2024年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市海淀区中考数学一模试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第18题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（）

D.

2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四

成.将17500000用科学记数法表示应为（）

A.175X105B.1.75X106C.1.75X107D.0.175X108

3.（2分）如图，AB±BC,AD〃BE,若/BAD=28°,则/CBE的大小为（）

4.（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A.a2-2B.a<-3C•一a>2D.一a23

5.（2分）每一个外角都是40。的正多边形是（）

A.正四边形B.正六边形C.正七边形D.正九边形

6.（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为

A.1B.-1C.4D.-4

7.（2分）现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为*,V,V.若将这三

张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（）

A.AB.Ac.AD.2

6323

8.（2分）如图，AB经过圆心0,CD是。0的一条弦，CD±AB,BC是。0的切线.再从

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条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD=BC.

条件①：CD平分AB；

条件②：OB=A/30A；

条件③：AD2=A0HB.

则所有可以添加的条件序号是（

A.①B.①③

、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）代数式丁工工在实数范围内有意义，则x的取值范围是

10.（2分）分解因式：a3-4a=.

11.（2分）方程工=2，.的解为__________.

x3x-l

12.（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数丫上（女声0）的图象经过点A（a,2）和B

(b,-2),则a+b的值为.

13.（2分）如图，在4ABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3.点D在射线BC上运动（不

与点B重合），当BD的长为时，AB=AD.

14.（2分）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗

进行抽测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：cm）,数据经

过整理后绘制的频数分布直方图如图所示.若高度不低于300cm的树苗为长势良好，则

估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有棵.

高度（cm）

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15.（2分）如图，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边CD,AD,BC上，FD<CG.若

FG=AE,Zl=a,则/2的度数为（用含a的式子表示）.

16.（2分）2019年H月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被

许多人称为“口节”.某校今年“五节”策划了五个活动，规则见图：

Q）“汗节”活动规则

•活动前每人先发放一枚发币”

活动名称奖励的"X币强量/枚

•每参与一个活动消耗一枚*币.

24点2

•没有“万币”不能参与活动数独2

・每个活动至多参与一次华容道3

魔方3

•挑战成功，按右表发放奖励

鲁班锁4

•挑战失败，谢谢参与

小云参与了所有活动.

（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为;

（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“口币”

数量的所有可能取值为.

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每

题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出

文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：2sin6O+|-1|+（1）-1-«/12.

2

4x~3<5

18.（5分）解不等式组：，2x+l>2,

3

19.（5分）已知b2-4a=0,求代数式一%里一的值.

（b-l）2+2b

20.（6分）如图，在DABCD中，0为AC的中点，点E,F分别在BC,AD上，EF经过

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点0,AE=AF.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若E为BC的中点，AE=3,AC=4,求AB的长.

21.(6分)如图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和

卫生间地面铺设瓷砖.将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费

1270元.若每平方米木地板和瓷砖的价格之比是5：3,求每平方米木地板和瓷砖的价格.

22.(5分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(kWO)的图象经过点A(1,2)和B

(0,1).

(1)求该函数的解析式；

(2)当x<l时，对于x的每一个值，函数y=mx-1(m。0)的值小于函数y=kx+b(k

#0)的值，直接写出m的取值范围.

23.(5分)商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨

跌幅.下面给出了商品售价和成本(单位：元)的相关公式和部分信息：

a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：

售价涨跌幅=当周岂喇曼售价X100%,成本涨跌幅=当周鹭变?成本X

刖1周售价刖周成本

100%；

b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；

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C.甲、乙两种商品成本与售价信息如下:

甲商品的成本与售价信息表

第一周第二周第三周第四周第五周

成本2550254020

售价40m45nP

乙商品的成本。售价统计图

(1)甲商品这五周成本的平均数为,中位数为:

(2)表中m的值为,从第三周到第五周，甲商品第周的售价最高；

(3)记乙商品这40周售价的方差为s?,若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅

的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，

记这40周新售价的方差为屋，贝％；sg(填”或

24.(6分)如图，AB,CD均为。0的直径，点E在向上,连接AE,交CD于点F,连接

DE.ZEDB+ZEAD=45°,点G在BD的延长线上，AB=AG.

(1)求证：AG与。0相切；

(2)若BG=4遥，tanZEDB=求EF的长.

G

BD

E

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25.(5分)某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式:

方式一：每天打卡可领取60min听书时长；

方式二：第一天打卡可领取5min听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2

倍.

(1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二：

表一：每天领取听书时长

天数1234・•・n

方式一60606060.・・60

方式二55X25X45X8・・・5X2n-1

表二：累计领取听书时长

天数1234・・・n

方式一60120180240.・・

方式二5X2-55X4-55X8-55X16-5•••

(2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应

的点，并用虚线表达了变化趋势.其中表示方式二变化趋势的虚线是(填a或b),

从第天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；

(3)现有一本时长不超过60min的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物.若选

择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t(单位：min)

的取值范围是.

累计时长(min)

480

440

400

360

320

280

240

77（刘

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26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，点(m,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上，其中m

W0.

(1)当m=4,n=0时.求抛物线的对称轴；

(2)已知当0<m<4时，总有n<0.

①求证：4a+bW0；

②点P(k,%),Q(3k,y2)在该抛物线上，是否存在a,b,使得当l<k<2时，都有

yi<y2?若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在.说明理由.

27.(7分)在4ABC中，ZACB=90。，ZABC=30°,将线段AC绕点A顺时针旋转a(0

<aW60°)得到线段AD.点D关于直线BC的对称点为E,连接AE,DE.

(1)如图1,当a=60°时，用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明;

(2)连接BD,依题意补全图2,若AE=BD,求a的大小.

图1图2

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上

任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90。得到M',将所有M'组成的图形记作M

",称M〃是图形M关于图形N的“关联图形”.

(1)已知A(-2,0),B(2,0),C(2,t),其中拱0.

①若t=l,请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”；

②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点,

直接写出t的取值范围；

(2)对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的

圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐

标的最大值和最小值的差为d,当这条线段和圆的位置变

化时，直接写出d的取值范围(用含a和r的式子表示).

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2024年北京市海淀区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共16分，每题2分）第一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案.

【解答】解：A、俯视图是一个圆，故本选项符合题意；

B、俯视图是一个矩形，故本选项不符合题意；

C、俯视图是一个三角形，故本选项不符合题意；

D、俯视图是一个矩形，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图.

2.【分析】根据科学记数法的规则进行作答即可.

【解答】解：17500000=1.75X107.

故选：C.

【点评】本题主要考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的规则.

3.【分析】先利用平行线的性质可得/BAD=ZABE=28°,再根据垂直定义可得/ABC

90°,然后利用角的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：；AD〃BE,

?.ZBAD=ZABE=28°,

•；AB±BC,

Z.ZABC=90°,

/.ZCBE=ZABC-ZABE=62°,

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

4.【分析】由数轴可知，-3<a<-2,由此逐一判断各选项即可.

【解答】解：由数轴可知，-3<a<-2,

A、-3<a<-2,故选项A不符合题意；

B、-3<a<-2,故选项B不符合题意；

C,V-3<a<-2,；.2<-a<3,故选项C符合题意；

D,V-3<a<-2,?.2<-a<3,故选项D不符合题意；

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故选：c.

【点评】本题考查的是实数与数轴，从题目中提取已知条件是解题的关键.

5.【分析】设这个正多边形的边数为n,根据正多边形的外角和等于360。列出方程40n=

360,解此方程求出n即可.

【解答】解：设这个正多边形的边数为n,

依题意得：40n=360,

解：n=9,

...每一个外角都是40°的正多边形是正九边形.

故选：D.

【点评】此题主要考查了正多边形的外角和，理解正多边形的外角和等于360。是解决问

题的关键.

6.【分析】利用根的判别式的意义得到△=22-4m=0,然后解方程即可.

【解答】解：根据题意得△=22-4m=0,

解得m=1,

即m的值为1,

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式，根据当八=0时，方程有两个相等的实数根来解答.

7.【分析】根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后

根据概率公式即可得出答案.

【解答】解：三张扑克牌分别用A、B、C表示，列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

共有9种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有3种情况,

则抽取的两张牌花色相同的概率为3=工.

93

故选：B.

【点评】此题考查了列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

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8.【分析】连接AC,0C,令AB,CD交于点E,由垂径定理可知，CE=BE,ZAED=Z

BEC=90°,贝]AC=AD,若选条件①，可是AE=BE,证AAED^ABEC(SAS),可

得AD=BC,若选条件②,可知OB=J^OC,得COS/COET•忠，设OA=oc

r,

UD3

则OB=Vjr,OE=OC-cosZCOE=^-＞可得1«=零'AE

r则AEWBE,

可得AD#BC,若选条件③，可知£山，即可证ACAO^ABAC,进而可证NOAC

OAAC

=ZB,得AC=BC,可知AD=BC,即可判断答案.

【解答】解：连接AC,0C,令AB,CD交于点E,

,/AB经过圆心0,CD是00的一条弦，CD±AB,

/.CE=BE,ZAED=NBEC=90°,

则AC=AD,

若选条件①，

VCD平分AB,

.\AE=BE,

AAED^ABEC(SAS),

/.AD=BC,

故①符合题意；

若选条件②，

VOA=0C,

?.ZOAC=Z0CA,

VBC是。0的切线，

/.0C±BC,

VOB=V3OA,

贝UOBSOC,得cos/8E有零，

UDo

设OA=0C=r,

贝!]0B=V3r,0E=0C*COSZC0E=^T,BE=OB-OE=^3AE

OoO

OA+0E=r+V3r_

3

则AEWBE,

/.ACNBC,即ADWBC,

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故②不符合题意；

若选条件③，

VAD2=A0[3B,即AC2=A0[3B,纵=^,

OAAC

又1•/CAO=NBAC,

?.ACAO^ABAC,

/.ZB=ZOCA,

X'.'ZOAC=Z0CA,

：.ZOAC=ZB,

；.AC=BC,

?.AD=BC,

故③符合题意；

综上，所有可以添加的条件序号是①③，

故选：B.

【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，三角函数，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【解答】解：.••后！在实数范围内有意义，

x-120,

解得x'l.

故答案为：x》l.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

10•【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(a2-4)

—a(a+2)(a-2).

故答案为：a(a+2)(a-2)

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

11•【分析】根据解分式方程的步骤进行解答.

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【解答】解：!

x3x-l

3x-l=2x,

解得x=l,

把x=l,代入xDBx-1)=1X(3X1-1)=2N0,

故x=l是原方程的解.

故答案为：X=l.

【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键.

12.【分析】将点A(a,2)和B(b,-2)代入y上(k/：0)之中得a=K,b=J1,由

22

此可得a+b的值.

【解答】解：...函数y上(k#0)的图象经过点A(a,2)和B(b,-2),

.Q_k_Q_k

ab

/.a=—,b=上，

22

/.a+b=K+(上)=0.

2、2，

故答案为：0.

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，理解反比例函数图象上的点满足反比

例函数的表达式是解决问题的关键.

13.【分析】画出图形，根据等腰三角形的性质即可解答.

【解答】解:如图,

VAB=AD,AC±BC,

：.BC=CD=4,

ABD=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.

14.【分析】先计算出随机抽测的100棵树苗中高度不低于300cm的占比，再乘2000棵,

即可得出结果.

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【解答】解：...随机抽测的100棵树苗中高度不低于300cm的占比：36+11=47%,

100

,此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：2000X47%=940（棵），

故答案为：940.

【点评】本题考查的是频数分布直方图和用样本估计总体，从题目图表中获取已知条件

是解题的关键.

15.【分析】过点G作AD的垂线，利用全等三角形的性质可得出AELGF,据此可解决问

题.

【解答】解：过点G作AD的仔,垂足为M,

I•四边形ABCD是正方形，

/.ZC=ZD=90°,AD=CD.

X'.'ZGMD=90°,

二四边形GCDM是矩形，

/.MG=CD,

.,.MG=AD.

在RtAADE和RtAGMF中,

[AD=MG

IFG=AE，

.,.RtAADE^RtAGMF（HL）.

/.ZDAE=ZMGF.

又；NMGF+ZMFG=90°,

/.ZDAE+ZMFG=90",

：.AE±GF.

又：ND=90°,

/.Z2+ZDEA=180".

TAB〃CD,

/.Z1=ZDEA,

Zl+Z2=180°,

即N2=180°-a.

故答案为：180°-a.

【点评】本题考查列代数式及正方形的性质，能通过作垂线构造全等三角形是解题的关

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键.

16.【分析】(1)因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参

与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“n币”，足够她参与其余四个活动；

(2)小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动

成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班

锁，最终剩下的“口币”数量的可能.

【解答】解：(1)I.小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，

二小云用活动前发放的一枚“五币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“口币”，再次

参与了其余四个活动，未挑战成功，

故答案为：鲁班锁；

(2)I,小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，

二小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，

若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，

最终剩下的“五币”数量可能是1枚、2枚或3枚，

若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，

最终剩下的“n币”数量可能是1枚、2枚或3枚，

若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，

最终剩下的“n币”数量可能是2枚或3枚，

故答案为：1枚、2枚或3枚.

【点评】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论.

三、解答题(共68分，第17T9题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每

题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出

文字说明、演算步骤或证明过程。

17•【分析】根据实数的运算法则、负整数指数嘉和特殊角的三角函数值的定义进行计算.

【解答】解：原式=2X』j+l+2-2通

2

=V3+l+2-2V3

=3-^3.

【点评】本题考查了实数的运算法则、负整数指数嘉和特殊角的三角函数值，掌握实数

的运算法则、负整数指数嘉和特殊角的三角函数值的定义是关键.

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18.【分析】先解不等式4x-3<5,得x<2,再解不等式2x+l>2_:得x>l,由此可得

3

原不等式组的解集.

【解答】解：解不等式4x-3<5,得：x<2,

解不等式红!工>2_*，得：x>l,

3

二原不等式组的解集为：l<x<2.

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法

是解决问题的关键.

19•【分析】根据分式的值的运算方法进行计算.

【解答】解：：b214a=0,

.".b2=4a,

.4a+l

（b-l）2+2b

_b2+l

b2-2b+l+2b

_b2+l

b2+l

=1.

【点评】本题考查了分式的值，掌握分式的值的运算方法是关键.

20.【分析】（1）由平行四边形的性质得AD〃BC,则NOAF=Z0CE,而0A=0C,ZACF

=ZC0E,即可根据“ASA”证明AAOE^ACOE,得AF=CE,则四边形AECF是平行

四边形，因为AE=AF,所以四边形AECF是菱形；

（2）由菱形的性质得CE=AE=3,所以BE=CE=AE=3,则BC=2BE=6,NEAC=

ZECA,ZEAB=ZB,则NBAC=90。，即可求得ABKBC?_d=2遥.

【解答】（1）证明：I•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

?.ZOAF=ZOCE,

VO为AC的中点，

；.0A=0C,

在AACF和△COE中，

第8页（共19页）

rZOAF=ZOCE

■OA=OC,

ZAOF=ZCOE

；.AAOF^ACOE(ASA),

?.AF=CE,

VAF〃CE,

四边形AECF是平行四边形，

VAE=AF,

二四边形AECF是菱形.

(2)解：I•四边形AECF是菱形，AE=3,AC=4,

；.CE=AE=3,

VE为BC的中点，

；.BE=CE=AE=3,

/.BC=2BE=6,ZEAC=ZECA,ZEAB=ZB,

；.ZBAC=NEAC+ZEAB=Axi80°=90°,

2

22=22

AB=VBC-ACVB-4=2遥，

/.AB的长是2遥.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性

质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，证明AACF^ACOE是解题的关键.

21•【分析】设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据总费

用为10000元列方程解答即可.

【解答】解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据

题意得：

[6X4+(6-3)X(5+2-3)+5X3][3x+3X2X2X3x+1270=10000,

解得x=30,

,每平方米木地板的价格为：5X30=150(元)，每平方米瓷砖的价格为：3X30=90(元),

答：每平方米木地板和瓷砖的价格分别为150元，90元.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

22•【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)将(1,2)代入y=mx-1中，求得m=2,再结合一次函数的图象与性质求解即可.

第9页(共19页)

【解答】解：（1）把点A（1,2）和B（0,1）代入y=kx+b得:

'k+b=2

,b=l

,该函数的解析式为y=x+l；

（2）将（1,2）代入y=mx-1中,

解得m=3,

如图：

当x<l时，对于x的每一个值，函数y=mx-1（mW0）的值小于一次函数y=x+l的

值，

二直线y=mx-1与直线y=x+l的交点的横坐标不小于1,

1WmW3.

【点评】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系

数法和数形结合思想求解是解答的关键.

23•【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为20,25,25,40,50；则可求得甲商

品这五周成本的平均数，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；

（2）由题意可求得第二周成本的涨跌幅和第二周售价的涨跌幅，可求m=60；同理可求

n=58.5,p=43.875根据43.875<45<58.5作答即可；

（3）由工>工，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即s?>s3,然后

24>1>2

作答即可.

【解答】（1）解：由题意知，成本从小到大依次排序为20,25,25,40,50；

.•.甲商品这五周成本的平均数为20+25X2+40+50=32,

第10页（共19页）

中位数为第3个位置的数即中位数是25,

故答案为：32,25；

(2)解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为50-25X100%=100%,

25

.♦.第二周售价的涨跌幅为皿理"xio。％=100%xA,

402

解得,m=60；

同理，第四周成本的涨跌幅为60%,第四周售价的涨跌幅为庄会>X100%=60%义2，

452

解得，n=58.5

第五周成本的涨跌幅为-50%,第五周售价的涨跌幅为P-58・5xioo%=-50%xl,

58.52

解得，p=43.875

V43.875<45<58.5

从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，

故答案为：60,四；

(3)解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后

“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，

二改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，

S2>S2

12

故答案为：>.

【点评】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性.熟练掌握

平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键.

24.【分析】(1)由/EDB+ZEAD=45°,ZEDB=/EAB，得/BAD=ZEAB+ZEAD=45°,

由AB为直径，得/ADB=90°，由AB=AG,得NGAD=/BAD=45°，得NGAB=90°,

即可得AG与。0相切；

(2)连接BE,由AB=AG.ZGAB=90°,BG=475,得BD=—BG=2近,得AB=

2

2

=2^^,得OA=，f^,由匪_=tanZEAB=tanZEDB=A,BE2+AE2=AB,得

AE3

(—AE)2+AE2=(2^/10)2,得AE=6,由/BOD=2ZBAD=90°,#—=tanZEAB

30A

22

=—,得OF=AQA得AF=VOAOF=—>即可得EF=AE-AF=—.

33333

【解答】解：(1)证明：由/EDB+ZEAD=45°，ZEDB=ZEAB，

第11页(共19页)

得/BAD=ZEAB+ZEAD=45

由AB为直径，

得NADB=90°,

由AB=AG,

得NGAD=/BAD=45°,

得NGAB=90°,

得AG与。0相切;

（2）解：连接BE,由AB=AG.ZGAB=90°,BG=4«,

得BD=%}=2,

2

得AB=J^BD=2,

得0A

由理=tanZEAB=tanZEDB=,BE2+AE2=AB2,

AE

得（工AE）2+AE2=（2）2,

3

得AE=6,

由NBOD=2ZBAD=90°,

得®_=tanZEAB=—,

OA3

得OF=AOA

33

得AF=VOA2-K）F2=-V'

J

得EF=AE-AF="

3

【点评】本题主要考查了切线和圆中有关计算，解题关键是勾股定理的正确应用.

25•【分析】（1）根据表可找到规律即可作出答案;

（2）结合图象即可作答；

（3）由条件可知选择方式一只需1天，则选择方式二需3天，分别求出方式二第2天和

第3天领书时长即可作答.

【解答】解：（1）由表二可知，方式一中第n天的累计领取听书时长为60n,

方式二中第n天的累计领取听书时长为5X2n-5.

故答案为：60n；5X2n-5.

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(2)在方式二中可知当天数为3天时，累计时长为35,

故表示方式二变化趋势的虚线是a,

由图象可知从第7天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一.

故答案为：a；7.

(3)由于方式一每天打卡可以领取60min听书时长，

现有一本时长不超过60min的有声读物，

所以选择方式一只需1天，

又由于选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，

则选择方式二需3天，

选择方式二打卡3天累计领取听书时间为5X23-5=35min,

选择方式二打卡2天累计领取听书时间为5X22-5=15min,

所以这本有声读物的时长t的取值范围是15<t<35.

【点评】本题主要考查函数图象，找规律是解题的关键.

26.【分析】(1)理由待定系数法求得a,b的关系式，再利用利用二次函数的性质解答即可；

(2)①令y=0,则ax2+bx=0,得到抛物线y=ax2+bx(a>0)与x轴交于点(0,0),

(A,0).利用分类讨论的思想方法分b>0,和b<0两种情况利用二次函数的性质讨

a

论解答即可；

②利用分类讨论的思想方法，利用二次函数的图象的性质讨论解答即可.

【解答】(1)解：由题意可知：点(m,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上，m=4,n=

0

/.16a+4b=0,

••b=-4a,

・_b-4a_

-2a-2a/

，抛物线的对称轴为直线x=2；

(2)①证明：令y=0,则ax2+bx=0(a>0),

解得：x=0或^=—

a

・•.抛物线y=ax2+bx(a>0)与x轴交于点(0,0),(工，0)，

a

Va>0,

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二抛物线开口向上，

(I)当b<0时，

a

，当OVxV-也■时，y<0；当*<0或*>工时，y>o,

aa

当0<mV4时，总有n<0,

*e,上)4，

a

Va>0,

/.4a+b^0,

(II)当b>0时，

卫<0，

a

二当上<x<0时，y<。；当x<上或x>。时，y>。，

aa

・••当0Vm<4时，n>0,不符合题意，

综上，4a+bW0；

②解：存在a,b,使得当l<k<2时，都有力<丫2，理由：

抛物线的对称轴为x=t=-A,

2a

Va>0,

・••当x2t时，y随x的增大而增大；当xWt时，y随x的增大而减小.

Vl<k<2,

/.3<3k<6,k<3k,

(I)长1时，即bN-2a,

Vt^k<3k,此时P,Q均在对称轴的左侧，

/.yi<y2»符合题意，

二・a与b之间的数量关系为:_2a；

(II)当IV长2时，

当住k<2时，

Vt<k<3k,此时P,Q均在对称轴的左侧，

丫1<丫2，

当IVkVt时,

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设点P(k,yj_)关于抛物线对称轴x=t的对称点为点P'(x0,y]),

则X0>匕__k=x-t,

2a0

.'.x()=2t-k,

Vl<k<t,1〈住2,

/.2t-k<3,

t<x0<3,

V3<3k<6,

t<x0<3k,

丫1<丫2，

・.・当l<t<2时，符合题意；

(III)当2〈住3时，

令k[t，

3k=~t,则丫1=丫2,不符合题意,

2

(IV)当3<t<6时，

令3k=t则kV3kWt,

二.丫1>丫2,不符合题意;

(V)当母6时，

Vk<3k<t,

/.y1>y2,不符合题意,

J当代2,gp符合题意.

Va>0,

「.4a+b20,

由(1)可得：4a+bW0,

/.4a+b=0.

综上，存在a,b,使得当l<k<2时，都有yi<y2，a与b之间的数量关系为：-2a

或4a+b=0.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，不等式的性质，分类讨

论的思想方法，熟练掌握二次函数的性质和利用分类讨论的方法解答是解题的关键.

第15页(共19页)

27.【分析】（1）连接BE,利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质证得NDBE=60°,

则4DBE是等边三角形，得出/BED=60°,利用30°角直角三角形的性质得出AB=

2AC,由AD=AC即可证得AD=BD,进一步证得DE=AD,得出/DAE=ZDEA=30

°，求得/BEA=90°，在RtZiABE中^•=tanNABE=tan60°求得AE