河南省信阳市2023-2024学年高三年级上册第二次教学质量检测数学试卷（解析版）

2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡

上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔

将准考证号填涂在相应位置.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非

选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合—J,I1J,则人右一（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】首先求解集合6={-1,0,1},再求集合的交集即可.

【详解】因为f<4n—2（尤<2，

所以5={—1,0,1},又集合A={+

所以AB={-1,0,1},

故选：B.

2.若z=,，则复数N在复平面内对应的点在（）

z+2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由复数除法运算法则，求出z,即可求解.

、z(2-z)l+2i-12.

［详解］z=--------------------------=-------------,z=--------1

(2+0(2-0555

I在复平面内对应的点在第四象限.

故选:D.

【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.

3.设公差不为零的等差数列｛4｝的前w项和为S“，a4=-a5,则^=()

2

A.15B.1C.-1D.-9

【答案】D

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为的利用基本量代换求出Fj'进而求解・

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,(d>0).

*.*g=，**,。4=~(^4+，解得：%，。5=2d.

q=&-3d——2d,%+%=~d.

.+(^)x9_2a5x9_4dx9_

S4(%+%)x4(囚+〃4)义4-6?X4

故选：D.

7T

4.已知向量的夹角为]且|〃|=2|,8=(1,1),则々在b上投影向量的坐标为()

A.(以间B/UC.[J与D.(1,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.

-b

【详解】依题意，a在》上投影向量为(|a|cos。)一，其中6=〈a,力，

网

7T

所以a在b上投影向量的坐标为(2cosj)x

故选：C

5.“x>l”是“l°gl（x+D<°”的

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义进行判断

【详解】解：当尤>1时，x+l>2,所以10gl（x+D<log”=T<0,

22

当10gl（x+l）<0时，logKx+l）<0=l0gl1,所以x+l>1即>0

222

所以“龙〉1”是“10gl（x+l）<0”的充分不必要条件

2

故选：A

【点睛】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题

6.过直线,=》上的一点「作圆（尤—5）2+（丁—1）2=2的两条切线/1，4,切点分别为A3,当直线

4，4关于对称时，线段外的长为（）

A.4B.2夜C.76D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P的连线垂直于直线y=x,利用这一关系即可得到

切线的长.

【详解】如图所示，圆心为C（5,l）,连接CP,

因为直线4，6关于v=x对称，所以cp垂直于直线y=x.

故|。4=号=20,而|AC|=JL

所以|P4|=yj\CPf-\ACf=V6.

故选：C

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为孔点尸是C上一点，且忸同=5,以PF为直径的圆截x

轴所得的弦长为1,则0=()

A2B.2或4C.4D.4或6

【答案】D

【解析】

【分析】根据几何关系，求点P的坐标，代入抛物线方程，即可求解.

【详解】设圆的圆心为M,与x轴交于点£3,线段EB的中点为A,轴，由条件可知

|M4|=|)\FA\=^,|w|=^-^-=V6,所以%=26，

由焦半径公式可知与+言=5,即Xp=5—言，所以代入抛物线方程24=2小一g,

8.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明的上

班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为工，而他自

333

驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为--结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾

456

去上班的概率是()

121534

A.—B.—C.一D.-

373757

【答案】B

【解析】

【分析】设事件A表示“自驾”，事件&表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件。“表示迟到”,

利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.

【详解】设事件A表示“自驾”，事件方表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车"，事件。'表示迟到”,

由题意可知：P(A)=P(B)=P(C)=1,P(D|A)=|,P(D|B)=|,P(D|C)=1,

则尸(Z))=P⑷尸(D|A)+P(3)尸(D|5)+P(C)P(D|C)=,x[w+m+4J=旃,

P(AD)=P(A)P(D|A)=gx；=g,

1

若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P(A|£>)=?空=尊=9.

JryLJ)。，31

180

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=Asin(a»x+0)的图象如图所示，M,N是直线y=-1与曲线y=/(x)的两个交

2元

点，且则下列选项正确的是()

119

4兀TT

A.①的值为3B.。的值为2C.。的值可以为一D.。的值可以为一

33

【答案】AD

【解析】

2元

【分析】根据函数图像直接确定A,设M（X，%）,N（X2,%）,（%>%）结合眼2=豆，确定。，利用

点的坐标确定。的表达式，然后代入求值即得答案.

【详解】由函数/（%）=Asin（@x+。）的图象可知A=2,

27T2冗

设“（药,乂）川。：2，%），（%2>%），由=7可得尤2-玉=7，

令2sin（69x+0）=—1,即sin（GX+0）=-g,

5兀71

结合图像可得CDX1+夕=----,Cl）X2+夕=，

66

27r27r2JE

则研马一百）二[一，即GX-§-=-§-，.•.啰=3,故A正确，B错误；

47r（4兀\（47r、

将1=一-y=0代入/（%）=Asin（s+0）,即有2sin[--—+1=0,且[一-0）为函数下降零

点，

4兀7

所以--1+夕=兀+24兀，左£Z,故/Mg•兀+2E#£Z,

4兀]

当夕=一时，k=一一，不符合题意，

32

71

当夕=—时，k=-l,符合题意，故C错误，D正确；

3

故选：AD.

10.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22°C”.现有甲、乙、丙三地连续

5天的日平均温度（单位:。C）的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27,总体平均数为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体平均数为26,总体方差为10.8.

则肯定进入夏季的地区有（）

A.一个都没有B.甲地

C.乙地D.丙地

【答案】BD

【解析】

【分析】根据统计数据的中位数、众数、平均数和方差的数字特征，逐个判定，即可求解.

【详解】①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22,

根据数据得出，家底连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26,

其连续5天的日平均温度均不低于22,可确定甲地进行夏季；

②乙地：5个数据的中位数为27,总体平均数为24,

当5数据为19,20,27,27,27,可知其连续5天的日温度有低于22,所以不确定；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体平均数为26,

若有低于22,假设取21,此时方程就超出了10.8,可知其连续5天的日温度均不低于22,

如：22,25,25,26,32,这组数据的均值为26,方差为10.8,但是进一步扩大方差就会超过10.8,所以可

判定丙地进入夏季.

故选：BD.

H.定义在R上的函数"X)满足〃x)+/(4+x)=0,y(2+2x)是偶函数，/⑴=1,则()

A.“X)是奇函数B./(2023)=-1

100

C.”力的图象关于直线X=1对称D.\>/(2ZT)=T00

k=\

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.

【详解】对于选项A,•••/(2+2x)是偶函数，-2x)=/(2+2x),

函数/CO关于直线x=2对称，/(-x)=/(4+x),

•.•/(%)+/(4+尤)=0,是奇函数，则A正确；

对于选项B,,；/(4+x)=—/(x),/(8+*)=-/(4+x),；./(8+%)=/(%),

〃龙)的周期为8,(2023)=/(253x8—1)=/(—1)=—/(1)=—1,则B正确；

对于选项C,若“力的图象关于直线1=1对称，则〃3)=/(—1),

但是/(—1)=—/(1)=—1,/(3)=/(1)=1,即/•0//•(―1),这与假设条件矛盾，则选项C错误；

对于选项D,将x=g代入/(2—2x)=/(2+2x),得/•(3)=/(1)=1,

将x=l,代入〃x)+/(4+x)=0,得/(5)=—/(1)=-1,

同理可知/(7)=_/(3)=-L,

又•••〃尤)的周期为8,.•./(%)正奇数项的周期为4，

100

ZV(2"1)=/■⑴+2/■⑶+3/■⑸+…+100/(199)

k=\

=[/(1)+2/(3)+3/(5)+4/(7)]+[5/(9)+6/(11)+7/(13)+8/(15)]--

+[97/(193)+98/(195)+99/(197)+100/(199)]=25x(-4)=-100,则D正确.

故选：ABD.

12.如图，双曲线。：/一丁2=/的左右顶点为人，B,P为C右支上一点(不包含顶点)，

ZPAB=a,NPBA=(3,ZAPB=y,直线/与。的渐近线交于尸、G,M为线段FG的中点，则

()

A.双曲线C的离心率为6=后B.尸到两条渐近线的距离之积为/

C.tano+tan/?+2tan7=0D.若直线/与31的斜率分别为匕，与，则

k[k、=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,根据等轴双曲线的离心率即可判断；对B,结合渐近线与点到直线的距离即可；对C,由

tanor-tan/?=-(-kPB)=-1,结合tan/=-tan(or+力)即可；对D结合点差法即可.

【详解】对A,等轴双曲线的离心率为近，所以A正确，

对B:双曲线C：/—/="的渐近线为y=±x,设P®,%),

p到两条渐近线的距离为4,由，

则44=民小」/小=B-%L《,所以B错.

V2V222

y

对C：tantz-tan/?=kPA-（-kPB）=------=°Q-2=-1,

XQ+4ZXQ_aXQ—a-a

/八\tana+tanBtana+tan/?

tan/=-tan（or+p=--------------=-------------,

1-tan（2-tanp2

所以tana+tan力+2tany=0,C正确.

对D：方法1：设/与双曲线及其渐近线依次交于E,F,G,H

设设厂G（%2,j2）,则Af卢；9,乂；为），

由＜；2n伊T）f+2^=。得中点的横坐标为“^

尤-j=a、'1-k

y=kx+m/,\,mk

由《，，cO（K—1）必+2加质+犷=0得FG中点的横坐标为----

x~-y~=0v'l-k-

所以EH和FG的中点重合，即M为双曲线弦EH的中点，由点差法得

*2f="2=（+君）-（才-幻=0,

x,+x2_y,-y2

%+%&一々，

设直线I的斜率为h"乂,OM斜率为k2=卫上之

X]-x2玉+x2

则印2=1，所以D正确.

方法2：设厂G（x2,y2）,/（/,%）,

尤2_2_Q

由22八=（%+々）（七一%）—（％+%）（%—%）=0,

[x--y-=0

：.2x0-2%匕=0=>kA?=1,所以D正确.

故选：ACD

令4a=t(t>1)，则m=n=Int,

所以/n+w=Int-左,令g(t)=Int—#,则=

所以当1<I<8时,gr(t)>0；当/>8时，g'⑺<0，

当/=8时，g(。取得最大值g(/)=ln8—2=31n2—2.

故答案为：31n2-2.

【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及利用导数求解函数的单调性和最值及应用，着重考查数形结

合法，以及推理与运算能力，属于基础题.

16.已知数列｛%｝的通项公式为。“="+八数列｛勿｝为公比小于1的等比数列，且满足始仇=8,

b2+b3=6,设c,=4产+三匈，在数列｛%｝中，若C4Wc"（”eN*）,则实数/的取值范围为

【答案】[T-2]

【解析】

【详解】在等比数列也｝中，由々也=8=>4刈=8，又62+4=6，且公比小于1，

.•也=4也=2,"=》=；，因此勿=打尸=4x[]=W,由°=%+1+,"一可,得

42"2?（2）（2）"22

b（a工b、A14

到C"=是取％1"'中最大值，二，4是数列｛c.｝中的最小项，又勿=上单调递减,

%=77+/单调递增，.•.当。4=。4时，。4<%，即%是数列｛%｝中的最小项，则必须满足

b4<a4<b3,即得<4+/W(g)=>—3</W—2，当。4=2时，c&Wc“,即d<g,二"是

数列｛&｝中的最小项，则必须满足%<々<生，即得4+<5+?^-4<?<-3>综上所述，

实数/的取值范围是[-4,-2],故答案为[T-2].

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，角A,8,C的对边分别是°,6,c,已知。=4且cos2A-cos25=2sinC(sin5-sinC).

(1)若c=3,求sin若；

(2)若BC边上的高是AH,求8H的最大值.

【答案】(1)sinC=2叵

8

(2)2+^-.

3

【解析】

【分析】(1)根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦定理可得A,再由正弦定理求sinC即可；

(2)由三角恒等变换化简后，利用正弦型函数的性质求最大值即可得解.

【小问1详解】

由cos2A-cos2B-2sinC(sin5—sinC)可得：

1-2sin2A-1+2sin2B=2sinCsinB-2sin2C

=^>sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，

即：b2-\-c2—a2—bc^>匕十°——£

2bc2

即cosA=g,又人£(0,兀)，：.A=^

a@

由正弦定理得：.「csinA3V3.

sinC=-----=-----=---

a48

【小问2详解】

由题意，

【小问2详解】

/(x)的最大值2,

JTJT

/./(C)=sin(2C——)+1=2=CD,得sin(2C——)=1,

66

:.c=~,

3

Q□_Q-V

0.ACD丁uBCD—□.ABC'

.兀•兀1人•兀日n7V3

..—•2••sin—+—•2•6?•sin—=—••Z?•sin—,BP+Z?=--ab，7

2626232

.11_V3

••---1--------,

ab2

112

4〃+/?=(4〃+b)(—I—)—产

abyJ3

b4〃22/74

=(5+—+—)--T=>(5+4)--=,当且仅当一二—^,即Z?=2”时取等号,

aby/3V3ab

又,a+b=^ab，即当且仅当6=2&，a=0时取等号，

2

所以4a+Z?的最小值为6石.

19.设数列｛4｝的前〃项和为5“，满足S”=1一%(〃eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(一瑶

(2)设数列U-前〃项和为北，求心的表达式.

an

(2)T2n=2n(n+l)

【解析】

cin-1/_\/、/、

【分析】(1)根据通项与前“项和的关系可得＜n=-再根据““+1)%=(77—1)加篙求

an-l〃+1

解即可；

（2）先化简2=。2”-1+。2〃，再根据7k=）+%+&+…+2求解即可.

小问1详解】

当”=1时，。1=1—4],所以q=g.

当“22时，Sn^l-nan,S,i=1—(〃一1)%_1.

/、4〃一1/小

两式相减得：an=(n-\)an_l-nan,即r=二二i(〃22).

a

n-\几十1

故九(n+l)a"=(n—\\nan_x=(n-2)(n-1)an_2=...=1x2%=1.

【小问2详解】

因（D=（一1）"仆+1）,令々=为“_1+02”=一（2〃一1）2n+2〃（2〃+1）=4",则

2=4（〃+1）-4〃=4,

•••｛仇｝为等差数列.

F7777〃（"+"）"（4+4"）三Z八

T2>,=4+a+2+-.+勿=--------=—^--=2n（n+l）.

20.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N（70,7.52）,数学成绩的频数分布直方图如

下：

V4O5060708090100数学成缜

（I）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方

图中各段是均匀分布的）；

（II）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少

人？

（Ill）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（II）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都

优秀的有X人，求X的分布列和数学期望.

（附参考公式）若XN（〃，4）,则尸（〃一b<X<〃+cr）a0.68,

-2cr<X<〃+2cr)a0.96

【答案】（D语文平均分高些；（ID语文成绩优秀人数为4人，数学成绩优秀人数为10人；（in）答案

见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（D根据组中值与对应区间概率的乘积和计算平均数，再比较大小，（ID先求优秀的

概率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果，（ni）先确定随机变量取法，再根据组合数计算对应概率，

列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

试题解析：（D数学成绩的平均分为

0.012x45+0.02x55+0.025x65+0.035x75+0.006x85+0.002x95xl0=65.9

根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.

（II）语文成绩优秀的概率为Pi=P（X285）=1—O.96x；=O02,

数学成绩优秀的概率为P2=[0.006x1+0.002jx10=0.05,

语文成绩优秀人数为200义0.02=4人，数学成绩优秀人数为200x0.05=10人

（III）语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，X所有可能的取值为0,1，2,3,

「31CXC21

P(x)=。季［，p(x)=i=^=j

cio°Mo乙

3不i

P(X)=2=^^=—，P(X)=3=T=—

'7Q3o10')%30

X的分布列为

X0123

31

尸(X)

621030

数学期望石(X)=0x'+l><L+2xa+3x」-=9

\)6210305

22

21.已知椭圆C：j+==l（a〉6〉0）的离心率为左、右顶点分别为A、B,点P、。为椭圆上

ab

异于A、3的两点，：,R43面积的最大值为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线4>、3。的斜率分别为左、k2,且3K=5网.

①求证：直线尸。经过定点.

②设△PQB和△PQA的面积分别为"、邑，求凡―S?|的最大值.

【答案】（1）土+y2=l

（2）①证明见解析；②*上

4

【解析】

【分析】（1）根据题意可得出关于。、6、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆。的方程；

（2）①分析可知直线P。不与y轴垂直，设直线PQ的方程为*=）+〃，可知〃w±2,设点P（石,％）、

k5

Q（%,%）•将直线尸。的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用求出九的值，即可

得出直线P。所过定点的坐标；

②写出内-S2I关于f的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得⑸-s?l的最大值.

【小问1详解】

解：当点P为椭圆C短轴顶点时，上钻的面积取最大值,

且最大值为邺八;义2"="=2,

£=2/3

a2a—2

由题意可得<ab=2,解得＜b—\

c2=a2-b2c—A/3

所以，椭圆C的标准方程为三+>2=1.

4-

【小问2详解】

解:①设点尸（%,%）、

若直线尸。的斜率为零，则点P、。关于>轴对称，则匕=-右，不合乎题意.

设直线PQ的方程为工=。+〃，由于直线P。不过椭圆C的左、右焦点，则〃w±2,

x—ty+77/\o9

联立《.2*,2_4可得(厂+4b+2奶+"一4=0,

2

[%+4/=4'')''

△=4/〃2一4(/+4)(〃2-4)=16(r+4—7，)>0,可得川</+4,

»土、—r/日21nn~—4„,4—n~/、

由韦达定理可倚%+%=-丁/，~则91%=—：；—(%+%)，

I+4%+4In

4-n2

&%%-2(ty2+n-2)yl”+(〃-2)%至不(%+%)+("2)%

上2M+2%(步+九+2)%81%+5+2)%4—7()]।%)।(%।2)%

=2—n.(2+.)(4]+y?)—2町]=2—n=5_

2+〃(2—〃)(％+%)+2〃乂2+〃3‘牛用"2，

即直线尸。的方程为x=。—；，故直线尸。过定点/1—g,。].

t2

②由韦达定理可得X+%=”IZ，X%=一近旬，

所以，[S]—S2I=曰AM|-忸—叼=gJ(x+%『—4乂%

_£k/丫丁,4/+74,4产+15_______4_________

-5也2+4尸入4-『+4-(4/+15)+「管275T1'

，4r+15

t2>0,则J4r+152厉,

因为函数/（x）=x+工在「Vi5,+a））上单调递增，故4^+15+-^=>+/==岭叵,

''xL'4+15V1515

Is-史

所以，22~16#—4，当且仅当/=0时，等号成立，

国-S2I的最大值为孚.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方

程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（％,用），常利用直线的点斜式方程）-％=左（％-尤°）或截距式丫=依+6来证明.

22.已知函数/(%)二%111¥-；依2_%(4£2.

+8)上为增函数，求实数。的最大值;

(1)若函数/(九)在

加m

(2)若/(%)有两个极值点引,々(玉＜/)，且不等式:~〉£恒成立，求正数加的取值范围

(e=2.71828为自然对数的底数).

【答案】(1)-e

(2)[1,+co)

【解析】

1

【分析】⑴求得/'(x)=lnx-ar由已知可得/在xe二,+”卜恒成立，即竺，

ex

1nx

恒成立，构造函数力(力=—,利用导数研究单调性，进而可求得结果;

leX

In—LQmxm

(2)由占，尤2是方程/'(x)=lnx—依=0的两个实数根，求得a=_工，将一＜至，两边取自然对

Xie

1

%1-X2

数化简可得

/、

X

—L+mln%

X,令上二