八年级数学下册 第18章 平行四边形（教师版）

2023-2024学年人教版数学八年级下册章节知识讲练1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3.掌握三角形中位线定理.知识点01：平行四边形【高频考点精讲】1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.【易错点剖析】平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点02：矩形【高频考点精讲】1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.【易错点剖析】由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点03：菱形【高频考点精讲】1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点04：正方形【高频考点精讲】1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.54一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•楚雄州期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，AB＝8，则DF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵D，E分别是AB，AC的中点，AB＝8，∴DE是△ABC的中位线，BD＝4，∴DE∥BC，∴∠FBC＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD，∴∠FBD＝∠BFD，∴DF＝BD＝4，故选：C．2．（2分）（2023秋•渝中区校级期末）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（）A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α解：连接AC，EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF＝α．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵∠AFC＝∠FAD+∠D，∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，∴∠CEF＝α，不能证出∠AFD＝90°﹣α，故选：D．3．（2分）（2023秋•昌图县期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC＝2EF＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，故选：A．4．（2分）（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．5．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（）A． B． C．a2 D．解：过A作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝a，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AH＝AB＝a，∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝a2．故选：B．6．（2分）（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A． B． C． D．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．7．（2分）（2023秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（）A．30 B．25 C．20 D．15解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝5，AE＝CF，∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，∵▱ABCD的周长为30，∴2AB+2CB＝30，∴AB+CB＝15，∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，∴四边形ABFE的周长是25，故选：B．8．（2分）（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．9．（2分）（2023秋•高青县期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．10．（2分）（2023春•镇江期中）数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（）A．3 B． C． D．4解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理可得：∴，∵四边形OABC为矩形，∴OB＝AC，∴．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•崂山区期末）如图，在长方形ABCD中放入八个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则长方形ABCD的面积为352cm2．解：设小长方形的长为x，宽为y，则：，解得，∴长方形ABCD的长为22cm，宽为16cm，∴长方形ABCD的面积为22×16＝352（cm2），故答案为：352．12．（2分）（2023秋•建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为（，1+）．解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴点C的坐标为：（，1+）．故答案为：（，1+）．13．（2分）（2023秋•绥化期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是（3，4），点C的坐标是（8，4）．解：过A、C作AE⊥x轴，CF⊥x轴，∵点A的坐标是（3，4），∴AO＝5，∵四边形AOBC是菱形，∴AO＝AC＝BO＝BC＝5，AO∥BC，∴∠AOB＝∠CBF，∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，在△AOE和△CBF中，∴△AOE≌△CBF（AAS），∴EO＝BF＝3，∵BO＝5，∴FO＝8，∴C（8，4）．故答案为：（8，4）．14．（2分）（2023秋•锦江区校级期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4cm．解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4．故答案为：4．15．（2分）（2023秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．16．（2分）（2023秋•同安区期末）边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，没有阴影部分的面积为S2，则＝．解：根据图形可知：没有阴影部分的面积为S2＝•3a•（3a+2a）＝a2，阴影部分的面积为S1＝3a•3a+2a•2a﹣S2＝13a2﹣a2＝a2，∴＝＝．故答案为：．17．（2分）（2023秋•东河区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．18．（2分）（2023秋•临淄区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，4），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝6，则点C的坐标为（12，8）．解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，如图所示：∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，∴MF＝（AO+EC），∵MF⊥OE，∴MO＝ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB＝CE，AO＝BE．∴MF＝（BE+OB），又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE＝＝12，∵A（0，4），∴OA＝4，∴BE＝4，∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．∴C（12，8）．故答案为：（12，8）．19．（2分）（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是3+．解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，故答案为：3+．20．（2分）（2023秋•伊金霍洛旗期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为2或7．解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023秋•余江区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F分别是OC，BC的中点．若EF＝5cm，求AC的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵点E、F分别是OC、BC的中点，∴EF是△COB的中位线，∴，∴OB＝10cm，∴AC＝2OB＝20（cm）．22．（6分）（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG＝OB＝．23．（8分）（2023秋•河口区期末）如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD．∴∠EBO＝∠FDO．又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴OE＝OF；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，又AD＝1，∴AD2+OD2＝OA2．∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．∴∠α＝90°﹣45°＝45．②由（1）可得：EF垂直平分AC，∴AF＝FC，又AB＝＝＝CD，∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．24．（8分）（2023秋•巨野县期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．25．（8分）（2023秋•武侯区期末）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点E，使得，连接AC，AE，AE交CD于点F．（1）试探究△ACE的形状；（2）求∠AFD的度数．解：（1）△ACE是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠B＝∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴AD：AC＝1：，∵，∴CA＝CE，∴△ACE是等腰三角形；（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠CAE+∠E＝∠ACB，∴∠E+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵∠FCE＝∠BCD＝90°，∴∠AFD＝∠EFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．26．（8分）（2023秋•高青县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，在△BOE与△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，∴EN＝CN＝2，∴DN＝＝＝4，∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，∴∠DBC＝∠BDN＝45°，∴DN＝BN＝4，∴BE＝BN﹣EN＝4，②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，∴∠EDN＝∠ECG，∵DE＝DC，DN⊥EC，∴∠EDN＝∠CDN，∴∠ECG＝∠CDN，∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，∴∠CDB＝∠DHC，∴CD＝CH．27．（8分）（2023秋•定边县期末）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．（1）求证：△DAE≌△ABF；（2）若△DEF的面积为，求AF的长；（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．（1）证明