2024年中考数学一轮复习考点16 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）（解析版）7

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a）的面积：。6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。4）直角三角形的面积公式：(其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。【易错点归纳】1.等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论。2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解。【核心考点】核心考点1.等腰（等边）三角形的性质与判定例1：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．【详解】解：等腰三角形有一个内角为，∴这个等腰三角形的底角是，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形定义，三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．变式1.（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是度．

【答案】65【分析】据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：，∴，∵，∴．故答案为：65．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．变式2.（2023·青海西宁·统考中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是．【答案】或【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．【详解】解：∵，，∴．∵为直角三角形，∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；②当时，如图2，综上可知的度数是或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．例2：（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则．

【答案】4【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，∴，在中，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.变式1.（2023·陕西西安·校考模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等区域．现有一个“钟螺”小摆件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中，摆件的高度为．现要在上选取一个位置P安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点A作于点H，过点C作于点M，由题意可知，，，,由勾股定理得到，则，由得到，得到，根据垂线段最短，则的最小值即为的长，即的最小值为．【详解】解：过点A作于点H，过点C作于点M，

由题意可知，，，，∴，∴，∴，即，解得，∴，根据垂线段最短，则的最小值即为的长，即的最小值为．故选：B【点睛】此题考查了等腰三角形判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．变式2.（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．例3：（2023·浙江杭州·统考二模）如图，分别以A、B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M、N，连接交于点D，下列说法一定正确的是（）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形C．是等腰三角形 D．是等腰三角形【答案】C【分析】根据作图可知：点在线段的中垂线上，进而得到，即可得出结论．【详解】解：由题意，得：点在线段的中垂线上，∴，∴是等腰三角形；故选项C一定正确，故选C．【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．变式1.（2023·广东湛江·三模）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点．则的周长为(

)A．9 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义与平行线的性质可得，得出，同理可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解．【详解】解：是的平分线，，，，同理可得，的周长即为．故选：C．变式2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4：（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．【详解】证明：为等边的中线，，

，，【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．变式1.（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．变式2．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．【详解】解：如图，，，∴=====，∴，设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，则，，∴，∴，∵△ABC是等边三角形，∴，，∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故选B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．例5：（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动s．

【答案】1【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，

∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．变式1．（2024·上海普陀·统考一模）已知点P为等边三角形的重心，D为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么．【答案】【分析】本题主要考查了重心的概念，等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．延长交于点，根据重心的概念得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出即可得到答案．【详解】解：延长交于点，等边，，D为一边上的中点，，，点P为等边三角形的重心，．故答案为：．变式2.（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（）

A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错【答案】A【分析】根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到①正确；根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到②正确．【详解】解：在等边中，，在与中，，，，，，，，，故①正确；是等边三角形，，，，，，如图，过作交于，

，，，，，，故②正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．例6：（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点在内部，逆时针旋转得到，请添加一个条件：．使得是等边三角形．【答案】或或或者【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，全等三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论．【详解】解：逆时针旋转得到，则，，若添加条件：或者，则是等边三角形；若添加条件：，则是等边三角形；若添加条件：，，，，，是等边三角形；故答案为：或或或者．变式1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】（答案不唯一）【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加，理由如下：为等腰三角形，，为等边三角形，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．变式2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴为等边三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．例7：（2024·福建福州·校考一模）如图，是等边三角形内的一点，且．

(1)尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转后得到（不要求写作法，但需保留作图痕迹）；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于一点，即为点，连接，即可；（2）根据旋转得出，，，证明为等边三角形，证明为直角三角形，得出，即可求出结果．【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转后所得到的，如图所示：

（2）解：如图，连接，∵绕点A逆时针旋转后所得到的，∴，，，∴为等边三角形，∴，，在中，，∴为直角三角形，且，∴．【点睛】本题主要考查了旋转作图，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质．变式1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为.

【答案】【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：在中，∵，，，∴，由旋转的性质得，，，∴是等边三角形，∴，∴点的运动路径的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【答案】(1)见详解；(2)0.5a．【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．(1)如下图所示，过点M作MQCN，∵为等边三角形，MQCN，∴，则AM=AQ，且∠A=60°，∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

则MP=NP；(2)∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，则PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．核心考点2.垂直平分线的性质与判定例8：（2023·广东清远·统考二模）如图，在中，．(1)请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）作的垂直平分线交于点E即可；（2）结合（1）利用三角形的外角定义即可解决问题．【详解】（1）如图，点E即为所求；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．变式1．（2023·河北·模拟预测）在中，是钝角，则该三角形三边垂直平分线的交点可能在下图中的（

）

A．M点 B．N点 C．O点 D．P点【答案】A【分析】作出其中两条边的垂直平分线即可判断．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线交于一点，∴作出其中两条边的垂直平分线即可即可判断交点位置，如图，故选：A．

【点睛】本题考查线段的垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的作法是解决问题的关键．变式2．（2023·广东佛山·统考二模）阅读以下尺规作图的步骤：（1）作射线，在射线上截取；（2）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；（3）作直线交于点；（4）在直线上截取；（5）连接，。则可以说明的依据是（

）

A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等C．等腰三角形的“三线合一”D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【分析】根据尺规作图的步骤可得直线垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得．【详解】解：由尺规作图的步骤可知，直线垂直平分，则（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．例9：（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可．【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线，，，，故选：C．【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．变式1．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则．

【答案】/10度【分析】由，，求得，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．【详解】解：∵，，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线性质是解题的关键．变式2．（2023·广东·统考二模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，连接，交于点，以点为圆心，的长为半径作的弧恰好经过点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，若，则（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】连接，由题意得，直线是线段的垂直平分线，，

，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，正确的理解题意是解题的关键．例10：（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．变式1．（2023·天津·统考中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（

）

A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，∵∴，∵，∴，∴三点在以为圆心直径的圆上，∴，∵，∴∴．故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．变式2．（2023·青海·统考中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是.

【答案】13【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解．【详解】解：是的垂直平分线．，，的周长，故答案为：13．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．核心考点3.勾股定理与逆定理及其应用例11：（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．【答案】8【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，∴，解得：或（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．变式1.（2023·江苏南通·统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则（用含的式子表示）．【答案】【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，为直角边，为斜边，，，得到，，，是大于1的奇数，．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键．变式2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为．（杯壁厚度不计）

【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，∵底面周长为，，，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．变式3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：）．

【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，在中，，即∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于长，即最小时为，解得：（舍），，∴图中的x至少为，故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．例12：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，，即，解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．变式1.（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．【详解】解：∵正方形的边长为4，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，故选：A．变式2．（2023·浙江温州·校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、M共线，可得结论：正方形CEFG与的面积相等．若正方形CEFG与的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（

）A．270 B．300 C．320 D．350【答案】B【分析】如图，过作交DC的延长线与K，交NF的延长线与J，证明可得同理：可得证明再结合勾股定理可得：，从而可得答案．【详解】解：如图，过作交DC的延长线与K，交NF的延长线与J，∵正方形ABCD，HMNF，同理：正方形CEFG与的面积相等，正方形CEFG与的面积之和为120，正方形CEFG为60，由勾股定理可得：故选B【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．例13：（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．【答案】或【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴,在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：，，∴．故答案为：或．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．变式1.（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．【详解】解：如图所示，过点B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周长，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．变式2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是．

【答案】/【分析】过H作于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解．【详解】解：设，

过H作于Q，在矩形中，，∴，由作图得：平分，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，有，即：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．变式3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为．【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．例14：（2023·广东广州·统考中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）证明是等腰直角三角形即可.【详解】（1）解：（2）证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，，为等腰直角三角形，∵，∴为等腰直角三角形，，故【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．变式1.（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理及其逆定理的应用；根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根据题意可得这条剪痕可能是或边的中线．分别根据中线的性质以及勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图，中，，，，，是直角三角形，且．过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，与不全等，这条剪痕可能是或边的中线．如果这条剪痕是边的中线，那么，，，；如果这条剪痕是边的中线，那么，，，；这条剪痕的长可能为．故选：C．核心考点4.直角三角形的性质及计算例15：（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则度．

【答案】//．【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，，故答案为：．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．变式1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，，，，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．变式2.（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，．

【答案】【分析】根据公式求得，根据，即可求解．【详解】解：∵，，∴∴,故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．例16：（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．

(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹