为R的函数/(x)的导函数为r(x),若函数/(3x+l)和/'(x+2)均为偶函数，且

/\2）=-8,则Z/O的值为（

C.—8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=sin（0x+e）（0〉O,O<o<7r）的最小正周期为兀，且函数/⑴的图象关于直线

x=-E对称，则下列说法正确的是（）

12

A.函数〃x）的图象关于点对称

B.函数/（x）在区间内单调递增

c.函数〃x）在区间（-a，5）内有恰有两个零点

D.函数"X）的图象向右平移三个单位长度可以得到函数g（x）=cos2x的图象

12

22

10.已知A、8是椭圆3_+\_=1的左、右顶点，尸是直线x=2ji上的动点（不在X轴上），

4P交椭圆于点“，BM与OP交于点、N,则下列说法正确的是（）

A.kPA-kPB——B.若点尸,则Sa。”：0M——

C.而.西是常数D.点N在一个定圆上

11.己知四棱锥尸-H8CD,底面48CZ）是正方形，P4_L平面4BCZ）,AD=\,PC与底面

4BCZ）所成角的正切值为注，点M为平面NBCD内一点，且㈤/=义/刀（0<；1<1）,点N为

2

平面尸48内一点，NC=5下列说法正确的是（）

兀

A.存在;I使得直线PB与W所成角为一

B.不存在2使得平面上45,平面尸血/

C.若行正,则以尸为球心，为半径的球面与四棱锥P-4BCD各面的交线长为

2

y/2+y/6

D.三棱锥N-NCD外接球体积最小值为定兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为

13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等

分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一

次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.

依次进行“〃次分形"(〃eN*).规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.

若将边长为1的正三角形“〃次分形”后所得分形图的长度不小于120,则，的最小值是.

(参考数据：坨2。0.3010,lg320.4771)

14.在平面直角坐标系xp中，已知圆。:/+/=4,若正方形/BCD的一边4g为圆。的一条

弦，贝犷。的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=ex(x2-ax-a).

(1)若曲线V=/(x)在点(1J⑴)处的切线平行于x轴，求实数。的值；

(2)求函数/(x)的单调区间.

16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件

的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件,

结果如1、•

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用

跑步软件一的概率；

（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记

X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为占，x2,x3,%，其方差为s；；

样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为外，为，为，%,其方差为S；；不，

七，％4，%，%，为，”的方差为写出S；,S；的大小关系.（结论不要求证明）

17.如图，在四棱锥P—Z3CQ中，上4,底面NBC。，ADHBC,AB1BC.点M在棱尸8上,

2

PM=2MB,点、N在燧.PC上,PA=AB=AD=—BC-2.

3

(1)若CN=2NP,。为PD的中点，求证：NQ〃平面R43；

2PN

(2)若直线P4与平面乂所成角的正弦值为h，求的值.

18.已知抛物线C：y2=2px(0＜。＜5)上一点"的纵坐标为3,点/到焦点距离为5.

(1)求抛物线。的方程；

(2)过点(1,0)作直线交C于A,8两点，过点A,B分别作C的切线/1与6，6与，2相交于点。，

过点A作直线4垂直于4，过点B作直线乙垂直于，2，,3与’4相交于点E，4、‘2、4、,4分别与

X轴交于点尸、Q、R、S.记VDPQ、ADAB.AABE、AERS的面积分别为百、邑、＞

54,若5户2=4s3s4,求直线AB的方程.

19.给定正整数3,已知项数为加且无重复项的数对序列A：(石,必),(9,%)，…，(乙,外,)满

足如下三个性质：①苍,弘e{l,2,…,N},且项/%。=1,2,…,加)；②项+i=乂。=1,2,…，掰一1)；

③(。⑺与(见。)不同时在数对序列A中.

(1)当N=3,根=3时，写出所有满足苞=1的数对序列A；

(2)当N=6时，证明：加＜13；

(3)当N为奇数时，记加的最大值为T(N),求T(N).

2024年高考数学押题预测卷01

数学

(新高考九省联考题型)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求外

1.己知z=l+i,则1+z()

【答案】A

【解析】由题意知：l=l+i,则亍=1—i,

故选：A.

2.已知向量。=(2,3),K=则"G+5)J_(Z—W”是“x=2j?”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由己知得，。+不=(l,3+x),a-B=(3,3-x),

7：(。+6)_L(a—6),则(a+Z>)•(a—b)=0,即3+9—.丫2=0,解得x=±2>/^，

所以“X=25'=>，但6"x=2疔'，

所以“(3+，_1(力)”是“x=2后”的必要不充分条件，

故选：B.

y\y=2\x<2

,则(

A.B.AuB=AD-4U(CRB)=R

【答案】A

【解析】由logzXWL则log2x4log22,所以0<x«2,

所以/={x|log2x<l}={x|0<x<2},又5=|v|y=2：x42}={y|0<j<4},

所以则==

故选:A.

4.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能()

A.每个面都是等边三角形

B.每个面都是直角三角形

C.有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形

D.有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形

【答案】D

【解析】如图，

。-网G每个面都是等边三角形，A不选；

4-DRG每个面都是直角三角形，B不选；

O-4BG三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D.

故选：D.

5.已知函数/(x)的定义域为R,y=/(x)+e、是偶函数，y=/(x)-3ex是奇函数，则/(x)的最

小值为()

A.eB.2>/2C.2.73D.2e

【答案】B

【解析】因为函数y=/")+e1t为偶函数，则/(—x)+e-x=/(x)+e',即/(x)—/(—x)=e7—e',

①又因为函数V=/(x)-3e，为奇函数，则/(—x)—3e-x=—/(x)+3e)即

/(.r)+/(-x)=3ex+3e-x,②

联立①②可得/(x)=e'+2e'x,

由基本不等式可得/(x)=ex+2e-x>2je'-2e-x=20，

当且仅当e'=2e-x时，即当x=Lln2时，等号成立，

2

故函数/(x)的最小值为

故选:B.

6.已知反比例函数V=«(左W0)的图象是双曲线，其两条渐近线为描和谢，两条渐近线的夹角

X

7T

为一，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为J5.已知函数

y=@x+L的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y=和渊，则该双曲线的离心率是

3x3

()

A.573B.25/3C.—2\/3D.—4>/3

【答案】c

【解析】在第一象限内，函数丁=追'+工的图象位于y=上方，

3x3

由于y=3x和解是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角28=色，故6=色，

336

不妨将双曲线v=立.丫+J■绕其中心旋转逆时针旋转30°,则可得到其焦点在y轴上的双曲线

3x

rx兀兀

3r—三二1,且两条渐近线之间的夹用28二—,因此其中一条渐近线的倾斜角为一,

2b133

故选：C.

7.己知2sina—sin/7=JL2cosa-cos/7=1,贝ijcos(2a—24)=)

7

D.

8

【答案】D

【解析】因为2sina—sin/7=JL2cosa-cos夕=1,

所以平方得，(2sina—sin/7)2-3,(2cosa-cos^)2=1,

即4sin2a—4sinasin/?+sin2^二3,4cos2a-4cosacus0+cos24=1,

两式相加可得4-4sinasin/7-4cosacos"+l=4,

即cosacos/74-sincrsin,

4

故cos(l_0=

4

17

cos(2a-2/7)=2cos2(cr-/?)-l=2x—-1=--.

故选：D.

8.已知定义域为R的函数/(x)的导函数为了'(x),若函数/(3x+l)和/"(x+2)均为偶函数，且

2023

广(2)=—8,则Z厂⑴的值为()

1=1

A.0B.8C.-8D.4

【答案】C

【解析】•••/(3x+1)为偶函数，/(-3x+1)=f(3x+1),则/(-x+1)=/(x+1),两边求导得：

-/,(-x+i)=r(x+i),

则/'(X)关于点(1,0)成中心对称,又/'(X+2)为偶函数，••"'(r+2)=/'(x+2),即/'(x)关

于直线x=2成轴对称，

r（l）=O且/'（x）=/'（4—x）=—/'（x—2）,.・./'（x+2）=—/'（X）,即得：

/（x+4）=—r（x+2）=r（x）,

故/'（x）是周期函数，且一个周期为4,因广（3）=—/'（1）=0,/'（4）=/'（0）=—1（2）=8,故

r（i）+r（2）+r（3）+r（4）=o,

20232024

于是2/'⑴=£r（0-八4）=506X0-8=-8.

Z=1Z=1

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/0）=5m（3+9）（0＞0,0＜9＜兀）的最小正周期为兀，且函数70）的图象关于直线

X=-77对称，则下列说法正确的是（）

12

A.函数/（x）的图象关于点对称

B.函数/⑴在区间内单调递增

（7171A

c.函数/a）在区间-4，万内有恰有两个零点

7T

D.函数/（x）的图象向右平移一个单位长度可以得到函数g（x）=cos2x的图象

12

【答案】AD

［解析】函数/（x）=sin（0x+。）（。＞0,0＜。＜兀）的最小正周期为7T,

2兀

则一二兀，得G=2,则/（x）=sin（2x+0）,

CD

JT

又函数〃%）的图象关于直线X=-二对称，

12

r-tI/»/兀、•/兀、1rtt兀7T,,

贝Uf(----)=sm(——+°)=±1,贝“——+0=—+kit.keZ,

12662

2兀2兀

即0=5+析'"EZ'又0<°<兀，贝=

2兀

故/(x)=sin(2x+y-),

A,当工=/时，/(与)=sin(2•弓+,)=sin27i=0,

-卜寸称，A正确;

则函数“X）的图象关于点

f57兀1]rs2兀2兀3兀

B,xeInI»贝”2X+-^-£

12

函数]，=sinx在（三,当）单调递减，则函数，（x）在区间（0,2）内单调递减，B错误;

27r27r

C,由/(x)=sin(2x+-j-)=0,则2x+-^-=e，左£Z,

兀ATT,)「

L!|Jx-----1---，左wZ,乂xe

32

兀

x=z，则有1个零点，C错误；

6

D,函数〃x）的图象向右平移占个单位长度，

12

JTTT27r7T

则/（X--）=sin[2（x--）+—]=sin（2x+-）=cos2x=g（x）,

D正确；

故选：AD

22

10.己知A、B是椭圆q+'=l的左、右顶点，P是直线X=2百上的动点（不在X轴上），

4P交椭圆于点“，BM与OP交于点、N,则下列说法正确的是（）

A.kPA-kPB~-B.若点尸（2石,3JJ）,则%。材：S板材=：

C.丽・万才是常数D.点N在一个定圆上

【答案】BCD

【解析】如下图所示：

对于A选项，设点尸（20,s）（sw0）,易知点/卜百,0）、3（、后,0卜

,2

所以，kpA-kpB—『广尸—不是定值，A错;

2V3+V32V3-V39

对于B选项，当点P的坐标为（2百,3底），kpA=^=*，

则直线正/的方程为歹=，1+百），即x=*y—百，

亭-石

联立产可得/_亚,=0,解得y=0或y=0,即加=C，

2x2+3v2=6

所以力1吆=昆史=

_KM_五_iR7,

所以'\PM\—仪”-力「2-3阎一5''；

■\yM~yP\

对于C选项，设直线4P的方程为x=T-6(7/0),

；二3：6可得Q入计4圆=。,解得i或/黑

联立《

I/

“逅乎3吗*

2-2/+32尸+3

即…'[2产+3

x—乙7D/厂、

x=ty->/3可得，3百，即点尸2虫,平

联立《

X=2y/3

127-183>/3x4>/312/2+18

所以，OPOM2产+3+2/+3-2产+3二6，C对;

对于D选项，设点用(X。,％),其中.%工0,且1+?=1,则君一3=-苧，

22c

k,__.%%一比一%.2

脑褊k一不？三耳一行一:M一5，

2

3/222

U_t_3_3,则右以二三方QP，所以，九4,4MB=W《o尸占3=一M，

“一而一五一53333

则方“％=-1，所以，OPYBM,取线段08的中点E—,0，连接NE，

\7

由直角三角形的几何性质可知。归I=:|。创=乎，

所以，点N在以线段08的直径的圆上，D对.

故选：BCD.

11.已知四棱锥尸-48CD,底面48C。是正方形，上4J_平面4BC。，40=1,尸。与底面

48CD所成角的正切值为点M为平面/BCD内一点，且㈤/=义/。(0</1<1),点N为

2

平面尸45内一点，NC=y[i，下列说法正确的是()

7T

A.存在4使得直线尸3与⑷/所成角为一

6

B.不存在4使得平面E18_L平面尸

C.若;1=立，则以尸为球心，为半径的球面与四棱锥尸-488各面的交线长为

2

72+76

---------------7T

4

D.三棱锥N-4。外接球体积最小值为多叵兀

6

【答案】BCD

【解析】由凡4_L平面/5CZ),底面4BCD是正方形，40=1,可得4C=收，

且NPC4是尸C与底面43C。所成角，即tanNPC4=£4=Y2,则PN=1,

AC2

TT

同理乙P34是”与底面45CZ)所成角，故NPA4二一，

4

7T

由题意，JAf在面4BCZ)内，故直线尸8与W所成角不小于一，A错；

4

PN_L平面48CZ),BCu平面48CZ),则上4L5C,又ABJ.BC,

PA[}AB=A,取,/3u面以3,则8cl面P/3.

要平面尸48J_平面尸5A/,M■要在直线5c上，而W=44D(O<4<1),

显然不存在，B对；

由题设/跖=也40=也，将侧面展开如下图，

22

球与侧面的交线是以尸为圆心，在为半径的圆与侧面展开图的交线，如下无防，

2

由tanZ4P尸=①=tan/BPC=3，则Z^Pb=N3PC,ZAPF+/FPB」,

2V24

TTTT

所以ZFPC="PC+NFPB=—,根据对称性有NEPC=NCPE,故N£PE=—,

42

所以无话长为亚

4

又球与底面45CZ）交线是以A为圆心，也为半径的四分之一圆，故长度为叵，

24

综上，球面与四棱锥尸-458各面的交线长为且渔兀，C对；

4

由题设，三棱锥N-/CZ）外接球也是棱锥N-4BCD外接球，

又N为平面尸4g内一点，NC=45＜且4u面H45,则面上43上面4SC。，

BCLAB,面7Mge面A3CZ）=N5,3Cu面45cZ）,故面力3,

易知N在面上45的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆（去掉与直线48的交点），

根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，则N在该圆弧上，

当BN接近与面AB重合时NA4N趋向兀，

当BN_L面ABCD时NBAN最小且为锐角，sinZBAN="=二，

ANyj5

BN]

而“即的外接圆半径r=

2shi4ANsinZBAN

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其60%分位数为

O5101520数据

【答案】14

【解析】由图可知第一组的频率为0.04x5=0.2<0.6,前两组的频率之和为

0.04x5+0.1x5=0.7>0.6,则可知其60%分位数在［10,15)内，设为x,

则0.1x(x—10)=0.6—0.2,解得x=14.

故答案为：14

13.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等

分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一

次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.

依次进行““次分形"(〃eN*).规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.

若将边长为1的正三角形“〃次分形”后所得分形图的长度不小于120,则〃的最小值是.

(参考数据：坨220.3010,lg3a0.4771)

【答案】13

4

【解析】依题意可得“〃次分形”图的长度是“n-1次分形”图的长度的

由“一次分形”图的长度为:x4x3=4,

4

所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4,公比为§的等比数列,

所以“，次分形”图的长度为4x

故>120,即图>30,两边取对数得(〃—I)(21g2—lg3)21+lg3,

l+lg31+0.4771

所以“TN®11.8贝512.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又〃eN*,故〃的最小整数值是13.

故答案为：13.

14.在平面直角坐标系x°v中，己知圆O：X2+F=4,若正方形的一边48为圆。的一条

弦，贝IJIOCI的最大值为.

【答案】272+2

TTTT

【解析】令4＞区4=。€[0,一)且|O5|=2,13cl=4cos8,要使|OC|最大有cos/O8C=—+6,

22

2

如下图示，在△03C中|OC『=|O3|2+15C|-2105115C|cosZOBC,

所以|OC『=4+(4cosdp_2x2x(4cos6).cosg+6»)

=4+16cos28+16sinecos6—8(sin20+cos20)+12

=8&sin(26+：)+12,

当且仅当e=1时|OC|皿=VsV2+12=2V2V2+3=2(1+收)，

o

所以|OC|的最大值为2亚+2.

故答案为：2&.+2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(.丫)=-02-〃》一。).

(1)若曲线y=/(x)在点(1J(D)处的切线平行于X轴，求实数。的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

【答案】(1)1(2)答案见解析

【解析】(1)由题可得/'(xhe'X+Q—q)x-2a],

因为〃x)在点(1J(1))处的切线平行于x轴，所以/'(1)=0,

即e(3-3a)=0,解得a=l,经检验a=l符合题意.

(2)因为r(x)=e*[x2+(2-,

令/'(x)=0,得x=—2或X=。.

当。<-2时，随x的变化，f(x),/(x)的变化情况如下表所示:

X(一叫a)a3-2)-2(-2,+oo)

f'(x)+0—0+

f(x)单调递增/(«)单调递减/(-2)单调递增

所以/(x)在区间(-*a)上单调递增，在区间(a,-2)上单调递减，在区间(-2,+8)上单调递增.

当。=-2时，因为/'(x)=e%x+2)2N0,当且仅当x=—2时，f'(x)=0,

所以/(x)在区间(-吗+与上单调递增.

当a〉-2时，随x的变化，f(x),“X)的变化情况如下表所示：

X(-00,-2)-2(-2,a)a(a,+00)

/'(X)+0—0+

单调递增/(-2)单调递减单调递增

所以/(x)在区间(-%-2)上单调递增，在区间(-2,a)上单调递减，在区间(。,+8)上单调递增.

综上所述，

当a<-2时，”月的单调递增区间为(-叫。)和(-2,+0)),单调递减区间为(。,-2)；

当。=-2时，“X)的单调递增区间为(-8,+s),无单调递减区间；

当a〉-2时，/(x)的单调递增区间为(-叫-2)和(a,+8),单调递减区间为(-2,a).

16.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件

的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件,

结果如1、«

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用

跑步软件一的概率；

(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记

X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为不，%，/，%，其方差为5；；

样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为弘，外,匕，居，其方差为学;不，

入2，花，无4，%，为，为，乂的方差为S；.写出S；,sf,的大小关系.(结论不要求证明)

33

【答案】(1)茄(2)分布列详见解析，£(X)=](3)

【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，

QA404

这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率为黑义券=三.

2008020

（2）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为8x2?0=2,

80

所以X的所有可能取值为0」,2,

3!2

尸（X=0）=*c4s，尸（X=l）=詈rc=£is,P（X=2）=r釜2rl=焉Q

所以X的分布列为：

X012

5153

P

142828

51533

所以£（X）=Ox三+lx-+2x±=±.

K71428284

（2）sl<sj<sf,证明如下:

80八〃60八c40八。20八1

x-------0.4.x--------0.3.占—-----0.2.-------0.1

1200922002004200

=0.25,

4

（0.4-0.25）2+（0.3-0.25）2+（0.2-0.25）2+（0.1-0.25）21

所以s；=

480

303201201101

丽=产=丽=尸=丽=尸=而q

%+%+%+为1

1

128

数据：x1,x?,与,甚，必，％,为，yAF

对应的平均数为%+%+£+/+.%+%+8+%=1

84

所以

（0.4-0.25）2+（0.3-0.25『+（0.2-0.25）2+（0.1-0.25）2

13

81280

所以s；<s；<s]

17.如图，在四棱锥P—/5C。中，PAl^ABCD,AD!IBC,点/在棱尸8上,

PM=2MB,点N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。为尸。的中点，求证：NQ〃平面P4B；

(2)若直线PZ与平面乂所成角的正弦值2为求了PN，的值.

【答案】(1)证明见解析(2)%PN=31

【解析】(1)证明：过M作3c的平行线交尸C于〃，连接

，噌=*=喘，又YPM=2MB,:.HC=；PC,又CN=2NP,

PBPCBCPC33

:.NH=PN=HC,:.N为PH的中点、,又。为ED的中点，

:.NQ//HD,

2

又MH=qBC=2,又AD=2,AD//BC,

ADHMH,且40=皿”，

.••四边形"HD4是平行四边形，

:.HDI/MA,:.NQ//AM,

N。＜z平面,/Mu平面P48,NQ//平面P4B

(2)以A为坐标原点，AB,AD,4尸所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则2(0,0,0),0,1),R0,0,2).C(2,3,0),W=(1,0,

Z?=(0,0,2).PC=(2,3,-2),

.,・设丽=灰=(22,32,-22)(0<2<1),

AN=Z?+PN=(0,0,2)+(2/1,32,-2/1),=(2A,32,2-22)

设平面MW的一个法向量为万=(X,y,Z),

n-AM=—x+一==0

33，令x=1,则z=-2,

w-L42V=22x+32y+(2-22)z=0

■,■平面AMN的一个法向量为方二。,

设直线24与平面3N所成角为8,

/.sin8=|cosv北，|AP|•|万|则a二§

2J1+4+C

PN1

PC-3

18.己知抛物线C：y2=2px（0＜。＜5）上一点”的纵坐标为3,点”到焦点距离为5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点（L0）作直线交。于A,B两点,过点A,8分别作C的切线4与4，4与4相交于点

过点A作直线4垂直于4,过点5作直线％垂直于乙，4与L相交于点七，4、‘2、4、74分别与

x轴交于点尸、Q、R、S.记VZ）P。、△2X45、&ABE.△ERS的面积分别为S1、号、S3、

S’.若5^2=4S3s仆求直线4B的方程.

【答案】（1）/=2x（2）x土痴y-l=0