2024年中考数学一轮复习考点11 反比例函数（精讲）（解析版）39

考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。2.求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．5：反比例函数的实际应用（☆☆）解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．【易错点归纳】1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。【核心考点】核心考点1.反比例函数的定义例1：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（

）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】C【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断．【详解】由杠杆平衡条件：，∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．故选：C【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．变式1.（2023·福建·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．【详解】解：A.，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

B.，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；

C.，是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意；

D.，是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．变式2.（2023上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是．【答案】【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：()或或的函数是反比例函数．【详解】解：由题意得：，且，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．()或或的函数是反比例函数．例2：（2023年重庆市中考数学真题）反比例函数的图象一定经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意；项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；项将x=−2代入反比例函数得到，故项符合题意；项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；故选．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．变式1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为．【答案】4【分析】将代入中计算即可；【详解】解：∵，∴故答案为：4．【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．变式2.（2023·陕西榆林·统考二模）若点在反比例函数的图像上，则代数式．【答案】【分析】由点A在反比例函数图像上，可以求出的值，然后再代入计算即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，理解点在反比例函数图像上可以得出点的横纵坐标之积为定值是解答本题的关键．核心考点2.反比例函数的图象与性质例3：4．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；故选：A．【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．变式1．（2023·福建三明·统考一模）反比例函数的图像如图所示，则的值可以是下列中的（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据反比例函图像经过第二、四象限，此时，即可得出答案．【详解】解：由图像可知，反比例函图像经过第二、四象限，，，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握知反比例函数图像所在的象限与k的关系是解题的关键．变式2.（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据一次函数和反比例函数图象的性质进行判断即可．【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，∴两个函数图象必有交点，交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有选项C，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．例4：（2023·广东广州·校考一模）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质．根据反比例函数的图象位于二、四象限，则，解不等式即可得到a的取值范围．【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，，．故选：C．变式1．（2023·福建莆田·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是．（写出一个k的值即可）【答案】2【分析】根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案．【详解】解∶∵反比例函数的图象在第一、三象限内．∴．故答案为∶2(答案不唯一，大于0即可)．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质∶当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．变式2.（2023·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用反比例函数增减性得出的取值范围即可．【详解】解：根据题意，反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则有，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．例5：（2023年湖北省武汉市数学真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（

）A．图像位于第二、四象限B．图像与坐标轴有公共点C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小D．图像经过点，则【答案】C【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；B．的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；C．的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；D．由的图像经过点，则，计算得或，故不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．变式1.（2023·广东深圳·校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（

）A．当时，y随x的增大而增大B．当时，y随x的增大而增大C．当时，若x越大，则对应的y值也越大D．若、是其图象上两点，则不一定有【答案】C【分析】根据函数关系式画出函数图象，根据函数图象，逐项判断即可．【详解】解：函数的图象如图所示：

A、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；B、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；C、由图示知，在同一象限内，当时，若x越大，则对应的y值也越大．若不在同一象限内则时，，时，，故本选项结论错误，符合题意；D、由图示知，若，，则．故本选项结论正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．变式2．（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（）A．图象位于第一、三象限B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点【答案】C【分析】根据反比例函数的图象性质进行逐项分析即可作答．【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，当，反比例函数经过第一、三象限；当，反比例函数经过第二、四象限；难度较小．例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，，点，在第二象限，，，函数图象在第二象限内为增函数，，．，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．变式1．（2023年天津市中考数学真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．【详解】解：，，∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．变式2．（2023年湖北省中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．【详解】解：∵当时，有，∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题关键．例7：（2023·江苏盐城·统考二模）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；（2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可；（3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可．【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，把代入得：；

（2）解：当时，；当时，，根据图象得：当时，y的取值范围为；（3）解：当时，；当时，，根据题意得：当且时，x的取值范围为或．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．变式1.（2022·陕西·中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．【答案】y=【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，∴A′(2，m)，∵点A′在正比例函数的图象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A(−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y=，∵A(−2，1)在这个反比例函数的图象上，∴k=-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．核心考点3.反比例函数系数k的几何意义例8：（2023年湖南中考模拟）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，∴，∴四边形的面积等于；故选B．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．变式1．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．【详解】解：轴于点M，轴于直N，，四边形是矩形，四边形的面积为2，，反比例函数在第一、三象限，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．变式2．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）

A． B． C． D．3【答案】A【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，∴．∴．∴．∵点在第二象限，∴．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．例9：（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为；若的面积为，则．

【答案】2【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．【详解】解：∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：（舍），，∵，∴，即，∴，故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．变式1.（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．

【答案】【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．【详解】当时，的纵坐标为8，当时，的纵坐标为4，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，…则；；；；…；，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．变式2.（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（

）

A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】根据点A在反比例函数图象上，设，根据位似比为1∶2得，设过点B的反比例函数解析式为：，计算得，可得过点B的反比例函数解析式为：，根据反比例函数中k的几何意义，可得的面积，再算出的面积即可得．【详解】解：∵点A在反比例函数图象上，∴设，∵以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1∶2，∴，设过点B的反比例函数解析式为：，则，∴过点B的反比例函数解析式为：，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．核心考点4.反比例函数与一次函数综合例10：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．【详解】解：∵把，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，∴不等式的解集是：，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．变式1．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象过点∴∴设直线的解析式为，∴，解得：,∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴，设，∵，解得：或，∴的坐标为或，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是．【答案】或【分析】先利用对称性求出点B的坐标为，再利用函数图象法进行求解即可．【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，∴由对称性可知，点B的坐标为，由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，即此时，∴若，则的取值范围是或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的下方时自变量的取值范围是解题的关键．变式3．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（

）

A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；B、当时，，则此项正确，符合题意；C、当时，，则此项错误，不符合题意；D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．例11：（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．(1)求k、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．【答案】(1)k的值为16，b的值为；(2)的面积为6(3)点P的坐标为【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值；（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出，，即可得到的面积；（3）作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标．【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，解得：；点A的坐标为，点D的坐标为，，四边形是菱形，，，轴，，将代入，得：，解得：，的值为16，b的值为；（2）解：由（1）知，直线解析式为，令，则，令，则，解得：，，，，点A的坐标为，，，，，；的面积为6；（3）解：如图，作关于x轴的的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，，，，、关于轴对称，，，当P、、C构成三角形时，，即，当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，令，则，解得：，，取得最大值时，点P的坐标为．【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．变式1．（2023·广东广州·校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．

(1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点和代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得值．【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点，∴，，解得，，∴，，∵，在一次函数（）的图像上，∴，解得，所以，一次函数的表达式是；（2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得，联立，消去y可得，整理可得，因为只有一个交点，所以，解得，所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键．变式2．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）根据正方形的性质求出点C坐标，然后利用待定系数法分别求出反比例函数与一次函数的解析式即可；（2）联立两函数解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象可得答案；（3）设P点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积列方程求出x，然后可得对应的P点坐标．【详解】（1）解：∵正方形，，，∴，∴，把代入得：，∴，∴反比例函数解析式为；把，代入一次函数得：，解得，∴一次函数解析式为；（2）联立，解得：或，∴，，由函数图象可得，的解集是：或；（3）设P点的坐标为，∵，∴，解得：，当时，；当时，；∴P点的坐标为或．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积计算等知识．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键．核心考点5.反比例函数的实际应用例12：（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（

）A．月份的利润为万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元C．月份该厂利润达到万元D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元【答案】D【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，反比例函数的解析式为：，∵当时，，月份的利润为万元，正确，不合题意；B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；C、设一次函数解析式为：，则，解得：，故一次函数解析式为：，当时，，解得：，∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．D、当时，，解得：，∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．变式1．（2023·河北保定·统考一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（

）A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为【答案】C【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．【详解】解：∵，∴玻璃加热速度为，故A选项不合题意；由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，，∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，故B选项不合题意；∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，由题可得，在正比例函数图象上，代入点可得，，∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，∴将代入，得，∴将代入，得，∴，∴能够对玻璃进行加工时长为，故C选项符合题意；将代入得，，∴，∴玻璃从降至室温需要的时间为，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．变式2．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻（调控电阻和湿敏电阻R的阻值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于