2022-2023学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA→=(4，3)，sB→A．10 B．102 C．10103．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则（）A．x=5，s2＞2 B．x=5，s2＜2 C．x＞5，s2＜2 D．x＞54．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”（）A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P（A）＝P（B）5．（5分）四棱台ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均为正方形，若EF＝2AB＝8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32A．224 B．448 C．2243 6．（5分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，O为线段AD的中点，连接CO并延长交AB于点E，设AB→=a→，A．14a→-34b→ 7．（5分）在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A，3AD＝4BD，则cosA等于（）A．0 B．12 C．23 8．（5分）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．11π8 B．11π6 C．11π4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z1为z1A．z1+B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 C．|zD．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D．甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18（多选）11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A．a＝bcosC+ccosB B．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形 C．若(AB→|AB→|D．若a=23，b=4（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A．直线A1G，EF是异面直线 B．平面DMC1截正方体所得截面的面积为122C．三棱锥A﹣MC1D1的体积为163D．三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为．14．（5分）某种饮料每箱装6听，其中有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为．15．（5分）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．则CA1的长为km（参考数据：tan26.6°≈16．（5分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为；②设AD→=λAB→+μAC→，则λ四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虚数单位，a∈R．（1）若z1•z2为纯虚数，求a的值；（2）若z12+2z118．（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间[0.2，0.8]内，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本中消费金额的中位数（中位数精确到0.01）；（2）求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）．19．（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果a+b＞5，算甲赢，否则算乙赢．（1）求a+b＝5的概率；（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由．20．（12分）已知向量a→=(1，1)，（1）求向量b→和a（2）设向量x→=a→+(t2-3)b21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BD⊥PA，BC＝2，AC＝1．（1）求证：AC⊥平面PBC；（2）在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为π3，若存在，求出CF22．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2（1）若C=π4，求A，（2）若△ABC为锐角三角形，求ab

2022-2023学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z（1﹣i）＝（1+i）2，则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为z（1﹣i）＝（1+i）2，所以z=(1+i)故在复平面内复数z对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．2．（5分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA→=(4，3)，sB→A．10 B．102 C．1010【解答】解：设sB→与sA则cosθ=s所以sB→在sA所以sB→在sA故选：D．3．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则（）A．x=5，s2＞2 B．x=5，s2＜2 C．x＞5，s2＜2 D．x＞5【解答】解：∵某8个数据的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，∴x=8×5+59故选：B．4．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”（）A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P（A）＝P（B）【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件A，事件B都含有“（正，反）“这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；由古典概型知，P(A)=24=12，P(B)=24=12故选：D．5．（5分）四棱台ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均为正方形，若EF＝2AB＝8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32A．224 B．448 C．2243 【解答】解：四棱台ABCD﹣EFGH中，其上、下底面均为正方形，EF＝2AB＝8，连接HF，EG交于点O1，连接AC，DB交于点O2，连接O1O2，过C作CQ∥O1O2，如图，．∵“刍童”ABCD﹣EFGH上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，∴O1O2⊥底面EFGH，又CQ∥O1O2，∴CQ⊥底面EFGH，∴∠CGQ是“刍童”ABCD﹣EFGH其中一条侧棱与底面所成角的平面角，∵四棱台ABCD﹣EFGH中每条侧棱与底面所成角的正切值均为32∴tan∠CGQ=32∵EF＝2AB＝8，∴EG=82由题意知四边形ACGE是等腰梯形，则QG=1∴在Rt△CQG中，tan∠CGQ=CQQG=3∴“刍童”ABCD﹣EFGH的高为12，则该刍童的体积为V=12×[(2×4+8)×4+(2×8+4)×8]故选：B．6．（5分）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，O为线段AD的中点，连接CO并延长交AB于点E，设AB→=a→，A．14a→-34b→ 【解答】解：设AE→=λAB又CO→设CE→=μCO故λ=μ4-1=-故CE→故选：C．7．（5分）在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A，3AD＝4BD，则cosA等于（）A．0 B．12 C．23 【解答】解：因为CD为角C的平分线，所以ADBD因为3AD＝4BD，所以ACBC所以不妨设AC＝4x，BC＝3x，因为在△ABC中，ACsinB=BCsinA，所以ACsin2A因为在△ABC中，sinA≠0，x≠0，所以4x2sinAcosA所以cosA=2故选：C．8．（5分）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．11π8 B．11π6 C．11π4【解答】解：如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O1，因为四边形ABCD为矩形，所以O1为矩形ABCD外接圆的圆心．连接OO1，则OO1⊥平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OO1交EF于点M．连接PQ，则PQ∥AB，且O1为PQ的中点，因为EF∥AB，所以PQ∥EF，连接EP，FQ，在△ADE与△BCF中，易知EP=FQ=1所以梯形EFQP为等腰梯形，所以MO1⊥PQ，且MO设OO1＝m，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段O1M上时，由球的性质可知R2＝OE2＝OA2，易得O1则(2当O在线段MO1的延长线上时，由球的性质可知，(5解得m=2所以R2所以球O的表面积S=4πR故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z1为z1A．z1+B．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 C．|zD．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2【解答】解：选项A：设z1＝x+yi（x，y∈R），z1=x-yi，∴z1选项B：设z1＝3+4i，z2＝5，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故B错误；选项C：设z1＝x+yi，z2＝a+bi（x，y，a，b∈R），则z2z1=(a+bi)(x-yi)=(ax+by)+(bx-ay)i，|z2z1|=(ax+by)2+(bx-ay)2=(x2+y2)(a2+所以|z2z选项D：若|z1|＝1，设z1＝cosθ+isinθ，则z1+1﹣i＝（cosθ+1）+（sinθ﹣1）i，则|z所以当cos(θ+π4)=-1时，|z1+1﹣i|取最小值故选：ACD．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D．甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18【解答】解：对于A，个体m被抽到的概率为550=0.1，所以选项对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是3，众数等于中位数，选项B错误；对于C，数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为：12，14，14，17，19，23，27，30，由于8×70%＝5.6，其中第6个数为23，所以选项C错误；对于D，根据分层抽样原理知，抽取的甲个体数为9时，样本容量为9÷33+1+2=故选：AD．（多选）11．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A．a＝bcosC+ccosB B．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形 C．若(AB→|AB→|D．若a=23，b=4【解答】解：对于选项A，由正弦定理得bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，故选项A正确．对于选项B，在△ABC中，由sin2A＝sin2B，解得2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B=π所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选项B错误．对于选项C，因为(AB→|所以∠A的角平分线与BC垂直，所以AB＝AC，所以∠B＝∠C．又因为AB→|AB因为0＜A＜π，所以∠A=π所以∠B=∠C=∠A=π所以△ABC为等边三角形，故选项C正确．对于选项D，要使满足条件的三角形有且只有两个，则bsinA＜a＜b，因为a=23所以4sinA＜2即sinA＜所以0＜A＜π故选项D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A．直线A1G，EF是异面直线 B．平面DMC1截正方体所得截面的面积为122C．三棱锥A﹣MC1D1的体积为163D．三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为32【解答】解：对于A，如图，取B1C1的中点P，连接PE，取PE的中点Q，连接A1Q，则A1F∥EQ，A1F＝EQ，所以四边形A1FEQ是平行四边形，所以EF∥A1Q，又因A1G∩A1Q＝A1，所以直线A1G，EF是异面直线，故A正确；对于B，如图，延长C1M，CB交于点H，连接HD交AB点N，连接MN，AB1，因为BB1∥CC1，M为BB1的中点，则BM=1所以B为HC的中点，因为AB∥CD，所以N为AB的中点，则MN∥AB1，因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，所以AB1C1D为平行四边形，所以AB1∥DC1，所以MN∥DC1，则平面DMC1截正方体所得截面为等腰梯形MNDC1，在等腰梯形MNDC1中，DC则梯形的高为20-2=3所以等腰梯形MNDC1的面积为(42+22对于C，连接BC1，B1C，则BC1⊥B1C，因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，又因为M为BB1的中点，所以三棱锥M﹣AC1D1的高为14S△A所以VA-MC1三棱锥A1﹣BDC1为正四面体，且棱长为42，每个侧面的面积为12×（42）2×3三棱锥A1﹣BDC1的体积为43﹣4×13×1设三棱锥A1﹣BDC1的内切球的半径为r，则4×13×83×r=所以三棱锥A1﹣BDC1的内切球的体积为43πr3=323故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为216π．【解答】解：设圆锥的底面周长为c，母线长为l，则c＝2π×6＝12π，因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，所以π3=c则圆锥的侧面积为12故答案为：216π．14．（5分）某种饮料每箱装6听，其中有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为13【解答】解：从6听饮料中随机抽取2听的基本事件总数为n＝C6检测出不合格品的基本事件个数为m＝C51•C所以检测出不合格品的概率为P=m故答案为：1315．（5分）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1＝7km，∠B1A1C＝120°．则CA1的长为10km（参考数据：tan26.6°≈【解答】解：如图：设A1C＝xkm，过点B作AA1的垂线，垂足为D，由题意得∠BCB1＝26.6°，∠ACA1＝45°，∠ABD＝26.6°，则AA1＝x，∵AA1⊥平面A1B1C，BB1⊥平面A1B1C，∴AA1∥BB1，又A1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AA1⊥A1C，AA1⊥A1B1，因为AA1⊥BD，∵BD∥A1B1，∴四边形A1B1BD为平行四边形，∴A1D＝BB1＝7，∴AD＝AA1﹣A1D＝x﹣7，在Rt△ABD中BD=AD∴B1A1＝BD＝2（x﹣7），∵BB1⊥平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，∴BB1⊥B1C，∴B1在△A1B1C中，∠B1A1C＝120°，由余弦定理得cos120°=A化简得x2﹣10x＝0，∴x＝10或x＝0（舍去）．∴CA1的长为10km．故答案为：10．16．（5分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为17；②设AD→=λAB→+μAC→，则λ+【解答】解：①设BC＝a，CE＝m，则BE＝2m，在△BCE中，由余弦定理得a2＝m2+（2m）2﹣2•m•（2m）•cos120°＝（1+4+2）m2＝7m2，∴a=7m∴△DEF与△ABC的面积比为S△DEF②AD→AD→∴AD→∴λ+μ=4故答案为：①17；②6四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝a+i，z2＝1﹣ai，其中i是虚数单位，a∈R．（1）若z1•z2为纯虚数，求a的值；（2）若z12+2z1【解答】解：（1）由复数z1＝a+i，z2＝1﹣ai，则z1•z2＝（a+i）•（1﹣ai）＝a﹣a2i+i﹣ai2＝2a+（1﹣a2）i．∵z1•z2为纯虚数，∴2a＝0且1﹣a2≠0．则a＝0；（2）由z12+2得（a+i）2+2（a+i）+2＝0，a2+2a+1+（2a+2）i＝0，解得(a+1)2=0此时z1＝﹣1+i，z2＝1+i，复数z1z∴复数z118．（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查．经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间[0.2，0.8]内，按[0.2，0.3]，（0.3，0.4]，（0.4，0.5]，（0.5，0.6]，（0.6，0.7]，（0.7，0.8]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本中消费金额的中位数（中位数精确到0.01）；（2）求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）．【解答】解：2×a×0.1+2×0.1+3×0.1+1.8×0.1+0.6×0.1＝1，（1）由题可知，即0.2a＝0.26，所以a＝1.3．求中位数即求该频率分布直方图的50百分位数，即估计样本中消费金额的中位数为0.4+0.5-(0.13+0.2)（2）由频率分布直方图可得，x=0.25×0.13+0.35×0.2+0.45×0.3+0.55×0.18+0.65×0.13+0.75×0.06=0.466因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元．19．（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果a+b＞5，算甲赢，否则算乙赢．（1）求a+b＝5的概率；（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，其中a+b＝5的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得P(a+b=5)=（2）这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，由古典概型的概率计算公式可得P(A)=1525=∵P（A）＞P（B），故这种游戏规则不公平．20．（12分）已知向量a→=(1，1)，（1）求向量b→和a（2）设向量x→=a→+(t2-3)b【解答】解：（1）∵向量a→=(1，1)，∴a→+b→=∴|a→+设向量b→和a→+cosθ