山东省青岛市青岛某中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

山东省青岛市青岛第七中学2023-2024学年八年级下学期期中

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.下列剪

纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

B.

D.

2.下列命题的逆命题为假命题的是（）

A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

B.两直线平行，同位角相等

C.若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等

D.若c=d,贝！|ac=ad

3.如图A,3的坐标分别为（0,-1）.若将线段平移至4瓦，A，耳的坐标分别

4.如图，函数％=-2尤与%=ax+3的图象相交于点A（〃2）,则关于x的不等式组-2X>5+3

的解集为（）

y,

A.尤>—1B.-l<x<0C.x<—1D.—3<x<—1

5.如图，将^ABC纸片绕点C顺时针旋转40。得到,连接A4,，若AC-LABf,则NA4E

的度数为（）

A.20°B.40°C.70°D.15°

6.在平面直角坐标系中，已知A（0,3）,3（3,0）,若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三

角形，则满足条件的点C的个数是（）

7.某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程

序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（）

输入

停止

B.x<8D.—<%W8

3

8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOP在第二象限，04与x轴重合，

将.AOP绕点。顺时针旋转60。，得到4。《，再作4。《关于原点。的中心对称图形，得

至入&。鸟，再将鼻。鸟绕点。顺时针旋转60。，得到A3OP3,再作4。△关于原点。的中

心对称图形，得到舄，以此类推……，则点鸟侬的坐标是（）

试卷第2页，共6页

C.(2,0)D.(-2,0)

二、解答题

9.【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数，=2尤-5的图象上点的坐标的特

征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系.

发现：一元一次不等式2x-5>0的解集是函数y=2x-5图象在x轴上方的点的横坐标的集

合.

结论：一元一次不等式：kx+b>G(或丘+6<0)的解集，是函数>=米+后图象在x轴上方

(或无轴下方)部分的点的横坐标的集合.

【解决问题工

(1)如图1,观察图象，一次函数丁=履+可左<0)的图象经过点尸(3,2),则不等式依+b<2

的解集是.

(2)如图2,观察图象,两条直线的交点坐标为,方程2x-1=x+1的解是

不等式2x-l>x+l的解是.

【拓展延伸】

(3)如图3,一次函数3=-尤+1和％=；x-2的图象相交于点A,分别与x轴相交于点3(1,0)

1c

—x—2>—x+11

2

和点C（4,0）.结合图象，直接写出关于x的不等式组<:7的解集是

-x-2>0

12

10.骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、

30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况:

时间甲头盔销量（个）乙头盔销量（个）销售金额（元）

周一1010950

周二615930

（1）求甲、乙两种头盔的销售单价;

（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标,至少需要卖多少个甲头盔.

11.如图，AD是AABC的中线，OE_LAC于点E,。尸是△A3。的中线，且CE=2,DE=4,

AE=8.

⑴求证：ZADC=90°；

（2）求。月的长.

12.定义：给定两个不等式组尸和Q,若不等式组产的任意一个解，都是不等式组。的一

[x>2fx>-2

个解，则称不等式组P为不等式组。的“子集”.例如：不等式组：M：]>]是N:*>_]的

子集.

[x+1>412x-1>1lx:

⑴若不等式组：A：，B:，则其中不等式组________是不等式组”：

[兀一11<5[%>-3[x,.

的“子集”（填A或8）；

[x>afx>2

⑵若关于x的不等式组是不等式组1的“子集”，则a的取值范围是________

\x>-l1X>1

试卷第4页，共6页

⑶已知a,b,c,d为互不相等的整数.其中。<b,cvd,下列三个不等式组：A:a<x<b,

B.c<x<d,C:lvxv6满足：A是5的“子集”且B是。的“子集”，贝!Ja—b+c—d的值为

[2元之m

（4）已知不等式组M：."有解，且N:l<xV3是不等式组〃的“子集”，请分别写出小n

|3尤<”

满足的条件：.

13.综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展

数学活动，ACD和.BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC=5cm,BC=2cm.

（1）勤奋小组将ACD和,3CE按图1所示的方式摆放（点A、C,B在同一条直线上）.连

接AE,BD.发现AE和DB的关系是：a.数量上：,b.位置上：AE与DB所成

的夹角（锐角）为;

（2）如图2,创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE绕着点C逆时针方向旋转，

当点£恰好落在8边上时，则^ABC的面积为cm2;

【拓展延伸】

（3）如图3,缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将BCE

的CE边放在线段8上滑动，并带动一起在线段8上来回滑动，记作△MCE',点

夕在线段CD右侧，连接A9,求线段AB的取值范围.

14.如图，己知ABC中，?B90?,AB=8cm,BC=6cm,P、。是ABC边上的两个动

点，其中点P从点A开始沿AfB方向运动，且速度为每秒1cm,点。从点B开始沿8-C

方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为f秒.

⑴当t=2秒时，求尸。的长.

(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形.

(3)若。沿8-C-A方向运动，则当点。在边C4上运动时，若△BC。是以BC为腰的等腰

三角形，求点。的运动时间.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.D

【分析】写出原命题的逆命题后利用勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等

知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，

为真命题，不符合题意；

B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；

C、逆命题为：若一个三角形的三角相等，则它的三条边也相等，正确，为真命题，不符合

题意；

D、逆命题为：若ac=ad,贝Uc=d,当a=0时，不一定成立，故错误，为假命题，符合题

故选：D.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股定理逆定理、等边三角形的

判定、平行线的判定等知识，难度不大.

3.B

【分析】由已知得出线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位，即可得出。、6的

值，从而得出答案.

【详解】解：由(-2,1)的对应点A的坐标为(a,3)知，线段A8向上平移了2个单位，

由3(0,-1)的对应点耳的坐标为(3⑼知，线段向右平移了3个单位，

贝l|a=-2+3=l,^=-1+2=1,

答案第1页，共12页

a+〃=1+1=2,

故选:B.

【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征.在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上

某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

4.C

【分析】本题主要考查了求正比例函数值，一次函数与不等式之间的关系，先求出点A的坐

标，再根据函数图象找到正比例函数％=-2x的图象在一次函数%=办+3的图象上方时自变

量的取值范围即可得到答案.

【详解】解：在％=-2x中，当必=-2x=2时，x=-l,

：.A（-l,2）,

观察函数图象可知，当x<-l时，正比例函数必=-2彳的图象在一次函数%=«x+3的图象上

方,

关于尤的不等式组-2x>ax+3的解集为x<-l,

故选：C.

5.A

【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边对等角.设AC与交于点

D,根据旋转的性质可得NAC4'=40。，04=04,,根据等边对等角以及三角形的内角和定

理求得NC4A'=70。，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得NA4E的度数.

【详解】解：设AC与A的交于点。，如图，

:将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40。得到△HEC,

NAC4'=40。，CA=CA!,

：.ZCAA'=1(180°-ZACA')=70°,

AC±AB',

:.ZADA'=90°,

ZAAB'=90°-70°=20°,

答案第2页，共12页

故选：A.

6.B

【分析】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直

平分线的性质是解题的关键.分为AB=AC、BC=BA,CB=C4三种情况画图判断即可.

当点C在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个.

故符合条件的点C共有7个.

故选：B.

7.D

【分析】本题考查了程序图，解一元一次不等式组；由操作两次可得不等式组

f3x-6<18,

j3(3r-6)-6>18即可求解；理解程序图是解题的关键.

【详解】解：由题意得

3尤-6418

'3(3x-6)-6>18,

14

解得：—<%^8；

故选：D.

8.B

【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是

操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的

关键.利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点尸的坐标，观察计算结果，找出变化的规

答案第3页，共12页

律即可求解.

【详解】解：边长为2的等边三角形AOP在第二象限,

将，AOP绕点。顺时针旋转60。，得到\OP{,

・1A与点P关于>轴对称，

.14(1,回

再作关于原点。的中心对称图形，得到。

与点A关于原点对称，

.•.g(T-我.

再将402绕点。顺时针旋转60°,得到。A3OP3

此时点△落在X轴的负半轴上，

二巴(-2,0).

再作&。乙关于原点。的中心对称图形，得到\OP4,

此时点鸟落在X轴的正半轴上，

，2(2,0).

以此类推，则月(1,一如)，4(-1后)，

，”与点尸重合，

.•・对应的点上,("大于1的整数)的坐标以(1,若)，(-1，-6),(-2,0),(2,0),(1,-V3),(-1.V3)

为规律循环，

2024+6=337……2

423与，(-1,-73)的坐标相同，

六则点G必的坐标是卜1，-6).

故选：B.

答案第4页，共12页

9.（1）x>3；（2）（2,3）,x=2,x>2；（3）x>4

【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解

题的关键.

（1）结合图象即可求解；

（2）通过观察图象求解即可；

（3）通过观察图象求解即可.

【详解】解：⑴•••广丘+6伏<0）的图象经过点尸（3,2）,

，观察图象，不等式依+6<2的解集是x>3,

故答案为：x>3；

（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为（2,3）；

V2x-l=x+1的解为两直线交点的横坐标，

方程的解为>2；

由图象可得，当x>2时，2x-l>x+l,

不等式2x-l>x+l的解是x>2,

故答案为：（2,3）,x=2,x>2；

'y=-x+l

（3）联立方程组1

y=-x-2

I2

・・・A（2,-l）,

当y=0时，-x-2=0,

2

••JC—4

：.C（4,0）；

11

由为=万1一2的图象可知，当X〉4时，y=-x-2>0,

当了〉2时，；i—2>—%+1,

答案第5页，共12页

—x—2>—x+1

••・关于X的不等式组的解集为x>4,

-x-2>0

2

故答案为：x>4.

10.(1)甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元

(2)至少需要卖50个甲头盔

【分析】(1)设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，利用销售金额=销售

单价x销售数量，结合周一、周二的销售数据，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即

可得出结论；

(2)设卖出加个甲头盔，则卖出(100-根)个乙头盔，利用总利润=每个头盔的销售利润x

销售数量，结合总利润不少于1250元，可列出关于相的一元一次不等式，解之取其中的最

小值，即可得出结论.

【详解】(1)解：设甲头盔的销售单价为龙元，乙头盔的销售单价为y元，

10x+10y=950

根据题意得:

6x+15y=930

x=55

解得:

y=40

答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元；

(2)解：设卖出他个甲头盔，则卖出(100-加)个乙头盔，

根据题意得：(55-40)/77+(40-30)(100-/77)>1250,

解得：m>50,

••.加的最小值为50.

答：至少需要卖50个甲头盔.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是:(1)

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式.

IL(1)见解析

(2)£加的长为5.

答案第6页，共12页

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理，证明AAOC是直角三角形，即可得出NAOC是直角；

(2)根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可.

【详解】(1)证明：于点E,

ZAED=ZCED=9Q°,

在MAAOE中，ZAED=90°,

：.AD2=A£2+Z)E2=82+42=80,

同理：3)2=20,

46+5=80+20=100,

"：AC=AE+CE=8+2=l0,

.\AC2=100,

：.AD2+CD2=AC2,

：.△AOC是直角三角形，

ZAZ)C=90°；

(2)解：：A。是△ABC的中线，ZADC=90°,

垂直平分BC,

：.AB^AC=10,

在RdAOB中，ZADB=9Q°,

:点尸是边A8的中点，

：.DF=-AB=5.

2

二。斤的长为5.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股

定理与逆定理是解答本题的关键.

12.(1)A

(2)a>2

(3)T

(4)m<2,n>9

【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不

答案第7页，共12页

等式组的解集是解答此题的关键.

(1)根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可；

(2)由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；

(3)由题意根据“子集”的定义得到l<c<“<b<d<6,再根据服b、c、d都是整数确定出各

自的值，代入原式计算即可求出值；

(4)由题意根据“子集”的定义确定出所求即可.

fx+1>4(2x-l>1[x>2

【详解】⑴解：A：,〈的解集为3<x<6,8。的解集为x>l,跖,

[x-l<5[尤>-3[x>l

的解集为x>2,

/.不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，

故答案为：A；

fx>2

(2)解：不等式组।的解集为1>2,

\x>a\x>2

;关于x的不等式组[是不等式组।的“子集”，

[x>-l[x>l

a>2,

故答案为：o>2;

(3)解：；a,b,c,d为互不相等的整数，其中c<d,

VA：a<x<b,B：c<x<d,C：l<x<6满足：A是8的“子集”且B是C的“子集”,

l<c<a<b<d<6,

・'・a=3,Z?=4,c=2,d=5f

a—b~\~c—d=3-4+2—5——4,

故答案为：—4；

・・•不等式组M有解，

.m,n

・・—Wx<一,

23

TN：1<犬<3是不等式组的“子集”,

答案第8页，共12页

m<2,n>9,

故答案为：m<2,n>9.

13.(1)AE=BD,60°；(2)5=^cm2；(3)cm<AB'<y/39cm

【分析】(1)根据SAS证明，ACE/,DCF,从而得出=据此求解即可；

(2)作3GLAC,交AC的延长线于G,可求得NCBG=30。，，从而求得CG=1cm,

BG=J§cm,利用三角形面积公式即可得出结果；

(3)可推出点夕在8的右侧且离8距离6cm得直线/上运动，当时，最小,

当点C'在C处时，AB，最大,进一步得出结果.

【详解】(1)解：：ACD和3CE是等边三角形，

AC=CD,CE=CB,ZACD=ZSCE=60。，

：.1800-ZACD=l80°-NBCE,

：.NBCD=ZACE,

；ACE，DCB(SAS),

/.AE=BD,/CAE=NCDB,

：.ZAGD=ZCAE+CBD=ZCDB+CBD=ZACD=60°,

故答案为：AE=BD,60°；

(2)解：如图1,

图I

作3GLAC,交AC的延长线于G,

答案第9页，共12页

VZBEC=ZACD=60°,

；.ZBCG=60。,ZCBG=30°,

/.CG=|BC=l(cm),BG=VJ3C2-CG2=A/3(cm),

；•S谢=；ACBG=；x5a乎(cm?)；

(3)如图2,

图2

同（2）理，8,到直线8的距离是6cm,

.•.点8'在CD的右侧且离8距离73得直线I上运动,

当AB」/时，4r取得最小值，

,/ZC4e=1zC4£>=30°,

.".ce=|Ac=|,