概率讲义-2024届高三数学三轮复习

2024年高考数学三轮冲刺之概率

一.随机事件与概率

【知识梳理】

1、我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E表示.

2、我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验

E的样本空间.一般地，我们用Q表示样本空间，用0表示样本点.

3、一般地，随机试验中的每个随机时间都可以用这个试验的样本空间的子集来表

示.我们将样本空间Q的子集称为随机事件，并把只包含了一个样本点的事件称为基本

事件.

4、随机时间一般用大写字母A,B,C,…表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样

本点出现时，称为事件A发生.

5、。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所

以。总会发生，我们称Q为必然事件.而空集0不包含任何样本点，在每次试验中都

不会发生，我们称。为不可能事件.

6、一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件

A包含于事件B）,记作3卫A（或特别地，如果事件B包含事件A,事件

A也包含事件B,即33A且A卫3,则称事件A与事件B相等，记作4=6.

7、一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件

A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），

记作AB（或A+3）.

8、一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也

在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作

AB（或AB）.

9、一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A8是一个不可能事件，

即AB=0,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）.

10、一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即

AB=O,且AB=0,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为

A.

11、事件的关系或运算

事件的关系或运算含义符号表示

包含A发生导致B发生A^B

并事件(和事件)A与B至少一个发生A8或A+3

交事件(积事件)A与B同时发生A8或AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB=0

互为对立A与B有且仅有一个发生A3=0且AB=0

12、对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P

(A)表示.

13、我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模

型，简称古典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

14、一般地，设试验E是古典概型，样本空间Q包含几个样本点，事件A包含其中的

上个样本点，则定义事件A的概率尸(4)=±=匹”，

nn(Q)

其中77(A)和“(Q)分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

15、概率的基本性质

性质1对于任意的事件A,都有P(A)K).

性质2必然事件的概率为1,不可能的事件概率为0.

性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=LP(A),P(A)=LP

(B).

性质5如果ACB,那么P(A)<P(B).

性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(AAB).

16、一般地，随着试验次数九的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的

频率力(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的

稳定性.

【针对性训练】

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的

两个数作为点尸的坐标，则事件“点尸落在x轴上”包含的样本点共有()

A.7个B.8个C.9个D.10个

2.已知集合A是集合3的真子集，下列关于非空集合A,8的四个命题，正确的是(

)

A.若任取xeA,则xeB是必然事件

B.若任取x定A,则xeB是不可能事件

C.若任取则xeA是随机事件

D.若任取十e3,则xeA是必然事件

3.从1,2,3,4这4个数字中，不放回地取两次，每次取一个.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示A="取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍”.

4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件拉，向上面至少有一枚是正面

为事件N,则有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

5.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件4=“只订甲报”，B=“至少订一

种报纸”，C=”至多订一种报纸”，D="一种报纸也不订”.判断下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.

(1)A与C；

(2)B与D；

(3)B与C；

(4)A与£).

6.下列是古典概型的是（）

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时

C.从甲地到乙地共〃条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概

率

7.从甲、乙、丙三人中任选2人作代表，则甲被选中的概率为（）

8.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求:

（1）所取的2道题都是甲类题的概率；

（2）所取的2道题不是同一类题的概率.

9.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为工，从中取出2粒

7

都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）

10.袋中有除颜色外其他完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出2

个球，求下列事件的概率：

（1）A="取出的2个球都是白球”；

（2）B="取出的2个球中有1个白球、1个红球”；

（3）C="取出的2个球中至少有1个白球”.

二.随机事件的独立性

【知识梳理】

对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件

B相互独立.

【针对性训练】

11.一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A表示第一次摸得白球，A

表示第二次摸得白球，则事件A与可是()

A.相互独立事件B.不相互独立事件

C.互斥事件D.对立事件

12.若事件E与E相互独立，且P(E)=P(F)=1,则P(EB)的值等于()

13.某商场推出抽奖活动，购买一定价值的商品，可以分别参加两次抽奖活动，如果两次

抽奖活动的中奖概率都是0.05,求以下事件的概率：

(1)两次都中奖；

(2)恰有一次中奖；

(3)至少有一次中奖.

14.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概

率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.

15.设两个相互独立的事件A,3都不发生的概率为l，只有A发生的概率等于只有3发

9

生的概率，则事件A发生的概率尸(A)=.

16.甲骑自行车从A地到3地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红

灯的概率都是工，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有

3

遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是（）

17.某自助银行设有两台ATM机.在某一时刻这两台A770机被占用的概率分别为L

3

则客户此刻到达需要等待的概率为

2------

18.事件A,B,C相互独立，如果尸(AB)=LP(BQ=~,P(ABC)=~,那么尸(B)

P(AB)=

19.在如图所示的电路图中，开关a,b,c闭合与断开的概率都是工，且是相互独立

2

的，则灯亮的概率是.

20.有一道数学难题，学生A解出的概率为工，学生3解出的概率为』，学生C解出的概

23

率为:，若A,B,C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为（）

17

A.1B.—cD.

24A24

三.随机事件的条件概率

【知识梳理】

1、一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称

P(AB)

P(B\A)=

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

2、一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件

A与B应满足相互独立.

3、由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)

P(B|A).我们称它为概率的乘法公式.

4、求条件概率由两种方法：一种是基于样本空间Q,先计算P(A)和P(AB),再

利用条件概率公式求P(B|A)；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”

的条件后，样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.

5、条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.如果P(A)>

0,则

(1)P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)设5和B互为对立事件，则尸(。设=1—尸

6、一般地，设%，・..,4是一组两两互斥的事件，AU&=Q，且

P(A)>0,i=l,2,n,则对任意的事件有

P(B)=^P(A)P(BIA)■我们把它称为全概率公式.

1=1

7、贝叶斯公式：设A，4，…，A”是一组两两互斥的事件，

AAA=Q，且P(4)〉0，i=h2,n,则对任意的事件5三0,P

(B)>0,有

p（A）p（RA）_P（A）P（B1A）

P(Ai\B)=

P(B)

＞（4）尸（例4）

【针对性训练】

21.在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率是0.8,连续两次射击均命中的概率

是0.6,已知该射手第一次命中，则他第二次也命中的概率是（）

22.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功

的概率是（）

41L

23.在7张卡片上分别写有―，7i,2+i,In-,z4,0,cosl,其中i为虚数单位.从

32

这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件A,“抽到的卡片

上的数是无理数”为事件3,则下列结果正确的是（）

34203

A.P（A）=-B.P（B）=-C.P（AB）=—D.P（B|A）=-

24.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为

0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子

能成长为幼苗的概率为（）

A.0.02B.0.08C.0.72D.0.18

25.已知袋子内有7朵大小相同的小花，其中4朵红花，3朵黄花，从中不放回地抽取2

次，每次抽取1朵花，那么在已知第一次抽到红花的条件下，第二次也抽到红花的概率是（

)

26.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事

件B：“取到的2个数均为偶数”，则尸（例A）=（）

27.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、

乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为工，,

101520

现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（

）

A.0.08B.0.1C.0.15

28.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人女人各占一半，现随机地挑选一

人，则此人恰是色盲的概率为（）

A.0.01245B.0.05786C.0.028650.02625

29.有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙

箱中有3只红球，5只白球.

（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

30.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废

品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率为0.05,求：

(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；

(2)若将所有产品开箱混放，求任取■个为废品的概率.

四.离散型随机变量及其分布列

【知识梳理】

1、一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点①，都有唯一的实数X(o)与之

对应，我们称X为随机变量.其中，可以取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我

们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写

英文字母表示随机变量的取值，例如x,y,z.

2、一般地，设离散型随机变量X的可能取值为玉，3，…，%，我们称X取每一个

值七的概率

P(X=X])=Pt,z=1,2,n

为X的概率分布列，简称分布列.

3、根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：

(1)/?,.>0,i=l,2,n；

⑵B+2+…+p“=l.

4、对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，入表示“失败”，定义

]A发生_

X=\5_，如果P(A)=p,则P(©=1-P，那么X的分布列如表：

0,A发生

X01

P1-PP

我们称X服从两点分布或0—1分布.

5、一般地，若离散型随机变量X的分布列如表,

X再X2Xn

PPlPlPn

则称

n

E(x)=+x2p,++xnpn=£xiPi

i=l

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取

值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值

的平均水平.

6、一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

E(x)=0x(l-s)+lxp-p.

7、如果X是一个离散型随机变量，将X进行平移或伸缩后，均值有如下变化：

E(aX)=aE(X),

E(X+b)=E(X)+b,

E(aX+b)=aE(X)+b.

8、设离散型随机变量X的分布列如表：

XX]X2Xn

pPlPlPn

我们称

D(X)=&-E(x))2p1+(0-E(x))22++g-E(x))2p.&-E(X))2R

Z=1

为随机变量X的方差，有时也记为如r(X),并称j£>(X)为随机变量X的标准差,记

为<T(X).

9、随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随

机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越

大，随机变量的取值越分散.

10、离散型随机变量X加上一个常数Zj,仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其

均值的离散程度，方差保持不变，即。(X+b)=D(X).而离散型随机变量X乘以一个

常数。，其方差变为原方差的1倍，即。(aX)=/D(X).一般地，可以证明

D(aX+b)=a2D(X)成立.

11、我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地

重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.显然，九重伯努利试验具有如下

共同特征：

(1)同一个伯努利试验重复做〃次，“重复”意味着各次试验成功的概率相同；

(2)各次试验的结果相互独立.

12、一般地，在九重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为(0<p<l),

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为尸(X=Z)=CpF-p)一,左=0,1,

2,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分

布，记作X〜5(n,p).

13、由二项式定理，容易得到

之p(x=k)生C：/(I-0…=[°+(1-如"=1.

k=0k=0

14、一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数〃，并判断各次试验的独立性;

(3)设X为九次独立重复试验中事件A发生的次数，则X〜5(九，p).

15、一般地，可以证明：如果X~3(〃，p),那么石(X)=〃p,D(X)=np(l—p).

16、一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取”件

(不放回)，用X表示抽取的九件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X=k)="N-M,k=m,m+1,m+2,…，r.

C'N

其中〃，N,MeN*,M<N,n<N,m—max{O,n-N+M},r=min{〃,Af}.如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

17、设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，

不放回地随机抽取〃件产品中的次品数.令夕=丝，则p是N件产品的次品率，而工

Nn

是抽取的九件产品的次品率，可以得到E(工)=p,即E(X)="p.

n

【针对性训练】

31.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用J表示,

那么4的取值为()

A.0,1B.1,2C.0,1,2D.0,1,2,3

32.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是()

A.

X-2024

P0.50.20.30

B.

X012

P0.70.150.15

C.

X123

Pj_2

~323

D.

X123

PIgllg2嗟

33.已知随机变量X的分布列为

X123

p256

131313

则E(X)的值为()

,25-27-30

A.——B.2C.——D.——

131313

34.已知某一随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=6.3,贝！I()

X4a9

P0.50.1b

A.a=7B.Z?=0.4C.E(aX)=44.1D.E(bX+a)=2.62

35.己知随机变量X的分布列如下表所示，则P(X=3)=.

X1234

P1]_J.1

6363

36.某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动.

(1)求选出的2人中，恰有1名男生，1名女生的概率；

(2)用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列.

37.设随机变量X服从，则尸(X=3)的值是()

35

A.B.—D.

16168

(多选)38.下列说法正确的是()

A.设X为九重伯努利试验中事件A发生的次数，则XT?(〃,p)

B.在“重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响

C.对于w重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同

D.如果在1次试验中某事件发生的概率是0,那么在“重伯努利试验中，这个事件恰好

发生4次的概率P(X=k)(1-P)〃F，笈=。，1，2,…，n

39.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球.设取出的

4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=旦B.随机变量X服从二项分布

21

C.随机变量X服从超几何分布D.召(X)=|

40.下列随机变量中，服从超几何分布的有()

A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，取到的次品数X

B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，所取的2台彩电中甲型彩电的台数X

C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，此学生遇到红灯的次数X

D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生的人数X

五.正态分布

【知识梳理】

1、除了离散型随机变量，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往

充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机

变量.

2、我们称=(XGR,其中〃eR,。>0为参数)为正态密度函

数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.显然对于任意的xeH,/(x)>0,

它的图象在x轴的上方.x轴和曲线之间的区域的面积为1.

3、若随机变量X的概率分布密度函数为/(x),则称随机变量X服从正态分布，记为

X〜N(〃，(r2).特别地，当〃=0,cr=l时，称随机变量X服从标准正态分布.

4、正态曲线的特点：

(1)曲线是单峰的，它关于直线尤=〃对称；

(2)曲线在x=处达到峰值

"2乃

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.

5、函数y=/(x-〃)的图像可由y=/(x)的图像平移得到.在参数b取固定值时，正

态曲线的位置由〃确定，且随着〃的变化而沿X轴平移.当〃取定值时，因为曲线的峰

值一4与。成反比，而且对任意的b>0,曲线与X轴围成的面积总为1.因此，当

（7,2乃

b较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当b较大时，峰

值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散.

6、若X〜N（〃，/）,则有E（X）=〃，D（X）=CT2.

7、假设X〜N（〃，cr2）,可以证明：对于给定的左eN*,P（〃一hrWX«〃+左cr）

是一个只与人有关的定值.特别地，

P（/j-（y<X<ju+（7）»0.6827,

P（//-2CT<X</j+2a）»0.9545,

P（〃-3crWXW〃+3cr）«0.9973.

由此看到，尽管正态变量的取值范围是（-8,+8）,但在一次试验中，X的取

值几乎总是落在区间［〃-3b,〃+3b］内，而在此区间以外取值的概率大约只有

0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布

（〃，/）的随机变量x只取［〃—3b,〃+3cr］中的值，这在统计学中称为3©原则.

【针对性训练】

41.设两个正态分布N3,of）。>0）和N3，畸依>0）的密度曲线如图所示，则有（

B.C.A>例，ai<a2D.4>〃2，ai>a2

42.已知随机变量X〜N(0.4,b；),F〜阳0.8,无)，其正态曲线如图所示，则下列说法错

A.P(X®.4)=P(Y0.8)

B.尸(XH))=P(y0)

c.x的取值比y的取值更集中于平均值

D.两支正态曲线与无轴之间的面积均为1

43.若随机变量X〜N(2,l),且尸(X>l)=0.8413,则P(X>3)等于()

A.0.1587B.0.3174C.0.3413D.0.6826

44.已知随机变量X〜N(2,cr2)如图所示，若P(X<a)=0.32，则

P(薇4—a)=.

45.下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有()

A.曲线在x轴上方，且与无轴不相交

B.当〃时，曲线下降，当〃时，曲线上升

C.当〃一定时，。越小，总体分布越分散，b越大，总体分布越集中

D.曲线关于直线x=〃对称，且当x=〃时，位于最高点

46.设随机变量X〜N(Lb?),且P(X”一1)=。，贝i」P(X..l)=

47.已知随机变量J服从正态分布N(202),且PC<4)=0.8,则尸(0<4<2)等于()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

48.设随机变量自服从正态分布N(4,3),若PC<a-5)=PC>a+l),则实数。=

49.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：加加)服从正态分布

X〜N(100,l).现加工10个螺栓的尺寸(单位：加利)如下：

101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.

X〜N(〃Q2)有P(〃-2b<X<〃+2b)=0.954,P(〃一3cr<X<〃+3b)=0.997.根据行

业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交于质检员检验，则质检

员认为设备需检修的概率为()

50.假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下包装出来的食盐质量服从正态分布N（500,

52）（单位：g）,该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于

515g•

（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515g的概率.

（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断

是否合理？请说明理由.

附：若X〜则P（〃一3通度//+3o-）~0.997.

2024年高考数学三轮冲刺之概率

参考答案与试题解析

一.随机事件与概率

1.已知集合4={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的

两个数作为点尸的坐标，则事件“点尸落在x轴上”包含的样本点共有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

【答案】C

【考点】计数原理的应用

【专题】应用题；整体思想；综合法；排列组合；逻辑推理

【分析】根据“点P落在x轴上“包含的样本点的特征，即可求解.

【解答】解：“点尸落在x轴上“包含的样本点的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因集

合A中有9个非零数.

故选：C.

【点评】本题考查了计数原理的应用，属于基础题.

2.已知集合A是集合3的真子集，下列关于非空集合A,3的四个命题，正确的是（

）

A.若任取xeA,则xe3是必然事件

B.若任取x任A,则xe3是不可能事件

C.若任取xeB,则xeA是随机事件

D.若任取xeB,则x走A是必然事件

【答案】ACD

【考点】随机事件

【专题】应用题；整体思想；综合法；概率与统计；直观想象

【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义判断即可.

【解答】解：集合A是集合3的真子集，.'A中的任意一个元素都是3中的元素，而3中

至少有一个元素不在A中，因此A正确，3错误，C正确，£＞正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了必然事件，随机事件和不可能事件的定义，属于基础题.

3.从1,2,3,4这4个数字中，不放回地取两次，每次取一个.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示A="取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍”.

【答案】(1)样本空间。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

(3,4)，(41),(4,2),(4,3)}；

(2)A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【考点】样本点与样本空间

【专题】整体思想；数学运算；综合法；概率与统计

【分析】(1)用(尤,y)表示取出的两个数，x,y=1,2,3,4,且xwy,从而写出试验的

样本空间；

(2)根据题意写出集合A即可.

【解答】解：(1)用(x,y)表示取出的两个数，x,y=l,2,3,4,且xwy,

所以样本空间。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),

(41)，(4,2),(4,3)}；

(2)因为两个数成2倍关系的有1和2,2和4,

所以A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)).

【点评】本题主要考查了样本空间和样本点的定义，属于基础题.

4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，向上面都是正面为事件拉，向上面至少有一枚是正面

为事件N,则有()

A.M三NB.M^NC.M=ND.M<N

【答案】A

【考点】随机事件；互斥事件与对立事件

【专题】概率与统计；数学运算；对应思想；分析法

【分析】根据事件的概念，判断即可.

【解答】解：因为向上一面都是正面的为事件向上一面至少有一枚是正面的为事件

N,

则事件M发生，事件N一定发生，故事件N包含事件即M=

故选：A.

【点评】本题考查了事件的概念，属于基础题.

5.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A="只订甲报”，B=“至少订一

种报纸”，C=”至多订一种报纸”，D="一种报纸也不订”.判断下列事件是不

是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.

(1)A与C；

(2)B与D；

(3)3与C；

(4)A与。.

【答案】(1)A与C不是互斥事件，也不是对立事件；

(2)3与。是互斥事件，也是对立事件；

(3)3与C不是互斥事件，也不是对立事件；

(4)A与。是互斥事件，但不是对立事件.

【考点】互斥事件与对立事件

【专题】概率与统计；综合法；整体思想

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念即可判断.

【解答】解：事件A为“只订甲报纸”，事件3为“至少订一种报纸”，包含为订甲报

纸，订乙报纸，订甲乙两种报纸，

事件C为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸，事件。为“一种报纸也不订”.

(1)A与C不是互斥事件，也不是对立事件；

(2)3与。是互斥事件，也是对立事件；

(3)3与C不是互斥事件，也不是对立事件；

(4)A与。是互斥事件，但不是对立事件.

【点评】本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题.

6.下列是古典概型的是()

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时

C.从甲地到乙地共九条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概

率

【答案】CD

【考点】古典概型及其概率计算公式

【专题】应用题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑推理

【分析】根据古典概型基本事件的有限性和发生的等可能性入手，A中基本事件的发生的

可能性不相等，不满足条件；3中基本事件的个数无限多，不满足条件；。中基本事件数

能确定，每种的可能性相等，进而可确定答案.

【解答】解：古典概型的基本事件是等可能事件，A中的点数之和出现的概率不相等，故

A不正确；

3中的基本事件数有无数多个，与古典概型的基本事件的总数应有有限个不相符，故3不

正确；

C符合古典概型的要求；故C正确；

。中基本事件数有C；种，每种出现的可能性相等，故。正确.

故选：CD.

【点评】本题主要考查古典概型的定义和性质.考查对基础知识的掌握程度.

7.从甲、乙、丙三人中任选2人作代表，则甲被选中的概率为()

112

A.-B.-C.-D.1

233

【答案】C

【考点】古典概型及其概率计算公式

【专题】概率与统计

【分析】根据排列组合知识求解甲被选中的个数，从甲、乙、丙三人中任选2人作代表的事

件个数，再运用公式求解.

【解答】解：从甲、乙、丙三人中任选2人作代表

，总的事件为C；=3,

甲被选中的个数为C；=2,

.•.甲被选中的概率为三，

3

故选：C.

【点评】本题考查了古典概率的求解，属于容易题.

8.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：

(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式

【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计

【分析】(1)先求出基本事件总数〃=C：=15,再求出所取的2道题都是甲类题包含的基本

事件个数根=C；=6,由此能求出所取的2道题都是甲类题的概率.

(2)所取的2道题不是同一类题包含的基本事件个数加=C；C；=8,由此能求出所取的2

道题不是同一类题的概率.

【解答】解：(1)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解

答，

基本事件总数w=C；=15,

所取的2道题都是甲类题包含的基本事件个数==6,

所取的2道题都是甲类题的概率0='=色=2.

n155

(2)所取的2道题不是同一类题包含的基本事件个数m'==8,

所取的2道题不是同一类题的概率弘.

n15

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.

9.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为工，从中取出2粒

7

都是白子的概率是£.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()

A.-B.—C.—D.1

73535

【考点】CB-.古典概型及其概率计算公式

【专题】11：计算题；35：转化思想；5/：概率与统计；65：数学运算

【分析】设事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是白子”，事件C

表示“取出2粒都是白子"，则。=虱8,又A,8互斥，根据互斥事件的概率加法公式

P(C)=P(A[B)=P(A)+P(B),

【解答】解：依题意，设事件A表示“取出2粒都是黑子”，事件3表示“取出2粒都是

白子”，事件C表示“取出2粒都是白子”，

则。=418，又A，3互斥，

1io17

根据互斥事件的概率加法公式P(C)=P(AlB)=P(A)+P(B)

73535

故选：B.

【点评】本题考查了事件的关系，互斥事件的概率加法，属于基础题.

10.袋中有除颜色外其他完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出2

个球，求下列事件的概率：

(1)A=”取出的2个球都是白球”；

(2)B="取