四川省泸州市泸县2024届高三数学一模理试题含解析

高2021级高三一诊模拟考试

数学（理工类）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1,已知集合3={y|y=2…A},则人B=（）

A.{0,2}B.{0,2,4}C.{0,4}D.{0,1,2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由题设写出集合8再由集合交运算求AcB.

【详解】由题意，8={0,2,4,6,8},而4={0,1,2,3,4},

A3={0,2,4},

故选：B.

2.1—1=（）

1+i

A.述B.叵C.75D.V13

22

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模长公式即得解

【详解】由题意，।言月（3-2?-）耳字

J.II4乙V\乙J\乙J乙

故选：B

3.设xeR,则“卜―1|<1"是"0<x<5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式卜―1|<1,比较其和0<x<5的关系即可

【详解】依题意，|九一1|<1可得—l<x—1<1,即0<尤<2,显然0（尤<2是0<x<5的充分不必要条

1

件.

故选：A

4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是()

【解析】

【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可.

【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示,

则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图,

5.已知ee（0,»）,且sin2a=g,则sin［（z+?］的值为O

46娓C娓D娓

L.--------

3V

【答案】D

【解析】

【分析】先由sin2a=—，得2sinocos。=—,再利用(sintz+costz)2=l+2sinacosa,结合正弦的

和角公式可求得答案.

2

114

【详解】解：由sin2a=—,得2sinocos。=一,则(sina+cose)2=l+2sinacoscr=一,

333

0AT

又a£(0,»),2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,所以sinc+cosc>0,则sina+cosa=-^^，

VwinD--n,,兀叵「工、④26c

乂sin+--sinacos——Fcos(7sin-=(sina+cosa)=----x------=.

I4J442233

故选：D.

6.已知AH=],：：：<若/(a—3)=/(a+2),则〃a)=()

A.5B.y/2C.2D.2或0

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出。的值，再代入求解即可.

【详解】解：根据题意〃x)=

当尤>0时函数/(%)=石在(0,+oo)上单调递增，当x40时函数y(X)=x+3在(-8,0]上单调递增，

若%-3)=小+2),

。一3<。+2,

a-3<Q

则必有〈c八，即—2vaV3,

。+2>0

则(a-3)+3=Ja+2,

即a=Ja+2，则〃20,

解得a=2或-1(舍去)，

.-./(«)=/(2)=V2,

故选：B.

7.如图，测量河对岸的塔高A3,可以选取与塔底8在同一水平面内的两个测量基点C和。.现测得

ZBCD=75。，ZBDC=45°,8=50米，在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高A5为()米.

3

A

A.5072B.100V2C.5073D.25G

【答案】A

【解析】

【分析】在△BCD中，由正弦定理求出64进而在，A3。中求得答案即可.

【详解】由题意，在△3CD中，ZBDC=180°-75°-45°=60°，由正弦定理可知

50BC50BC“50在

sin60°sin45°G03-

在ABC中，易知=于是48=8。xtan60。=迎但x8=50JL

3

故选：A.

8.已知函数/（%）=Asin（0x+0）］A〉0,G〉0』。）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是

C.点亍,0是〃》）图象的一个对称中心

4

D.直线尤=2万是F（x）图象的一条对称轴

【答案】C

【解析】

【分析】选项A：根据题干所给图像即可求解；选项B：结合已知条件，首先根据图像最高点纵坐标求出A,

利用正弦型函数的最小正周期公式求出。，通过代入图像中的点求出。即可求出函数/（为）解析式；选项CD：

通过代入检验法即可求解.

【详解】对于选项A：由图象可知，了（无）的最小正周期T=4

27r1

对于选项B：由图可知A=2,因为T=—,所以—=4乃，即。=—,

COCD2

故/(x)=2sin|gx+o

因为点三,2在八%）的图象上,

所以2=2sin即l=sin《+oj,又网＜会，所以夕=0

所以/(x)=2sin故B错误;

对于选项C：因为/(—j=2sin(F+qj=0,

所以点I?,。）是/（%）图象的一个对称中心，故C正确;

对于选项D：因为“2万）=2sin万+。卜±2,故D错误.

故选：C.

sin10°

9.7=------=()

1-V3tan10°

A.-B.1C.在D.1

422

【答案】A

【解析】

5

【分析】利用三角函数的切化弦结合正弦二倍角以及辅助角公式对函数化简即可得答案.

sin100sin10°cos10°

【详解】解：•.-----/=------=----------1=-----------

1—百tan10°cos100-V3sin10°

_2sin10°cos10°

[173)

4-cos10°--sin10°

122J

sin200

-4sin(30o-10°)

-4,

故选：A

10.已知“X)的定义域为R,7(x)为偶函数，〃x+l)为奇函数，且当时，/(x)=2(x-l),

则/[g]的值等于()

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用/⑺为偶函数，得至—1)=/(—%+1),再利用f(X+l)为奇函数，得到

/(-X+1)=-于(X+1),进而可化简为/(%)=-/(%+2),

得到〃|)=—7(|+2)=—腐)，最后根据题意，求出/(|),即可得到答案.

【详解】/I)为偶函数，/(—%)=/(x),可得/(x—l)=/(—%+1),

又由/(x+i)为奇函数，/(-%+1)=-/(%+1),

故有，/(%-1)=/(-%+1)=-/(%+1),故有

/(%)=-/(%+2),可得，

〃|)=2(|-1)=1，

/(|)=-/(|+2)=-/(1),得/(1)=-1

故选：B

11已知实数a,b,cw(O,e),且2"=/,寸=廿,5C=c5.则()

6

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数/(x)=」1nY，判断函数单调性，比大小.

X

,,,,.InaIn2InZ?In3IncIn5

C

【详解】由20=/，3〃=〃，5=c\得一=——，-=——-

a2b3—"T

「，<In5In2

X21n5=ln52<ln25=51n2)a即n丁<W

lb,,ln2In3

同理31n2=ln23<ln32=21n3，n即nk<―，

23

biln5In2In3nnIncInaIn。

所以丁<k<k，即—<——<~r，

523cab

设函数"x)=gx«O,e),广⑺=上坟＞0在(O,e)上恒成立,

XX

故函数/(无)在(O,e)上单调递增,

所以cvavb,

故选：A.

1+lnx.

12.已知函数jx则关于x的方程的■CO-/(x)-l=O(aeR)的解的个数的所有可能

xe',x＜0.

值为()

A.3或4或6B.1或3C.4或6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令/(x)=f,则方程e『-1=0

必有两个不等根,设两根分别为32(不妨设;＜与)，且4•LL，然后分4=一,"1＜—L和—L＜%＜0

eeee

三种情况结合函数图象讨论即可

【详解】当尤＞0时，=则/(x)=l—Q：lnx)=z^,当0＜兀＜1时,/(x)〉o,当工〉］

XXX

时，/(%)＜0,所以〃龙)在(0,1)上递增，在(1,+＜为上递减，且当xf+8时，/(%)-0,

当时，/(x)=xex,则/'(九)=(%+1)，，当-lvx<0时，/(%)>0,当不<—1时，/(%)<0,

所以〃尤)在(一1,0］上递增，在(—8,—1)上递减，且当％--8时，/(%)-0,

7

所以/")的大致图象如图所示,

令八X)=t,则方程e/—G—1=0必有两个不等根，设两根分别为小与(不妨设乙＜/2)，且

e

当4=—工时，则。=1，此时/(x)=12有1个根，/(%)=。有2个根，

e

当4＜一,时，则0＜[2＜1，此时/(%)=12有2个根，/(%)=%有1个根，

e

当—!＜乙＜0时，则[2＞1，此时/(%)=。有0个根，/(%)=%有3个根，

e

综上，对任意的awR,方程都有3个根，

故选：D

【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间,

然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数y=/(x)的图象在点处的切线方程是y=3尤—1,则+.

【答案】5

【解析】

【分析】由导数的几何意义可求得/"(1)的值，由切点在切线上可得/(I)的值，即可求解.

【详解】因为函数y=/(x)的图象在点”(1,/0))处的切线方程是丁=3%一1,

所以/”)=3,/(l)=3xl-l=2,

所以/(1)+/'。)=3+2=5,

故答案为：5.

14.在△Z6C中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6=c=2,且2asinA=Z?-cosC+c-cosB,

则的面积为一.

【答案】叵

2

【解析】

8

分析】由正弦定理化简可得sinA=',再根据面积公式求解即可

2

【详解】由正弦定理，2sin2A=sinB-cosC+sinC-cosB=sin(B+C)=sinA,因为sinAwO,故

sinA=i，故S=—besinA=

2ABe22

故答案为：为

2

15.空间四面体ABC。中，AB=CD=2,AD=BC=3,BD=屈,直线8。和AC所成的角为?，

则该四面体的外接球的表面积为

.,,23不

【rA答案】——##11.5n

2

【解析】

【分析】将该四面体的六条棱看成某长方体的六个面的对角线，然后该长方体的外接球即为该四面体的外

接球，最后求出外接球的表面积

因为AB=CD=2,AD^BC=3,BD=K，先将四面体ABC。的六条棱看成该长方体如图所示的

JT

六条面对角线，下面验证直线8。和AC所成的角为

易知MN/IBD,MN=BD,且MN,AC互相平分于。点，所以。4=0"=典，

2

'/+/=10

设长方体的三边长为。，b,c,贝3〃+。2=4,解得。=叵力=典逅，

22c222

a+c=9

JTrr

故AQ4M是等边三角形，则NAOM=1,即直线8。和AC所成的角为即3。=AC成立，

故四面体A3CD的六条棱看成该长方体如图所示的六条面对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接

9

球，所以外接球的直径2R=y/a2+b2+c2—,故外接球的表面积为S=4乃R?=空

22

231

故答案为:

2

16.已知函数/(%)=/+

lnx-x+-,在曲线y=/（x）上总存在两点尸（玉,y）,Q（x2,y2）,使

Ir+2

得曲线在p,Q两点处的切线平行，则％+々的取值范围是

【答案】（8,+8）

【解析】

【分析】求得函数的导函数，根据两直线平行结合导数的几何意义可得了'（玉）=/'（9），化简可得

111构造函数（间=加+工一根利用导数求得函数的

——+—=/2+-；——m=+2,m>2,/z2,22,MM

玉%21+2m

范围，再结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：=

Ir+2）x%2

因为在曲线y=/（无）上总存在两点P（七，x）,。（九2，%），使得曲线在尸，Q相两点处的切线平行,

所以/'(%1)=/'(%2),且石彳々,%>0,%2>0,

即「十

所以t2

1191

所以工+三=/+45

令加=/+2,加22,则/=m一2,

设/z(加)=m+—-2,m>2,

m

则〃(加)=]--\"m1，

mm

当机22时，h^rrij>0,

10

所以函数〃(/")[2,+oo)上递增,

所以/z(m)»/z(2)=g

111

所以一+一2彳,

Xix22

2

_11X+x9%+%2

又三+[=彳丁，玉々K

2

2

玉+x

又因为王，了2，所以石々<2

2

1+1_X1+%2>%+%24

所以玉/玉％21石+12玉+/，

1

所以<2,

所以为+x2>8,

所以X1+%2的取值范围是(8,+8).

故答案为：(8,+8).

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

2兀、1

17.已知函数=A/3sin(7：-ox)coscox+cos(ox+—I--(ty>0)的最小值周期为兀.

(i)求。的值与F(x)的单调递增区间;

(2)若天)e求cos2Ao的值.

兀兀/\

【答案】(1)0)=1,单调递增区间为kn--,hi+-(keZ)

63

(2)百+

6

【解析】

11

【分析】(1)利用三角恒等变换化简得出/(x)=sin20x-弓，利用正弦型函数的周期公式可求出。的

值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数/(%)的增区间;

(2)由已知条件可得出sin,利用同角三角函数的基本关系求出sin的值，再

利用两角和的余弦公式可求出cos2%的值.

【小问1详解】

即十/\•21行•1-cos2a)x

解：j(x)=V3sinCDXCOScox+sin"cox——=sin(y%cos(y%H----------

A/3.Ccos2a)x.J兀、

——sin2cox--------=sin2cox——|,

22I6)

因为函数/(%)的最小正周期为兀，且①>0。所以丁=兀，解得G=l,

所以f(x)=sinf,令2k7i-3<2x--^<2hi+?kGZ),

>TTJTTTIT

得E--#xkn+所以/(X)的单调递增区间为hi--,ht+-(左eZ).

63L63J

【小问2详解】

解：由(1)知/(x)=sin

71

因为七e所以2玉)--e

o

因为sin12xo一总=[<乎,所以2/一台传,兀),

所以cos〔2x°闻=—Jl—Sin212x°-'==一半,

71兀7171

所以cos2x=cos——+—os——sm

06666

娓拒拒1372+73

=-----------X--------------------X—=--------------------------.

32326

18.已知，ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,JLasin(A+B-C)=csin(B+C).

12

(I)求角C的值；

(2)若2a+陛6,且©ABC的面积为6,求A3。的周长.

TT

【答案】(1)c=-

3

(2)6或5+而

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理结合A+3+C=TI,代换整理得sin2C=sinC,再结合倍角公式整理；(2)根

据面积公式S钻。=一代入整理得。6=4,结合题意可得、或〈分情况讨论处理.

2[b=2[b=4

【小问1详解】

「asin(A+5—C)=csin(5+C),则sinAsin(兀一2C)=sinCsinA

0<A<7i,sinA0

sin2C=sinC,即2sinCeosC=sinC

*/0<C<7i,sinC0,则cosC=—

2

c=-

3

【小问2详解】

的面积为宕，则;absinC=J5

ab—A

ab=4a—2—1

根据题意得〈则《或＜

2a+b=6b=2b=4

a=2

若〈则△/欧为等边三角形，。的周长为6；

0-2

6Z-1.—i—

若人"贝小曲cosC=13'即c=g㈤。的周长为5+而

，的周长为6或5+而

2

19.已知函数/(尤)=x----Mnx.

x

(1)已知“X)在点。，/⑴)处的切线方程为y=x—2,求实数。的值;

(2)已知/(%)在定义域上是增函数，求实数。的取值范围.

13

【答案】(1)0=2；(2)(-00,272].

【解析】

【分析】

(1)由题意可得出了'。)=1,由此可求得实数。的值;

(2)求出函数的定义域为(o,+力)，由题意可知，r(x)=l+=—@之0在(0,+8)上恒成立，利用

XX

参变量分离法得出x+j,利用基本不等式求出x+2在(0,+“)上的最小值，由此可得出实数。的

minX

取值范围.

r\O

【详解】(1)/(%)=%---alnx,/f(x)=l+—--,/./,(l)=3-a,

又F(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=x—2,=解得a=2；

(2)/(%)的定义域为(0,+s),

r\

〃九)在定义域上为增函数，二/(力=1+方-在(0,+。)上恒成立,

2(2

a«%+—在(0,+8)上恒成立，二J.aV[xH—

xmin

由基本不等式x+222jxx2=2收，当且仅当了=夜时等号成立，故(x+2=20,

XyX\/min

故〃的取值范围为(一应2J5].

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

(1)函数/(%)在区间。上单调递增Of'(x)20在区间D上恒成立；

(2)函数/(尤)区间。上单调递减0/'(X)WO在区间D上恒成立；

(3)函数/(X)在区间。上不单调O/'(X)在区间D上存在异号零点；

(4)函数/(%)在区间。上存在单调递增区间=使得/Kx)>0成立；

(5)函数/(%)在区间。上存在单调递减区间=下；€£>,使得/'(x)<0成立.

20.如图1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZDA3=90°,CD=2AB=2Ar>=4,点£、厂分别是边

BC、CD的中点，现将△CEF沿所边折起，使点C到达点户的位置(如图2所示)，且5P=2.

14

p

(1)求证：平面APEJ_平面ABD；

(2)求平面ABP与平面ADP夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

11

【解析】

【分析】(1)要证明两平面垂直只需证明其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面即可;

(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解.

【小问1详解】

如图，连接班由条件知四边形/母®是正方形，FC±BF,FC=BF,△BbC是等腰直角三角形,

£是6c的中点，.,.EFL5C；并且BC=2形,EF=也,BE=41^

如图:

P

在,BPE中,PE=五,PB2=4=PE2+BE^:.PE±BE,FEBE=E,FEu平面4劭,3Eu平

面ABD,

又PE上EF，；.PEL平面ABO,PEu平面/阳，平面APEJ_平面/初；

【小问2详解】

因为PE,BE,EE两两垂直，以£为原点，龙为x轴，所为y轴，野为2轴建立空间直角坐标系如下图:

15

Zk

则有A(26—也0),网包0,0),0(£一2"0),P(0,0,匈,

PA=(2后,—"—⑹,P8=(V2,0,-V2),PD=(V2,-2^/2,-72),

设平面/外与平面ADP的夹角为。，平面ABP的一个法向量为m=(%,y,z),

平面d&p的一个法向量为"=(p/,q),则有：

m-PA=02^/^x-血丁-=0

<.，<L'，令Z=l，则X=Ly=1,772=(1,1,1);

m-PB=0[V2x-V2z=0

n-PA=02,\/2^p——yp2,c]=0

<，1Lr-r-，令4=3,则0=1/=一1,n=(l,-l,3),

n-PD=0[y/2p-2yJ2t-yl2q=0

m,n_3_A/33

；•丽=7OTF；

21.己知函数/(x)=xTn(x+a)的最小值为0,其中a>0.

（1）求。的值;

（2）若对任意的xe[0,M）,有成立，求实数上的最小值;

⑶证明：-ln（2n+l）＜2（neN*）.

1=12i—l

【答案】（1）1;

⑵9

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）对/（九）进行求导，已知了（X）最小值为0,可得极小值也为0,得/'（0）=0,从而求出。的

值；

⑵由题意任意的％e[0,+co）,有/（01米2成立,可以令g（%）="一/⑴先通过g（0）=o,g⑴NO

16

大致确定左取值范围，再利用分类讨论法求出g(x)的最值;

112

(3)由(2)知：令4=—得：x-]n(x+l)<—x2令x=-----(i=2,,〃)得：

2v722i-V7

221(11、

1—[山(27+1)-In(2,-1)]<⑵一了<耳[口一力累加即可的证.

【小问1详解】

由函数/(x)=x—ln(x+a),则其定义域为(一。,+。。)，且/'(x)=l———

X+CL

由/''(%)=。,x=l-a>-a,又由/''(无)》。,M：x>l—a>

\/⑴在(―/1—a)单调递减，在[1—o,内)单调递增，

■■•/Wmin=/(l-a)=O,.-.a=l；

【小问2详解】

^g(x)=kx1-x+ln(x+l)(x>0),

则g(x)20在[0,+。)恒成立等价于g(x)niin>O=g(O)(*),

注意到g(l)=左一l+ln2»0=左>0,又g，(x)=M2.+2」l),

1。7

①当2左一1<01左<g时，由g'(x)20得二^

乙K

1—24

g(x)在仇q一单减，,+co单增，这与(*)式矛盾;

2k

②当八;时，(^'(尤)之0在［0,+。)恒成立，\g(x)?g(0)0符合(*),

k>-,:.k的最小值为；；

22

【小问3详解】

由(2)知：令k=；得：x-ln(x+l)<^x2,

Q99

令x=7^~f('=l，2,,")得：-[in(2z+1)-In(2z-1)]<,

Zz—1Zl—L—1)

当，=1时，2-ln3=2-ln3(1)；

17

2JL,cl1

--[ln5-ln3]<—⑵，

|-[ln7-ln5]<11_1

3），

23

将⑴⑵⑶,.....,(〃)式相加得:

2?

不等式左边：2-ln3+j-(ln5-ln3)+--(ln7-ln5)+L

2n?

+^77-[ln(2n+l)-ln(2n-l)]=^^—j-ln(2n+l)；

2in3-+L

不等式右边：-4^4HQ^+1=n

=2-ln3+-fl--|<2；

21n

所以之7^7_m（2〃+1）＜2（〃€11＜＞）

i=l2z—1

【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右

两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值.

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系中，曲线。的方程为（x-1）?+（y-g）2=1,曲线G的参数方程为（力

为参数），直线/过原点。且与曲线G交于46两点，点户在曲线C上且0L/日以。为极点，x轴正半