第28讲圆锥曲线的面积问题(原卷版+解析)

第28讲圆锥曲线的面积问题方法总结：1、面积问题的秒杀总结：（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，典型例题：例1．（2023·山西吕梁·一模（文））已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.例2．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点F既是椭圆的右焦点，又是抛物线的焦点．和在第一象限内交于．(1)求椭圆的标准方程；(2)过的动直线l与交于A，B．直线OA与交于M，N，直线OB与交于P，Q．记四边形MPNQ的面积为，的面积为．求的最大值．例3．（2023·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.例4．（2023·浙江嘉兴·高三期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.例5．（2023·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.过关练习：1．（2023·重庆长寿·高三期末）已知曲线过点和．(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．2．（2023·陕西武功·二模（文））已知抛物线上的点到准线的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点，圆与x轴交于点M，求面积的最小值.3．（2023·福建福州·高三期末）定义：若点，在椭圆上，并且满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点关于M的一个共轭点为.已知点在椭圆，O坐标原点.(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；(2)设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若，求面积的最小值.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．6．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值．7．（2023·浙江温州·高三开学考试）如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点.(1)求证：点A，B的纵坐标之积为定值；(2)若抛物线上存在关于直线l对称的两点M，N，直线AM，AN分别交x轴于点D，E，求△BDE的面积的取值范围.8．（2023·四川·成都七中高三开学考试（文））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.9．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．10．（2023·云南师大附中高三阶段练习（理））已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点（除去原点），过点P作的切线交准线于点Q．(1)求抛物线在处的切线方程；(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．①证明：；②求面积的最小值．11．（2023·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点A，其长半轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求的最大值.12．（2023·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且.(1)求的值.(2)已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值.13．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点F(1，0)为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG，△CQG的面积为，.(1)求p的值及抛物线的标准方程.(2)求的最小值及此时点G的坐标.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.15．（2023·广东高州·二模）已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．(1)求证：M，O，N三点共线；(2)求△OAB面积的最大值．16．（2023·北京密云·高三期末）已知椭圆过，两点．设为第一象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)设椭圆的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形的面积；(3)指出三角形的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．17．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．18．（2023·广东·执信中学高三阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线m交直线于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求证线段必过定点P，并求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求面积的最大值．19．（2023·河南焦作·一模（理））已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．20．（2023·浙江·高三开学考试）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．第28讲圆锥曲线的面积问题方法总结：1、面积问题的秒杀总结：（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，典型例题：例1．（2023·山西吕梁·一模（文））已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.答案:(1)(2)解析：分析：（1）根据抛物线的方程可求，根据离心率可求，再求出后可得椭圆方程.（2）设直线方程为，设，，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理得到面积的表达式，利用换元法和导数可求面积的最大值.(1)易知抛物线的焦点为，所以，又因为离心率，所以，又因为所以椭圆C的方程为(2)由题意设直线方程为，设，与椭圆方程联立消去得：，易知所以，所以因为到直线的距离为所以设，则，设，则，所以在单调递增，所以，即三角形面积的取值范围为例2．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点F既是椭圆的右焦点，又是抛物线的焦点．和在第一象限内交于．(1)求椭圆的标准方程；(2)过的动直线l与交于A，B．直线OA与交于M，N，直线OB与交于P，Q．记四边形MPNQ的面积为，的面积为．求的最大值．答案:(1)(2)解析：分析：（1）根据题意可得，将点K坐标分别代入椭圆和抛物线方程，即可求得a，b值，即可得答案.（2）由（1）知的标准方程为，设直线l的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理，可得，设设直线MN的方程为，与椭圆联立，可得，与抛物线联立，可求得，用代替k可得和，进而可得表达式，结合基本不等式，即可得答案.(1)由题可知，解得，所以的标准方程为．(2)由（1）知的标准方程为．设，，直线l的方程为．联立，得．由韦达定理得，因为所以．设直线MN的方程为．联立，得．联立，得．用代替k可得，．所以等号成立当且仅当．故的最大值为．例3．（2023·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根据焦距可求出c,再根据以及的面积可求出a,b，即得椭圆方程；（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据与的面积比值为5：7，得到相关等式，联立根与系数的关系式化简，即可得到结论.(1)由,由,,故,∴,∴,∴，即椭圆的标准方程为.(2)假设满足条件的直线存在，当直线的斜率不存在时，不合题意，不妨设直线：，，，显然，联立，得，所以，因为S△OAF2=1即（3），由（1），（3），得（4），将（1）（4）代入（3）得，所以直线的方程为，故存在直线，使得与的面积比值为5：7.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.例4．（2023·浙江嘉兴·高三期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.答案:(1)；(2).解析：分析：（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，然后根据抛物线的定义即可求得答案.（2）设动点，切点，，进而设出切线方程并代入抛物线方程，结合判别式法和点G在直线上得到的关系，然后取线段AB的中点Q，求出点Q的坐标，最后根据求得答案.(1)根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为.(2)设动点，切点，.设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立，消去x整理得，，所以，所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为，联立解得两切线的交点，所以有.因为，又G在定直线，所以有，即P的轨迹为，因为P在抛物线外，所以.如图，取AB中点Q，则，所以，因为，所以，所以，所以当时，.【点睛】本题第（2）问运算量大，一定要注意对根与系数的关系的应用，另外本题为什么要取点Q，一方面是受点G为三角形的重心的影响，另一方面是为了处理三角形的面积，即有，平常一定要多加训练，培养自己做题的感觉.例5．（2023·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根据条件列出相应的方程组，即可求得答案；（2）首先利用三角形的面积结合向量运算，将问题转化为，然后设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系代入化简可得答案.(1)由，解得，则椭圆C的方程为；(2)设存在点，由已知条件可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为，则，由，得，即，由得，∴需满足，∴，∴，∴，∴，∴满足.∴，∴点.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题，解答的关键在于利用面积关系结合向量的运算转化为点的坐标之间的关系，再化简求值，计算量较大，需要耐心.过关练习：1．（2023·重庆长寿·高三期末）已知曲线过点和．(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．答案:(1)曲线的方程为，表示椭圆(2)解析：分析：（1）点代入解方程组即可得出结果.（2）利用弦长公式计算即可.(1)曲线C过点和，则解得∴曲线C的方程为，表示椭圆．(2)由得，．设，，则．又O到直线2x－y－2＝0的距离为，∴△OAB的面积为．2．（2023·陕西武功·二模（文））已知抛物线上的点到准线的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点，圆与x轴交于点M，求面积的最小值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用定义求出，即可得到抛物线C的方程；（2）设，设直线的方程为：，用韦达定理表示出，得到，利用二次函数求最值即可.(1)由抛物线C的方程可得其准线方程为，依题意得，解得.∴抛物线C的方程为.(2)依题意可设直线的方程为：，联立消去x得.设，则.∴.依题意，∴.∵，∴，即面积的最小值为.3．（2023·福建福州·高三期末）定义：若点，在椭圆上，并且满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点关于M的一个共轭点为.已知点在椭圆，O坐标原点.(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；(2)设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.答案:(1)或(2)解析：分析：（1）利用共轭点的定义列方程求解即可，（2）设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，分别求出，到直线的距离，代入，即可求出其最大值(1)设点在椭圆的共轭点为，则，且，解得或，所以点A关于M的所有共轭点的坐标为或(2)因为∥，，所以设直线的方程为，，，将代入中，化简得，由，得，，所以，设，到直线的距离分别为，因为∥，所以等于，到直线的距离和，所以，所以，令，则在上单调递减，所以当时，即时，取最大值16，所以当时，的最大值为4．（2023·江西九江·一模（文））在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若，求面积的最小值.答案:(1)；(2)4.解析：分析：（1）由题可得，即求；（2）分类讨论，利用条件可得，然后利用韦达定理、弦长公式及面积公式可表示，即求；(1)当垂直于x轴时，最小，其最小值为，∴，∴抛物线C的标准方程为.(2)解法一：取，则点M在直线上，且点O为线段的中点.∴.当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，，当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.则点O到直线的距离，联立方程，消去y整理得，则，，∴，综上可得，面积的最小值为4.解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，由，得点P的坐标为，则点P到直线的距离为2，又，所以的面积为，当不垂直于x轴时，设其斜率为，则直线的方程为，设P，A，B的坐标分别为，，，则，，由，得，，即，故点P在直线上，且此直线平行于直线.则点P到直线的距离，联立方程，消去y整理得，则，，∴，综上可得，面积的最小值为4.解法三：取，则点M在直线上，且点O为线段的中点.∴，设直线的方程为，则点O到直线的距离.联立方程，消去x整理得，则，，∴，综上可得，面积的最小值为4.5．（2023·江西九江·一模（理））在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．答案:(1)；(2).解析：分析：(1)根据通径的性质即可求解；(2)取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．得，设AB方程，与椭圆方程联立，表示出并求其范围即可.(1)由右焦点知，，当垂直于x轴时，最小，其最小值为．又∵，解得，，∴椭圆C的标准方程为．(2)解法一：取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．∴．当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为．则点O到直线的距离，联立方程，消去y整理得，则，，，，∴，令，则，此时．综上可得，面积的取值范围为．解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，由，得点P的坐标为，则点P到直线的距离为1，又，∴的面积为，当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为，设P，A，B的坐标分别为，，，则，，由，得，，即．故点P在直线上，且此直线平行于直线．则点P到直线的距离，联立方程，消去y整理得，则，，，∴，令，则，此时．综上可得，面积的取值范围为．解法三：取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．∴，设直线的方程为，则点O到直线的距离．联立方程，消去x整理得，则，，，，∴，∴，即面积的取值范围为．6．（2023·江西上饶·高三阶段练习（文））已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值．答案:(1)(2)证明见解析解析：分析：（1）根据题意列出相应等式，求得，再根据点（）是椭圆上一点，求得，即得答案；（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形ABCD的面积，化简可得结论.(1)不妨取左焦点（－c，0），到渐近线的距离为，解得，∴又∵点（）是椭圆上一点，∴，解得因此，椭圆的方程为(2)证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设，则，又，解得，根据椭圆的对称性，不妨取,则，则,所以;当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点联立，得，则因为，得，即，所以，，解得，，原点到直线AB的距离为，因为且所以（定值），综上述四边形ABCD的面积为定值．7．（2023·浙江温州·高三开学考试）如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点.(1)求证：点A，B的纵坐标之积为定值；(2)若抛物线上存在关于直线l对称的两点M，N，直线AM，AN分别交x轴于点D，E，求△BDE的面积的取值范围.答案:(1)证明见解析；(2)解析：分析：（1）分过点的直线l斜率存在与不存在两种情况去证明；（2）先求得△BDE的面积的的解析式，再求其取值范围即可解决.(1)过点的直线l斜率不存在时，方程为，令，，则A，B的纵坐标之积为.过点的直线l斜率存在时，方程可设为，令，由可得，，则综上，点A，B的纵坐标之积为定值.(2)由题意可知直线MN斜率存在且不为0，直线MN的方程可设为，令，由，可得，则，设，，则中点为，代入得，即，代入，得由，即，可得，则由，，可得，则则故△BDE的面积为又，则故△BDE的面积的取值范围为【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．（2023·四川·成都七中高三开学考试（文））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.答案:(1)见解析(2)见解析解析：分析：（1）根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.（2）设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.(1)当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，由消去y并整理得：，则，解得，于是得切线AB的方程为：，抛物线，，由消去y并整理得：，显然，设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，所以.(2)显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，由消去y并整理得：，，关于的方程，于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，切点C的横坐标是方程的等根，则点，同理可得切点，则直线斜率为，直线：，由消去y并整理得：，即，，设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，所以与的面积相等，即.【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.9．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．答案:(1)；(2).解析：分析：（1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解；（2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围.(1)解：由题意可设直线的方程为，则，联立可得，，可得，①设点、，由韦达定理可得，，设点，则，，将点的坐标代入抛物线的方程得，则，代入①可得，可得，解得，因此.因此，点的纵坐标的取值范围是.(2)解：设点，则点到直线的距离为，，故的面积，②将代入②得，令，记，则，则，因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，，可得，③因为点在椭圆的左上方，则，④由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2023·云南师大附中高三阶段练习（理））已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点（除去原点），过点P作的切线交准线于点Q．(1)求抛物线在处的切线方程；(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．①证明：；②求面积的最小值．答案:(1)(2)①证明见解析；②解析：分析：（1）利用导数求出斜率，然后可得答案；（2）①设，然后求出的坐标，然后证明即可，②算出和点到切线的距离，然后可得，然后利用导数求出最小值即可.(1)由得，，则切线斜率为，故切线方程为，即．(2)①设，由（1）得切线斜率为．所以，且切线为，即．令得，即．当时，，；，，满足．当时，，，所以．因为在第一象限，所以，，故．综上，．②由①得，，点到切线的距离为，所以，令，，则，所以当，；当，．故当时，取最小值．所以当时，取最小值．11．（2023·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点A，其长半轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求的最大值.答案:(1)(2)解析：分析：（1）按照题目所给的条件，可以直接算出结果；（2）将直线方程设为横截式，用水平底铅锤高表达面积，将其表示为关于的函数，利用对勾函数求其最值.(1)由已知的a=2，假设椭圆的方程为，将点代入椭圆方程，得b=1，∴椭圆方程为.(2)作图如下：设过点B的直线方程为（依题意，并且存在），点，，则；联立方程；解得：，…①…②，直线FD的方程为：，令y=0解得：，将①②并，带入，解得x=-4，即点；，，，，由于点D与点E必然在x轴的两边，与异号，∴=，，当且仅当m=2时，取得最大值.12．（2023·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且.(1)求的值.(2)已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值.答案:(1)1；(2)2.解析：分析：（1）将代入抛物线方程，求得，坐标，根据坐标满足抛物线方程即可求得结果；（2）联立直线DE的方程与抛物线的方程，由切线可知，进而得直线DE的方程为，将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，易得，可知，利用二次函数性质可得解.(1)将代入抛物线方程，得，即，由，即，解得.(2)设点，，设直线DE的方程为，将与抛物线方程联立，得到，由，可得，即直线DE的方程为.由已知得直线AM的方程为，将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，易得，由，，则，所以，而.故.故的最小值为2，此时.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的最值问题；解决问题的关键是构造面积关于点坐标之间的函数关系，属综合题.13．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点F(1，0)为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG，△CQG的面积为，.(1)求p的值及抛物线的标准方程.(2)求的最小值及此时点G的坐标.答案:(1)2，；(2)最小值1＋，G(2，0).解析：分析：(1)由抛物线的性质可得：，由此能求出抛物线的准线方程；(2)设，，，，，，重心，，令，，则，从而得直线的方程，代入抛物线方程求出B，由重心在轴上，得到C和G，进而得直线的方程，从而得Q的坐标，由此结合已知条件能即能求出结果．(1)由题意得＝1，即p＝2.∴抛物线的标准方程为；(2)设，，，，，，重心，，令，，则，由于直线过，故直线的方程为，代入，得：，，即，，，又，，重心在轴上，，，，，，直线的方程为，得，，在焦点的右侧，，，令，则，，当时，取得最小值为，此时．【点睛】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.答案:(1)(2)1，解析：分析：（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；

（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.(1)设，，，则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，恒成立，

由韦达定理得：，，故，所以点的轨迹方程为；(2)解：由（1）知：，

到直线的距离为：，

∴，

∴时，取得最小值，此时直线的方程为.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.15．（2023·广东高州·二模）已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．(1)求证：M，O，N三点共线；(2)求△OAB面积的最大值．答案:(1)证明见解析；(2).解析：分析：（1）根据圆的对称性，设在第一象限，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，再设切线方程并联立椭圆，由及韦达定理，求证即可证结论.（2）同（1）设在第一象限，，，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，分别求△OAB面积情况，注意斜率存在且不为0时，根据P在、上求直线的方程，再联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式得到关于所设参数的表达式，最后应用基本不等式求范围确定面积的最大值.(1)由圆的对称性，不妨设在第一象限，若斜率不存在，则直线为，所以，则另一条切线为(即斜率为0)，此时；若、斜率存在且不为0时，设切线方程为，联立椭圆方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；综上，有，又M，N两点圆O上，即，由圆的性质知：是圆O的直径，所以M，O，N三点共线，得证；(2)同（1），由圆的对称性，设在第一象限，，，当时，；当时，、斜率都存在且不为0，令为，联立椭圆并整理得：，由，整理得，所以，又在椭圆上，则，故，所以直线的方程为，化简得，即；同理可得：直线的方程为，又在直线、直线上，则，所以直线的方程为，联立椭圆方程可得：，又，则，故，所以，，又不共线，，，而O到直线的距离，所以，令，，且，即或，所以，则，当且仅当时等号成立，此时；综上，，当时△OAB面积的最大值.【点睛】关键点点睛：第二问，分类讨论切线、斜率情况分别求三角形面积，在斜率存在且不为0时，设点坐标及切线方程求直线、，再由在直线上求直线关于m、n的方程，联立椭圆及在圆上，结合韦达定理、弦长公式等求三角形面积表达式，最后应用基本不等式求范围.16．（2023·北京密云·高三期末）已知椭圆过，两点．设为第一象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)设椭圆的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形的面积；(3)指出三角形的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．答案:(1)，；(2)证明见解析；(3)存在最大值，且最大值为.解析：分析：(1)根据椭圆过的点的坐标可得，进而求出c，即可得出结果；(2)设点，利用两点坐标求出直线MA、MB的方程，求出点P、Q的坐标，进而表示出，利用分析法证明即可；(3)由(2)可得，进而可得，令，利用导数求出即可得出结果.(1)由题意知，椭圆C：过点，所以，所以，所以椭圆C的方程为：，离心率为；(2)由题意知，，设点，得，所以直线MA的方程为：，直线MB的方程为：，所以，所以，故，，要证，只需证，只需证，只需证，又点在椭圆上，所以，即，所以；(3)三角形MPQ的面积存在最大值.由(2)知，，，得，，令，则，令，函数单调递增，令，函数单调递减，所以，即当时，有最大值，且最大值为，无最小值.所以三角形MPQ的面积存在最大值，无最小值，且最大值为.17．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）设，根据等边三角形的面积公式得到，再根据抛物线的定义得到，即可得到，从而求出，即可得到抛物线方程；（2）设，，