新人教A版高中数学必修一第二章 基本初等函数(I)学案

【三维设计】2015高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修12.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算第一课时根式根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．[化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n>1，且n∈N*.(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为eq\r(n,a)(a∈R)；当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－eq\r(n,a)，从而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(n,a)))n＝a.根式的性质[提出问题]问题1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,－2)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,2)))4分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：eq\r(3,－23)，eq\r(3,23)，eq\r(4,－24)，eq\r(4,24)分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式eq\r(a2)＝a及(eq\r(a))2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时，两式恒成立；当a<0时，eq\r(a2)＝－a，(eq\r(a))2无意义．[导入新知]根式的性质(1)(eq\r(n,a))n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n>1)．(2)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an为奇数，且n>1，,|a|n为偶数，且n>1.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)负数没有偶次方根．[化解疑难](eq\r(n,a))n与eq\r(n,an)的区别(1)当n为奇数，且a∈R时，有eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a；(2)当n为偶数，且a≥0时，有eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.根式的概念[例1](1)下列说法：①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq\r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若eq\r(3,\f(1,a－3))有意义，则实数a的取值范围是________．[解析](1)①16的4次方根应是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正确的应为③④.(2)要使eq\r(3,\f(1,a－3))有意义，则a－3≠0，即a≠3.∴a的取值范围是{a|a≠3}．[答案](1)③④(2){a|a≠3}[类题通法]判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．[活学活用]已知m10＝2，则m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)解析：选D∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±eq\r(10,2).利用根式的性质化简求值[例2]化简：(1)eq\r(n,x－πn)(x<π，n∈N*)；(2)eq\r(4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).[解](1)∵x<π，∴x－π<0，当n为偶数时，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，eq\r(n,x－πn)＝x－π.综上，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))(2)∵a≤eq\f(1,2)，∴1－2a≥0.∴eq\r(4a2－4a＋1)＝eq\r(2a－12)＝|2a－1|＝1－2a.[类题通法]根式化简应注意的问题(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，据n的奇偶性不同可知a的取值范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．[活学活用]求下列各式的值：(1)eq\r(8,x－28)；(2)eq\r(3－2\r(2))＋(eq\r(3,1－\r(2)))3.解：(1)eq\r(8,x－28)＝|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))(2)因为3－2eq\r(2)＝12－2eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝(eq\r(2)－1)2，所以eq\r(3－2\r(2))＋(eq\r(3,1－\r(2)))3＝eq\r(\r(2)－12)＋1－eq\r(2)＝eq\r(2)－1＋1－eq\r(2)＝0.条件根式的化简[例3](1)若xy≠0，则使eq\r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是()A．x>0，y>0 B．x>0，y<0C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0(2)设－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．(1)[解析]∵eq\r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy<0，故选B.[答案]B(2)[解]原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2－3<x<1，,－41≤x＜3.))[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n<m<0，则eq\r(m2＋2mn＋n2)－eq\r(m2－2mn＋n2)等于()A．2m B．2C．－2m D．－2解析：选C原式＝eq\r(m＋n2)－eq\r(m－n2)＝|m＋n|－|m－n|，∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.eq\a\vs4\al(,,5.忽略n的范围导致式子\r(n,an)a∈R化简出错)[典例]化简eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝________.[解析]eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝(1＋eq\r(2))＋|1－eq\r(2)|＝1＋eq\r(2)＋eq\r(2)－1＝2eq\r(2).[答案]2eq\r(2)[易错防范]1．本题易忽视eq\r(4,1－\r(2)4)>0，而误认为eq\r(4,1－\r(2)4)＝1－eq\r(2)而导致解题错误．2．对于根式eq\r(n,an)的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为eq\r(n,an)＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么eq\r(n,an)＝|a|.[活学活用]当a，b∈R时，下列各式恒成立的是()A．(eq\r(4,a)－eq\r(4,b))4＝a－bB．(eq\r(4,a＋b))4＝a＋bC.eq\r(4,a4)－eq\r(4,b4)＝a－bD.eq\r(4,a＋b4)＝a＋b解析：选B当且仅当a＝b≥0时，(eq\r(4,a)－eq\r(4,b))4＝a－b；当且仅当a≥0，b≥0时，eq\r(4,a4)－eq\r(4,b4)＝a－b；当且仅当a＋b≥0时，eq\r(4,a＋b4)＝a＋b.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由eq\r(4,a＋b)可知a＋b≥0，所以(eq\r(4,a＋b))4＝a＋b.故选B.[随堂即时演练]1．化简eq\r(1－2x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)))的结果是()A．1－2x B．0C．2x－1 D．(1－2x)2解析：选C∵eq\r(1－2x2)＝|1－2x|，x>eq\f(1,2)，∴1－2x<0，∴eq\r(1－2x2)＝2x－1.2．下列式子中成立的是()A．aeq\r(－a)＝eq\r(－a3) B．aeq\r(－a)＝－eq\r(a3)C．aeq\r(－a)＝－eq\r(－a3) D．aeq\r(－a)＝eq\r(a3)解析：选C要使aeq\r(－a)有意义，则a≤0，故aeq\r(－a)＝－(－a)eq\r(－a)＝－eq\r(－a2－a)＝－eq\r(－a3)，故选C.3．若x>3，则eq\r(x2－6x＋9)－|2－x|＝________.解析：eq\r(x2－6x＋9)－|2－x|＝eq\r(x－32)－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.答案：－14．化简(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.解析：由根式eq\r(a－1)有意义可得a－1≥0，即a≥1，∴原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.答案：a－15．已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简eq\r(n,a－bn)＋eq\r(n,a＋bn).解：∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0.当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.∴eq\r(n,a－bn)＋eq\r(n,a＋bn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数.))[课时达标检测]一、选择题1.eq\r(4,a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是()A．a≠2 B．a≥2C．a≠4 D．2≤a＜4或a＞4解析：选D要使原式有意义，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a－4≠0，))即a≥2且a≠4.2.eq\r(3,－63)＋eq\r(4,\r(5)－44)＋eq\r(3,\r(5)－43)的值为()A．－6 B．2eq\r(5)－2C．2eq\r(5) D．6解析：选Aeq\r(3,－63)＝－6，eq\r(4,\r(5)－44)＝|eq\r(5)－4|＝4－eq\r(5)，eq\r(3,\r(5)－43)＝eq\r(5)－4，∴原式＝－6＋4－eq\r(5)＋eq\r(5)－4＝－6.3．化简eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)得()A．6 B．2xC．6或－2x D．6或2x或－2x解析：选C注意开偶次方根要加绝对值，eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)＝|x＋3|－(x－3)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，x≥－3，,－2x，x<－3，))故选C.4.eq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))等于()A．－4 B．2eq\r(3)C．－2eq\r(3) D．4解析：选Deq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))＝eq\r(2＋\r(3)2)＋eq\r(2－\r(3)2)＝(2＋eq\r(3))＋(2－eq\r(3))＝4.5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq\r(4,a－b4)的值为()A．a＋b B．－(a＋b)C．a－b D．b－a解析：选D由图象知a(－1)2＋b×(－1)＋0.1<0，∴a<b，∴eq\r(4,a－b4)＝|a－b|＝b－a.二、填空题6．设m<0，则(eq\r(－m))2＝________.解析：∵m<0，∴－m>0，∴(eq\r(－m))2＝－m.答案：－m7．若eq\r(x2－8x＋16)＝x－4，则实数x的取值范围是________．解析：∵eq\r(x2－8x＋16)＝eq\r(x－42)＝|x－4|又eq\r(x2－8x＋16)＝x－4，∴|x－4|＝x－4，∴x≥4.答案：x≥48．设f(x)＝eq\r(x2－4)，若0＜a≤1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝________.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq\r(a2＋\f(1,a2)－2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))，由于0＜a≤1，所以a≤eq\f(1,a)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－a.答案：eq\f(1,a)－a9．写出使下列等式成立的x的取值范围：(1)eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)；(2)eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5).解：(1)要使eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)成立，只需x－3≠0即可，即x≠3.(2)eq\r(x－5x2－25)＝eq\r(x－52x＋5).要使eq\r(x－52x＋5)＝(5－x)eq\r(x＋5)成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0，,x－5≤0，))即－5≤x≤5.10．化简(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(7,a－17).解：由题意可知eq\r(a－1)有意义，∴a≥1.∴原式＝(a－1)＋|1－a|＋(a－1)＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3.第二课时指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确．(1)eq\r(5,a10)＝eq\r(5,a25)＝a2＝a4(a>0)；(2)eq\r(3,a12)＝eq\r(3,a43)＝a4＝a(a>0)．提示：正确．问题2：能否把eq\r(4,a3)，eq\r(3,b2)，eq\r(4,c5)写成下列形式：eq\r(4,a3)＝a(a>0)；eq\r(3,b2)＝b(b>0)；eq\r(4,c5)＝c(c>0)．提示：能．[导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a＝eq\f(1,a))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．[化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂aeq\f(m,n)不可以理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a>0，但要注意在像(－a)eq\f(1,4)＝eq\r(4,－a)中的a，则需要a≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝ar·br(a>0，b>0，r∈Q)．[化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1](1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(－x)(x>0) B.eq\r(6,y2)＝y(y<0)C．x＝eq\r(4,\f(1,x)3)(x>0) D．x＝－eq\r(3,x)(x≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．①a2·eq\r(a)(a>0)；②eq\r(a\r(a))(a>0)；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,b－\f(2,3))))(b>0)；④eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3))))(x>0，y>0)．(1)[解析]－eq\r(x)＝－x(x>0)；eq\r(6,y2)＝[(y)2]＝－y(y<0)；x＝(x－3)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x>0)；x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．[答案]C(2)[解]①a2·eq\r(a)＝a2·a＝a2＋＝a.②eq\r(a\r(a))＝eq\r(a·a)＝eq\r(a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝a.③原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b))))＝b＝beq\f(1,9).④法一：从外向里化为分数指数幂．eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3)))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y2,x)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3))))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(y2,x)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x3,y)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y6,x3)))))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,y)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y6,x3)))＝eq\f(y,x)·eq\f(x,y)·eq\f(y,x)＝eq\f(x·y,x·y)＝y.法二：从里向外化为分数指数幂．eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\r(3,\f(y6,x3))))＝eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y6,x3)))))＝eq\r(\f(y2,x)\r(\f(x3,y)·\f(y2,x)))＝eq\r(\f(y2,x)x2·y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,x)·xy\f(1,2)))＝y.[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))，其中字母a要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)eq\r(\f(1,a)\r(\f(1,a)))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x·\r(5,x2)2))(x>0)；(3)eq\r(ab3\r(ab5))(a>0，b>0)．解：(1)原式＝eq\r(\f(1,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝a.(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))2))＝eq\f(1,\r(3,x·x))＝eq\f(1,\r(3,x))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)))＝eq\f(1,x)＝x.(3)原式＝[ab3(ab5)]＝[a·ab3(b5)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab))＝ab.指数幂的运算[例2]计算下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－0.010.5；(2)0.064－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]＋16－0.75；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·eq\f(\r(4ab－1)3,0.1－2a3b－3)(a>0，b>0)．[解](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq\f(5,2)－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＝eq\f(27,16).(3)原式＝eq\f(4·4,100)·a·a·b·b＝eq\f(4,25)a0b0＝eq\f(4,25).[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[活学活用]计算下列各式的值：(1)0.027－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))0；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,125)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))0＋160.75＋0.25；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＋eq\f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2))－1.030×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)))3.解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1000)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.(2)原式＝eq\f(5,2)－1＋16＋0.5＝eq\f(5,2)－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋eq\f(\r(3)＋\r(2)2,3－2)－1×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))))3＝16＋5＋2eq\r(6)＋eq\f(3,4)eq\r(6)＝21＋eq\f(11,4)eq\r(6).eq\a\vs4\al(,,4.含附加条件的幂的求值问题)[典例](12分)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求：(1)x＋y；(2)x－y；(3)x－y.[解题流程]eq\x(求x＋y，x－y，x－y的值，应建立其与x＋y及xy的关系后求解)1将x＋y，x－y平方后即可建立其与x＋y及xy的关系；,2可利用平方差公式将x－y分解成x＋yx－y求解eq\x(x＋y2＝x＋y＋2\r(xy))↓eq\x(x－y2＝x＋y－2\r(xy))↓eq(x－y＝x2－y2＝x＋y2＝x＋yx－y[规范解答](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))2＝x＋y＋2eq\r(xy)＝18，(2分)∴x＋y＝3eq\r(2).(4分)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))2＝x＋y－2eq\r(xy)＝6，(6分)又x<y，∴x－y＝－eq\r(6).(8分)(3)x－y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-y))(10分)＝3eq\r(2)×(－eq\r(6))＝－3×2×2×3＝－6eq\r(3).(12分)[名师批注]eq\x(\a\vs4\al(由x与x，,y与y都具有平方关系，,故可先求,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))2，然后,求x＋y的值，,解题时常因找不到,此关系而使问题不能得以正确求解.))eq\a\vs4\al(易忽视条件x<y，而得出错误答案.)eq\a\vs4\al(此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.)[活学活用]已知a＋a－1＝5，求下列各式的值；(1)a2＋a－2；(2)a－a.解：(1)法一：由a＋a－1＝5两边平方得：a2＋2aa－1＋a－2＝25，即：a2＋a－2＝23；法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，∴|a－a|＝eq\r(3).∴a－a＝±eq\r(3).[随堂即时演练]1．若2<a<3，化简eq\r(2－a2)＋eq\r(4,3－a4)的结果是()A．5－2a B．2C．1 D．－1解析：选C由于2<a<3，所以2－a<0,3－a>0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.2．(－2ab·(－ab)6÷(－3ab)等于()A.eq\f(2,3)ab B．－eq\f(2,3)aC．－eq\f(2,3)ab D.eq\f(2,3)ab解析：选A原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(ab)·(a3·b－2)÷(ab)＝eq\f(2,3)ab=eq\f(2,3)ab注意符号不能弄错．3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝eq\f(102x,10y)＝eq\f(9,4).答案：eq\f(9,4)4．化简eq\r(3,a\r(a))的结果是________．解析：eq\r(3,a\r(a))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·a))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝a.答案：a5．计算(或化简)下列各式：(1)4eq\r(2)＋1·23－2eq\r(2)·64；(2)eq\f(a－b,a＋b)－eq\f(a＋b－2a·b,a－b).解：(1)原式＝(22)eq\r(2)＋1·23－2eq\r(2)·(26)＝22eq\r(2)＋2·23－2eq\r(2)·2－4＝22eq\r(2)＋2＋3－2eq\r(2)－4＝21＝2.(2)原式＝eq\f(a＋ba－b,a＋b)－eq\f(a－b2,a－b)＝a－b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))＝0.[课时达标检测]一、选择题1.eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1 B．aC．aeq\f(1,5) D．aeq\f(17,10)解析：选D原式＝a3·a－eq\f(1,2)·a－eq\f(4,5)＝a3－eq\f(1,2)－eq\f(4,5)＝aeq\f(17,10).2．化简[eq\r(3,－52)]eq\f(3,4)的结果为()A．5 B.eq\r(5)C．－eq\r(5) D．－5解析：选B[eq\r(3,－52)]eq\f(3,4)＝[(－5)eq\f(2,3)]eq\f(3,4)＝5eq\f(1,2)＝eq\r(5).3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,2)))0－(1－0.5－2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\f(2,3)的值为()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(7,3)解析：选D原式＝1－(1－22)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝1－(－3)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,3).故选D.4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2eq\r(2)，则ab－a－b等于()A.eq\r(6) B．2或－2C．－2 D．2解析：选D∵a>1，b>0，∴ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2eq\r(2))2－4＝4，∴ab－a－b＝2.5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为()A.eq\f(1,9) B.eq\r(4,3)C．1 D.eq\r(3,9)解析：选Bx9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝eq\r(8,9)＝eq\r(4,3).二、填空题6．化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(1,4)b\f(1,2)))4\r(3,\f(b,a)))(a>0，b>0)的结果是________．解析：原式＝eq\f(a3·b2·a\f(1,3)·b\f(2,3)\f(1,2),a·b2·a－\f(1,3)·b\f(1,3))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)·b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝eq\f(a,b).答案：eq\f(a,b)7．已知x＝eq\f(1,2)(5eq\f(1,n)－5－eq\f(1,n))，n∈N*，则(x＋eq\r(1＋x2))n的值为________．解析：因为1＋x2＝eq\f(1,4)(5eq\f(2,n)＋2＋5－eq\f(2,n))＝eq\f(1,4)(5eq\f(1,n)＋5－eq\f(1,n))2，所以(x＋eq\r(1＋x2))n＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)5\f(1,n)－5－\f(1,n)＋\f(1,2)5\f(1,n)＋5－\f(1,n)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,n)))n＝5.答案：58．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m等于________．解析：∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，∴a＝meq\f(1,2)，b＝meq\f(1,4)，a＝b2.由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3(舍去)．∴meq\f(1,4)＝2，m＝24＝16.答案：16三、解答题9．化简求值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))0.5＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))－eq\f(2,3)－3π0＋eq\f(37,48)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))－eq\f(2,3)＋(0.002)－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－(4)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,a·b)×3eq\r(b3).解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)＋eq\f(1,0.12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))－eq\f(2,3)－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)原式＝(－1)－eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))－eq\f(1,2)－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))－eq\f(2,3)＋(500)eq\f(1,2)－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(4)原式＝2aeq\f(1,3)÷(4aeq\f(1,6)beq\f(1,6))×(3beq\f(3,2))＝eq\f(1,2)aeq\f(1,3)－eq\f(1,6)b－eq\f(1,6)·3beq\f(3,2)＝eq\f(3,2)aeq\f(1,6)beq\f(4,3).10．已知a＝3，求eq\f(1,1＋a\f(1,4))＋eq\f(1,1－a\f(1,4))＋eq\f(2,1＋a\f(1,2))＋eq\f(4,1＋a)的值．解：eq\f(1,1＋a\f(1,4))＋eq\f(1,1－a\f(1,4))＋eq\f(2,1＋a\f(1,2))＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋a\f(1,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a\f(1,4))))＋eq\f(2,1＋a\f(1,2))＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(2,1－a\f(1,2))＋eq\f(2,1＋a\f(1,2))＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(4,1－a\f(1,2)1＋a\f(1,2))＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(4,1－a)＋eq\f(4,1＋a)＝eq\f(8,1－a2)＝－1.2．1.2指数函数及其性质第一课时指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A到数集B的对应：①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.问题1：这两个对应能构成函数吗？提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量．[导入新知]指数函数的定义函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.[化解疑难]指数函数的概念中规定a>0且a≠1的原因(1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝eq\f(1,4)，x＝eq\f(1,2)，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax>0.指数函数的图象与性质[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(eq\f(1,2))x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质．(2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0<a<1时，x的值越大，函数的图象越接近x轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1](1)下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3 B．a＝1C．a＝3 D．a>0且a≠1[解析](1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝1，,a>0，且a≠1，))所以解得a＝3.[答案](1)B(2)C[类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数a>0，且a≠1.(2)ax的系数为1.(3)y＝ax中“a是常数”，x为自变量，自变量在指数位置上．[活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①y＝2·(eq\r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))x；④y＝xx；⑤y＝3－eq\f(1,x)；⑥y＝xeq\f(1,3).解析：①中指数式(eq\r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝eq\f(1,2)·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③指数函数的图象问题[例2](1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析](1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.(2)法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案](1)B(2)(3,4)[类题通法]底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则ax>bx>1；②若x<0，则1>bx>ax>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>ax>bx>0；②若x<0，则bx>ax>1.[活学活用]若函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有()A．a>1且b<1 B．0<a<1且b≤1C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0解析：选D由指数函数图象的特征可知0<a<1时，函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0，故选项D正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例3]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝2eq\f(1,x－4)；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|).[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq\r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x＜1，所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函数y＝eq\r(1－3x)的值域为[0,1)．(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝2eq\f(1,x－4)的定义域为{x∈R|x≠4}．因为eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\f(1,x－4)≠1，即函数y＝2eq\f(1,x－4)的值域为{y|y>0且y≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|)的定义域为{x|x＝0}．而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝1，则函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|)的值域为{y|y＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝eq\r(fax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的定义域和值域．解：定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．eq\a\vs4\al(,,5.利用换元法求函数的值域)[典例](12分)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．[解题流程]eq\x(求函数fx的值域，应确定函数的类型)eq\x(\a\al(1若令t＝ax，则原函数可变为y＝t2＋2t－1，从而可利用二次函数的有关性质解决；,2应明确换元后的定义域；,3由于t＝axa>0，a≠1，因此应分类确定t的取值范围))eq\x(令t＝ax)→eq\x(\a\al(分a>1和0<a<1两种,情况，讨论t的范围))→eq\x(利用二次函数的知识求值域)[随堂即时演练]1．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()解析：选C由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：选B由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________.解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，又f(2)＝a2＝4，∴f(2)·f(4)＝a2·a4＝4·42＝43＝64.答案：644．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1，x∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x≤2，∴eq\f(1,9)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤3.∴－eq\f(8,9)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1≤2.∴值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，2)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，2))5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq\f(1,2))，其中a>0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解：(1)因为函数图象过点(2，eq\f(1,2))，所以a2－1＝eq\f(1,2)，则a＝eq\f(1,2).(2)f(x)＝(eq\f(1,2))x－1(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，于是0<(eq\f(1,2))x－1≤(eq\f(1,2))－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝(eq\f(1,2))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝(eq\f(1,2))2x－1.A．0个 B．1个C．3个 D．4个解析：选B由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是()A．增函数 B．奇函数C．偶函数 D．减函数解析：选D由于0<eq\r(3)－1<1，所以函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是减函数，f(－1)＝(eq\r(3)－1)－1＝eq\f(\r(3)＋1,2)，f(1)＝eq\r(3)－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝(eq\r(3)－1)x不具有奇偶性．3．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．1<|a|<eq\r(2) B．|a|<1C．|a|>1 D．|a|>eq\r(2)解析：选D依题意得a2－1>1，a2>2，∴|a|>eq\r(2).4．函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的图象的大致形状是()解析：选D当x>0时，y＝ax(0<a<1)，故去掉A、B，当x<0时，y＝－ax，与y＝ax(0<a<1，x<0)的图象关于x轴对称，故选D.5．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限解析：选A∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥3，,fx＋1，x＜3，))则f(2)＝________.解析：f(2)＝f(3)＝23＝8.答案：87.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈{eq\f(\r(2),3)，eq\f(1,3)，eq\r(5)，π}，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数，而eq\f(1,3)<eq\f(\r(2),3)<eq\r(5)<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是eq\f(\r(2),3)，eq\f(1,3)，π，eq\r(5).答案：eq\f(\r(2),3)eq\f(1,3)πeq\r(5)8．若x1，x2是方程2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\f(1,x)＋1的两个实数解，则x1＋x2＝________.解析：∵2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\f(1,x)＋1，∴2x＝2eq\f(1,x)－1，∴x＝eq\f(1,x)－1，∴x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1.答案：－1三、解答题9．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．解：当x≥0时，y＝2|x|＝2x；当x<0时，y＝2|x|＝2－x＝(eq\f(1,2))x.∴函数y＝2|x|的图象如图所示，由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0<a<1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝eq\f(1,3).综上所述，a＝3或eq\f(1,3).第二课时指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)图象的位置与底数a之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1](1)已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5；③0.20.3,0.30.2.(1)[解析]因为a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，所以函数f(x)＝ax在R上是减函数．由f(m)>f(n)得m<n.[答案]m<n(2)[解]①因为0<eq\f(5,7)<1，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2[类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小：(1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y＝3x在定义域R上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y＝7x与y＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y＝6x与函数y＝7x在定义域R上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.解简单的指数不等式[例2](1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围．(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．[解](1)因为3>1，所以指数函数f(x)＝3x在R上是增函数．由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，＋∞)．(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．又25＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－2＝0.2－2，所以0.2x<0.2－2，则x>－2，即x的取值范围为(－2，＋∞)．[类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．[活学活用]如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．解：①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－eq\f(7,6).②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x<x＋7解得x>－eq\f(7,6).综上所述，当a>1时，x∈(－∞，－eq\f(7,6))；当0<a<1时，x∈(－eq\f(7,6)，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3]已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝eq\f(5,2)，f(2)＝eq\f(17,4).(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．[解](1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(5,2)，,f2＝\f(17,4)，))∴根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2＋2a＋b＝\f(5,2)，,f2＝22＋22a＋b＝\f(17,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.))故a，b的值分别为－1,0.(2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)设任意x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋2－x1)－(2x2＋2－x2)＝(2x1－2x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x1)－\f(1,2x2)))＝(2x1－2x2)·eq\f(2x1＋x2－1,2x1＋x2).因为x1<x2，且x1，x2∈[0，＋∞)，所以2x1－2x2<0,2x1＋x2>1，所以2x1＋x2－1>0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞)．[类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f(x)在R上是增函数．证明：(1)f(x)的定义域是R，对任意的x∈R，都有f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2－x－1·2x,2－x＋1·2x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x1，x2是R上的任意两个值，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(1－eq\f(2,2x1＋1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x2＋1)))＝eq\f(2,2x2＋1)－eq\f(2,2x1＋1)＝eq\f(22x1－2x2,2x1＋12x2＋1).因为x1<x2，所以2x1<2x2，2x1＋1>1,2x2＋1>1，所以2x1－2x2<0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在R上是增函数．eq\a\vs4\al(,,6.警惕底数a对指数函数单调性的影响)[典例]若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________．[解析]当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数，最小值为a2，最大值为a，故a＝2a2，解得a＝eq\f(1,2).当a>1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.故a2＝2a，解得a＝2.综上，a＝eq\f(1,2)或a＝2.