吉林省长白县联考2024届十校联考最后数学试题含解析

吉林省长白县联考2024年十校联考最后数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45。角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1,0）,顶点A的坐

标为（0,2）,顶点5恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲

线上时停止运动，则此时点C的对应点。的坐标为（）

2.如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是

4.如果关于x的方程x2-<x+l=0有实数根，那么k的取值范围是（）

A.k>0B.k>0C.k>4D.k>4

5.观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

cd

A.B.y.--0

6.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()

A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)

7.如图，在4ABC中，ZACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=24。，则/BDC

的度数为()

A.42°B.66°C.69°D.77°

8.已知点M、N在以AB为直径的圆O上，ZMON=x°,NMAN=y。，则点(x,7)一定在()

A.抛物线上B.过原点的直线上C.双曲线上D.以上说法都不对

9.如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出发,沿ATBTC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF±AE

交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

10.如图，A3是半圆。的直径，点C、。是半圆。的三等分点，弦CD=2.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒.

12.同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100。，则弧AB所对的圆周角是.

13.如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、OE.过点A作AE的垂线交。E于点P.若AE=AP=1,6.下

列结论：①②点3到直线AE的距离为&；@EB±ED,®S^APD+S^APB=1+46;⑤S正方形

ABCD=4+S/6.其中正确结论的序号是

15.已知一次函数y=ax+b,且2a+b=l,则该一次函数图象必经过点.

16.甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20

个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x,那么符合题意的方程为：.

17.如图，小阳发现电线杆A5的影子落在土坡的坡面CD和地面上，量得CD=8,BC=20米，CD与地面

成30。角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=米.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾

箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举

出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

19.（5分）已知：AB为。O上一点，如图，AB=12,8C=4&，BH与。O相切于点B,过点C作BH的平行线

交AB于点E.

（2）延长CE到F,使EF=0，连结BF并延长BF交。O于点G,求BG的长；

（3）在（2）的条件下，连结GC并延长GC交BH于点D,求证：BD=BG

20.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E,F为BC上两点，且BE=CF,AF=DE

求证：（1）△ABF^ADCE；四边形ABCD是矩形.

21.（10分）已知矩形45。的一条边40=8,将矩形A5CZ）折叠，使得顶点5落在边上的P点处.如图，已知

折痕与边交于点O,连接AP、OP,0A.

（2）若△OCP与APOA的面积比为1：4,求边A3的长.

22.（10分）如图1,点。和矩形CDEF的边CD都在直线/上,以点。为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线/于A,3

两点.已知：CD=18,CF=24,矩形自右向左在直线1上平移，当点D到达点A时,矩形停止运动.在平移过程中,设矩形

对角线与半圆A3的交点为P（点P为半圆上远离点3的交点）.如图2,若FD与半圆A3相切，求"1的值；如

图3,当与半圆A5有两个交点时，求线段PD的取值范围；若线段的长为20,直接写出此时6©的值.

23.（12分）如图1,已知NDAC=90。，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）,

连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

（1）如图1,猜想NQEP=°；

（2）如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想NQEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3,若NDAC=135。，ZACP=15°,且AC=4,求BQ的长.

24.（14分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道

的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的3点间的距离约

为5.6千米，点。是与西人工岛相连的大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂

直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得K4,必与观光船航向的夹角"PA=18°,

=53。，求此时观光船到大桥AC段的距离的长（参考数据：5znl8°~0.31,cosl80~0.95,

tonl8°«0.33,sin53°«0.80»cos53°«0.60,to/t53°«1.33）.

.■珠0*褶主g

工理示*!B

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解题分析】

过点5作5。，工轴于点，易证△ACO丝△5。(AAS),从而可求出5的坐标，进而可求出反比例函数的解析式,

根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点.

【题目详解】

解：过点3作轴于点O,

,/ZACO+ZBCD^90°,

ZOAC+ZACO=90°,

：.NOAC=/BCD,

ZOAC=/BCD

在小ACO与公BCD中，＜ZAOC=ZBDC

AC=BC

：./\ACO^/\BCDCAAS)

：.OC=BD,OA^CD,

VA(0,2),C(1,0)

：.OD=3,80=1,

：.B(3,1),

/.设反比例函数的解析式为y=

X

将5(3,1)代入y=上,

X

:・k=3,

X

3

・••把y=2代入)=一，

x

._3

••X——f

2

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

3

此时点A移动了7个单位长度，

2

3

.••C也移动了7个单位长度,

2

【题目点拨】

本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程

度较高，属于中等题型.

2、D

【解题分析】

由圆锥的俯视图可快速得出答案.

【题目详解】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中，从几何体的上面看：可以得到两个正方

形，右边的正方形里面有一个内接圆.故选D.

【题目点拨】

本题考查立体图形的三视图，熟记基本立体图的三视图是解题的关键.

3、B

【解题分析】

过E作EF〃AB,求出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出NC=NFEC,ZBAE=ZFEA,求出NBAE,即可求出

答案.

解：

过E作EF〃AB,

VAB/ZCD,

，AB〃CD〃EF,

；.NC=NFEC,NBAE=NFEA,

VZC=44°,NAEC为直角，

:.ZFEC=44°,ZBAE=ZAEF=90°-44°=46°,

AZ1=180°-ZBAE=180°-46°=134°,

故选B.

“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键.

4、D

【解题分析】

由被开方数非负结合根的判别式A即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围.

【题目详解】

••・关于x的方程x2-尿x+l=0有实数根，

Jk>Q

A=(A/T)2-4X1X1>0

解得：k>l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了根的判别式，牢记“当△?()时，方程有实数根”是解题的关键.

5、C

【解题分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【题目详解】

解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故本选项正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故本选项错误.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

6、C

【解题分析】

根据二次函数的性质y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.

【题目详解】

抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,

...二次函数图象的顶点坐标是Q,5),

故选C.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增

减性等.

7、C

【解题分析】

在△ABC中，NACB=90。，ZA=24°,

.,.ZB=90°-ZA=66°.

由折叠的性质可得：ZBCD=-ZACB=45°,

2

:.ZBDC=180°-ZBCD-ZB=69°.

故选C.

8、B

【解题分析】

由圆周角定理得出NMON与NM4N的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案.

【题目详解】

,:NMON与/MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，

1

:.ZMAN=-ZMON,

2

1

•*.y=-x,

2

点(x,y)一定在过原点的直线上.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

9、A

【解题分析】

由已知，AB=a,AB+BC=5,当E在BC上时，如图，可得△ABEsaECF,继而根据相似三角形的性质可得y=-

-%2+—x-5,根据二次函数的性质可得-工［生3］+“+50+5—5」由此可得a=3,

继而可得y=-

aaay2Ja23

iQi791

2可，据此即可

-X+-X-5,把y=］代入解方程可求得XI=5,X2=-,由此可求得当E在AB上时，y=］时，

作出判断.

【题目详解】

解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

当E在BC上时，如图，

DFC

；E作EF_LAE,

/.△ABE^AECF,

.ABCE

••一9

BEFC

a_5-x

x-ay

.12a+5

・・y=--xH--------x—5,

aa

6Z+5〃+5〃+5_1

'当时,-+---------------5二一

a\2）a23

解得ai=3,ai=—（舍去），

・128,

・・y=--xH—x—59

33

当y=1时，—=--X2+—%—5,

4433

79

解得Xl=^,X2=一,

22

当E在AB上时，y=，时,

4

111

x=3----=——

44

故①②正确,

故选A.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运

用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10>D

【解题分析】

连接OC、OD、BD,根据点C,O是半圆。的三等分点，推导出50且AB。。是等边三角形，阴影部分面积转

化为扇形30。的面积，分别计算出扇形5QD的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案.

【题目详解】

解：如图，连接OC、OD、BD,

:点C、O是半圆0的三等分点,

:.AC=CD=DB，

:.ZA0C=ZCOD=ZDOB=60°,

'：OC=OD,

.•.△COO是等边三角形，

：.OC=OD=CD,

CD=2,

•••OC=OD=CD=2,

VOB=OD,

:./\BOD是等边三角形，则N003=60。,

ZODB=ZCOD=60°,

：.OC//BD,

・

••0qBCD~―uqBOD，

.c_c607T-OD260万X22271

•・3阴影=3扇形OBD=——-二——

360360T

n-OD2%x22

S半周o=----------=--------=2%，

22

2n1

飞镖落在阴影区域的概率=?+2万三，

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规则图形的面积

转化为求规则图形的面积.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、2n+l.

【解题分析】

解：根据图形可得出：

当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；

当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；

当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；

当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；

由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2(n-1)=2n+l.

故答案为：2n+l.

12、50°

【解题分析】【分析】直接利用圆周角定理进行求解即可.

【题目详解】I•弧AB所对的圆心角是100。，

...弧AB所对的圆周角为50。，

故答案为：50°.

【题目点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半.

13、①③⑤

【解题分析】

①利用同角的余角相等，易得/五45=/9。，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；

②过3作3万，AE,交AE的延长线于尸，利用③中的/3EP=90。，利用勾股定理可求BE,结合AAEP是等腰直角三

角形，可证A5E歹是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求E尸、BF；

③利用①中的全等，可得结合三角形的外角的性质，易得N3EP=90。，即可证；

④连接5。，求出△A3O的面积，然后减去的面积即可；

⑤在RS4B尸中，利用勾股定理可求4加，即是正方形的面积.

【题目详解】

(DVZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=9Q°,

：.ZEAB^ZPAD,

y.\"AE=AP,AB=AD,

•.•在△APD和△AE5中，

AE=AP

<ZEAB=/PAD,

AB=AD

.,.AAPD^AAEB(SAS)；

故此选项成立；

@'：AAPD^AAEB,

:.NAPD=NAEB,

'：ZAEB=ZAEP+ZBEP,ZAPD=ZAEP+ZPAE,

：.ZBEP=ZPAE=9Q°,

：.EB±ED；

故此选项成立；

②过8作5歹，AE,交AE的延长线于尸，

'：AE=AP,NE4P=90。，

/.ZAEP=ZAPE=45°,

又•..③中E8J_EZ),3JF_L4尸，

ZFEB=ZFBE=45°,

又.：BE=A/5^2=V3，

：.BF=EF=旦,

2

故此选项不正确；

④如图，连接3。，在RtAAE尸中，

*：AE=AP=lf

：.EP=叵,

又,：PB=加,

***BE=^3，

9：AAPD^AAEB,

/.PD=BE=y/39

lx^x^=1^.

:.SAABP+SAA。产SAABD-S△BD产—S正方形ABC。-—xDPxBE=—x（4+，6）+

222

故此选项不正确.

@"：EF=BF=―,AE=1,

2

.•.在R3A8f中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+76»

»•S正方形Abcz>=A52=4+^6，

故此选项正确.

故答案为①③⑤.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的

运用等知识.

14、1

【解题分析】

nh

令一=—=k,则〃=2Lb=3k,代入到原式化简的结果计算即可.

23

【题目详解】

ab（a+2b\（a-2b\a+2b2k+6k8k

令一=—=k,贝!）。=2攵，b=3k・••原式=----7---------TTT--_____—___________-i.

23fa[a-2b）a2k2k

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变

形叫做分式的约分.

15、(2,1)

【解题分析】

,一次函数y=ax+b,

:.当x=2,y=2a+b,

又2a+b=l,

.,.当x=2,y=l,

即该图象一定经过点(2,1).

故答案为(2,1).

135180

16、一=------

xx+20

【解题分析】

设甲平均每分钟打X个字，则乙平均每分钟打(X+20)个字，根据工作时间=工作总量+工作效率结合甲打135个字所

用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x的分式方程.

【题目详解】

•.•甲平均每分钟打x个字,

.•.乙平均每分钟打(x+20)个字,

135180

根据题意得：一

x%+20

.小生上135180

故答案为一=——

xx+20

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

17、(14+273)米

【解题分析】

过。作OEL5c的延长线于E,连接并延长交3c的延长线于F,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边

的一半求出。E,再根据勾股定理求出CE,然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出ER再求出3F,再次利用

同时同地物高与影长成正比列式求解即可.

【题目详解】

如图，过。作的延长线于E,连接AO并延长交的延长线于F.

；CD=8,CD与地面成30。角,

11

：.DE=-CD=-x8=4,

22

根据勾股定理得：C£=7CD2-DE2=A/42-22782-42=4G.

Vim杆的影长为2机，

*DE_1

••=9

EF2

：.EF=2DE=2x4=8,

：.BF=BC+CE+EF=20+4y/3+8=(28+4).

..A5_1

♦=9

BF2

1广L

：.AB=-(28+4^)=14+2V3.

故答案为(14+26).

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出A3的影长若全在水平

地面上的长5尸是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；(2)答案见解析

【解题分析】

(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；

(2)根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论.

【题目详解】

(1)设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，

根据题意得，2x+3x3x=550,

:.x=50,

经检验，符合题意，

/.3x=150元,

即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；

(2)设购买温情提示牌y个(y为正整数)，则垃圾箱为(100-y)个,

100-y>48

根据题意得，意，《

50y+150（100-y）<10000.

/.50<y<52,

为正整数，

.力为50,51,52,共3中方案；

有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，

②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，

③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，

设总费用为w元

W=50j+150(100-y)=-100j+15000,

•/k=-100<0,w随y的增大而减小

当片52时，所需资金最少，最少是9800元.

【题目点拨】

此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键.

19、(1)CE=4后；(2)BG=8应；(3)证明见解析.

【解题分析】

(1)只要证明△可得生=竺，由此即可解决问题；

CEAC

BGBE__________

(2)连接AG,只要证明小ABG^AFBE,可得二有=钎，由BE=J(4^)2-(472)2=4,再求出BF,即可解决

ABBF”

问题；

(3)通过计算首先证明CF=FG,推出NFCG=NFGC,由C尸〃50,推出NGCF=NBZ>G,推出N5OG=N3GZ>

即可证明.

【题目详解】

解：(1)；BH与。。相切于点B,

VBH//CE,

.\CE±AB,

VAB是直径，

.\ZCEB=ZACB=90°,

VZCBE=ZABC,

.,.△ABC^ACBE,

.BCAB

••一9

CEAC

AC=yjAB2-BC2=4#＞，

，CE=40.

(2)连接AG.

VZFEB=ZAGB=90°,ZEBF=ZABG,

/.△ABG^AFBE,

.BGBE

••二,

ABBF

■・・BE=7(4V3)2-(4A/2)2=4,

•*-BF=VBE2+EF2=3V2，

・—G_4

••12-3日

ABG=8V2.

(3)易知CF=40+夜=50,

AGF=BG-BF=50,

.\CF=GF,

.\ZFCG=ZFGC,

VCF/7BD,

.\ZGCF=ZBDG,

.\ZBDG=ZBGD,

.\BG=BD.

H

【题目点拨】

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题

的关键.

20、(1)见解析；(2)见解析.

【解题分析】

(1)根据等量代换得到BE=CF,根据平行四边形的性质得AB=DC.利用“SSS”得△ABF^^DCE.

(2)平行四边形的性质得到两边平行，从而NB+NC=180。.利用全等得NB=NC,从而得到一个直角，问题得证.

【题目详解】

(1)；BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,

/.BF=CE.

四边形ABCD是平行四边形，

.\AB=DC.

在^ABF^DADCE中，

VAB=DC,BF=CE,AF=DE,

.,.△ABF^ADCE.

(2)VAABF^ADCE,

/.ZB=ZC.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD.

.\ZB+ZC=180°.

/.ZB=ZC=90°.

平行四边形ABCD是矩形.

21、⑴详见解析；(2)10.

【解题分析】

①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故一=—.

PDAP

②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在RtAPCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出

AB长.

【题目详解】

①•..四边形ABCD是矩形，

:.AD=BC,DC=AB,ZDAB=/B=NC=ND=90。.

由折叠可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB.

:.NAPO=90°.

，ZAPD=90°-ZCPO=ZPOC.

；ND=NC,NAPD=NPOC.

/.△OCP^APDA.

.PCOP

,,PD-AP*

@VAOCP与^PDA的面积比为1:4,

/.OCPD=OPPA=CPDA=14—^=12.

.\PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

VAD=8,

；.CP=4,BC=8.

设OP=x,贝！|OB=x,CO=8-x.

在4PCO中，

,:ZC=900,CP=4,OP=x,CO=8-x,

.*.X2=(8-X)2+42.

解得：x=5.

/.AB=AP=2OP=10.

.,.边AB的长为10.

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.

22、(1)6>D=30；(2)18<P。,，?；(3)8指+12或8百—12

【解题分析】

(1)如图2,连接OP,则DF与半圆相切，利用AOPDgAFCD(AAS),可得：OD=DF=30；

DHCD72144

(2)利用cosNODP=—=——，求出HD=—,则DP=2HD=——；DF与半圆相切，由(1)知：PD=CD=18,

ODFD55

即可求解；

⑶设PG=GH=m,贝!J：OG=A/242-m2,DG=20-m,tan^FDC=―巴_,求出

DG320-m

64±24A/5到中ccDGmn-r+的

m=............->利用OD=--------,即可求解.

5COS6Z

【题目详解】

(1)如图，连接0尸

•••阳与半圆相切，,0尸，£0,，/0夕。=90°，

在矩形所中，NFCD=90，

-CD=18,CF=24,根据勾股定理，得

FD=VCD2+CF2=V182+242=30

在A。。。和"CD中，

NOPD=ZFCD=90°

<ZODP=ZFDC

OP=CF=24

.OPD=AFCD

：.OD=DF=30

(2)如图，

当点5与点。重合时,

过点。作OH，。厂与点〃，则=

•.•cosZODP=^=®

ODFD

且0)=18,8=24,由⑴知：DF=30

叽史，.3=卫

24305

144

DP=2HD=DH=——

5

当阳与半圆相切时，由(D知：PD=CD=18,

144

A18<PD„—

5

(3)设半圆与矩形对角线交于点P、H,过点O作OGLDF,

贝！IPG=GH,

2443

tanZFDC=——=—=tana,贝!|cosa--,

1835

设：PG=GH=m,贝!|：OG=。24?-m2,DG=20-m，

tan/FDc4」二^Z

DG320-m

整理得：25m2-640m+1216=0,

初殂64±24^/5

解得：m=.......-»

5

OD==-°-m=8百±12

cosa3.

5

【题目点拨】

本题考查的是圆的基本知识综合运用，涉及到直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，其中正确画图，作

等腰三角形OPH的高OG,是本题的关键.

23、(1)ZQEP=60°；(2)ZQEP=60°,证明详见解析；(3)BQ=2娓-2近

【解题分析】

(1)如图1,先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出NPCA=NQC5,进而可利用SAS